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【精选热题·期末50道综合题专练】湘教版数学八年级下册复习卷
1．如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，∠ACB的角平分线CE交AB与点E，∠DAC的角平分线AF交CD于点F.
（1）如图1，求证：BE=DF；
（2）如图2，过点A作AH⊥BC，∠ACB=2∠BAH，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出与∠BAH互余的角.
2．星期五晚饭后，小红从家里出去散步，如图所示，描述了她散步过程中离家的距离与散步所用的时间之间的关系，该图象反映的过程是：小红从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段走到邮亭，然后回家了，依据图象回答下列问题：
（1）在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ．
（2）公共阅报栏离小红家有 ，小红在公共阅报栏看报一共用了 ；
（3）求小红从家走到公共阅报栏的速度和从邮亭返回家的速度．
3．某小区内有一块如图所示的四边形空地，米，米，米，且．计划将这块空地建成一个花园，以美化小区环境，预计花园每平方米造价为300元，小区修建这个花园需要投资多少元？（结果保留根号）
4．如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F.
（1）若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；
（2）求证：BE＝DF.
5．某超市一段时期内对某种商品经销情况进行统计分析：得到该商品的销售数量y（件）由基础销售量与浮动销售量两个部分组成，其中保持不变，与每件商品的售价x（元）成反比例，且市场管理局要求每件商品的售价不能超过18元销售过程中发现，当每件商品的售价定为10元时，售出34件：当每件商品的售价定为12元时，售出30件．
（1）求y与x之间的函数关系式：
（2）当该商品销售数量为40件时，求每件商品的售价；
（3）设该超市销售这种商品的总额为W，求当每件商品的售价为多少元时超市的销售总额最大 最大值是多少
6．如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，且AE=CF．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形．
（2）如果把条件AE=CF改为BE⊥AC，DF⊥AC，试问四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？
（3）如果把条件AE=CF改为BE=DF，试问四边形BFDE还是平行四边形吗？为什么？
7．某工厂新开发生产一种机器，每台机器成本y（万元）与生产数量x（台）之间满足一次函数关系（其中10≤x≤70，且为整数），函数y与自变量x的部分对应值如表
（单位：台） 10 20
（单位：万元/台） 60 55
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元/台）之间满足如图所示的函数关系.则当该厂第一个月生产的这种机器40台都按同一售价全部售出，请求出该厂第一个月销售这种机器的总利润.（注：利润＝售价﹣成本）
8．已知：如图，CD＝BE，DG⊥BC于点 G，EF⊥BC于点 F，且 DG=EF.
（1）求证：△DGC≌△EFB.
（2）连结 BD，CE. 求证：BD=CE
9．某校有一空地，如图所示，现计划在空地上中草皮，经测量，，，，，，若种植平方米草皮需要元，问总共需要投入多少元？
10．如图，在 中， 的角平分线交 于点D， .
（1）试判断四边形 的形状，并说明理由；
（2）若 ，且 ，求四边形 的面积.
11．设一次函数 （k，b是常数， ）的图象过 两点.
（1）求该一次函数的表达式.
（2）当 时，函数值y的取值范围是 ，分别求m和n的值.
12．如图，在平行四边形中，对角线交于点，过点任作直线分别交、于点E、F．
（1）求证：；
（2）若，，，求四边形的周长．
13．甲、乙两车在连通A，B，C三地的公路上行驶，甲车从A地出发匀速向C地行驶，途中因故停留1小时后按原速行驶到C地，到达C地后停止行驶；同时乙车从B地出发匀速向C地行驶，到达C地后，立即调头按原速向A地行驶（调头时间忽略不计），到达A地后停止行驶.在两车行驶的过程中，甲、乙两车距A地的路程y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象解决下列问题：
（1）A，B两地的路程是 千米，甲车行驶的速度是 千米/时，并直接在图中的（ ）内填上正确的数；
（2）求图中线段表示的y与x的函数解析式（不用写自变量的取值范围）；
（3）乙车行驶多长时间，行驶中的两车距B地的路程相等？直接写出答案．
14．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度 得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．
（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；
（2）若 =60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：DF=BE
15．如图， ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A.
（1）用直尺和圆规在AC上确定一点D，∠BDC＝2∠A，（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CD长.
16．如图，在平行四边形ABCD中，点O是BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC.
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若 ，则当 °时，四边形BECD是菱形.
17．如图，将 的边 延长到点E，使得 ，连接 ，交 于点F
（1）求证： ；
（2）若 ，连接 求证：四边形 是矩形
18．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(-2，3)，B(-3，1)，C(1，-2)．
（1）直接写出点A、B、C关于y轴对称的点A'、B'、C'的坐标；
（2）在x轴上求作一点P，使PA+PB最短(保留痕迹)．
19．小聪家购买了一辆新能源汽车，该汽车的基本配置为：电池容量为，支持快速充电功能，快速充电功率为．图①为汽车仪表盘的一部分，有关充电小常识如表②所示．
表②
新能源汽车小常识：1.新能源汽车充电有个简单的公式：充电量() =充电功率() ×充电时间2.电动汽车电池剩余20%电量时，提示充电状态，此时电量灯显示为黄色已知该新能源汽车在满电量状态下行驶过程中仪表盘行驶里程y(千米)与显示电量的部分数据如下表：(不考虑续航缩水问题)
已知该新能源汽车在满电量状态下行驶过程中仪表盘行驶里程y(千米)与显示电量的部分数据如下表：(不考虑续航缩水问题)
汽车行驶过程
已行驶里程y(千米) 0 200 300 350
显示电量 100 60 40 30
（1）在直角坐标系中，通过描点判断y与x之间的函数关系，并求出该函数表达式．
（2）请问该汽车在满电状态行驶多少公里时，电量灯开始变成黄色？
（3）已知小聪爸爸驾驶该新能源汽车在满电量的状态下出发，前往600千米处的目的地，行驶240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时长后继续行驶，到达目的地时仪表盘显示电量为，求该汽车在服务区充电的时长．
20．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点A、C分别落在x轴、y轴正半轴上，点E在边 上，点F在边 上，且 ，已知 ， ．
（1）求点E的坐标；
（2）点E关于点A的对称点为点D，点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线 运动，设P点的运动时间为t秒， 的面积为S，用含t的代数式表示S；
（3）在（2）的条件下，点M为平面内一点，点P在线段 上运动时，作 的平分线交y轴于点N，t为何值时，四边形 为矩形？并求此时点M的坐标．
21．如图，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．
（1）求证：∠EFA＝90°﹣ ∠B；
（2）若∠B＝60°，求证：EF＝DF．
22．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM.MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点.
（1）已知M、N把线段AB分割成AM，MN，NB，若，AM=2.5，MN=6.5，BN=6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，求BN的长.
23．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某些原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米.
（1）是否是从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明.
（2）原路比新路多多少千米？
24．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的图象如图所示：
（1）客车的速度是 千米/小时，出租车的速度是 千米小时；
（2）求两车相遇的时间.
25．如图， 为直线 上一点， ， 平分 ， .
（1）求 的度数.
（2）试判断 是否平分 ，并说明理由.
26．定义：如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么这个三角形叫“恰等三角形”，这条中线叫“恰等中线”.
（直角三角形中的“恰等中线”）
（1）如图1，在 中， ， ， ， 为 的中线.
求证： 是“恰等中线”.（等腰三角形中的“恰等中线”）
（2）已知，等腰 是“恰等三角形”， ，求底边 的平方.
27．下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程．
已知：中，∠ABC=90°．
求作：矩形．
作法：如图，
①作线段AC的垂直平分线交AC于点O；
②连接BO并延长，在延长线上截取OD=OB
③连接AD，CD
所以四边形ABCD即为所求作的矩形
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵OA= ▲ ，OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形（ ）（填推理的依据）.
∵∠ABC=90°，
四边形ABCD是矩形（ ）（填推理的依据）
28．如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）已知，若，求的长度．
29．某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一位个体车主或一家出租车公司其中的一个签订月租车合同，设汽车每月行驶x千米，应付给个体车主的月租费用是y1元，应付给出租车公司的月租费用是y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系如图，观察图象回答下列问题：
（1）求y1、y2分别与x之间的函数关系式；
（2）每月行驶的路程等于多少时，两种租车方案所需费用相同？
（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2400千米，那么这个单位如何租车合算？请说明理由．
30．某班“数学兴趣小组”结合自己的学习经验，对新函数 的图象、性质进行探究，探究过程如下，请把表格补充完整．
…… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ……
…… ……
（1）下表是 与 的几组对应值．
， ．
（2）在平面直角坐标系中，描出相应的点，画出函数的图象．
（3）函数性质探究：观察函数图象，写出该函数图象的一条性质： ．
（4）综合应用：已知函数y= 的图像如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 的解集．（精确到 ，误差不超过 ）
31．A、B两地相距60km，甲从A地去B地，乙从B地去A地，图中l1、l2分别表示甲、乙两人离B地的距离y（km）与甲出发时间x（h）的函数关系图象.
（1）根据图象，直接写出乙的行驶速度；
（2）解释交点A的实际意义；
（3）甲出发多少时间，两人之间的距离恰好相距5km；
（4）若用y3（km）表示甲乙两人之间的距离，请在坐标系中画出y3（km）关于时间x（h）的函数关系图象，注明关键点的数据.
32．如图，已知线段AB和AB外一点C.
（1）求作： ABCD；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若∠B+∠D＝220°，求∠A的度数.
33．已知直线.
（1）当a为何值时？该直线过原点；
（2）当a为何值时？该直线不经过第二象限.
34．如图，四边形 中， ， 相交于点 ，点 是 的中点， ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ，且 ，求 的长．
35．在建设社会主义新农村过程中，某村委决定投资开发项目，现有6个项目可供选择，各项目所需资金及预计年利润如下表：
所需资金（亿元） 1 2 4 6 7 8
预计利润（千万元） 0.2 0.35 0.55 0.7 0.9 1
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果预计要获得0.9千万元的利润，你可以怎样投资项目？
（3）如果该村可以拿出10亿元进行多个项目的投资，预计最大年利润是多少？说明理由．
36．如图，点是上一点.
（1）请用直尺和圆规过点作出的一条切线；（不要求写出作法，不要求证明，但要保留作图痕迹）
（2）若（1）所作切线上取一点，满足，若半径为2，求的长.
37．如图，在四边形 中， ，点E在线段 上， .
（1）求证： .
（2）连结 ，当 ，求 的长.
38．【备用性质】
对于正方形ABCD，具有下面的性质：
①四边都相等，即：AB=BC=CD=AD；
②四角都是直角，即：∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°；
③对角线相等且互相平分，即：AC=BD=2AO=2BO
④对角线互相垂直，即：AC⊥BD．
【问题解决】
如图，点G是正方形ABCD对角线CA延长线上一点，以线段AG为边作正方形AGFE，EB与GD交于点H．
（1）写出△EAB≌△GAD的理由；
（2）若BD=12，AG=2，求EB的长．
39．已知，如图，在 中， ， 于 ， 的平分线交 于 ，交 于 ， 的角平分线 交 于 ，交 于 ．
（1）求证： ；
（2）判断 与 的位置关系，并说明理由．
（3）再找出二组相等的线段：① ；② ．
40．如图，已知点 在 的 边上， 交 于 ， 交 于 ．
（1）求证： ；
（2）若 平分 ，试判断四边形 的形状，并说明理由．
41．已知 ， 在直线 上．
（1）若点A（-2，1），B（1，2），求直线AB的解析式；
（2）若 ， ， ．试比较 和 的大小，并说明理由．
42．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交线段BC于点E，交线段DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG.
（1）如图1，证明平行四边形ECFG为菱形；
（2）如图2，若∠ABC=90°，M是EF的中点，求∠BDM的度数；
（3）如图3，若∠ABC=120°，请直接写出∠BDG的度数.
43．如图，平行四边形 在直角坐标系中，点B、点C都在x轴上，其中 ， ， ，E是线段 的中点．
（1）直接写出点C，D的坐标；
（2）平面内是否存在一点N，使以A、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
44．已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ；
（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数(写出解答过程)；
（3）如果图2中，∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系(直接写出结论即可).
45．已知：如图，在正方形ABCD外取 点E，连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE于点P，已知AE=AP=BE=1.
（1）求证：△APD≌△AEB；
（2）连接PC，求线段PC的长度；
（3）试求正方形ABCD的面积。
46．如图
（1）如图，三个正方形围成了一个直角三角形，三个正方形的面积分别为，若，则
（2）如图，在中，，分别以为边在外侧作等边三角形，则之间的关系为
（3）①如图，在中，，分别以为边在外侧作等腰直角三角形，则（2）中的关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．
②如图，在五边形中，，连接．求五边形的面积．
47．思维探索：
在正方形ABCD中，AB＝4，∠EAF的两边分别交射线CB，DC于点E，F，∠EAF＝45°.
（1）如图1，当点E，F分别在线段BC，CD上时，△CEF的周长是 ；
（2）如图2，当点E，F分别在CB，DC的延长线上，CF＝2时，求△CEF的周长；
48．已知：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，且AE＝BF＝CG＝DH，
（1）四边形EFGH是正方形吗？为什么？
（2）若正方形ABCD的边长为4cm，且AE＝BF＝CG＝DH＝3cm，请求出四边形EFGH的面积.
49．给出如下规定：两个图形和，点P为上任一点，点Q为上任一点，如果线段的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形和之间的距离．
在平面直角坐标系中，O为坐标原点．
（1）点A的坐标为，则点和射线之间的距离为 ，点和射线之间的距离为 ．
（2）点E的坐标为，将射线绕原点O逆时针旋转，得到射线，在坐标平面内所有和射线之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M．
①在坐标系中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）
②将抛物线与图形M的公共部分记为图形N，射线，组成的图形记为图形W，请直接写出图形W和图形N之间的距离．
50．我国正在迈入“5G时代”，而我们的华为在5G核心专利上排世界第一，引来美国对华为的打压，国家从上而下都在支持华为，某手机店准备进一批华为手机，经调查，用80000元采购A型华为手机的台数和用60000元采购B型华为手机的台数一样，一台A型华为手机的进价比一台B型华为手机的进价多800元．
（1）求一台A，B型华为手机的进价分别为多少元？
（2）若手机店购进A，B型华为手机共60台进行销售，其中A型华为手机的台数不大于B型华为手机的台数，且不小于20台，已知A型华为手机的售价为4200元/台，B型华为手机的售价为2800元/台，且全部售出，手机店怎样安排进货，才能在销售这批华为手机时获最大利润，求出最大利润．
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【精选热题·期末50道综合题专练】湘教版数学八年级下册复习卷
1．如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，∠ACB的角平分线CE交AB与点E，∠DAC的角平分线AF交CD于点F.
（1）如图1，求证：BE=DF；
（2）如图2，过点A作AH⊥BC，∠ACB=2∠BAH，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出与∠BAH互余的角.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB
∵AF平分∠DAC，∠DAF=∠DAC，
∵CE平分∠ACB，∠ECB-∠ACB，∠DAF=∠ECB
∵四边形ABCD为平行四边形，∠B=∠D
在中
（2）∠ABC，∠BAC，∠ACD，∠ADC，∠HAF.
【解析】【解答】（2）∵∠ACB=2∠BAH，
又CE，AF分别为∠ACB，∠DAC的角平分线，
∴∠BCE=∠BAH，
可得CE⊥AB，同理AF⊥CD，
∵AH⊥BC，
∴∠ABC与∠BAH互余，
∵∠BCE=∠BAH，
∴∠BAC与∠BAH互余，
又∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，则∠ACD与∠BAH互余，
∵AB∥CD，
∴∠ADC与∠BAH互余，
又AF⊥CD，可得∠HAF与∠BAH互余。
故答案为：∠ABC，∠BAC，∠ACD，∠ADC，∠HAF.
【分析】（1）利用平行四边形的性质，找到能证明的条件，再通过得到BE=CF。
（2）通过解答中的步骤进行证明。
2．星期五晚饭后，小红从家里出去散步，如图所示，描述了她散步过程中离家的距离与散步所用的时间之间的关系，该图象反映的过程是：小红从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段走到邮亭，然后回家了，依据图象回答下列问题：
（1）在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ．
（2）公共阅报栏离小红家有 ，小红在公共阅报栏看报一共用了 ；
（3）求小红从家走到公共阅报栏的速度和从邮亭返回家的速度．
【答案】（1）散步所用的时间t，散步过程中离家的距离s
（2），
（3）；
3．某小区内有一块如图所示的四边形空地，米，米，米，且．计划将这块空地建成一个花园，以美化小区环境，预计花园每平方米造价为300元，小区修建这个花园需要投资多少元？（结果保留根号）
【答案】小区修建这个花园需要投资元．
4．如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F.
（1）若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；
（2）求证：BE＝DF.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵CF平分∠DCB，
∴∠BCD＝2∠BCF，
∵∠BCF＝60°，
∴∠BCD＝120°，
∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，
∴∠BAE＝ ，∠DCF＝ ，
∴∠BAE＝∠DCE，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE＝CF.
【解析】【分析】（1）由平行线性质可得 ∠ABC+∠BCD＝180° ，由角平分线可得 ∠BCD＝2∠BCF 即可；
（2）由平行线性质可得 ∠ABE＝∠CDF ，由角平分线可得 ∠BAE＝∠DCE ，故从而利用ASA判断出 △ABE≌△CDF 即可解决问题.
5．某超市一段时期内对某种商品经销情况进行统计分析：得到该商品的销售数量y（件）由基础销售量与浮动销售量两个部分组成，其中保持不变，与每件商品的售价x（元）成反比例，且市场管理局要求每件商品的售价不能超过18元销售过程中发现，当每件商品的售价定为10元时，售出34件：当每件商品的售价定为12元时，售出30件．
（1）求y与x之间的函数关系式：
（2）当该商品销售数量为40件时，求每件商品的售价；
（3）设该超市销售这种商品的总额为W，求当每件商品的售价为多少元时超市的销售总额最大 最大值是多少
【答案】（1）解：设y=y1+y2=y1+，把x=10，y=34，x=12，y=30分别代入，得
，解得：，
∴y=10+(x≤18)；
（2）解：∵y=10+，
∴当y=40时，则40=10+，
解得：x=8，
答：当该商品销售数量为40件时，每件商品的售价为8元；
（3）解：由题意，得
W=xy=x(10+)=10x+240，
∵10>0，
∴w随x增大而增大，
∵x≤18，
∴当x=18时，w有最大值，最大值为10×18+240=420（元），
答：当每件商品的售价为18元时超市的销售总额最大，最大值是420元．
【解析】【分析】（1）设y=y1+y2=y1+，把x=10，y=34，x=12，y=30分别代入 求解即可；
（2）求出y=40时x的之即可；
（3）根据销售总额W=xy=x(10+)=10x+240且x≤18可得答案。
6．如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，且AE=CF．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形．
（2）如果把条件AE=CF改为BE⊥AC，DF⊥AC，试问四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？
（3）如果把条件AE=CF改为BE=DF，试问四边形BFDE还是平行四边形吗？为什么？
【答案】（1）证明：【证明一】∵ABCD是平行四边形，
∴AB=CD且AB∥CD（平行四边形的对边平行且相等），
∴∠BAE =∠DCF，
又∵AE=CF，
∴△BAE≌△DCF（SAS），
∴BE=DF，∠AEB =∠CFD，
∴∠BEF =180°-∠AEB，∠DFE =180°-∠CFD，
即：∠BEF=∠DFE，
∴BE∥DF，而BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
【证明二】
连接BD，交AC于点O，
∵ABCD是平行四边形，
∴OA=OC OB=OD，（平行四边形的对角线互相平分）
又∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
（2）解：四边形BFDE是平行四边形，
∵ABCD是平行四边形，
∴AB=CD且AB∥CD，（平行四边形的对边平行且相等）
∴∠BAE =∠DCF，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA =∠DFC=90°，BE∥DF，
∴△BAE≌△DCF（AAS），
∴BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
（3）解：四边形BFDE不是平行四边形，
因为把条件AE=CF改为BE=DF后，不能证明△BAE与△DCF全等．
【解析】【分析】（1）利用“SAS”证明出△BAE≌△DCF，得出BE=DF，∠AEB =∠CFD，即∠BEF=∠DFE，利用平行线的性质得出BE∥DF，而BE=DF，即可得出四边形BFDE是平行四边形；
（2）由ABCD是平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等，得出∠BAE =∠DCF，利用垂直的性质得出∠BEA =∠DFC=90°，BE∥DF，求证出△BAE≌△DCF，即可得出四边形BFDE是平行四边形；
（3）四边形BFDE不是平行四边形， 因为把条件AE=CF改为BE=DF后，不能证明△BAE与△DCF全等．
7．某工厂新开发生产一种机器，每台机器成本y（万元）与生产数量x（台）之间满足一次函数关系（其中10≤x≤70，且为整数），函数y与自变量x的部分对应值如表
（单位：台） 10 20
（单位：万元/台） 60 55
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元/台）之间满足如图所示的函数关系.则当该厂第一个月生产的这种机器40台都按同一售价全部售出，请求出该厂第一个月销售这种机器的总利润.（注：利润＝售价﹣成本）
【答案】（1）设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，
，得 ，
即y与x的函数关系式为y＝ 0.5x＋65（10≤x≤70，且为整数）；
（2）设z与a之间的函数关系式为z＝ma＋n，
，得 ，
∴z与a之间的函数关系式为z＝ a＋90，
当z＝40时，40＝ a＋90，得a＝50，
当x＝40时，y＝ 0.5×40＋65＝45，
40×50 40×45＝2000 1800＝200（万元），
答：该厂第一个月销售这种机器的总利润为200万元.
【解析】【分析】（1）由表格中的信息可得两个点的坐标（10，60）和（20，55）， 设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，然后把两个点的坐标代入解析式计算即可求解；
（2） 设z与a之间的函数关系式为z＝ma＋n，由这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元/台）之间满足的函数关系的图象可知两个点（55，35）和（75，15），把两个点的坐标代入解析式计算即可求出z与a之间的函数关系式，把z=40代入z与a之间的函数关系式可求得a的值；把x=40代入y与x的函数关系式可求得y的值，然后根据利润=售价-成本可求解.
8．已知：如图，CD＝BE，DG⊥BC于点 G，EF⊥BC于点 F，且 DG=EF.
（1）求证：△DGC≌△EFB.
（2）连结 BD，CE. 求证：BD=CE
【答案】（1）证明：∵DG⊥BC于点 G，EF⊥BC于点 F，
∴∠DGC=∠EFB=90°
∴在 和 中，
∴△DGC≌△EFB(HL)
（2）证明：由（1）中△DGC≌△EFB，得GC=FB
∴GC-GF=FB-GF
∴GB=FC
∵∠DGC=∠EFB=90°，DG=EF
∴△DGB≌△EFC（SAS）
∴BD=CE.
【解析】【分析】（1）首先由垂直得出∠DGC=∠EFB=90°，然后根据直角三角形判定定理HL即可判定△DGC≌△EFB；
（2）首先由（1）中全等三角形的性质得出GC=FB，进而得出GB=FC，即可判定△DGB≌△EFC，然后即可得出BD=CE.
9．某校有一空地，如图所示，现计划在空地上中草皮，经测量，，，，，，若种植平方米草皮需要元，问总共需要投入多少元？
【答案】元
10．如图，在 中， 的角平分线交 于点D， .
（1）试判断四边形 的形状，并说明理由；
（2）若 ，且 ，求四边形 的面积.
【答案】（1）解：四边形AFDE是菱形，理由是：
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠EAD，
∵DE∥AB，
∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EDA=∠EAD，
∴AE=DE，
∴平行四边形AFDE是菱形
（2）解：∵∠BAC=90°，
∴四边形AFDE是正方形，
∵AD= ，
∴AF=DF=DE=AE= =2，
∴四边形AFDE的面积为2×2=4
【解析】【分析】（1）四边形AFDE是菱形，理由：由DE∥AB，DF∥AC，可证四边形AFDE是平行四边形，根据平行线的性质及角平分线的定义可得∠EDA=∠EAD，由等角对等边可得AE=DE，即可证明；
（2） 由∠BAC=90°，可证菱形AFDE是正方形，由对角线的长可求出边长，然后求出正方形的面积即可.
11．设一次函数 （k，b是常数， ）的图象过 两点.
（1）求该一次函数的表达式.
（2）当 时，函数值y的取值范围是 ，分别求m和n的值.
【答案】（1）解：将 代入 得
，解得
∴一次函数表达式为
（2）解：当 时，
当 时，
∵ ，
∴y随x的增大而减小
∴当 时，
∴ ，
【解析】【分析】（1）采用待定系数法求一次函数表达式即可；
（2）将 ， 分别代数一次函数解析式，即可得到m和n的值.
12．如图，在平行四边形中，对角线交于点，过点任作直线分别交、于点E、F．
（1）求证：；
（2）若，，，求四边形的周长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形的周长．
【解析】【分析】本题考查了平行四边的性质，由平行四边形的性质证出两三角形全等，再得到OE=OF的结论；在求四边形AEFD的周长时，关键是需要将DF+AE的整体转化为DC的长，再根据已知条件，即可求出四边形的周长，属于常规题型.
13．甲、乙两车在连通A，B，C三地的公路上行驶，甲车从A地出发匀速向C地行驶，途中因故停留1小时后按原速行驶到C地，到达C地后停止行驶；同时乙车从B地出发匀速向C地行驶，到达C地后，立即调头按原速向A地行驶（调头时间忽略不计），到达A地后停止行驶.在两车行驶的过程中，甲、乙两车距A地的路程y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象解决下列问题：
（1）A，B两地的路程是 千米，甲车行驶的速度是 千米/时，并直接在图中的（ ）内填上正确的数；
（2）求图中线段表示的y与x的函数解析式（不用写自变量的取值范围）；
（3）乙车行驶多长时间，行驶中的两车距B地的路程相等？直接写出答案．
【答案】（1）120；60；360
（2）解：由（1）可得M（3.5，150），N（7，360）
设MN的解析式为y=kx+b，将M，N的坐标分别代入解析式得，
解得，
∴MN的解析式为
（3）小时或小时
【解析】【解答】解： （1）如图，根据题意得为甲车的图象，为乙车的图象，
∵甲车从A地出发，乙车从B地出发
∴AB两地的路程是OE，即120千米，
∵甲车中途停车1小时，即DM段，
∴点D横坐标为2.5，
∴D（2.5，150），即甲车行驶2.5小时，走了150千米，
∴甲车的速度为：150÷2.5=60（千米/时）
又MN段表示的路程为：60×（7-3.5）=210（千米）
∴括号里应填写210+150=360，
故答案为：120，60，360；
（3）乙车的平均速度为（360-120+360）÷6=100（千米/时）
从用时为（360-120）÷100=2.4（小时）
①当时，由乙车到C之前B的距离与甲车到B的距离相等得，
解得，
即乙车行驶小时，行驶中的两车距B地的路程相等
②当时，由乙车从C返回到B的距离与甲车到B的距离相等得，
解得，
即乙车行驶小时，行驶中的两车距B地的路程相等
综上，乙车行驶小时或小时，行驶中的两车距B地的路程相等.
【分析】（1）结合函数图象中的数据计算求解即可；
（2）利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）分类讨论，列方程求解即可。
14．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度 得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．
（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；
（2）若 =60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：DF=BE
【答案】（1）解：如图1，∵ 绕点C顺时针旋转 得到 ，点E恰好在AC上，
∴CA=CD，∠ECD=∠BCA=30°，∠DEC=∠ABC=90°
∵CA=CD
∴∠CAD=∠CDA=75°
∴∠ADE =90°－75°=15°
（2）解：连接AD，如图2，
∵点F是边AC中点，
∴BF= AC
∵∠ACB=20°
∴AB=
∴BF=AB
∵ 绕点C顺时针旋转60°得到
∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，DE=AB，，
∴DE=BF， 和 为等边三角形，
∴BE=CB，
∵点F为 的边AC的中点，
∴DF⊥AC，
易证得 ，
∴DF=BC，
∴DF=BE，
【解析】【分析】（1）利用旋转性质得到CA=CD，∠ECD=∠BCA=30°，∠DEC=∠ABC=90°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠CAD，之后再算出∠ADE（2）利用直角三角形斜边上的中线性质得到BF= ，则BF=AB，再根据旋转的性质得到∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，DE=AB，从而得到DE=BF，接下来证明 与 全等得到DF=BC，然后得出DF=BE
15．如图， ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A.
（1）用直尺和圆规在AC上确定一点D，∠BDC＝2∠A，（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CD长.
【答案】（1）解：如图，点D为所作；
（2）解：在Rt△BCD中，AC= =8，
由作法得DA=DB，
设CD=x，则DB=DA=8﹣x，
在Rt△BCD中，x2+62=(8﹣x)2，解得x= ，
即CD的长为 .
【解析】【分析】（1）根据外角性质和等腰三角形性质，作出线段AB的中垂线与AC的交点即为点D；
（2）由勾股定理可得AC=8， 设CD=x，则DB=DA=8﹣x，在Rt△BCD中， 由勾股定理可得x的长度即可解决.
16．如图，在平行四边形ABCD中，点O是BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC.
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若 ，则当 °时，四边形BECD是菱形.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=CD，
∴ ，
∵O是BC的中点，
∴BO=CO，
在△BOE和△COD中，
，
∴ ，
∴OE=OD，
∴四边形BECD是平行四边形
（2）90
【解析】【解答】（2）当 时，四边形BECD是菱形，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形BECD是菱形.
【分析】（1）由AAS证明 ，得出OE=OD，即可得出结论；（2）先根据三角形内角和定理得到 ，在根据平行线的性质定理得到 ，求得 ，然后根据菱形的判定定理即可得到结论；
17．如图，将 的边 延长到点E，使得 ，连接 ，交 于点F
（1）求证： ；
（2）若 ，连接 求证：四边形 是矩形
【答案】（1）证明：因为四边形 是平行四边形
所以
所以四边形 是平行四边形，
.
（2）证明：由（1）知，四边形 是平行四边形，
因为四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
所以四边形 是矩形.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD，然后根据CE=DC，得到AB=EC，AB∥EC，证得四边形 是平行四边形，然后由平行四边形得性质即可得证；
（2）由（1）得的结论先证得四边形ABEC是平行四边形，通过角的关系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，即可证明四边形 是矩形
18．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(-2，3)，B(-3，1)，C(1，-2)．
（1）直接写出点A、B、C关于y轴对称的点A'、B'、C'的坐标；
（2）在x轴上求作一点P，使PA+PB最短(保留痕迹)．
【答案】（1）解：A'(2，3)，B'(3，1)，C'(-1，-2)．
（2）解：如图，作点B关于x轴的对称点B．
连接AB，交x轴于点P，连接BP，此时PA+PB最短，则点P即为所求．
【解析】【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特点和平面直角坐标系求点的坐标即可；
（2）根据题意作图即可。
19．小聪家购买了一辆新能源汽车，该汽车的基本配置为：电池容量为，支持快速充电功能，快速充电功率为．图①为汽车仪表盘的一部分，有关充电小常识如表②所示．
表②
新能源汽车小常识：1.新能源汽车充电有个简单的公式：充电量() =充电功率() ×充电时间2.电动汽车电池剩余20%电量时，提示充电状态，此时电量灯显示为黄色已知该新能源汽车在满电量状态下行驶过程中仪表盘行驶里程y(千米)与显示电量的部分数据如下表：(不考虑续航缩水问题)
已知该新能源汽车在满电量状态下行驶过程中仪表盘行驶里程y(千米)与显示电量的部分数据如下表：(不考虑续航缩水问题)
汽车行驶过程
已行驶里程y(千米) 0 200 300 350
显示电量 100 60 40 30
（1）在直角坐标系中，通过描点判断y与x之间的函数关系，并求出该函数表达式．
（2）请问该汽车在满电状态行驶多少公里时，电量灯开始变成黄色？
（3）已知小聪爸爸驾驶该新能源汽车在满电量的状态下出发，前往600千米处的目的地，行驶240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时长后继续行驶，到达目的地时仪表盘显示电量为，求该汽车在服务区充电的时长．
【答案】（1）解：在坐标系中描点作图如下：判断该函数为一次函数，设函数解析式为，
将点，代入解析式得：
，解得，
一次函数解析式为：．
（2）解：当时，
答：该汽车在满电状态行驶400公里时，电量灯开始变成黄色．
（3）解：由题意可得行驶里程表显示：，解得，
每千米的耗电量（100-52）÷240=0.2
600千米的耗电量600×0.2=120
充电电量为：120+10-100=30，
根据题意，电池容量为，支持快速充电功能，快速充电功率为，即小时充电
的电量需要充电时间为：分钟，即充电时间为分钟．
答：到达目的地时仪表盘显示电量为，该汽车在服务区充电分钟．
【解析】【分析】（1）根据表格数据，描点画出函数图象并利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）将代入（1）中解析式求出值即可；
（3）根据题意先求出每行驶1千米需要的电量，再求出行驶600千米需要的电量。由于仪表盘显示剩余10%的电量，可求出需要充电的电量是30%。再根据“ 电池容量为，支持快速充电功能，快速充电功率为． ”可知快充充满需要的时间是即可充满100%据此即可求出充30%电量需要的时间。
20．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点A、C分别落在x轴、y轴正半轴上，点E在边 上，点F在边 上，且 ，已知 ， ．
（1）求点E的坐标；
（2）点E关于点A的对称点为点D，点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线 运动，设P点的运动时间为t秒， 的面积为S，用含t的代数式表示S；
（3）在（2）的条件下，点M为平面内一点，点P在线段 上运动时，作 的平分线交y轴于点N，t为何值时，四边形 为矩形？并求此时点M的坐标．
【答案】（1）解：在矩形OABC中，B（6，8），
∴A（6，0），
∴OA=6，
设OE=a，
∴EF=AE=OA-OE=6-a，
∵ ，
，
在Rt△AEF中，根据勾股定理得，OE2+OF2=EF2，
∴a2+12=（6-a）2，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵BC∥OA，B（6，8），OC=AB=8，
∴P（t，8），PB=|t-6|
①当点P在边BC上时，如图1，
∴0≤t＜6，
∴PB=6-t，
；
②当点P在CB的延长时，如图2，
∴t＞6，
∴PB=t-6，
，
即： ；
（3）解：由（1）知， ，
∴ ，
∵点D是点E关于点A的对称点，
∴ ，
∴ ，
如图3，
∵四边形DPNM是矩形，
∴∠DPN=90°=∠DON，
∴NP⊥DP，NO⊥OD，
∵DN是∠PDO的平分线，
∴NO=NP，
在Rt△NDO和Rt△NDP中，
，
∴Rt△NDO≌Rt△NDP（HL），
∴ ，
∵P（t，8）， ，
∴ ，
∴ ， （点P在线段BC上，舍去）
∴P（4，8）
设N（0，n），
∴ON=n，
∴PN=n，CN=OC-ON=8-n，
在Rt△CNP中，根据勾股定理得，CN2+CP2=PN2，
∴（8-n）2+16=n2，
∴n=5，
∴N（0，5），
即点P（4，8）平移到N（0，5），向左平移四个单位，向下平移3个单位，
点D（10，0）由此方式平移后得到的M（6，-3）．
故当t=4时，四边形 为矩形，此时M（6，-3）．
【解析】【分析】（1）先确定出点A的坐标，进而得出OA，最后在Rt△OEF中，利用勾股定理求出OE即可得出点E的坐标；（2）分两种情况，用三角形的面积公式即可解决问题；（3）先利用对称求出点D的坐标，进而得出OD，由角平分线的性质定理得出DP=OD求出点P的坐标，再利用勾股定理求出点N的坐标，根据矩形的性质，由点的平移方式即可求得点M的坐标．
21．如图，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．
（1）求证：∠EFA＝90°﹣ ∠B；
（2）若∠B＝60°，求证：EF＝DF．
【答案】（1）证明：∵∠BAC＋∠BCA＝180°﹣∠B，
又∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC＝ ∠BAC，∠FCA＝ ∠BCA，
∴∠FAC＋∠FCA＝ ×（180°﹣∠B）＝90°﹣ ∠B，
∵∠EFA＝∠FAC＋∠FCA，
∴∠EFA＝90°﹣ ∠B．
（2）证明：如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M．
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG＝FH＝FM，
∵∠EFH＋∠DFH＝120°，
∠DFG＋∠DFH＝360°﹣90°×2﹣60°＝120°，
∴∠EFH＝∠DFG，
在△EFH和△DFG中，
，
∴△EFH≌△DFG（AAS），
∴EF＝DF．
【解析】【分析】（1）由 ∠FAC＝ ∠BAC，∠FCA＝ ∠BCA， 推出 ∠FAC＋∠FCA＝ ×（180°﹣∠B）＝90°﹣ ∠B， 再利用等量代换求解即可；（2） 过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M，构造全等三角形求解即可。
22．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM.MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点.
（1）已知M、N把线段AB分割成AM，MN，NB，若，AM=2.5，MN=6.5，BN=6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，求BN的长.
【答案】（1）解：点M，N是线段AB的勾股分割点，理由如下：
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴以AM，BN，MN为边的三角形是直角三角形，
∴点M，N是线段AB的勾股分割点；
（2）解：设BN=x，
则MN=30-AM-BN=25-x，
①当MN是最长边时，
∵点M，N是线段AB的勾股分割点，
∴ ，
∴ ，
解得：x=12；
②当BN是最长边时，
∵点M，N是线段AB的勾股分割点，
∴ ，
∴ ，
解得：x=13；
【解析】【分析】（1）根据已知条件可得AM2+BN2=MN2，则以AM，BN，MN为边的三角形是直角三角形，据此判断；
（2）设BN=x，则MN=25-x，①当MN是最长边时，AM2+BN2=MN2，代入求解可得x的值；②当BN是最长边时，AM2+MN2=BN2，代入求解可得x的值.
23．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某些原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米.
（1）是否是从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明.
（2）原路比新路多多少千米？
【答案】（1）解：是从村庄C到河边最近的路，
理由：在中，千米，千米，千米，
，
是直角三角形，，
∵垂线段最短，
是从村庄C到河边最近的路
（2）解：，
∴设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
∴原路比新路多千米.
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判断出△BCH是直角三角形，且∠CHB是直角，进而根据垂线段最短即可得出答案；
（2）在Rt△ACH中，利用勾股定理建立方程算出AC的长，进而即可求出答案.
24．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的图象如图所示：
（1）客车的速度是 千米/小时，出租车的速度是 千米小时；
（2）求两车相遇的时间.
【答案】（1）60；100
（2）解：设y1=k1x，由图可知，函数图象经过点（10，600），
∴10k1=600，
解得：k1=60，
∴y1=60x（0≤x≤10），
设y2=k2x+b，由图可知，函数图象经过点（0，600），（6，0），则
，
解得： ，
∴y2=-100x+600（0≤x≤6）；
由题意，得
60x=-100x+600，
解得：x= .
答：两车相遇的时间为 小时.
【解析】【解答】解：（1）客车的速度为600÷10=60km/h，
出租车的速度为600÷6=100km/h，
故答案为：60；100；
【分析】（1）根据图中数据，利用速度=路程÷时间可得结果；（2）运用待定系数法就可以求出y1、y2关于x的函数图关系式，根据y1=y2列等式，求出即可.
25．如图， 为直线 上一点， ， 平分 ， .
（1）求 的度数.
（2）试判断 是否平分 ，并说明理由.
【答案】（1）解：∵ ， 平分 ，
∴ =65°，
∵ ，
∴ =90°+65°=155°.
（2）解： 平分 ，理由如下：
∵由（1）知 =155°，
∴ =180°-155°=25°，
∵ ， 平分 ， ，
∴ =90°-65°=25°，
∴ =25°，即有 平分 .
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义，可得∠BOE=∠BOC=65°，根据垂直定义可得∠DOE=90°，根据∠BOD=∠BOE+∠DOE计算即得结论.
（2）OD平分∠AOC，理由：利用（1）结论及邻补角可求出∠AOD=25°，由∠DOC=∠DOE-∠BOE=25°，故∠AOD=∠DOC=25°，根据角平分线的判定即得结论.
26．定义：如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么这个三角形叫“恰等三角形”，这条中线叫“恰等中线”.
（直角三角形中的“恰等中线”）
（1）如图1，在 中， ， ， ， 为 的中线.
求证： 是“恰等中线”.（等腰三角形中的“恰等中线”）
（2）已知，等腰 是“恰等三角形”， ，求底边 的平方.
【答案】（1）解：∵ 为 的中线，
∴ ，
∵ ，
∴ .
∵ ， ，
∴
∴ ，
∴ 是“恰等中线”；
（2）解：∵等腰 是“恰等三角形”， ，
分两种情况：
如图③，当腰上的中线 时，则 ，过 作 于 ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ 中， ，
∴ 中， ；
如图④，当底边上的中线 时，
则 ，且 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴
综上所述，底边 的平方为600或320.
【解析】【分析】（1）利用三角形中线的定义求出CM的长，再利用勾股定理求出AM的长，从而可推出AM=CM=2，由此可证得结论.
（2）分情况讨论： 如图③，当腰上的中线 时，则AB=BD，过 作 于 ，利用等腰三角形的性质求出DE的长，从而可求出CE的长；再利用勾股定理求出BC2的值； 如图④，当底边上的中线 时，可得到AD=2BD，设BD=x，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到BC2的值.
27．下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程．
已知：中，∠ABC=90°．
求作：矩形．
作法：如图，
①作线段AC的垂直平分线交AC于点O；
②连接BO并延长，在延长线上截取OD=OB
③连接AD，CD
所以四边形ABCD即为所求作的矩形
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵OA= ▲ ，OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形（ ）（填推理的依据）.
∵∠ABC=90°，
四边形ABCD是矩形（ ）（填推理的依据）
【答案】（1）解：根据题意作图如下，矩形即为所求；
（2）解：由作图可知OA=OC，
又OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵∠ABC=90°，
四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），
故答案为：OC，对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【解析】【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；
（2）根据平行四边形的判定方法和矩形判定方法即可完成证明.
28．如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）已知，若，求的长度．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴且，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形
（2）解：∵
∴
又∵
∴
∴
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质及矩形的判定定理即可求出答案。
（2）根据三角形内角和定理求出，再利用勾股定理即可求出答案。
29．某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一位个体车主或一家出租车公司其中的一个签订月租车合同，设汽车每月行驶x千米，应付给个体车主的月租费用是y1元，应付给出租车公司的月租费用是y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系如图，观察图象回答下列问题：
（1）求y1、y2分别与x之间的函数关系式；
（2）每月行驶的路程等于多少时，两种租车方案所需费用相同？
（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2400千米，那么这个单位如何租车合算？请说明理由．
【答案】（1）解：设y1=k1x(k1≠0) ，根据题意，得2000=1500k，解得k1=
∴y1= x，设y2 =k2x+b(k2≠0)，
根据题意，得b=1000①，2 000=1500k2+b②，
将①代入②得k2= ，y2 = x+1 000．
（2）解：当每月行驶1 500千米时，两种租车方案所需费用相同．
（3）解：当x=2 400时，y1= ×2400=3200，y2= ×2400+1000=2600，
∴y1>y2，
所以，当每月行驶的路程为2 400千米时，选择出租车公司合算．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）求出每月行驶1 500千米 即可作答；
（3）将x=2400代入函数解析式计算求解即可。
30．某班“数学兴趣小组”结合自己的学习经验，对新函数 的图象、性质进行探究，探究过程如下，请把表格补充完整．
…… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ……
…… ……
（1）下表是 与 的几组对应值．
， ．
（2）在平面直角坐标系中，描出相应的点，画出函数的图象．
（3）函数性质探究：观察函数图象，写出该函数图象的一条性质： ．
（4）综合应用：已知函数y= 的图像如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 的解集．（精确到 ，误差不超过 ）
【答案】（1）1；
（2）解：描点（-4， ），（-3， ），（-2， ），（-1，1），（ ， ），（0， ），（ ， ），（1， ），（2， ），（3， ），（4， ），
用平滑线连接可得函数图象如图；
（3）①当 ，函数有最小值 ；②当 时，函数值随x的增大而减小；③当 时，函数值随x的增大而增大
（4）解：不等式 在图像上反应为 的图像在 函数图象的上方，在两函数图象两交点的左侧和右侧，左交点的横坐标在 与0中间，取x= ，右交点的横坐标为3，
∴ 或 ；
【解析】【解答】解：（1）当x=-1时， ，
当x=1时，
故答案为：1， ；
（3）①当 ，函数有最小值 ；
②当 时，函数值随x的增大而减小；
③当 时，函数值随x的增大而增大，
【分析】(1)把x=-1及x=1代入函数式求函数值即可；
(2)描点，并用平滑线连接即可得函数图象；
(3) ① 根据函数的最小值和函数的增减趋势作答即可；
(4)利用图象法解找出 的图象在的图象上方的x的范围即可.
31．A、B两地相距60km，甲从A地去B地，乙从B地去A地，图中l1、l2分别表示甲、乙两人离B地的距离y（km）与甲出发时间x（h）的函数关系图象.
（1）根据图象，直接写出乙的行驶速度；
（2）解释交点A的实际意义；
（3）甲出发多少时间，两人之间的距离恰好相距5km；
（4）若用y3（km）表示甲乙两人之间的距离，请在坐标系中画出y3（km）关于时间x（h）的函数关系图象，注明关键点的数据.
【答案】（1）解：由图象可得，
乙的行驶速度为：60÷（3.5-0.5）=20km/h.
（2）解：设l1对应的函数解析式为y1=k1x+b1，
得
即l1对应的函数解析式为y1=-30x+60，
设l2对应的函数解析式为y2=k2x+b2，
，得
即l2对应的函数解析式为y2=20x-10，
又
即点A的坐标为（1.4，18），
∴点A的实际意义是在甲出发1.4小时时，甲乙两车相遇，此时距离B地18km；
（3）解：由题意可得，
|（-30x+60）-（20x-10）|=5，
解得，x1=1.3，x2=1.5，
答：当甲出发1.3h或1.5h时，两人之间的距离恰好相距5km；
（4）解：由题意可得，
当0≤x≤0.5时，y3=-30x+60，
当0.5＜x≤1.4时，y3=y1-y2=（-30x+60）-（20x-10）=-50x+70，
当1.4＜x≤2时，y3=y2-y1=（20x-10）-（-30x+60）=50x-70，
当2＜x≤3.5时，y3=20x-10，
y3（km）关于时间x（h）的函数关系图象如图2所示．
【解析】【分析】（1）（2）根据函数图象中的数据可以求乙的行驶速度，并求出点A的坐标，说出点A的实际意义；（3）根据（1）中的函数解析式，可以列出相应的等式，从而可以求得甲出发多少时间，两人之间的距离恰好相距5km；（4）根据函数图象中的数据可以求得y3（km）关于时间x（h）各段的函数解析式，从而可以画出相应的图象．
32．如图，已知线段AB和AB外一点C.
（1）求作： ABCD；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若∠B+∠D＝220°，求∠A的度数.
【答案】（1）解：如图：四边形ABCD即为所求；
（2）解：∵平行四边形ABCD
∴∠B=∠D，∠A+∠D＝180°
∵∠B+∠D＝220°
∴∠B=∠D＝110°
∴∠A=180°-∠D＝70°.
【解析】【分析】（1）连接BC，再分别以A、C为圆心，BC、AB的长为半径画弧，两弧交于点D，连接CD、AD，则四边形ABCD 即为所求；
（2）根据平行四边形的对角相等、邻角互补可得∠B=∠D，∠A+∠D＝180°，继而得解.
33．已知直线.
（1）当a为何值时？该直线过原点；
（2）当a为何值时？该直线不经过第二象限.
【答案】（1）解：∵一次函数图象经过原点
∴
解得.
（2）解：∵一次函数图象不经过第二象限
∴
解得：.
【解析】【分析】（1）将O（0，0）代入y=(2a+4)x-(3-a)中进行计算可得a的值；
（2）由一次函数y=kx+b（k、b是常数，且k≠0）的图象不经过第二象限可得k>0、b≤0，据此可得关于a的不等式组，求解即可.
34．如图，四边形 中， ， 相交于点 ，点 是 的中点， ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ，且 ，求 的长．
【答案】（1）证明：∵ 是 的中点，∴ ，
∵ ，∴ ，
在 和 中， ，
∴ ≌ ，∴ ，
∵ ，∴四边形 是平行四边形．
（2）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）证明 ≌ ，可得，由线段的中点可得OA=OC，根据对角线互相平分即证四边形 是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质可得，，在Rt△AOD中，利用勾股定理求出OA，即得AC.
35．在建设社会主义新农村过程中，某村委决定投资开发项目，现有6个项目可供选择，各项目所需资金及预计年利润如下表：
所需资金（亿元） 1 2 4 6 7 8
预计利润（千万元） 0.2 0.35 0.55 0.7 0.9 1
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果预计要获得0.9千万元的利润，你可以怎样投资项目？
（3）如果该村可以拿出10亿元进行多个项目的投资，预计最大年利润是多少？说明理由．
【答案】（1）所需资金和利润之间的关系．
所需资金为自变量．年利润为因变量；
（2）可以投资一个7亿元的项目．
也可以投资一个2亿元，再投资一个4亿元的项目．
还可以投资一个1亿元，再投资一个6亿元的项目．
答：可以投资一个7亿元的项目；也可以投资一个2亿元，再投资一个4亿元的项目；还可以投资一个1亿元，再投资一个6亿元的项目．
（3）共三种方案：①1亿元，2亿元，7亿元，利润是 亿元．
②2亿元，8亿元，利润是 亿元．
③4亿元，6亿元，利润是 亿元．
∴最大利润是 亿元．
答：最大利润是 亿元．
【解析】【分析】（1）分别根据变量、因变量的定义分别得出即可；（2）根据图表分析得出投资方案；（3）分别求出不同方案的利润进而得出答案．
36．如图，点是上一点.
（1）请用直尺和圆规过点作出的一条切线；（不要求写出作法，不要求证明，但要保留作图痕迹）
（2）若（1）所作切线上取一点，满足，若半径为2，求的长.
【答案】（1）解：如图即为所求，
（2）解：如图，连接OB，
，OA=2，AB=3
在中，
【解析】【解答】解：（1）如图：连接OM、CM
由作法可知：点A是线段OC的中点，OM=CM
又是半径
是的切线.
【分析】（1）连接OM、CM，由作法可知：点A是线段OC的中点，OM=CM，根据等腰三角形的性质可得AM⊥OC，则MA为切线；
（2）连接OB，根据勾股定理就可求出BO的长.
37．如图，在四边形 中， ，点E在线段 上， .
（1）求证： .
（2）连结 ，当 ，求 的长.
【答案】（1）证明： ，
.
，
.
，
.
（2）解： ，
.
，
.
.
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质，结合垂直的定义，利用角角边定理证明 即可；
（2）先根据勾股定理求出BC长，然后由全等等三角形的性质得出AD的长，最后在Rt△ACD中利用勾股定理求CD即可.
38．【备用性质】
对于正方形ABCD，具有下面的性质：
①四边都相等，即：AB=BC=CD=AD；
②四角都是直角，即：∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°；
③对角线相等且互相平分，即：AC=BD=2AO=2BO
④对角线互相垂直，即：AC⊥BD．
【问题解决】
如图，点G是正方形ABCD对角线CA延长线上一点，以线段AG为边作正方形AGFE，EB与GD交于点H．
（1）写出△EAB≌△GAD的理由；
（2）若BD=12，AG=2，求EB的长．
【答案】（1）解：∵ 四边形ABCD，AGFE是正方形，∴ AB=AD，AE=AG，∠DAB=∠EAG=90°，∴∠EAB=∠GAD，∴ △EAB≌△GAD．
（2）解：∵△EAB≌△GAD，∴BE=DG． ∵ 四边形ABCD， BD=12，∴ AC⊥BD，BD=AC=2OD=2OA，∴ ∠DOG=90°，OD=OA=6，∵AG=2，∴ OG=AG+OA=8，∴，∴BE=DG=10．
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可得AB=AD，AE=AG，∠DAB=∠EAG=90°，再利用“SAS”证明△EAB≌△GAD即可；
（2）根据全等三角形的性质可得BE=DG，再求出OG的长，最后利用勾股定理求出DG的长即可。
39．已知，如图，在 中， ， 于 ， 的平分线交 于 ，交 于 ， 的角平分线 交 于 ，交 于 ．
（1）求证： ；
（2）判断 与 的位置关系，并说明理由．
（3）再找出二组相等的线段：① ；② ．
【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ ， ，
又∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
（2）解： ，
理由如下：
由(1)得 ，
∵ 平分 ，
∴ (三线合一)，
∴
（3）EF=FH；BA=BG
【解析】【解答】(3)由(2)得： ；
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵∠AGB=∠GAC+∠C，∠BAG=∠BAD+∠DAG，
∴∠AGB=∠BAG，
∴ ．
故答案为： ，
【分析】(1)利用等角的余角相等结合对顶角相等即可证明结论；(2)利用(1)的结论，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得 与 相互垂直；(3)根据(2)的结论知 ，利用三角形外角的性质可得∠AGB=∠GAC+∠C，利用同角的余角相等的性质证得∠BAD=∠C，根据角平分线的性质即可证得∠AGB=∠BAG，得到BA=BG．
40．如图，已知点 在 的 边上， 交 于 ， 交 于 ．
（1）求证： ；
（2）若 平分 ，试判断四边形 的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵DE∥AC，DF∥ AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF
（2）解：若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；
理由：∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
∵DE∥AC，
∴∠ADE=∠FAD，
∴∠EAD=∠ADE，
∴AE=DE，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形
【解析】【分析】（1）先证明四边形AEDF是平行四边形， 再根据平行四边形的性质求解即可；
（2）先求出 ∠EAD=∠FAD， 再求出 ∠EAD=∠ADE， 最后证明求解即可。
41．已知 ， 在直线 上．
（1）若点A（-2，1），B（1，2），求直线AB的解析式；
（2）若 ， ， ．试比较 和 的大小，并说明理由．
【答案】（1）解：把点A（-2，1），B（1，2）代入直线 得：
，解得 ，
直线解析式为 ；
（2）解： ，理由如下：
把 ， 代入直线 ，可得 ，
，
， ，
，
，
， ，
，
，
．
【解析】【分析】（1）把点A、B的坐标代入直线解析式进行求解即可；（2）把 ， 代入直线 ，可得 ，然后把这两式相加，进而可得 ，最后根据 及 可求解．
42．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交线段BC于点E，交线段DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG.
（1）如图1，证明平行四边形ECFG为菱形；
（2）如图2，若∠ABC=90°，M是EF的中点，求∠BDM的度数；
（3）如图3，若∠ABC=120°，请直接写出∠BDG的度数.
【答案】（1）证明：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形.
（2）解：如图，连接BM，MC，
∵∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF=90°，
∴四边形ECFG为正方形.
∵∠BAF=∠DAF，
∴BE=AB=DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM=∠ECM=45°，
∴∠BEM=∠DCM=135°，
在△BME和△DMC中，
∵
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB=MD，
∠DMC=∠BME.
∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°，
∴△BMD是等腰直角三角形，
∴∠BDM=45°；
（3）解：∠BDG=60°，
延长AB、FG交于H，连接HD.
∵AD∥GF，AB∥DF，
∴四边形AHFD为平行四边形，
∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD，
∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°，
∴△DAF为等腰三角形，
∴AD=DF，
∴平行四边形AHFD为菱形，
∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形，
∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°，
∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，
∴BH=GF，
在△BHD与△GFD中，
∵ ，
∴△BHD≌△GFD（SAS），
∴∠BDH=∠GDF
∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对边平行得出 AD∥BC，AB∥CD， 根据平行线的性质及角平分线的定义、等量代换得出 ∠CEF=∠CFE， 根据等角对等边得出 CE=CF， 根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出结论；
（2） 如图，连接BM，MC， 首先判断出四边形ABCD是矩形， 四边形ECFG为正方形，根据等角对等边及矩形的性质得出 BE=AB=DC，根据正方形的性质得出 ∠CEM=∠ECM=45°， 从而根据角的和差得出 ∠BEM=∠DCM=135°， 利用SAS判断出 △BME≌△DMC ，根据全等三角形对应边相等、对应角相等得出 MB=MD， ∠DMC=∠BME， 进而判断出 △BMD是等腰直角三角形， 根据等腰直角三角形的性质即可得出结论 ∠BDM=45°；
（3） ∠BDG=60°， 利用如下： 延长AB、FG交于H，连接HD，首先判断出 四边形AHFD为平行四边形， △DAF为等腰三角形， 根据等腰三角形的性质得出AD=DF，故平行四边形AHFD为菱形， △ADH，△DHF为全等的等边三角形， 然后根据等边三角形的性质得出 DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°， 故 BH=GF， 由SAS判断出 △BHD≌△GFD ，根据全等三角形对应角相等得出 ∠BDH=∠GDF 根据角的和差及等量代换即可得出答案。
43．如图，平行四边形 在直角坐标系中，点B、点C都在x轴上，其中 ， ， ，E是线段 的中点．
（1）直接写出点C，D的坐标；
（2）平面内是否存在一点N，使以A、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）C (3，0)，D (6，4)
（2）存在， ( ， )， ( ， )， ( ， )
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，
∵OB=3，
∴OC=6-3=3，
∴点C的坐标为(3，0)，点D的坐标为(6，4)；
（2）存在，
理由如下：
∵E是线段OD的中点，
∴点E的坐标为( ， )，即(3，2)，
设点N的坐标为(x，y)，
当AD为对角线时，
， ，
解得： ， ，
∴ 的坐标为( ， )；
当DE为对角线时，
， ，
解得： ， ，
∴ 的坐标为( ， )；
当AE为对角线时，
， ，
解得： ， ，
∴ 的坐标为( ， ) ．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出BC=AD=6，从而求出OC=BC-OB=3，从而得出点C、D的坐标；（2）存在.理由：分三种情况：①当AD为对角线时，②当DE为对角线时，③当AE为对角线时，利用中点坐标公式即可求解.
44．已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ；
（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数(写出解答过程)；
（3）如果图2中，∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系(直接写出结论即可).
【答案】（1）∠A+∠D=∠B+∠C
（2）解：由（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，
∴∠1-∠3=∠P-∠D，∠2-∠4=∠B-∠P，
又∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠P-∠D=∠B-∠P，
即2∠P=∠B+∠D，
∴∠P=（40°+30°）÷2=35°．
（3）解：由（2）的解题步骤可知，∠P与∠D、∠B之间的数量关系为：2∠P=∠B+∠D．
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°，易得∠A+∠D=∠B+∠C；（2）仔细观察图2，得到两个关系式∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，再由角平分线的性质得∠1=∠2，∠3=∠4，两式相减，即可得结论．（3）参照（2）的解题思路.
45．已知：如图，在正方形ABCD外取 点E，连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE于点P，已知AE=AP=BE=1.
（1）求证：△APD≌△AEB；
（2）连接PC，求线段PC的长度；
（3）试求正方形ABCD的面积。
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AE⊥AP，
∴∠EAP=90°，
∴∠EAB=∠DAP，
在△APD与△AEB中，
，
∴△APD≌△AEB；
（2）解：连接PB，PC，由(1)证得△APD≌△AEB，
∴PD=AE，∠ADO=∠ABE，
∵AE=AP，
∴PD=AP，
∴∠PAD=∠PDA，
∴∠BAP=∠CDP，
在△ABP与△DCP中，
，
∴△ABP≌△DCP，
∴PB=PC，
∵∠BOE=∠AOP，
∴∠BEO=∠BAD=90°，
∵PE= AP= ，
∴PB= ，
∴PC=PB= ；
（3）解：过A作AM⊥PE于M，
∴AM=PM= PE= ，
∴DM=1+ ，
∴AD= ，
∴正方形ABCD的面积=AD =2+ .
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得出 AB=AD，∠BAD=90°， 根据同角的余角相等得出 ∠EAB=∠DAP， 从而利用SAS判断出 △APD≌△AEB；
（2） 连接PB，PC，由(1)证得△APD≌△AEB， 根据全等三角形的性质得出 PD=BE，∠ADO=∠ABE， 又 BE=AP， 故 PD=AP， 根据等边对等角得出 ∠PAD=∠PDA， 根据等角的余角相等得出 ∠BAP=∠CDP， 从而利用SAS判断出 △ABP≌△DCP， 根据全等三角形对应边相等得出 PB=PC；根据三角形的内角和及等式的性质得出 ∠BEO=∠BAD=90°， 然后根据勾股定理算出PE，PB的长从而得出答案；
（3） 过A作AM⊥PE于M， 根据等腰直角三角形的性质得出 AM=PM= PE= ， 进而在Rt三角形ADM中利用勾股定理算出AD的长，从而根据正方形的面积计算公式即可算出答案。
46．如图
（1）如图，三个正方形围成了一个直角三角形，三个正方形的面积分别为，若，则
（2）如图，在中，，分别以为边在外侧作等边三角形，则之间的关系为
（3）①如图，在中，，分别以为边在外侧作等腰直角三角形，则（2）中的关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．
②如图，在五边形中，，连接．求五边形的面积．
【答案】（1）625
（2）
（3）解：如图，在 上截取 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴五边形 的面积为 ．
【解析】【解答】解：（1）如图，
∵三个正方形围成了一个直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为：625
（2）如图，分别过点A，E，F作 ，垂足分别为M，H，N，
设 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ 是等边三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：
【分析】（1）由三个正方形围成了一个直角三角形，得出 ，再根据 ，即可得解；
（2）分别表示出 进而得出结果；
（3） ①分别表示出 进而得出结果； ②在 上截取 ，连接 ， 利用勾股定理得出AF的值，再根据 ， 得出 ， 由此得出DF的值，从而得出AD的值，再根据勾股定理得出 ， 再利用三角形面积公式得出 ，再求出 的面积 ，即可得出五边形的面积。
47．思维探索：
在正方形ABCD中，AB＝4，∠EAF的两边分别交射线CB，DC于点E，F，∠EAF＝45°.
（1）如图1，当点E，F分别在线段BC，CD上时，△CEF的周长是 ；
（2）如图2，当点E，F分别在CB，DC的延长线上，CF＝2时，求△CEF的周长；
【答案】（1）8
（2）解：如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°到AD，交CD于点G，
同（1）可证得△AEF≌△AGF，
∴EF＝GF，且DG＝BE，
∴EF＝DF﹣DG＝DF﹣BE，
∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+CF+DF﹣BE＝BC+DF+CF＝4+4+2+2＝12；
拓展提升：
如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，过点B作BD⊥BC，连接AD，在BC的延长线上取一点E，使∠EDA＝30°，连接AE，当BD＝2，∠EAD＝45°时，请直接写出线段CE的长度.
解：如图3，过A作AG⊥BD交BD的延长线于G，
∵BD⊥BC，∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CBG＝∠G＝90°，
∴四边形ACBG是矩形，
∵AC＝BC，
∴矩形ACBG是正方形，
∴AC＝AG，∠CAG＝90°，
在BG上截取GF＝CE，
∴△AEC≌△AGF（SAS），
∴AE＝AF，∠EAC＝∠FAG，
∵∠EAD＝∠BAC＝∠GAB＝45°，
∴∠DAF＝∠DAE＝45°，
∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADF（SAS），
∴∠ADF＝∠ADE＝30°，
∴∠BDE＝60°，
∵∠DBE＝90°，BD＝2，
∴DE＝DF＝4，BE＝2 ，
设CE＝x，则GF＝CE＝x，BC＝BG＝2 ﹣x，
∴DG＝2+2 ﹣x，
∴DG﹣FG＝DF，
即2+2 ﹣x﹣x＝4，
∴x＝ ﹣1，
∴CE＝ ﹣1.
【解析】【解答】解：思维探索：（1）如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，
∴GB＝DF，AF＝AG，∠BAG＝∠DAF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠EAF，
在△AGE和△AFE中
∴△AGE≌△AFE（SAS），
∴GE＝EF，
∵GE＝GB+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF，
∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+BE+DF+CF＝BC+CD＝8，
故答案为：8；
【分析】（1）利用旋转的性质，证明△AGE≌△AFE即可；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°到AD，交CD于点G，证明△AEF≌△AGF即可求得EF＝DF﹣BE；
拓展提升：如图3，过A作AG⊥BD交BD的延长线于G，推出四边形ACBG是矩形，得到矩形ACBG是正方形，根据正方形的性质得到AC＝AG，∠CAG＝90°，在BG上截取GF＝CE，根据全等三角形的性质得到AE＝AF，∠EAC＝∠FAG，∠ADF＝∠ADE＝30°，解直角三角形得到DE＝DF＝4，BE＝2 ，设CE＝x，则GF＝CE＝x，BC＝BG＝2 ﹣x，根据线段的和差即可得到结论.
48．已知：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，且AE＝BF＝CG＝DH，
（1）四边形EFGH是正方形吗？为什么？
（2）若正方形ABCD的边长为4cm，且AE＝BF＝CG＝DH＝3cm，请求出四边形EFGH的面积.
【答案】（1）解：四边形EFGH是正方形；
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA
∵AE=BF=CG=DH
∴AH=BE=CF=DG
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS）
∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE
∴四边形EFGH是菱形
∵∠BEF+∠BFE=90°
∴∠BEF+∠AEH=90°
∴∠HEF=90°
∴四边形EFGH是正方形
（2）解：∵正方形ABCD的边长为4cm，且AE=BF=CG=DH=1cm，
∴AE=BF=CG=DH=3
∴正方形EFGH的面积= .
【解析】【分析】（1）由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，证出AH=BE=CF=DG，由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，证出四边形EFGF是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出结论；（2）根据勾股定理求得正方形的边长，然后即可求得面积.
49．给出如下规定：两个图形和，点P为上任一点，点Q为上任一点，如果线段的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形和之间的距离．
在平面直角坐标系中，O为坐标原点．
（1）点A的坐标为，则点和射线之间的距离为 ，点和射线之间的距离为 ．
（2）点E的坐标为，将射线绕原点O逆时针旋转，得到射线，在坐标平面内所有和射线之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M．
①在坐标系中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）
②将抛物线与图形M的公共部分记为图形N，射线，组成的图形记为图形W，请直接写出图形W和图形N之间的距离．
【答案】（1）3；5
（2）解：①如图1：反向延长得到射线，，
∴图形M为y轴的正半轴、射线、射线，以及的内部区域；
②
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴B点x轴的距离为3，
∴点和射线之间的距离为3，
∵，
∴CO＝5，
∴点和射线之间的距离为5，
故答案为：3，5；
（2）②如图2所示，图形N为图中阴影部分，
由①可知，图形N中的点到射线、射线的距离相等，
∴图形W与图形N之间的距离即为与O点的距离，
∵，
∴，
∴图形W与图形N之间的距离为．
【分析】（1）根据定义可知，点和射线之间的距离为3，点和射线之间的距离为5，即可得解；
（2）①反向延长得到射线，，即可得出图形M为y轴的正半轴、射线、射线，以及的内部区域；②由①可知，图形N中的点到射线、射线的距离相等，得出图形W与图形N之间的距离即为与O点的距离，即可得解。
50．我国正在迈入“5G时代”，而我们的华为在5G核心专利上排世界第一，引来美国对华为的打压，国家从上而下都在支持华为，某手机店准备进一批华为手机，经调查，用80000元采购A型华为手机的台数和用60000元采购B型华为手机的台数一样，一台A型华为手机的进价比一台B型华为手机的进价多800元．
（1）求一台A，B型华为手机的进价分别为多少元？
（2）若手机店购进A，B型华为手机共60台进行销售，其中A型华为手机的台数不大于B型华为手机的台数，且不小于20台，已知A型华为手机的售价为4200元/台，B型华为手机的售价为2800元/台，且全部售出，手机店怎样安排进货，才能在销售这批华为手机时获最大利润，求出最大利润．
【答案】（1）解：设一台A型华为手机的进价为x元，则一台B型华为手机的进价为（x-800）元，
由题意可得：，
解得x=3200，
经检验，x=3200是原分式方程的解，
∴x-800=2400，
答：一台A型华为手机的进价为3200元，一台B型华为手机的进价为2400元；
（2）解：设购进A型华为手机a台，则购进B型华为手机（60-a）台，总利润为w元，
由题意可得：w=（4200-3200）a+（2800-2400）（60-a）=600a+24000，
∴w随a的增大而增大，
∵A型华为手机的台数不大于B型华为手机的台数，且不小于20台，
∴20≤a≤60-a，
解得20≤a≤30，
∴当a=30时，w取得最大值，此时w=42000，60-a=30，
答：当购进A型华为手机30台，购进B型华为手机30台时，才能在销售这批华为手机时获最大利润，最大利润是42000元．
【解析】【分析】（1）设一台A型华为手机的进价为x元，则一台B型华为手机的进价为（x-800）元，根据题意列出方程求解即可；
（2）设购进A型华为手机a台，则购进B型华为手机（60-a）台，总利润为w元，根据题意列出函数解析式w=（4200-3200）a+（2800-2400）（60-a）=600a+24000，再利用一次函数的性质求解即可。
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