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【真题真练】湘教版八年级下册期末提分攻略卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023八下·满城期末）一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小，b＜0，则这个函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2023八下·惠阳期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BC B．OA=OC，OB=OD
C．AD=BC，AB∥CD D．AB=CD，AD=BC
3．（2017八下·滦县期末）已知一次函数y=kx+b，y随着x的增大而减小，且kb＜0，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024八下·玉山期末）如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BFDE是菱形，且OE=AE，则边BC的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．6
5．（2021八下·龙湖期末）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
6．（2024八下·夏津期末）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，，5 C．5，12，13 D．4，4，8
7．（2020八下·卫辉期末）从下列四个条件：①②③④ 中选择两个作为补充条件，使 成为正方形，下列四种情况，你认为错误的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
8．（2024八下·江岸期末）《九章算术》记载：今有坦高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下﹐蔓日长一尺.问几何日相逢 意思是有一道墙，高9尺，在墙头种一株瓜，瓜蔓沿墙向下每天长7寸（1尺=10寸）；同时地上种着瓠沿墙向上每天长1尺，问瓜蔓、瓠蔓要多少天才相遇？小李绘制如图的函数模型解决了此问题.图中h（单位：尺）表示瓜蔓与瓠蔓离地面的高度，x（单位：天）表示生长时间.根据小李的模型，点P的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022八下·承德期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，，规定把正方形“先沿轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2022次变换后，点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022八下·慈溪期末）如图，正方形 中，点P为 延长线上任一点，连结 ，过点P作 ，交 的延长线于点E，过点E作 于点F.下列结论：① ；② ；③ ；④若 ，则 .其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八下·邯郸期末）如图，矩形ABCD中，，，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，连接EF，则EF的长度最小为 ．
12．（2024八下·南丹期末）若直角三角形的两直角边的长分别为a、b，且满足 ，则该直角三角形的斜边长为 ．
13．（2019八下·乌兰浩特期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，将纸片沿过点C的直线翻折，使点B恰好落在x轴上的点B′处，折痕交AB于点D．若OC=9， ，则折痕CD所在直线的解析式为 ．
14．（2023七下·怀远期末）小邢到单位附近的加油站加油，下图所示是他所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是
15．（2023八下·薛城期末）一个长方形切去一个角后，形成另一多边形的内角和为 ．
16．（2024八下·龙岗期末）如图，在中，，，，点D在内部且为等边三角形，E、F分别是、的中点，则的长为 ．
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2021八下·津南期末）已知一次函数y＝kx﹣1（k为常数，且k≠0）的图象经过点（3，5）．
（1）求这个函数的解析式；
（2）在如图所示的坐标系中画出这个函数的图象；
（3）当﹣3≤y≤2时，写出x的取值范围．
18．（2021八下·保山期末）2020年9月8日上午，全国抗击新冠肺炎疫情表彰大会在北京人民大会堂隆重举行．习近平向国家勋章和国家荣誉称号获得者颁授勋章奖章并发表重要讲话．在讲话中，习近平就伟大抗疫精神进行了深刻阐述．他说，在这场同严重疫情的殊死较量中，中国人民和中华民族以敢于斗争、敢于胜利的大无畏气概，铸就了生命至上、举国同心、舍生忘死、尊重科学、命运与共的伟大抗疫精神．为了尽快复工复产，满足疫后市场需求，某公司计划启用大、小车间共8个，并在一周内生产出两种包装的同种商品共计50万件，预计每个大车间每周能生产7万件该商品，每个小车间每周能生产5万件该商品，该公司计划安排4个车间进行A包装，其余进行B包装，已知每个车间每周分别生产两种包装商品的平均成本如表：
车间 包装 A包装平均成本（万元/万件） B包装平均成本（万元/万件）
大车间 5 3
小车间 3 2
（1）该公司应安排大车间、小车间各多少个，恰好能完成生产任务？
（2）设进行A包装的大车间有x个，8个车间生产的两种包装商品的总成本为y万元，求y与x的函数解析式（也称关系式），并直接写出x的取值范围；
（3）若生产A包装的该商品不少于24万件，一共有几种生产方案？哪种方案的总成本y最小？
19．（2022八下·临渭期末）数学探究课上老师出了这样一道题：“如图，等边 中有一点 ，且 ， ， ，试求 的度数．”小明和小军探讨时发现了一种求 度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，请按照下列思路要求画图或判断．
（1）在图中画出 绕点 顺时旋转60°后的 ，并判断 的形状是 ；
（2）试判断 的形状，并说明理由；
（3）由（1）、（2）两问可知： ．
20．（2022八下·成都期末）矩形ABCD中，AB＝9，AD＝3，M、N分别是AB、CD上的点，将四边形MBCN沿MN折叠时，点B恰好落在D处，点C落在点E处，连接BN．
（1）求证：四边形DMBN是菱形；
（2）求线段AM之长；
（3）求折痕MN之长．
21．（2022八下·钦州期末）小辉与小红沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校距离图书馆4千米，小辉骑自行车，小红步行，当小辉从原路返回到学校时，小红刚好到达图书馆．图中折线O－A－B－C和线段OD分别表示小辉和小红离学校的路程s（千米）与时间t（分钟）之间的函数关系.
请根据图象回答下列问题：
（1）小辉在图书馆查阅资料的时间为 分钟，小辉返回学校的速度为 千米/分；
（2）请求出小红离开学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系式；
（3）当小辉与小红迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？
22．（2021八下·颍州期末）某果农为响应国家乡村振兴战略的号召，计划种植苹果树和桔子树共100棵．若种植30棵苹果树，70颗桔子树，共需投人成本9200元，若种植30棵桔子树，70棵苹果树，共需投入成本10800元．
（1）求种植苹果树和桔子树每棵各需投入成本多少元？
（2）若苹果树的种植棵数不少于桔子树的 ，且总成本投入不超过9710元，问共有几种种植方案？
（3）在（2）的条件下已知平均每棵苹果树可产30千克苹果，售价为10元/kg，平均每棵桔子树可产25千克桔子，售价为8元/kg，问该果农怎样选择种植方案才能使所获利润最大，最大利润为多少元？
23．（2024八下·长寿期末）如图，正方形中，是对角线，等腰中，，，点在边上，连接，点是的中点，连接．
（1）若，，求的值；
（2）求证：；
（3）当等腰的点落在正方形的边上，如图，连接，点是的中点，连接，延长交于点请探究线段、、的数量关系，并证明你的结论．
24．（2023八下·路南期末）某零售店销售甲、乙两种蔬菜，甲种蔬菜每千克获利1.1元，乙种蔬菜每千克获利1.5元．该店计划一次购进这两种蔬菜共56千克，并能全部售出．设该店购进甲种蔬菜x千克，销售这56千克蔬菜获得的总利润为y元．
（1）求y与x的关系式；
（2）若乙种蔬菜的进货量不超过甲种蔬菜的，则该店购进甲、乙两种蔬菜各多少千克时，获得的总利润最大？
（3）由于蔬菜自身的特点，有的乙种蔬菜需要保鲜处理，每千克的保鲜费用是a元（）．若获得的总利润随x的增大而减小，请直接写出a的取值范围．
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【真题真练】湘教版八年级下册期末提分攻略卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023八下·满城期末）一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小，b＜0，则这个函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小，
∴k＜0．
∵b＜0，
∴此函数的图象经过第二、三‘四象限，不经过第一象限．
故选A．
【分析】先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再由一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
2．（2023八下·惠阳期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BC B．OA=OC，OB=OD
C．AD=BC，AB∥CD D．AB=CD，AD=BC
【答案】C
【解析】【解答】解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
故选：C．
【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
3．（2017八下·滦县期末）已知一次函数y=kx+b，y随着x的增大而减小，且kb＜0，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx+b，y随着x的增大而减小
∴k＜0
又∵kb＜0
∴b＞0
∴此一次函数图象过第一，二，四象限．
故答案为：A．
【分析】因为一次函数y=kx+b，y随着x的增大而减小，得到k＜0，又kb＜0，得到b＞0，所以此一次函数图象过第一，二，四象限．
4．（2024八下·玉山期末）如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BFDE是菱形，且OE=AE，则边BC的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．6
【答案】B
【解析】【解答】解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，∠ABC=90°，AB=CD，
即EA⊥AB，
∵四边形BFDE是菱形，
∴BD⊥EF，
∵OE=AE，
∴点E在∠ABD的角平分线上，
∴∠ABE=∠EBD，
∵四边形BFDE是菱形，
∴∠EBD=∠DBC，
∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，
∵AB的长为3，
∴BC=3 ，
故选B．
【分析】根据矩形的性质和菱形的性质得∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，解直角三角形BDC，即可求出BC的长．
5．（2021八下·龙湖期末）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
【答案】D
【解析】【解答】解：∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；
平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；
∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．
故选D．
【分析】由菱形的性质可得：菱形的对角线互相平分且垂直；而平行四边形的对角线互相平分；则可求得答案．
6．（2024八下·夏津期末）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，，5 C．5，12，13 D．4，4，8
【答案】C
【解析】【解答】解：
A、不能组成直角三角形，A不符合题意；
B、不能组成直角三角形，B不符合题意；
A、，可以组成直角三角形，C符合题意；
D、不能组成直角三角形，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据勾股定理的逆定理即可求解。
7．（2020八下·卫辉期末）从下列四个条件：①②③④ 中选择两个作为补充条件，使 成为正方形，下列四种情况，你认为错误的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【答案】B
【解析】【解答】A.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当① 时， 是矩形，
当②AB=BC时，矩形ABCD是正方形，此选项正确，不符合题意；
B.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当① 时， 是矩形，
当③AC=BD时，这是矩形的性质，无法判定矩形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；
C.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ 当②AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，此选项正确，不符合题意；
D.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当③AC=BD时，平行四边形ABCD是矩形，
当④ 时，矩形ABCD是正方形，此选项正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质、特殊四边形的判定、正方形的判定依次判断即可.
8．（2024八下·江岸期末）《九章算术》记载：今有坦高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下﹐蔓日长一尺.问几何日相逢 意思是有一道墙，高9尺，在墙头种一株瓜，瓜蔓沿墙向下每天长7寸（1尺=10寸）；同时地上种着瓠沿墙向上每天长1尺，问瓜蔓、瓠蔓要多少天才相遇？小李绘制如图的函数模型解决了此问题.图中h（单位：尺）表示瓜蔓与瓠蔓离地面的高度，x（单位：天）表示生长时间.根据小李的模型，点P的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设瓜蔓、瓠蔓经过x天相遇．
根据题意，当瓜蔓、瓠蔓相遇时，得7x+10x=90，
解得x=，
∴点P的横坐标为．
故答案为：B.
【分析】设瓜蔓、瓠蔓经过x天相遇，根据相遇时“瓜蔓生长的长度+瓠蔓生长的长度=墙头的高度”列方程并求解即可。
9．（2022八下·承德期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，，规定把正方形“先沿轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2022次变换后，点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵正方形的顶点，，
∴点C坐标为（3，-3），
∵方形“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，
∴第一次变换后，点C坐标为（-3，-4），
第二次变换后，点C坐标为（3，-5），
第三次变换后，点C的坐标为（-3，-6），
……
则第n次变换后，点C坐标为（（-1）n×3，-n-3），
当n=2022时，点C坐标为（3，-2025），
故答案为：C．
【分析】由正方形的性质求出C坐标为（3，-3），分别求出第一次、第二次、第三次变换后点C的坐标，从而得出规律第n次变换后，点C坐标为（（-1）n×3，-n-3），然后求出n=2022时点C的坐标即可.
10．（2022八下·慈溪期末）如图，正方形 中，点P为 延长线上任一点，连结 ，过点P作 ，交 的延长线于点E，过点E作 于点F.下列结论：① ；② ；③ ；④若 ，则 .其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】【解答】解：如图1，在EF上取一点G，使FG=FP，连接BG、PG，
∵EF⊥BP，
∴∠BFE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FBC=∠ABD=45°，
∴BF=EF，
在△BFG和△EFP中，
，
∴△BFG≌△EFP（SAS），
∴BG=PE，∠PEF=∠GBF，
∵∠ABD=∠FPG=45°，
∴AB∥PG，
∵AP⊥PE，
∴∠APE=∠APF+∠FPE=∠FPE+∠PEF=90°，
∴∠APF=∠PEF=∠GBF，
∴AP∥BG，
∴四边形ABGP是平行四边形，
∴AP=BG，
∴AP=PE；
故①正确；
如图2，连接CG，
由①知：PG∥AB，PG=AB，
∵AB=CD，AB∥CD，
∴PG∥CD，PG=CD，
∴四边形DCGP是平行四边形，
∴CG=PD，CG∥PD，
∵PD⊥EF，
∴CG⊥EF，即∠CGE=90°，
∵∠CEG=45°，
∴CE= CG= PD；
故③正确；
如图3，连接AC交BD于O，
∠CGF=∠GFD=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，BD=
∴∠COF=90°，
∴四边形OCGF是矩形，
∴OC=FG，BD=2OC=2FG，
△BFG≌△EFP，
，
，
故②正确；
④ ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即 .
故④正确.
故答案为：D.
【分析】在EF上取一点G，使FG=FP，连接BG、PG，根据正方形的性质得∠FBC=∠ABD=45°，则BF=EF，证△BFG≌△EFP，得BG=PE，∠PEF=∠GBF，易得四边形ABGP是平行四边形，则AP=BG，据此判断①；连接CG，易得四边形DCGP是平行四边形，则CG=PD，CG∥PD，根据三角函数的概念得CE=CG，据此判断③；连接AC交BD于O，根据正方形性质得AC⊥BD，BD=AB=PG，则四边形OCGF是矩形，OC=FG，BD=2OC=2FG，根据全等三角形的性质可得PF=FG，据此判断②；根据等腰三角形的性质结合内角和定理可得∠BPE=∠BEP=67.5°，∠FPG=∠FGP=45°，则∠GPE=22.5°，推出PG=GE，则FG=GE，BE=(1+)FG，DF=(-1)PF，据此判断④.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八下·邯郸期末）如图，矩形ABCD中，，，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，连接EF，则EF的长度最小为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴．
∵四边形是矩形，
∴．
∴四边形为矩形．
∴．
∴当时，最小，此时EF最小，
在中，∵，，
由勾股定理得：，
由三角形等面积公式：，
∴．
∴的长度最小为：，
故答案为：．
【分析】连接，依据，可得四边形为矩形，根据矩形的性质可得，当时，最小，此时EF最小，利用三角形等面积法即可求解．
12．（2024八下·南丹期末）若直角三角形的两直角边的长分别为a、b，且满足 ，则该直角三角形的斜边长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵ ，
∴a-1=0，b-2=0，
∴a=1，b=2，
∴该直角三角形的斜边长为： = ，
故答案为： ．
【分析】根据二次根式及偶次幂的非负性，可得a-1=0，b-2=0，从而求出a、b的值，利用勾股定理求出结论即可.
13．（2019八下·乌兰浩特期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，将纸片沿过点C的直线翻折，使点B恰好落在x轴上的点B′处，折痕交AB于点D．若OC=9， ，则折痕CD所在直线的解析式为 ．
【答案】y= x+9
【解析】【解答】∵OC=9， ，
∴BC=15，
∵四边形OABC是矩形，
∴AB=OC=9，OA=BC=15，∠COA=∠OAB=90°，
∴C(0，9)，
∵折叠，
∴B′C=BC=15，B′D=BD，
在Rt△COB′中，OB′= =12，
∴AB′=15-12=3，
设AD=m，则B′D=BD=9-m，
Rt△AB′D中，AD2+B′A2=B′D2，
即m2+32=(9-m)2，
解得m=4，
∴D(15，4)
设CD所在直线解析式为y=kx+b，
把C、D两点坐标分别代入得： ，
解得： ，
∴CD所在直线解析式为y= x+9，
故答案为：y= x+9.
【分析】根据OC=9， 先求出BC的长，继而根据折叠的性质以及勾股定理的性质求出OB′的长，求得AB′的长，设AD=m，则B′D=BD=9-m，在Rt△AB′D中利用勾股定理求出x的长，进而求得点D的坐标，再利用待定系数法进行求解即可.
14．（2023七下·怀远期末）小邢到单位附近的加油站加油，下图所示是他所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是
【答案】金额与数量
【解析】【解答】常量是固定不变的量，变量是变化的量，
单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，
故答案为：金额与数量.
【分析】根据常量与变量的意义结合油的单价是不变的，而金额随着加油数量的变化在变化，据此即可得答案.
15．（2023八下·薛城期末）一个长方形切去一个角后，形成另一多边形的内角和为 ．
【答案】或或
【解析】【解答】
一个长方形切去一个角后，形成的多边形 有以下情形：
1.是三角形，这时内角和是180°。
2.是四边形，这时内角和是360°。
3.是四边形，这时内角和是540°。
故答案为：180°，360°，540°。
【分析】
一个长方形切去一个角后，形成的多边形可能是三角形、四边形，也可能是五边形。分别写出它们的内角和即可。
16．（2024八下·龙岗期末）如图，在中，，，，点D在内部且为等边三角形，E、F分别是、的中点，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：过点F作于点G，延长，过点A作于点H，过点E作于点N，作于点M，如图所示：
∵为等边三角形，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵F为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】过点F作于点G，延长，过点A作于点H，过点E作于点N，作于点M，genuine等边三角形性质可得，，根据线段中点可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得BN，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据矩形判定定理可得四边形为矩形，则，，再根据边之间的关系可得NG，再根据矩形判定定理可得四边形为矩形，则，，根据边之间的关系可得FM，再根据勾股定理即可求出答案.
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2021八下·津南期末）已知一次函数y＝kx﹣1（k为常数，且k≠0）的图象经过点（3，5）．
（1）求这个函数的解析式；
（2）在如图所示的坐标系中画出这个函数的图象；
（3）当﹣3≤y≤2时，写出x的取值范围．
【答案】（1）解：∵一次函数y＝kx﹣1的图象经过点（3，5），
∴3k-1=5，
∴k=2，
∴函数解析式为y=2x-1；
（2）解：如图：
（3）解：当y=-3时，，
∴；
当y=2时，，
∴；
由图象可得：当-3≤y≤2 时，自变量 x 的取值范围为：-1≤x≤．
【解析】【分析】（1）将点（3，5）代入y＝kx﹣1，求出k的值即可；
（2）利用描点法作出函数图象即可；
（3）结合函数图象直接求解即可。
18．（2021八下·保山期末）2020年9月8日上午，全国抗击新冠肺炎疫情表彰大会在北京人民大会堂隆重举行．习近平向国家勋章和国家荣誉称号获得者颁授勋章奖章并发表重要讲话．在讲话中，习近平就伟大抗疫精神进行了深刻阐述．他说，在这场同严重疫情的殊死较量中，中国人民和中华民族以敢于斗争、敢于胜利的大无畏气概，铸就了生命至上、举国同心、舍生忘死、尊重科学、命运与共的伟大抗疫精神．为了尽快复工复产，满足疫后市场需求，某公司计划启用大、小车间共8个，并在一周内生产出两种包装的同种商品共计50万件，预计每个大车间每周能生产7万件该商品，每个小车间每周能生产5万件该商品，该公司计划安排4个车间进行A包装，其余进行B包装，已知每个车间每周分别生产两种包装商品的平均成本如表：
车间 包装 A包装平均成本（万元/万件） B包装平均成本（万元/万件）
大车间 5 3
小车间 3 2
（1）该公司应安排大车间、小车间各多少个，恰好能完成生产任务？
（2）设进行A包装的大车间有x个，8个车间生产的两种包装商品的总成本为y万元，求y与x的函数解析式（也称关系式），并直接写出x的取值范围；
（3）若生产A包装的该商品不少于24万件，一共有几种生产方案？哪种方案的总成本y最小？
【答案】（1）解：设应安排大车间 x 个、小车间 y 个，
由题意得 ，解得： ，
答：该公司应安排大车间5个、小车间3个，恰好能完成生产任务．
（2）解：生产A包装的大车间有x个，则生产A包装的小车间有（4-x）个，生产B包装的大车间有（5- x）个，生产B包装的小车间有（x -1）个，
∴ ，
即 ，其中1≤ x ≤ 4，且x是整数
（3）解：由题意得： ，解得：x ≥ 2，
∴2 ≤ x ≤ 4，且x是整数，
∴共有3种方案，
∵ ，∴y随x的增大而增大，
∴当 时，总成本 y 最小．
【解析】【分析】（1）设应安排大车间 x 个、小车间 y 个，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）根据“总利润=A包装+B包装的成本之和”列出等式即可；
（3）根据题意列出不等式求解即可。
19．（2022八下·临渭期末）数学探究课上老师出了这样一道题：“如图，等边 中有一点 ，且 ， ， ，试求 的度数．”小明和小军探讨时发现了一种求 度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，请按照下列思路要求画图或判断．
（1）在图中画出 绕点 顺时旋转60°后的 ，并判断 的形状是 ；
（2）试判断 的形状，并说明理由；
（3）由（1）、（2）两问可知： ．
【答案】（1）如图， △AP1B为所作，
的形状是等边三角形；
（2）解：△PP1B为直角三角形，
理由如下：
∵△APC绕点A顺时针旋转60°后的△AP1B，
∴，
∵△AP1P为等边三角形，
∴，
在△BP1P中，
∵，
∴，
∴△BP1P为直角三角形；
（3）150°
【解析】【解答】解：（1）∵△APC绕点A顺时针旋转60°后的△AP1B，
∴AP=AP1，，
∴△AP1P为等边三角形；
（3）∵△AP1P为等边三角形，
∴，
∵△BP1P为直角三角形，
∴，
∴∠APB=60°+90°=150°.
故答案为：150°.
【分析】（1）利用旋转的性质（①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前后的图形全等，即旋转前后图形的大小和形状没有改变）画出 △ABP1，连接PP1，如图，根据旋转的性质得AP=AP1，∠PAP1=60°，则利用等边三角形的判定方法（含有一个60°角的等腰三角形，就是等边三角形）可判断△AP1P为等边三角形；
（2）先根据旋转的性质得BP1=PC=5，再利用△AP1P为等边三角形得到P1P=PA=3，然后根据勾股定理的逆定理（如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形）可证明△BP1P为直角三角形；
（3）由△AP1P为等边三角形得到∠APP1=60°，由（2）得∠BPP1=90°，则∠APB=60°+90°=150°.
20．（2022八下·成都期末）矩形ABCD中，AB＝9，AD＝3，M、N分别是AB、CD上的点，将四边形MBCN沿MN折叠时，点B恰好落在D处，点C落在点E处，连接BN．
（1）求证：四边形DMBN是菱形；
（2）求线段AM之长；
（3）求折痕MN之长．
【答案】（1）证明：根据题意得：BM=DM，DN=BN，∠DMN=∠BMN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DNM=∠BMN，
∴∠DNM=∠DMN，
∴DM=DN，
∴DM=BM=DN=BN，
∴四边形DMBN是菱形；
（2）解：设AM=x，则DM=BM=AB-AM=9-x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在中，，
∴，解得：x=4，
即AM=4；
（3）解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在中， AB＝9，AD＝3，
∴，
由（2）得：AM=4，
∴BM=5，
∵，
∴，
解得：．
【解析】【分析】（1）根据题意得BM=DM，DN=BN，∠DMN=∠BMN，根据矩形的性质可得AB∥CD，由平行线的性质可得∠DNM=∠BMN，则∠DNM=∠DMN，推出DM=BM=DN=BN，然后根据菱形的判定定理进行证明；
（2）设AM=x，则DM=BM=AB-AM=9-x，根据矩形的性质可得∠A=90°，然后根据勾股定理进行计算；
（3）连接BD，根据矩形的性质可得∠A=90°，由勾股定理可得BD，由（2）得AM=4，则BM=5，然后根据三角形的面积公式进行计算就可求出MN.
21．（2022八下·钦州期末）小辉与小红沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校距离图书馆4千米，小辉骑自行车，小红步行，当小辉从原路返回到学校时，小红刚好到达图书馆．图中折线O－A－B－C和线段OD分别表示小辉和小红离学校的路程s（千米）与时间t（分钟）之间的函数关系.
请根据图象回答下列问题：
（1）小辉在图书馆查阅资料的时间为 分钟，小辉返回学校的速度为 千米/分；
（2）请求出小红离开学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系式；
（3）当小辉与小红迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？
【答案】（1）15；
（2）解：设直线OD解析式s＝kt＋b，
∵点O（0，0），D（45，4）在直线OD上，
∴，
解得，
∴直线OD解析式；
（3）解：设直线BC解析式s＝at＋m，
∵点B（30，4），C（45，0）在直线BC上，
∴，
解得，
∴直线BC解析式，
联立方程组，
解得
所以小辉与小红迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米．
【解析】【解答】解：（1）观察函数图象可知小辉在图书馆查阅资料的时间为分钟，小辉返回学校的速度为千米/分；
故答案为：15，；
【分析】（1）观察图象：用点B的横坐标减去点A的横坐标，可知小辉在图书馆查阅资料的时间，用点C的横坐标减去点B的横坐标，可知小辉返回学校所用的时间，行驶的路程为4千米，根据路程÷时间=速度可得返回学校的速度；
（2）设直线OD解析式s＝kt＋b，将O（0，0），D（45，4）代入求出k、b的值，据此可得S与t的关系式；
（3）设直线BC解析式s＝at＋m，将B（30，4），C（45，0）代入求出a、m的值，可得直线BC的解析式，联立直线OD的解析式求出s、t，据此解答.
22．（2021八下·颍州期末）某果农为响应国家乡村振兴战略的号召，计划种植苹果树和桔子树共100棵．若种植30棵苹果树，70颗桔子树，共需投人成本9200元，若种植30棵桔子树，70棵苹果树，共需投入成本10800元．
（1）求种植苹果树和桔子树每棵各需投入成本多少元？
（2）若苹果树的种植棵数不少于桔子树的 ，且总成本投入不超过9710元，问共有几种种植方案？
（3）在（2）的条件下已知平均每棵苹果树可产30千克苹果，售价为10元/kg，平均每棵桔子树可产25千克桔子，售价为8元/kg，问该果农怎样选择种植方案才能使所获利润最大，最大利润为多少元？
【答案】（1）解：设种植每棵苹果树需投入a元，每棵桔子树需投入b元，
则
解得
答：每棵苹果树需要投入120元，每棵桔子树需要投入80元．
（2）解：设苹果树有x棵，桔子树有（100－x）棵，则
解得
又∵x为整数，∴x＝38，39，40，41，42
∴共有5种种植方案．
（3）解：设果农所获得的利润为w元，则
w＝（30×10－120）x＋（25×8－80）（100－x）＝180x＋120（100－x）＝60x＋12000
∵k＝60＞0
∴w随x的增大而增大
∴当x＝42时，w有最大值
且w最大值＝60×42＋12000＝14520
答：当种植苹果树42棵，桔子树58棵时，获得的利润最大，最大利润为14520元．
【解析】【分析】（1）先求出
，再求出
，最后求解即可；
（2）先求出
，再求出
，最后求解即可；
（3）先求出 w＝60x＋12000 ，再求出 w随x的增大而增大 ，最后求解即可。
23．（2024八下·长寿期末）如图，正方形中，是对角线，等腰中，，，点在边上，连接，点是的中点，连接．
（1）若，，求的值；
（2）求证：；
（3）当等腰的点落在正方形的边上，如图，连接，点是的中点，连接，延长交于点请探究线段、、的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）解：四边形是正方形，，
，
等腰中，，，，
，
，
，
点是的中点，
；
（2）证明：如图，延长与的延长线交于一点，
则是等腰直角三角形，为的中点，
，
点是的中点，
（3）解：
如图，延长与的延长线交于一点，
则是等腰直角三角形，为的中点，
，
，
点是的中点，
，
【解析】【分析】（1）先根据AB和CM的长求出AC，CN的长，再用勾股定理计算出AN的长，得出AE的长。
（2）延长NC，AB相交于G，证明AC＝CG，BG＝AB，再根据中位线的性质得出2BE＝NG，从而推导出结论.
24．（2023八下·路南期末）某零售店销售甲、乙两种蔬菜，甲种蔬菜每千克获利1.1元，乙种蔬菜每千克获利1.5元．该店计划一次购进这两种蔬菜共56千克，并能全部售出．设该店购进甲种蔬菜x千克，销售这56千克蔬菜获得的总利润为y元．
（1）求y与x的关系式；
（2）若乙种蔬菜的进货量不超过甲种蔬菜的，则该店购进甲、乙两种蔬菜各多少千克时，获得的总利润最大？
（3）由于蔬菜自身的特点，有的乙种蔬菜需要保鲜处理，每千克的保鲜费用是a元（）．若获得的总利润随x的增大而减小，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得，得，
即．
（2）解：由题意，得．
解得．
，
随x的增大而减小．
当时，y的值最大．
此时．
购进甲、乙两种蔬菜分别为16千克、40千克时，获得的总利润最大．
（3）
【解析】【解答】解：（3）．
由题意得：，
化简得：，
若获得的总利润随x的增大而减小，则，
解得：，
∴a的取值范围是．
【分析】（1）根据总利润= 甲种蔬菜每千克利润×销售量+乙种蔬菜每千克利润×销售量，列出函数关系式即可；
（2）根据“ 乙种蔬菜的进货量不超过甲种蔬菜的 ”求出x范围，由（1）知，利用一次函数的性质求解即可；
（3）根据题意列出y与x函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可.
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