初中数学冀教版（2024）七年级上册 第五章 一元一次方程 综合素质评价（含答案）

第五章 一元一次方程 综合素质评价
一、选择题（每题3分，共36分）
1．下列式子中，方程的个数是（ ）
；；；；；
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2．下列运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A. 如果，那么 B. 如果，那么
C. 如果，那么 D. 如果，那么
3．下列方程中，解为的是（ ）
A. B.
C. D.
4．若关于的方程的解为，则的值是（ ）
A. 2.5 B. 1 C. D. 3
5．小荣在解方程时，不小心用橡皮把其中的一项擦掉了，他只记得那一项不含，看答案知道这个方程的解是，那么“·”处的数应该是（ ）
A. 2 B. C. D. 1
6．已知关于的方程与的解相同，则的值是（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
7．已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
8．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足.”其大意为：孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完.设孩童有人，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
9．学校举行了环保知识竞赛，竞赛中每答对一题加5分，答错一题扣3分，一共20道题，小芳完成了全部答题，并在本次竞赛中获得了76分，则她答对了（ ）
A. 15道 B. 16道 C. 17道 D. 18道
10．已知关于的方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为（ ）
A. B. 2 C. 7 D.
11．现定义运算“*”，对于任意有理数与，满足例如:，.若有理数满足，则（ ）
A. 21或4 B. 5或21 C. 4 D. 5
12．如图，在长方形中，，，点是上的一点，且.点从点出发，以的速度沿点匀速运动，最终到达点.设点运动的时间为，若三角形的面积为，则的值为（ ）
（第12题）
A. 或 B. 或或 C. 或6 D. 或6或
二、填空题（每题3分，共12分）
13．写出一个解为，且未知数的系数为2的一元一次方程:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
14．某电商平台决定举办“跨年”促销活动，对网上销售的某种蓝牙耳机按成本价提高后标价，又以九折优惠卖出，结果每个耳机仍可获利8元，若设这种耳机每件的成本为元，则可列方程：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
15．幻方最早源于我国，古人称之为纵横图.如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则的值为____________.
（第15题）
16．如图，七个一模一样的小长方形平铺在大长方形中.若，阴影部分的周长是16，阴影部分的周长是22，则长方形的面积是_ _ _ _ .
（第16题）
三、解答题（共72分）
17．（6分）若是关于的一元一次方程，求的值.
18．（6分）解方程：
（1） ；
（2） .
19．（8分）在解方程时，小刚在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为，请求出的值和方程正确的解.
20．（8分）有一个数学游戏，如图，一个数从，，三个位置中任选一个位置出发，按照通道内标注的要求进行运算到下一个位置.例如：将3按照（或）的顺序进行运算，即3经过“乘以”的运算得出结果.
（1） 将按照的顺序进行运算，列出算式并求出运算结果.
（2） 将一个数按照的顺序进行运算，发现运算结果为1.求这个数.
21．（10分）某文艺团体为公益募捐组织了一场义演，成人票每张80元，学生票每张50元，共售出1 000张票，所得票款可能是69 300元吗？为什么？可能是69 320元吗？如果可能，那么成人票比学生票多售出多少张？
22．（10分）环形跑道一圈长，小明同学在跑道上练习骑自行车，平均每分钟骑；小军同学在跑道上练习跑步，起初平均每分钟跑.
（1） 若两人从同一处同时反向出发，经过多长时间两人首次相遇？
（2） 若两人从同一处同时同向出发，小军同学跑1分钟后，体能下降，平均速度下降到每分钟跑，经过多长时间两人首次相遇？
23．（12分）定义：关于的方程与（,均为不等于0的常数）称互为“反对方程”.例如：方程与互为“反对方程”；方程，通过转化可得，所以与互为“反对方程”.
（1） 若关于的方程与（为不等于0的常数）互为“反对方程”，则_ _ _ _ ；
（2） 若关于的方程（为不等于0的常数）的解为，求的值及它的“反对方程”的解；
（3） 若关于的方程（为不等于0的常数）的解为，请直接写出的解.
24．（12分）如图①，点，，依次在直线上，将射线绕点沿顺时针方向以每秒 的速度转动，同时将射线绕点沿逆时针方向以每秒 的速度转动（如图②），设转动时间为秒.
① ②
（1） _ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ .（均用含 的代数式表示）
（2） 在转动过程中，当 时，求的值.
（3） 在转动过程中，是否存在这样的，使得射线是由，，中的两条射线组成的角（指大于 而不超过 的角）的平分线？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．A
2. B
3．D
4．B
5．D
6．C
7．D
8．D
9．C
10．D
【点拨】，整理得，当，即时，方程的解是.因为关于的方程有整数解，为整数，所以或或或或或或或，所以或或或或或或1或6，所以满足条件的所有整数的和为，故选.
11．D
【点拨】因为,所以当时，,所以,解得;当时，,所以,解得（不合题意，舍去）.综上，.故选.
12．C
【点拨】如图①，当点在上，即时.因为四边形是长方形，
所以，.
因为，所以，所以；
① ②
如图②，当点在上，即时，
因为，所以.
因为，所以.
所以，解得；
如图③，当点在上，即时，.
所以，解得（舍去）.
综上，当的值为或6时，三角形的面积为.故选.
13．（答案不唯一）
14．
15．16
【点拨】设左下角方格中的数是，因为每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，所以，所以，所以，所以.
16．3
【点拨】设小长方形的长为，宽为，所以，所以.将部分平移成规则图形，如图①.
①
所以，所以，所以，
所以，.
对部分进行平移，如图②.
②
所以，
所以.
因为，，所以，所以.
17．因为是关于的一元一次方程，
所以且，解得，
所以原式.
18．（1） 【解】去括号，得.
移项，得.
合并同类项，得.
将的系数化为1，得.
（2） 去分母，得.
去括号，得.
移项，得.
合并同类项，得.
将的系数化为1，得.
19．【解】把代入方程得到关于的方程，所以.
所以原方程为，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得.
故方程正确的解为.
20．（1） 【解】.
（2） 设这个数为.根据题意，得，解得.
所以这个数是3.
21．【解】所得票款不可能是69 300元.理由如下：
设成人票售出张，则儿童票售出张，根据题意列方程得
，
解得.
因为票数必须为正整数，
故所得票款不可能是69 300元；
所得票款可能是69 320元.
若，
解得，
则，所以（张）.
所以所得票款可能是69 320元，成人票比学生票多售出288张.
22．（1） 【解】设经过分钟两人首次相遇，根据题意得，解得.
答：经过分钟两人首次相遇.
（2） 设经过分钟两人首次相遇，根据题意得
，
解得.
答：经过分钟两人首次相遇.
23．（1） 3
（2） 【解】因为关于的方程（为不等于0的常数）的解为，
所以，解得，
所以方程化成的形式为，
所以关于的方程（为不等于0的常数）的“反对方程”为，解得.
（3） .
【解析】
（3） 【点拨】，，.因为关于的方程（为不等于0的常数）的解为，所以，解得，所以关于的方程（为不等于0的常数）的“反对方程”为，把代入，解得，所以方程的解为.
24．（1） ；
（2） 【解】根据题意知 ， ，
如图①，当第一次等于 时，有 ，即 ，解得，
故当时，第一次等于 ；
如图②，当第二次等于 时， ，即 ，解得，
故时，第二次等于 .
综上，当 时，的值为20或40.
① ②
（3） 存在.射线是由，，中的两条射线组成的角的平分线有以下三种情况：
①当平分时，因为，所以，解得；
②当平分时，
因为，即 ，
所以或，
解得或（舍去）；
③当平分时，因为，
所以，解得.
综上，当的值分别为18,,36时，射线是由,,中的两条射线组成的角的平分线.
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