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【精选热题·期末50道综合题专练】湘教版数学七年级下册复习卷
1．仔细观察下图，根据对话求出饼干和牛奶的标价各是多少元．
2．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体育管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程．需要购进一批篮球和足球，已知篮球的单价为100元，足球的单价为80元．
（1）原计划用5600元全部用于购买篮球和足球，恰好能够购买篮球和足球共60个，那么篮球和足球各买多少个？
（2）由于学校对篮球和足球的需求量大，实际购买时预算为6890元，若购买篮球和足球共80个，且支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？
3．骑车佩戴安全头盔，可以保护头部，减少意外伤害，某商店销售进价分别为40元/个、30元/个的甲、乙两种安全头盔，下表是近两天的销售情况：
时间 甲头盔销量（个） 乙头盔销量（个） 销售金额（元）
周一 10 10 950
周二 6 15 930
（1）求甲、乙两种头盔的销售单价；
（2）甲乙两种头盔共售出100个，为实现利润达到1250元的目标，至少需要卖多少个甲头盔．
4．【阅读理解】若满足，求的值．
解：设，，
则，，
【解决问题】
（1）若满足，则_____；
（2）若满足，求的值；
（3）已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、正方形，求阴影部分的面积．
5．寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和象棋共40副供棋类兴趣小组活动使用．已知每副围棋16元，每副象棋10元．
（1）若购买象棋的数量不少于围棋数量的，那么寒梅中学最少可以购买多少副象棋？
（2）若寒梅中学决定购买围棋和象棋的总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？
6．爱布服装厂给行知中学用同样的布料生产，两种不同款式的服装，每套获服装所用的布料米数相同，每套款服装所用的布料米数相同．若5套款服装和6套款服装需用布料19米，若7套款服装和4套款服装需用布料20米．
（1）求每套款服装和每套款服装需要布料各多少米？
（2）行知中学需要，两款服装共400套，所用布料不超过740米，那么爱布服装厂最少需要生产多少套款服装？
7．已知：一个正数a的两个平方根分别是x+3和2x﹣15．
（1）求x的值；
（2）求 a+1的立方根．
8．初一五班共有学生42人，其中男生人数比女生人数的2倍少3人.
（1）该班男生和女生各有多少人？
（2）学校决定派该班30名学生勤工俭学，练习制作乐高零件，经测试，该班男、女生每天能加工的零件数分别为50个和45个，为保证他们每天加工的零件总数不少于1460个，那么至少需要派多少名男学生？
9．已知关于x，y的方程组 的解都为正数．
（1）当a=2时，解此方程组；
（2）求a的取值范围；
（3）已知a+b=4，且b>0，z=2a-3b，求z的取值范围．
10．某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动，如果租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满．已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个．
（1）求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；
（2）由于最后参加活动的人数增加了30人，学校决定调整租车方案．在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完，求租用小客车数量的最大值．
11．解不等式（组），并要求把解集在数轴上表示出来.
（1）
（2）
12．某校七年级共10个班，为了了解本年级学生一周中收看电视节目所用的时间，小亮利用放学时在校门口调查了他认识的60名七年级同学．
（1）小亮的调查是抽样调查吗？
（2）如果是抽样调查，指出调查的总体、个体和样本容量.
（3）根据他调查的结果，能反映七年级同学平均一周收看电视的时间吗？为什么？
13．每年11月份脐橙和蜜桔进入销售旺季．某水果专销商购进脐橙和蜜桔共1000箱．设购进蜜桔x箱，这两种水果的售价与进价如下表所示：
品种 售价(元/箱) 进价(元/箱)
蜜桔 28 20
脐橙 31 25
（1）请用含x的代数式表示该商家售完这1000箱水果所获得的利润．
（2）为了迎接“双11”活动，商家决定进行组合促销活动：两种水果各一箱打包成一组，售价为55元/组，其组数为购进蜜桔箱数的 ，未打包的按原价出售．若这两种水果全部卖出，利润不少于6500元，则该商家至少要购进蜜桔多少箱？
14．如图，半径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，AB是圆片的直径.（结果保留π）
（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C表示的数是 数（填“无理”或“有理”），这个数是 ；
（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是 ；
（3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3.第几次滚动后，A点距离原点最近？第几次滚动后，A点距离原点最远？
15．为倡导读书风尚，打造书香校园，学校计划购买一批图书．若同时购进种图书8本和种图书5本，共需301元；若同时购进种图书4本和种图书3本，共需163元．
（1）求、两种图书的单价各是多少元？
（2）若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且种图书的数量少于种图书的数量，又根据学校预算，购买总金额不能超过1420元，请问学校共有哪几种购买方案？
16．如图，直线a∥b，直线AB与直线a，b分别相交于点A、B，AC交直线b于点C．
（1）若AC⊥AB，∠1=54°49′．求∠2的度数：
（2）请说明∠ABC+∠BCA+∠CAB=180 ．
17．如图，AD是△ABC的角平分线，M是BC的中点，FM∥AD交BA的延长线于点F，交AC于点E．求证：
（1）CE=BF．
（2）AB+AC=2CE．
18．
（1）已知am＝2，an＝3，求am＋n的值；
（2）已知3x＋1＝81，求x.
19．如图所示，直径为1的圆从原点沿数轴向左滚动一周，圆 上与原点重合的点O到达O'，设点O'表示的数为a。
（1）求a的值。
（2）求-(a- )-π的算术平方根。
20．为了创设全新的校园文化氛围，进一步组织学生开展课外阅读，让学生在丰富多彩的书海中，扩大知识源，亲近母语，提高文学素养．某校准备开展“与经典为友、与名著为伴”的阅读活动，活动前对本校学生进行了“你最喜欢的图书类型（只写一项）”的随机抽样调查，相关数据统计如下：
请根据以上信息解答下列问题：
（1）该校对 名学生进行了抽样调查．
（2）请将图1和图2补充完整；
（3）已知该校共有学生1800人，利用样本数据估计全校学生中最喜欢小说的人数约为多少人？
21．为了培育和践行社会主义核心价值观，丰富学生生活，培养学生爱国主义情怀，学校某天组织七年级学生和带队教师共450人参观中山舰博物馆，已知学生人数的一半比带队教师人数的10倍还多15人.
（1）参观活动的七年级学生和带队教师各有多少人？
（2）学校计划租赁 型和 型中巴车共12辆，若用于租车的总费用不超过13200元，两种车辆的载客量（人数）及日租金如下表：
车型 载客量（人） 日租金（元）
型 30 900
型 45 1200
共有几种不同的租车方案？最少的租车费用为多少元？
22．解不等式组，请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式，得 ；
（2）解不等式，得 ；
（3）将不等式和的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为 ．
23．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”.
例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A， C的“联盟点”.
（1）若点A表示数-2，点B表示的数2，下列各数 ，0，4，6所对应的点分别C1，C2，C3，C4，其中是点A，B的“联盟点”的是 ；
（2）点A表示数-10，点B表示的数30，P在为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A， B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
24．今年五一假期，重庆动物园又双叒火了！游人如织，人山人海围观大熊猫！乖萌的能猫玩偶销售火爆．五一节前三天，某商家销售A款玩偶200个，B款玩偶300个，销售额31000元，已知一个A款玩偶比一个B款玩偶售价高30元．
（1）求一个A款玩偶和一个B款玩偶的售价各为多少元？
（2）五一假期即将结束时，该商家对熊猫玩偶售价进行了调整，将每个A款玩偶按售价的九折销售，每个B款玩偶降价5元销售．若该商家在价格调整后销售熊猫玩偶共400个，销售额不低于24480元，求该商家在价格调整后至少销售A款玩偶多少个？
25．如图，在边长为的正方形上截去边长为的正方形．
（1）图阴影面积是 ；
（2）图是将图中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式 ；
（3）运用得到的公式，计算： ．
26．解不等式或不等式组：
（1）解不等式 ，并求出它的最大整数解.
（2）解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来.
27．求下列各数的立方根：
（1）0.064；
（2） ；
（3）343 000；
28．王老师家买了一套新房，其结构如图所示(单位：m)．他打算将卧室铺上木地板，其余部分铺上地砖．
（1）木地板和地砖分别需要多少平方米？
（2）如果地砖的价格为每平方米x元，木地板的价格为每平方米3x元，那么王老师需要花多少钱？
29．某单位为做好防疫物资调配发放工作，租用A、B两种型号的车给全市各个防疫点配送消毒液。已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货7吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨。现有15吨消毒液需要配送，计划租用A、B两种型号车6辆一次配送完消毒液，其中A车至少租用1辆根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮助该单位设计一次配送完15吨消毒液的租车方案；
30．有一块正方形钢板，面积为16平方米.
（1）求正方形钢板的边长.
（2）李师傅准备用它裁剪出一块面积为12平方米的长方形工件，且要求长宽之比为 ，问李师傅能办到吗？若能，求出长方形的长和宽；若不能，请说明理由.（参考数据： ， ）.
31．第届贵州茶产业博览会于年月在贵州省遵义市湄潭县如期举行，全国各地客商齐聚于此，此届茶博会继续沿用主题“干净黔茶．全球共享”，一采购商看中了湄潭翠芽和都匀毛尖这两种优质茶叶，并得到如表信息：
湄潭翠芽 都匀毛尖 总价/元
质量
（1）求每千克湄潭翠芽和都匀毛尖的进价；
（2）若湄潭翠芽和都匀毛尖这两种茶叶的销售单价分别为元、元，该采购商准备购进这两种茶叶共，进价总支出不超过万元，全部售完后，总利润不低于元，该采购商共有几种进货方案？（均购进整千克数）（利润售价进价）
32．如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，且∠1+∠2=90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠2：∠3=25，求∠BOF的度数
33．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3，5)，B(-2，1)，C(-1，3).
( 1 )画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
( 2 )画出△A1B1C1沿x轴向右平移4个单位长度后得到的△A2B2C2；
( 3 )如果AC上有一点M(a，b)经过上述两次变换，那么对应A2C2上的点M2的坐标是_▲_.
34．国家发改委、工业和信息化部、财政部公布了“节能产品惠民工程”，公交公司积极响应将旧车换成节能环保公交车，计划购买A型和B型两种环保型公交车10辆，其中每台的价格、年载客量如表：
A型 B型
价格（万元/台） x y
年载客量/万人次 60 100
若购买A型环保公交车1辆，B型环保公交车2辆，共需400万元；若购买A型环保公交车2辆，B型环保公交车1辆，共需350万元．
（1）求x、y的值；
（2）如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保10辆公交车在该线路的年载客量总和不少于680万人次，问有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种方案使得购车总费用最少？最少费用是多少万元？
35．某服装店销售一批进价分别为元，元的，两款恤衫，下表是近两天的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
第天 件 件 元
第天 件 件 元
进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本
（1）求，两款恤衫的销售单价；
（2）若该服装店老板准备用不多于元的金额再购进这两款恤衫共件，则款恤衫最多能购进多少件？
（3）在（2）的条件下，销售完这件恤衫能否实现利润不少于元的目标？若能，写出相应的采购方案；为了使进货成本最少，应选择哪种方案？
36．随着乡村振兴战略的实施，农村道路加宽、黑化得到进一步落实，道路两边整齐、透亮的路灯成为晚上乡村一道靓丽的风景线．为响应号召，某乡镇计划购进甲、乙两种太阳能路灯共300根，这两种路灯的进价、安装费如表所示：
进价（元/根） 安装费（元/根）
甲型 250 100
乙型 350 150
（1）甲、乙两种路灯如何购进，货款恰好为85000元？
（2）根据实际情况，甲种路灯总数不超过35根，乡镇安装完路灯的安装费用不超过43400元，甲、乙两种太阳能路灯有几种购进方案？哪一种购进方案的安装费最少？
37．已知a、b、c三个数在数轴上的位置如图所示．
（1）判断a、b、c的符号；
（2）化简|a﹣b|﹣|b﹣c|+|c+a|+|b|﹣2|a|．
38．（1）请用两种不同的方法列代数式表示图1的面积
方法1 ，
方法2 ；
（2）若a+b=7，ab=15，根据（1）的结论求a2+b2的值；
（3）如图2，将边长为x和x+2的长方形，分成边长为x的正方形和两个宽为1的小长方形，并将这三个图形拼成图3，这时只需要补一个边长为1的正方形便可以构成一个大正方形．
①若一个长方形的面积是216，且长比宽大6，求这个长方形的宽．
②把一个长为m，宽为n的长方形（m＞n）按上述操作，拼成一个在一角去掉一个小正方形的大正方形，则去掉的小正方形的边长为 ．
39．某中学为了将国家“双减”政策落实到位，在开展的课后服务项目设置中新增了“无人机操作技术”科目，成立了无人机表演队。根据无人机表演队需要，学校计划购买、两种型号的无人机，且型无人机的单价比型无人机的单价贵132元，已知用23400元购买型无人机的数量是用15000元购买型无人机数量的2倍．
（1）求型无人机和型无人机的单价分别是多少元？
（2）根据学校的实际需求，需要一次性购买型无人机和型无人机共100架，若要求购买时型无人机费用不超过型无人机费用的3倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买无人机的总费用最少？
40．学校植物园是一块正方形土地，现在改造这个植物园，将其中一边加长，另一边缩短．
（1）若这个正方形植物园的边长为8米，将其中一边加长4米，另一边缩短几米时，可保持植物园的面积不变？
（2）若这个正方形植物园的边长为米，将其中一边加长3米，另一边缩短3米，改造前后的植物园的面积有什么变化？请计算说明．
41．如图1，直线CB∥OA，∠A=∠B=120°，E ，F在BC上，且满足∠FOC =∠AOC，并且OE平分∠BOF．
（1）求∠AOB及∠EOC的度数；
（2）如图2，若平行移动AC，那么∠OCB： ∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值；
42．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，
又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）填空：若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝ ；
（3）如图所示，已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，CF＝2，长方形EMFD的面积是12，则x的值为 ．
43．已知是两个边长不相等的正方形纸片，它们的边长之和是，边长之差是．
（1）如图，用含的代数式表示两个正方形纸片的面积之和：______；
当时，两个正方形纸片的面积之和：______．
（2）如图，如果两个正方形纸片的面积之和为，阴影部分的面积为，试求的值．
（3）现将正方形纸片并排放置后构成新的正方形（图），将正方形放在正方形的内部（图），如果图和图中阴影部分的面积分别是和，那么两个正方形纸片的面积之和为：______．
44．已知：如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，，平分，平分．
（1）如图1，当时，直接写出的度数；
（2）如图2，求与之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（1）问的条件下，若，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次与重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值．
45．将完全平方公式：进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值．
解：因为，所以，即．
又因为，所以．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，，则 ．
（2）拓展：若，试求的值．
（3）应用：如图，在长方形中，，点E、F是BC、CD上的点，且，分别以FC、CE为边在长方形外侧作正方形和，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为160，求图中阴影部分的面积和．
46．两个边长分别为a和b的正方形如图1所示，其中未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2..
（1）用含a，b的代数式分别表示S1，S2；
（2）若a+b=10，ab=22，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2=32时，求出图3中阴影部分的面积S3.
47．如图1，已知∠AOB=60°，OM平分∠AOB。
（1）∠BOM= ；
（2）若在图1画射线OC，设∠BOC=α，ON平分∠BOC，用含α的代数式表示∠MON的大小；
（3）如图2，若线段OA与OB分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，∠AOB=60°，在时针与分针转动过程中，OM始终平分∠AOB，则经过多少时间后，∠BOM的度数第一次等于45°。
48．一副三角板按如图1初始放置，已知，，，，此时AB与DF重合.当点D从点A出发沿射线AB方向滑动的同时，点F在射线CB上滑动.滑动过程中，三角板ABC不动，三角板EDF形状、大小不变.
（1）如图2，当，求的度数；
（2）如图3，若点D运动到AB延长线上时，连结CE.当时，求的值；
（3）如图4，射线EG平分，在整个滑动过程中，若存在EG与三角形ABC的某一边平行时，请求出的度数.
49．如图1是一个长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
（1）图2中的阴影部分的面积为
；
（2）观察图2请你写出
， ， 之间的等量关系是 ；
（3）根据（2）中的结论，若 ， ，则 ；
（4）实际上我们可以用图形的面积表示许多恒等式，下面请你设计一个几何图形来表示恒等式 ．在图形上把每一部分的面积标写清楚．
50．甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并各自推出了优惠方案：在甲商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费；在乙商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费，已知，顾客累计购物金额为元顾客只能选择一家商场．
（1）若，，
①当时，到甲商场实际花费元，到乙商场实际花费元；
②若，那么当时，到甲或乙商场实际花费一样；
（2）经计算发现：当时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠元；当时，到甲或乙商场实际花费一样，请求出，的值；
（3）若时，到甲或乙商场实际花费一样，，且，求的最大值．
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【精选热题·期末50道综合题专练】湘教版数学七年级下册复习卷
1．仔细观察下图，根据对话求出饼干和牛奶的标价各是多少元．
【答案】饼干标价9元，牛奶标价1.1元
2．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体育管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程．需要购进一批篮球和足球，已知篮球的单价为100元，足球的单价为80元．
（1）原计划用5600元全部用于购买篮球和足球，恰好能够购买篮球和足球共60个，那么篮球和足球各买多少个？
（2）由于学校对篮球和足球的需求量大，实际购买时预算为6890元，若购买篮球和足球共80个，且支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？
【答案】（1）篮球购买40个，足球购买20个
（2）篮球最多能买24个
3．骑车佩戴安全头盔，可以保护头部，减少意外伤害，某商店销售进价分别为40元/个、30元/个的甲、乙两种安全头盔，下表是近两天的销售情况：
时间 甲头盔销量（个） 乙头盔销量（个） 销售金额（元）
周一 10 10 950
周二 6 15 930
（1）求甲、乙两种头盔的销售单价；
（2）甲乙两种头盔共售出100个，为实现利润达到1250元的目标，至少需要卖多少个甲头盔．
【答案】（1）甲头盔的销售单价为55元，乙头盔的销售单价为40元
（2）至少需要卖50个甲头盔
4．【阅读理解】若满足，求的值．
解：设，，
则，，
【解决问题】
（1）若满足，则_____；
（2）若满足，求的值；
（3）已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、正方形，求阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）
5．寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和象棋共40副供棋类兴趣小组活动使用．已知每副围棋16元，每副象棋10元．
（1）若购买象棋的数量不少于围棋数量的，那么寒梅中学最少可以购买多少副象棋？
（2）若寒梅中学决定购买围棋和象棋的总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？
【答案】（1）14副
（2）25副
6．爱布服装厂给行知中学用同样的布料生产，两种不同款式的服装，每套获服装所用的布料米数相同，每套款服装所用的布料米数相同．若5套款服装和6套款服装需用布料19米，若7套款服装和4套款服装需用布料20米．
（1）求每套款服装和每套款服装需要布料各多少米？
（2）行知中学需要，两款服装共400套，所用布料不超过740米，那么爱布服装厂最少需要生产多少套款服装？
【答案】（1）解：设每套款服装需要布料米，每套款服装需要布料米．
根据题意得：，
∴
答：每套款服装需要布料2米，每套款服装需要布料1.5米．
（2）解：设爱布服装厂需要生产套款服装，则需要生产套款服装，
根据题意得：，
∴
答：爱布服装厂最少需要生产120套款服装．
【解析】【分析】（1）设每套款服装需要布料米，每套款服装需要布料米，根据“5套款服装和6套款服装需用布料19米”和“7套款服装和4套款服装需用布料20米”列出方程组求解；
（2）设最少生产套款服装，根据“行知中学需要，两款服装共400套，所用布料不超过740米”列出不等式求解．
（1）解：设每套款服装需要布料米，每套款服装需要布料米．
根据题意得：，
∴
答：每套款服装需要布料2米，每套款服装需要布料1.5米．
（2）解：设爱布服装厂需要生产套款服装，则需要生产套款服装，
根据题意得：，
∴
答：爱布服装厂最少需要生产120套款服装．
7．已知：一个正数a的两个平方根分别是x+3和2x﹣15．
（1）求x的值；
（2）求 a+1的立方根．
【答案】（1）解：∵一个正数a的两个平方根分别是x+3和2x﹣15，
∴（x+3）+（2x﹣15）＝0，
∴3x﹣12＝0，
解得x＝4．
（2）解： a+1
＝ ×4+1
＝
∴ a+1的立方根是：
＝ ．
【解析】【分析】（1）根据正数a的两个平方根互为相反数，求出x的值是多少即可；（2）把（1）中求出的a的值代入 a+1，求出算式的立方根是多少即可．
8．初一五班共有学生42人，其中男生人数比女生人数的2倍少3人.
（1）该班男生和女生各有多少人？
（2）学校决定派该班30名学生勤工俭学，练习制作乐高零件，经测试，该班男、女生每天能加工的零件数分别为50个和45个，为保证他们每天加工的零件总数不少于1460个，那么至少需要派多少名男学生？
【答案】（1）解：设该班男生有x人，女生有y人，
依题意得： ，
解得： .
∴该班男生有27人，女生有15人.
（2）解：设派m名男学生，则派的女生为（30-m）名，
依题意得：50m+45（30-m）≥1460，即5m+1350≥1460，
解得：m≥22，
答：至少需要派22名男学生.
【解析】【分析】（1）设该班男生有x人，女生有y人，根据男女生人数的关系以及全班共有42人，可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设派m名男学生，则派的女生为（30-m）名，根据“每天加工零件数=男生每天加工数量×男生人数+女生每天加工数量×女生人数”及“ 每天加工的零件总数不少于1460个 ”，即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论.
9．已知关于x，y的方程组 的解都为正数．
（1）当a=2时，解此方程组；
（2）求a的取值范围；
（3）已知a+b=4，且b>0，z=2a-3b，求z的取值范围．
【答案】（1）解：当 时，方程组为
①②得：
解得
将 代入①得：
解得
则此方程组的解为 ；
（2）解：
③④得：
解得
将 代入③得：
解得
则此方程组的解为
方程组的解都为正数
解得 ；
（3）解： ，且
解得
结合（2）的结论得：
将 代入 得：
故 ．
【解析】【分析】（1）将a代入得到一个二元一次方程组，再利用加减消元法解方程组即可得；（2）先利用加减消元法求出方程组的解，再根据“解都为正数”建立不等式组，然后解不等式组即可得；（3）先根据 求出a的取值范围，再根据 化简z，由此即可得．
10．某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动，如果租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满．已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个．
（1）求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；
（2）由于最后参加活动的人数增加了30人，学校决定调整租车方案．在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完，求租用小客车数量的最大值．
【答案】（1）解：设每辆小客车的乘客座位数是x个，每辆大客车的乘客座位数是y个，
则 解得
答：每辆大客车的乘客座位数为35个，每辆小客车的乘客座位数为18个．
（2）解：设租用a辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完，
则18a＋35（11－a）≥300＋30，
解得a≤3 ，符合条件的a的最大整数为3.
答：租用小客车数量的最大值为3.
【解析】【分析】 （1）设每辆小客车的乘客座位数是x个，每辆大客车的乘客座位数是y个， 根据每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个，6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满300人分别列等式，然后解二元一次方程组即可；
（2）设租用a辆小客车，则租用大客车为（11-a）辆，再根据总人数不少于330列一元一次不等式，求出a的范围，在此范围内取最大整数即可.
11．解不等式（组），并要求把解集在数轴上表示出来.
（1）
（2）
【答案】（1）解：去分母，得 ，
移项 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
这个不等式的解集在数轴上的表示如下图所示：
；
（2）解：
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
所以原不等式组的解集是： ，
这个不等式组的解集在数轴上的表示如下图所示：
.
【解析】【分析】（1）利用不等式的基本性质，将不等式的两边同乘2，然后移项、合并同类项、系数化为1，求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可；（2）根据不等式的基本性质来解不等式组，两个不等式的解集的公共部分，就是该不等式组的解集；然后根据不等式解集在数轴上的表示方法即可把解集在数轴上表示出来.
12．某校七年级共10个班，为了了解本年级学生一周中收看电视节目所用的时间，小亮利用放学时在校门口调查了他认识的60名七年级同学．
（1）小亮的调查是抽样调查吗？
（2）如果是抽样调查，指出调查的总体、个体和样本容量.
（3）根据他调查的结果，能反映七年级同学平均一周收看电视的时间吗？为什么？
【答案】（1）解：小亮的调查是抽样调查
（2）解：调查的总体是该校七年级共10个班学生一周中收看电视节目所用的时间个体是每个同学一周中收看电视节目所用的时间样本容量是60
（3）解：这个调查的结果不能反映七年级同学平均一周收看电视的时间，因为抽样太片面.
【解析】【分析】（1）从10个班调查了60名同学，为抽样调查；
（2）根据总体，个体，样本容量的含义，即可得到答案；
（3）根据其调查的人的情况进行判断即可。
13．每年11月份脐橙和蜜桔进入销售旺季．某水果专销商购进脐橙和蜜桔共1000箱．设购进蜜桔x箱，这两种水果的售价与进价如下表所示：
品种 售价(元/箱) 进价(元/箱)
蜜桔 28 20
脐橙 31 25
（1）请用含x的代数式表示该商家售完这1000箱水果所获得的利润．
（2）为了迎接“双11”活动，商家决定进行组合促销活动：两种水果各一箱打包成一组，售价为55元/组，其组数为购进蜜桔箱数的 ，未打包的按原价出售．若这两种水果全部卖出，利润不少于6500元，则该商家至少要购进蜜桔多少箱？
【答案】（1）解：售完1000箱水果所获得的利润为
（2）解：由题意可知，购进蜜桔x箱，则脐橙(1000-x)箱
解得
∵x为整数，且为5的倍数
∴至少为420箱.
【解析】【分析】（1） 设购进蜜桔x箱，得出购进脐橙（1000-x）箱， 利用总利润=售完蜜桔的利润+售完脐橙的利润列出式子进行化简，即可得出答案；
（2）根据题意列出不等式，解不等式求出x的取值范围，再根据x为整数，得出x的值，即可得出答案.
14．如图，半径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，AB是圆片的直径.（结果保留π）
（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C表示的数是 数（填“无理”或“有理”），这个数是 ；
（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是 ；
（3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3.第几次滚动后，A点距离原点最近？第几次滚动后，A点距离原点最远？
【答案】（1）无理；
（2） 或
（3）∵圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，
圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，
依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3，
∴依次运动的终点位置为：4π，2π，8π，0， 6π，
∴第4次滚动后，A点距离原点最近；第3次滚动后，A点距离原点最远.
【解析】【解答】解：（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，
点C表示的数是无理数，这个数是 ；
故答案为：无理， ；
（ 2 ）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，
点D表示的数是 或 ；
故答案为： 或 ；
【分析】（1）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；
（2）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；
（3）利用滚动的方向以及滚动的周数即可得出A点移动距离变化，判断即可.
15．为倡导读书风尚，打造书香校园，学校计划购买一批图书．若同时购进种图书8本和种图书5本，共需301元；若同时购进种图书4本和种图书3本，共需163元．
（1）求、两种图书的单价各是多少元？
（2）若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且种图书的数量少于种图书的数量，又根据学校预算，购买总金额不能超过1420元，请问学校共有哪几种购买方案？
【答案】（1）解：设 种图书单价 元， 种图书单价 元，
根据题意得： ，
解得： ，
答： 种图书单价22元， 种图书单价25元；
（2）解：设购买 种图书 本， 种图书 本，
根据题意得： ，
解得： ，
为正整数，
可取27、28、29，
或32或31，
共有三种购买方案：
方案一、购买 种图书27本，购买 种图书33本；
方案二、购买 种图书28本，购买 种图书32本；
方案三、购买 种图书29本，购买 种图书31本．
【解析】【分析】（1）设A种图书单价x元，B种图书单价y元，根据购进A种图书8本和B种图书5本，共需301元可得8x+5y=301；根据购进A种图书4本和B种图书3本，共需163元可得4x+3y=163，联立求解即可；
（2）设购买A种图书n本，B种图书(60-n)本，由A种图书的数量少于B种图书的数量可得n<60-n，由总金额不能超过1420元可得22n+25(60-n)≤1420，联立求出n的范围，结合n为正整数可得n的值，据此可得购买方案.
16．如图，直线a∥b，直线AB与直线a，b分别相交于点A、B，AC交直线b于点C．
（1）若AC⊥AB，∠1=54°49′．求∠2的度数：
（2）请说明∠ABC+∠BCA+∠CAB=180 ．
【答案】（1）解：
∵直线a∥b，
∴∠3=∠1=54°49′，
又∵AC⊥AB，
∴∠2=90°-∠3=35°11′；
（2）解：∵a∥b，
∴∠4=∠ABC，∠3=∠BCA，
而∠BAC+∠4+∠3=180°，
∴∠ABC+∠BCA+∠BAC=180 .
【解析】【分析】（1）根据直线a//b，AC⊥AB，即可得到∠2=90°-∠3=35°11′；
（2）利用平行线的性质定理可得结论。
17．如图，AD是△ABC的角平分线，M是BC的中点，FM∥AD交BA的延长线于点F，交AC于点E．求证：
（1）CE=BF．
（2）AB+AC=2CE．
【答案】（1）证明：延长CA交FM的平行线BG于G点，
则∠G=∠CAD，∠GBA=∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AG=AB，
∵FM∥AD
∴∠F=∠BAD、∠FEA=∠DAC
∵∠BAD=∠DAC，
∴∠F=∠FEA，
∴EA=FA，
∴GE=BF，
∴M为BC边的中点，
∴BM=CM，
∵EM∥GB，
∴CE=GE，
∴CE=BF；
（2）证明：∵EA=FA、CE=BF，
∴AB+AC=AB+AE+EC=AB+AF+EC=BF+EC=2EC．
【解析】【分析】（1）延长CA交FM的平行线BG于G点，利用平行线的性质得到BM=CM、CE=GE，从而证得CE=BF；（2）利用上题证得的EA=FA、CE=BF，进一步得到AB+AC=AB+AE+EC=AB+AF+EC=BF+EC=2EC．
18．
（1）已知am＝2，an＝3，求am＋n的值；
（2）已知3x＋1＝81，求x.
【答案】（1）解：am＋n＝am·an＝2×3＝6.
（2）解：因为3x＋1＝3x×3＝81，
所以3x＝27＝33.
所以x＝3.
【解析】【分析】（1）利用同底数幂的乘法可得 am＋n＝am·an，再将am＝2，an＝3代入计算即可；
（2）根据幂的乘方可得3x＋1＝3x×3＝81，所以3x＝27=33，因此x=3。
19．如图所示，直径为1的圆从原点沿数轴向左滚动一周，圆 上与原点重合的点O到达O'，设点O'表示的数为a。
（1）求a的值。
（2）求-(a- )-π的算术平方根。
【答案】（1）解：由题意，得OO'的长度等于直径为1的圆的周长，
所以OO'=π．
因为点O'在原点左侧，所以a=-π．
所以a的值为-π．
（2）解：把a=-π代入-(a- )-π，得．
-(-π- )-π= =4．
因为4的算术平方根为2，
所以-(a- )-π的算术平方根为2．
【解析】【分析】（1）先求出 OO'=π ，再求出 a=-π ，最后求解即可；
（2）先求出 -(-π- )-π= =4 ，再求解即可。
20．为了创设全新的校园文化氛围，进一步组织学生开展课外阅读，让学生在丰富多彩的书海中，扩大知识源，亲近母语，提高文学素养．某校准备开展“与经典为友、与名著为伴”的阅读活动，活动前对本校学生进行了“你最喜欢的图书类型（只写一项）”的随机抽样调查，相关数据统计如下：
请根据以上信息解答下列问题：
（1）该校对 名学生进行了抽样调查．
（2）请将图1和图2补充完整；
（3）已知该校共有学生1800人，利用样本数据估计全校学生中最喜欢小说的人数约为多少人？
【答案】（1）200
（2）解：喜欢科幻的人数是200-40-80-20=60（人），
对应的百分比是=30%．
补充图形如图所示：
；
（3）解：1800×20%=360（人），
答：全校学生中最喜欢小说的人数约为360人．
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
故答案为：200
【分析】（1）根据喜欢漫画的人数及其所占的百分比即可求解；
（2）先利用总人数减去其他组的人数即可求出喜欢科幻的人数，进而即可求出对应的百分比，再补充条形统计图和扇形统计图即可求解。
（3）运用总人数乘以所占的百分比即可求解。
21．为了培育和践行社会主义核心价值观，丰富学生生活，培养学生爱国主义情怀，学校某天组织七年级学生和带队教师共450人参观中山舰博物馆，已知学生人数的一半比带队教师人数的10倍还多15人.
（1）参观活动的七年级学生和带队教师各有多少人？
（2）学校计划租赁 型和 型中巴车共12辆，若用于租车的总费用不超过13200元，两种车辆的载客量（人数）及日租金如下表：
车型 载客量（人） 日租金（元）
型 30 900
型 45 1200
共有几种不同的租车方案？最少的租车费用为多少元？
【答案】（1）解：设七年级学生有 人，则七年级带队老师有 人，
，
解得 ，
，
答：参观活动的七年级学生和带队教师各有430人、20人；
（2）解：设租用 型车 辆，则租用 型车 辆，
由题意可得， ，
解得 ，
为整数，
，5，6，
共有三种租车方案，
当 时，租车费用为： ，
当 时，租车费用为： ，
当 时，租车费用为： ，
，
最少的租车费用为12600元，
答：共有三种租车方案，最少的租车费用为12600元.
【解析】【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的方程，从而可以求得参观活动的七年级学生和带队教师各有多少人；
（2）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的不等式组，从而可以求得有几种租车方案，然后即可计算出相应的费用，再比较大小，即可解答本题．
22．解不等式组，请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式，得 ；
（2）解不等式，得 ；
（3）将不等式和的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为 ．
【答案】（1）x＞-1
（2）x≥-4
（3）解：将不等式和的解集在数轴上表示如图所示：
（4）x＞-1
【解析】【解答】解：（1）x-2＞-3，
移项、合并同类项，得x＞-1；
故答案为：x＞-1；
（2）x-8≤3x，
移项、合并同类项，得-8≤2x，
系数化为1，得x≥-4；
故答案为：x≥-4；
（4）由数轴可得两个不等式解集的公共部分为x＞-1，即原不等式组的解集为：x＞-1，
故答案为：x＞-1.
【分析】（1）根据解不等式的步骤：移项、合并同类项，可得不等式①的解集；
（2）根据解不等式的步骤：移项、合并同类项，系数化为1，可得不等式②的解集；
（3）根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组中每一个不等式的解集在数轴上表示出来即可；
（4）利用数轴找出两个不等式解集的公共部分即可得出原不等式组的解集.
23．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”.
例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A， C的“联盟点”.
（1）若点A表示数-2，点B表示的数2，下列各数 ，0，4，6所对应的点分别C1，C2，C3，C4，其中是点A，B的“联盟点”的是 ；
（2）点A表示数-10，点B表示的数30，P在为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A， B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
【答案】（1） ，
（2）①设点P表示的数为x，
如图，当点 在点A左侧时， ，
则30－x＝2（－10－x），
解得x＝－50.
所以点 表示的数为－50；
如图，当点 在线段AB上且 时，
则30－x＝2（x＋10），
解得x＝ .
所以点 表示的数为 ；
如图，当点 在线段AB上且 时，
则x＋10＝2（30－x），
解得x＝ .
所以点 表示的数为 .
综上所述，当点P在点B的左侧时，点P表示的数为－50或 或 .
②若点P在点B的右侧，点P，A， B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，写出此时点P表示的数_____________.
50或70或110
【解析】【分析】（1）题目给定的规律，联盟点必须满足其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，根据规律找出即可（2）已知点A的大小，点B的大小，根据不同的位置分别找出点P的坐标即可.
24．今年五一假期，重庆动物园又双叒火了！游人如织，人山人海围观大熊猫！乖萌的能猫玩偶销售火爆．五一节前三天，某商家销售A款玩偶200个，B款玩偶300个，销售额31000元，已知一个A款玩偶比一个B款玩偶售价高30元．
（1）求一个A款玩偶和一个B款玩偶的售价各为多少元？
（2）五一假期即将结束时，该商家对熊猫玩偶售价进行了调整，将每个A款玩偶按售价的九折销售，每个B款玩偶降价5元销售．若该商家在价格调整后销售熊猫玩偶共400个，销售额不低于24480元，求该商家在价格调整后至少销售A款玩偶多少个？
【答案】（1）一个A款玩偶的售价各为80元，则一个B款玩偶的售价各为50元
（2）240个
25．如图，在边长为的正方形上截去边长为的正方形．
（1）图阴影面积是 ；
（2）图是将图中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式 ；
（3）运用得到的公式，计算： ．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】【解答】解：(1)图1阴影部分的面积等于两正方形的面积之差即；
图2中阴影部分的面积为
(2)
故答案为：.
【分析】(1)分别利用图1和图2表示阴影部分的面积即可得乘法公式；
(2)利用平方差公式展开可消化首尾即可得结果.
26．解不等式或不等式组：
（1）解不等式 ，并求出它的最大整数解.
（2）解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来.
【答案】（1）解：
该不等式的最大整数解是
（2）解：
解不等式①得： .
解不等式②得： .
所以，不等式组的解集是： .
在数轴上表示不等式组的解集如下
【解析】【分析】（1）根据一元一次不等式的解法解不等式，求出不等式的解集，然后求出它的最大整数解即可；
（2）分别求出两个不等式的解集，然后根据“大小小大取中间”取公共解集，最后根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将解集在数轴上表示出来即可.
27．求下列各数的立方根：
（1）0.064；
（2） ；
（3）343 000；
【答案】（1）解：∵ 0.43=0.064 ，
∴ 0.064的立方根为0.4；
（2）解：∵=- ，
∴-的立方根为-；
（3）解：∵ 703=343000 ，
∴ 343000的立方根为70.
【解析】【分析】 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，也称为三次方根，也就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根，根据定义分别解答即可.
28．王老师家买了一套新房，其结构如图所示(单位：m)．他打算将卧室铺上木地板，其余部分铺上地砖．
（1）木地板和地砖分别需要多少平方米？
（2）如果地砖的价格为每平方米x元，木地板的价格为每平方米3x元，那么王老师需要花多少钱？
【答案】（1）解：卧室的面积是2b(4a－2a)＝4ab(m2)．
厨房、卫生间、客厅的面积和是b·(4a－2a－a)＋a·(4b－2b)＋2a·4b＝ab＋2ab＋8ab＝11ab(m2)，即木地板需要4ab m2，地砖需要11ab m2.
（2）解：11ab·x＋4ab·3x＝11abx＋12abx＝23abx(元)．
即王老师需要花23abx元
【解析】【分析】（1）根据题意以及图形利用面积公式即可得出答案.
（2）利用（1）中木地板和地砖的面积乘以每平方米的价格即可得出答案.
29．某单位为做好防疫物资调配发放工作，租用A、B两种型号的车给全市各个防疫点配送消毒液。已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货7吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨。现有15吨消毒液需要配送，计划租用A、B两种型号车6辆一次配送完消毒液，其中A车至少租用1辆根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮助该单位设计一次配送完15吨消毒液的租车方案；
【答案】（1）解：设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，
依题意，得：
解得：
答：1辆A型车装满货物一次可运货2吨，1辆B型车装满货物一次可运货3吨；
（2）解：设租用m辆A型车，则租用（6-m）辆B型车，．
依题意，得： -
解得：1≤m≤3。
∵m为正整数，
∴m可以取1，2，3，
∴共有3种租车方案，方案1：租用A型车1辆，B型车5辆；方案2：租用A型车2辆， B型车4辆；方案3：租用A型车3辆，B型车3辆；
【解析】【分析】（1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，根据题意列出方程组，解方程组求出x，y的值，即可得出答案；
（2）设租用m辆A型车，则租用（6-m）辆B型车，根据题意列出不等式组，解不等式组求出m的取值范围，从而得出m的值，即可得出答案.
30．有一块正方形钢板，面积为16平方米.
（1）求正方形钢板的边长.
（2）李师傅准备用它裁剪出一块面积为12平方米的长方形工件，且要求长宽之比为 ，问李师傅能办到吗？若能，求出长方形的长和宽；若不能，请说明理由.（参考数据： ， ）.
【答案】（1）解： 正方形的面积是16平方米，
正方形钢板的边长是 米；
（2）解：设长方形的长宽分别为 米、 米，
则 ，
，
，
， ，
长方形长是 米，而正方形的边长为4米，所以李师傅不能办到.
【解析】【分析】（1）根据正方形边长与面积间的关系求解即可；
（2）设长方形的长宽分别为 米、 米，由其面积可得x值，比较长方形的长和宽与正方形边长的大小可得结论.
31．第届贵州茶产业博览会于年月在贵州省遵义市湄潭县如期举行，全国各地客商齐聚于此，此届茶博会继续沿用主题“干净黔茶．全球共享”，一采购商看中了湄潭翠芽和都匀毛尖这两种优质茶叶，并得到如表信息：
湄潭翠芽 都匀毛尖 总价/元
质量
（1）求每千克湄潭翠芽和都匀毛尖的进价；
（2）若湄潭翠芽和都匀毛尖这两种茶叶的销售单价分别为元、元，该采购商准备购进这两种茶叶共，进价总支出不超过万元，全部售完后，总利润不低于元，该采购商共有几种进货方案？（均购进整千克数）（利润售价进价）
【答案】（1）每千克湄潭翠芽的进价是元，每千克都匀毛尖的进价是元；
（2）该采购商共有种进货方案．
32．如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，且∠1+∠2=90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠2：∠3=25，求∠BOF的度数
【答案】（1）证明：∵OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，
∴∠AOE=∠AOC=∠COE，∠2=∠BOE=∠DOE，
又∵∠COE+∠DOE=180°，
∴∠2+∠AOC=90°，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠AOC，
∴AB∥CD．
（2）解：∵∠COE=∠3，
∴∠AOC=∠3，
由(1)知，∠2+∠AOC=90°，
∴∠2+∠3=90°
∵∠2：∠3=2：5，
∴∠3=∠2，
∴∠2+∠2=90°，
∴∠2=40°，
∴∠3=100°
∴∠BOF=∠2+∠3=140°
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义和平角的定义可证得AOE=∠AOC=∠COE，∠2=∠BOE=∠DOE，利用平角的定义可推出∠2+∠AOC=90°，利用余角的性质可证得∠1=∠AOC，利用内错角相等，两直线平行，可证得结论.
（2）利用已知可证得∠AOC=∠3，由(1)知，∠2+∠AOC=90°，可推出∠2+∠3=90°，结合已知条件，可求出∠2和∠3的度数，然后根据∠BOF=∠2+∠3，代入计算求出∠BOF的度数.
33．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3，5)，B(-2，1)，C(-1，3).
( 1 )画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
( 2 )画出△A1B1C1沿x轴向右平移4个单位长度后得到的△A2B2C2；
( 3 )如果AC上有一点M(a，b)经过上述两次变换，那么对应A2C2上的点M2的坐标是_▲_.
【答案】解：（1）（2）如图所示：△A1B1C1、△A2B2C2即为所求；
（3）(a+4， b)
【解析】【解答】解：（3）由（1）（2）轴对称以及平移的性质得出对应A2C2上的点M2的坐标是：(a+4， b).
故答案为(a+4， b).
【分析】（1）首先根据关于x轴对称的点的坐标特征找出点A、B、C关于x轴对称的点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据平移的规律找出点A1、B1、C1平移后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据轴对称、平移的性质进行解答.
34．国家发改委、工业和信息化部、财政部公布了“节能产品惠民工程”，公交公司积极响应将旧车换成节能环保公交车，计划购买A型和B型两种环保型公交车10辆，其中每台的价格、年载客量如表：
A型 B型
价格（万元/台） x y
年载客量/万人次 60 100
若购买A型环保公交车1辆，B型环保公交车2辆，共需400万元；若购买A型环保公交车2辆，B型环保公交车1辆，共需350万元．
（1）求x、y的值；
（2）如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保10辆公交车在该线路的年载客量总和不少于680万人次，问有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种方案使得购车总费用最少？最少费用是多少万元？
【答案】（1）解：由题意，得 ，
解得
（2）解：设购买A型环保公交车m辆，则购买B型环保公交车（10﹣m）辆，
由题意，得 ，
解得6≤m≤8，
∵m为整数，
∴有三种购车方案
方案一：购买A型公交车6辆，购买B型公交车4辆；
方案二：购买A型公交车7辆，购买B型公交车3辆；
方案三：购买A型公交车8辆，购买B型公交车2辆．
（3）解：设购车总费用为w万元
则w＝100m+150（10﹣m）＝﹣50m+1500，
∵﹣50＜0，6≤m≤8且m为整数，
∴m＝8时，w最小＝1100，
∴购车总费用最少的方案是购买A型公交车8辆，购买B型公交车2辆，购车总费用为1100万元．
【解析】【分析】（1）根据“购买A型环保公交车1辆，B型环保公交车2辆，共需400万元；若购买A型环保公交车2辆，B型环保公交车1辆，共需350万元．”列方程组求解即可；（2）设购买A型环保公交车m辆，则购买B型环保公交车（10﹣m）辆，根据“总费用不超过1200万元，年载客量总和不少于680万人次”列一元一次不等式组求解即可；（3）设购车总费用为w万元，根据总费用的数量关系式列出一次函数再求解即可。
35．某服装店销售一批进价分别为元，元的，两款恤衫，下表是近两天的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
第天 件 件 元
第天 件 件 元
进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本
（1）求，两款恤衫的销售单价；
（2）若该服装店老板准备用不多于元的金额再购进这两款恤衫共件，则款恤衫最多能购进多少件？
（3）在（2）的条件下，销售完这件恤衫能否实现利润不少于元的目标？若能，写出相应的采购方案；为了使进货成本最少，应选择哪种方案？
【答案】（1）款恤衫的销售单价为元件，款恤衫的销售单价为元件
（2）款恤衫最多能采购件
（3）方案一：购进款恤衫9件，购进款恤衫21件； 方案二：购进款恤衫10件，购进款恤衫20件．选方案一时进货成本最少．
36．随着乡村振兴战略的实施，农村道路加宽、黑化得到进一步落实，道路两边整齐、透亮的路灯成为晚上乡村一道靓丽的风景线．为响应号召，某乡镇计划购进甲、乙两种太阳能路灯共300根，这两种路灯的进价、安装费如表所示：
进价（元/根） 安装费（元/根）
甲型 250 100
乙型 350 150
（1）甲、乙两种路灯如何购进，货款恰好为85000元？
（2）根据实际情况，甲种路灯总数不超过35根，乡镇安装完路灯的安装费用不超过43400元，甲、乙两种太阳能路灯有几种购进方案？哪一种购进方案的安装费最少？
【答案】（1）该乡镇购进甲种路灯200根，乙种路灯100根
（2）四种，甲35根，乙265根费用最少
37．已知a、b、c三个数在数轴上的位置如图所示．
（1）判断a、b、c的符号；
（2）化简|a﹣b|﹣|b﹣c|+|c+a|+|b|﹣2|a|．
【答案】（1）解：由数轴可知：a＞0，b＜0，c＜0；
（2）解：原式 = a－b＋b－c＋c＋a－b－2a =－b．
【解析】【分析】（1）根据数轴可直接判断a、b、c的正负；
（2）结合数轴利用特殊值法判断出绝对值中的正负，再去掉绝对值，最后合并同类项即可。
38．（1）请用两种不同的方法列代数式表示图1的面积
方法1 ，
方法2 ；
（2）若a+b=7，ab=15，根据（1）的结论求a2+b2的值；
（3）如图2，将边长为x和x+2的长方形，分成边长为x的正方形和两个宽为1的小长方形，并将这三个图形拼成图3，这时只需要补一个边长为1的正方形便可以构成一个大正方形．
①若一个长方形的面积是216，且长比宽大6，求这个长方形的宽．
②把一个长为m，宽为n的长方形（m＞n）按上述操作，拼成一个在一角去掉一个小正方形的大正方形，则去掉的小正方形的边长为 ．
【答案】解：（1）（a+b）2；a2+2ab+b2
（2）∵a+b=7
∴（a+b）2=49，即a2+2ab+b2=49
又∵ab=15
∴a2+b2=49-2ab=19
故答案为19
（3）①设宽为x，由题意可得：
（x+6÷2）2=216+（6÷2）2
因为x＞0，解得x=12．
故答案为12
②由题可知：去掉小正方形的边长是原长方形长与宽差的一半.
故答案为.
【解析】【解答】（1）（1）方法1，图1可看作是边长为（a+b）的正方形面积，即（a+b）2方法2，图1可看作是边长分别为a和b的2个正方形面积加上2个长为a宽为b的矩形面积，即a2+2ab+b2
故答案为（a+b）2；a2+2ab+b2【分析】（1）图1可看作是边长为（a+b）的正方形的面积，也可看作边长分别为a和b的2个正方形面积加上2个长为a宽为b的矩形面积，列出代数式即可．
（2）根据（1）可得关于a、b的等式，将代入，结合完全平方式，进行计算，即可得到答案 ；
（3）由图2到图3可知，若记原长方形的长为m，宽为n，得到拼成的大正方形的边长为(n+)，右下角小正方形边长为，即可得到答案．
39．某中学为了将国家“双减”政策落实到位，在开展的课后服务项目设置中新增了“无人机操作技术”科目，成立了无人机表演队。根据无人机表演队需要，学校计划购买、两种型号的无人机，且型无人机的单价比型无人机的单价贵132元，已知用23400元购买型无人机的数量是用15000元购买型无人机数量的2倍．
（1）求型无人机和型无人机的单价分别是多少元？
（2）根据学校的实际需求，需要一次性购买型无人机和型无人机共100架，若要求购买时型无人机费用不超过型无人机费用的3倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买无人机的总费用最少？
【答案】（1）型无人机单价是600元，型无人机的单价是468元
（2）购买型无人机21台，购买型无人机79台，能使购买无人机的总费用最少
40．学校植物园是一块正方形土地，现在改造这个植物园，将其中一边加长，另一边缩短．
（1）若这个正方形植物园的边长为8米，将其中一边加长4米，另一边缩短几米时，可保持植物园的面积不变？
（2）若这个正方形植物园的边长为米，将其中一边加长3米，另一边缩短3米，改造前后的植物园的面积有什么变化？请计算说明．
【答案】（1）米
（2）减小了9平方米
41．如图1，直线CB∥OA，∠A=∠B=120°，E ，F在BC上，且满足∠FOC =∠AOC，并且OE平分∠BOF．
（1）求∠AOB及∠EOC的度数；
（2）如图2，若平行移动AC，那么∠OCB： ∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值；
【答案】（1）解：∵CB∥OA
∴∠BOA+∠B=180°
∴∠BOA=60°
∵∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF
∴∠EOC=∠EOF+∠FOC
= ∠BOF+ ∠F0A
= (∠BOF+∠FOA)
= ×60°
=30°
（2）解：不变
∵CB∥OA
∴∠OCB=∠COA，∠OFB=∠FOA
∵∠FOC=∠AOC
∴∠COA= ∠FOA， 即∠OCB：∠OFB=1：2
【解析】【分析】（1）利用两直线平行，同旁内角互补，易证∠BOA+∠B=180°，即可求出∠AOB的度数；再利用角平分线的定义，可证得∠BOE=∠EOF，从而可推出∠EOC=∠AOB，代入计算求出∠EOC的度数。
（2）利用平行线的性质可证得∠OCB=∠COA，∠OFB=∠FOA，再结合已知条件可证得 ∠COA= ∠FOA，从而可推出∠OCB： ∠OFB的值。
42．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，
又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）填空：若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝ ；
（3）如图所示，已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，CF＝2，长方形EMFD的面积是12，则x的值为 ．
【答案】（1）解：∵x+y=8，
∴，即，
又∵，
∴2xy=24，
∴xy=12；
（2）6
（3）5
【解析】【解答】解：(2)
=16-2×5
=6，
故答案为：6；
(3)由题意得(x-1)(x-2)=12，
设x-1=a，x-2=b，则ab=12，
∴a-b=(x-1)-(x-2)=1，
又∵，
∴，
∴，
∴2x-3=±7，
∴x=5或x=-2(舍)．
故答案为：5．
【分析】（1）根据，代入计算即可；
（2）利用转化的思想，代入计算即可；
（3）根据面积公式得出(x-1)(x-2)=12，设x-1=a，x-2=b，则ab=12，再根据，代入得出，进而得出x的值即可。
43．已知是两个边长不相等的正方形纸片，它们的边长之和是，边长之差是．
（1）如图，用含的代数式表示两个正方形纸片的面积之和：______；
当时，两个正方形纸片的面积之和：______．
（2）如图，如果两个正方形纸片的面积之和为，阴影部分的面积为，试求的值．
（3）现将正方形纸片并排放置后构成新的正方形（图），将正方形放在正方形的内部（图），如果图和图中阴影部分的面积分别是和，那么两个正方形纸片的面积之和为：______．
【答案】（1），
（2）解：设两个正方形纸片的边长分别为，由题意得：，，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，．
（3）
【解析】【解答】（1）解：设两个正方形纸片的边长分别为，
由题意得：，
解得：，
∴两个正方形纸片的面积之和为，
即，
当时，两个正方形纸片的面积之和为，
故答案为：，．
（3）解：设两个正方形纸片的边长分别为，
由题意得：，，
∴，
∴，
∴两个正方形纸片的面积之和为，
故答案为：．
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，完全平方公式的应用，整式的加减的应用．
（1）设两个正方形纸片的边长分别为，根据图形的特点列出方程组，解方程组可求出a和b的值，进而可求出大正方形的面积与小正方形的边长，利用正方形的面积公式可求出面积和，再将a和b的值代入计算可求出答案．
（2）设两个正方形纸片的边长分别为，由题意得：，，利用完全平方公式可求出， ，进而可求出，，再进行计算可求出的值．
（3）设两个正方形纸片的边长分别为，由题意得：，，据此可求出， 再进行计算可求出，进而可求出两个正方形纸片的面积之和 ．
（1）解：设两个正方形纸片的边长分别为，
由题意得：，
解得：，
∴两个正方形纸片的面积之和为，
即，
当时，两个正方形纸片的面积之和为，
故答案为：，．
（2）解：设两个正方形纸片的边长分别为，
由题意得：，，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，．
（3）解：设两个正方形纸片的边长分别为，
由题意得：，，
∴，
∴，
∴两个正方形纸片的面积之和为，
故答案为：．
44．已知：如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，，平分，平分．
（1）如图1，当时，直接写出的度数；
（2）如图2，求与之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（1）问的条件下，若，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次与重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值．
【答案】（1）解：过点E作，过点F作，
∵，
∴，
∴，，，，
∵平分，平分，
∴，，
∵，即，
∴
；
（2）解：，理由如下：过点E作，过点F作，
∵，
∴，
∴，，，，
∵平分，平分，
∴，，
∴
，
即；
（3）解：总的时间为：，，则旋转的角度范围为，直线旋转的角度范围为，
由（1）得：，则，
∵，
∴，
∴，
当时，如图：
则，
，，
依题意得，
解得：；
当时，如图：
则，
∵，，
∴，
解得：；
当时，设与交于点G，如图：
则，
，，
依题意得，
解得：；
当时，设与交于点I，如图：
则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：；
当时，连接并延长，如图：
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：；
综上，所有满足条件的t的值为0或3或6或12或15．
【解析】【分析】（1）作，过点F作，得到，得到，，，，再由平分，平分，得出，，进而得出结论；
（2）过点E作，过点F作，得到，同（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，得出，，进而得出结论；
（3）由（1）得到，求得，分，，和，四种情况讨论，画出图形，结合平行线的性质，列出关于t的方程，求得方程的解，进而得出答案.
45．将完全平方公式：进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值．
解：因为，所以，即．
又因为，所以．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，，则 ．
（2）拓展：若，试求的值．
（3）应用：如图，在长方形中，，点E、F是BC、CD上的点，且，分别以FC、CE为边在长方形外侧作正方形和，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为160，求图中阴影部分的面积和．
【答案】（1）12
（2）解：∵，
∴，
又，
∴，
∴；
（3）解：∵由题意可得，，
而，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积和为384．
【解析】【解答】解： （1）∵，
∴（x+y）2=x2+y2+2xy=64，
∵ ，
∴40+2xy=64，
∴xy=12；
故答案为：12.
【分析】（1）由得（x+y）2=x2+y2+2xy=64，据此即可求解；
（2）由完全平方公式知 ，将 代入即可求解.
（3） 由题意可得，， 则CF-CE=8，利用完全平方公式求出CE2+CF2即可.
46．两个边长分别为a和b的正方形如图1所示，其中未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2..
（1）用含a，b的代数式分别表示S1，S2；
（2）若a+b=10，ab=22，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2=32时，求出图3中阴影部分的面积S3.
【答案】（1）解：由图可得，S1=a2-b2， S2=a2-a（a-b）-b（a-b）-b（a-b）
=2b2-ab
（2）解：S1+S2=a2-b2+2b2-ab=a2+b2-ab
∵a+b=10，ab=22，
∴S1+S2=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab=100-3×22=34
（3）解：由图可得，S3=a2+b2-b（a+b）-a2=（a2+b2-ab）
∵S1+S2=a2+b2-ab=32，
∴S3=×32=16.
【解析】【分析】（1）由阴影部分面积=大面积-小面积，得出结果。
（2）先化简 S1+S2 ，得到 a2+b2-ab ，再利用完全平方公式，得到结果。
（3）先利用阴影部分面积=大面积-小面积，得出 S3=（a2+b2-ab），再得出结果。
47．如图1，已知∠AOB=60°，OM平分∠AOB。
（1）∠BOM= ；
（2）若在图1画射线OC，设∠BOC=α，ON平分∠BOC，用含α的代数式表示∠MON的大小；
（3）如图2，若线段OA与OB分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，∠AOB=60°，在时针与分针转动过程中，OM始终平分∠AOB，则经过多少时间后，∠BOM的度数第一次等于45°。
【答案】（1）30°
（2）解：①当OC在OB下方时，∠MON=30°+
②当OC在OB上方且∠BOC<60°时，∠MON=
③当OC在OB上方且∠BOC＞60°时，∠MON=
（3）解：∵∠BOM=45°，OM平分∠AOB；
∴∠AOB=90°
设经过t分钟
60+6t-0.5t=90
解得：t=
∴经过 分钟，∠BOM的度数第一次等于45°。
【解析】【解答】解：（2）如图，
①当OC在OB下方时，∠MON=∠BOM+∠BON=30°+ =；
②当OC在OB上方且∠BOC<60°时，∠MON= ∠BOM-∠BON=30°-= ；
③当OC在OB上方且∠BOC＞60°时，∠MON=∠BON-∠BOM= ..
【分析】(1)现知∠AOB的度数，根据角平分线的性质可求 ∠BOM 的大小；
（2）分三种情况讨论，①当OC在OB下方时，②当OC在OB上方且∠BOC<60°时，③当OC在OB上方且∠BOC＞60°时，在三种情况情况下分别求出∠MON的角度即可.
（3）设经过t分钟，则分针转过的角度为6t， 时针转过的角度为0.5t， 由于∠BOM=45°，结合OM平分∠AOB，可知∠AOB=90°，则启示角度加变化的角度等于90°，据此列等式求解即可.
48．一副三角板按如图1初始放置，已知，，，，此时AB与DF重合.当点D从点A出发沿射线AB方向滑动的同时，点F在射线CB上滑动.滑动过程中，三角板ABC不动，三角板EDF形状、大小不变.
（1）如图2，当，求的度数；
（2）如图3，若点D运动到AB延长线上时，连结CE.当时，求的值；
（3）如图4，射线EG平分，在整个滑动过程中，若存在EG与三角形ABC的某一边平行时，请求出的度数.
【答案】（1）解：∵，
∴
∴
∴
（2）解：∵，
∴
∴，
∴
（3）解：∵EG平分∠DEF，∠DEF=60°，
∴∠DEG=∠FEF=30°.
①，记AB与EG相交于点P，如图所示：
∴∠EPA=∠CAB=45°，
∴∠EDP=180°－∠DEG－∠EPA=180°－30°－45°=105°，
∴.
②，如图所示：
∴∠ADE=∠DEG=30°.
③，如图所示：
∴∠CFE=∠FEG=30°，
∴∠CFD=∠CFE+∠EFD=30°+30°=60°.
∵∠DBF=∠ABC=45°，
∴∠BDF=180°－DBF－CFD=75°，
∴∠ADE=∠EDF－∠BDF=90°－75°=15°.
综上：时，∠ADE=75°；时，∠ADE=30°；时，∠ADE=15°.
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得∠DFE的度数，再利用角的运算，即可得到答案；
（2）利用平行线的性质可得∠EFC的度数，再利用角的运算，即可得到答案；
（3）分EG//AC，EG//AB，EG//BC三种情况，分别利用平行线的性质即可求得∠ADE的度数.
49．如图1是一个长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
（1）图2中的阴影部分的面积为
；
（2）观察图2请你写出
， ， 之间的等量关系是 ；
（3）根据（2）中的结论，若 ， ，则 ；
（4）实际上我们可以用图形的面积表示许多恒等式，下面请你设计一个几何图形来表示恒等式 ．在图形上把每一部分的面积标写清楚．
【答案】（1）
（2）
（3）±5
（4）解：符合等式 的图形如图所示，
【解析】【解答】解：（1）阴影部分为一个正方形，其边长为b-a，
∴其面积为： ，
故答案为： ；（2）大正方形面积为：
小正方形面积为： = ，
四周四个长方形的面积为： ，
∴ ，
故答案为： ；（3）由（2）知， ，
∴ ，
∴ = ，
故答案为：±5；
【分析】（1）表示出阴影部分正方形的边长，然后根据正方形的面积公式列式即可；（2）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个小长方形的面积列式即可；（3）将（x-y）2变形为（x+y）2—4xy，再代入求值即可；（4）由已知的恒等式，画出相应的图形，如图所示．
50．甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并各自推出了优惠方案：在甲商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费；在乙商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费，已知，顾客累计购物金额为元顾客只能选择一家商场．
（1）若，，
①当时，到甲商场实际花费元，到乙商场实际花费元；
②若，那么当时，到甲或乙商场实际花费一样；
（2）经计算发现：当时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠元；当时，到甲或乙商场实际花费一样，请求出，的值；
（3）若时，到甲或乙商场实际花费一样，，且，求的最大值．
【答案】（1）①，；②
（2），
（3）
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