华东师大版九年级数学上册22.1一元二次方程（2）课件

(共17张PPT)
1. 理解一元二次方程的概念；(重点)
2. 了解一元二次方程的一般形式； (重点)
3. 经历探究一元二次方程的概念的过程.（难点）
学习目标
1. 你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？
2. 什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？
一般形式：ax + b = 0 (a ≠ 0)
3. 我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗？
1.审；2.设；3.列；4.解；5.验；6.答.
回顾与思考
导入新课
问题1 某地为增加农民收入，需要调整农作物种植结构，计划 2022 年无公害蔬菜的产量比 2020 年翻一翻，要实现这一目标，2021 年和 2022 年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？
思考：
1.根据以往的经验，你想用什么知识来解决这个实际问题？
方程
一元二次方程及其一般形式
一
讲授新课
2. 如图，如果假设无公害蔬菜产量的年平均增长率是 x，2020 年的产量为 a，那么 2021 年无公害蔬菜产量为 ，2022 年无公害蔬菜产量为 .
a + ax = a(1 + x)
a(1 + x) + a(1 + x)x = a(1 + x)2
3.你能根据题意，列出方程吗？
a(1 + x)2 = 2a
把以上方程整理得： .
x2 + 2x - 1 = 0 （1）
2020
2021
2022
问题2 在一块宽 20 m、长 32 m 的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为 570 m2，问小路的宽应为多少？
32
20
x
1.若设小路的宽是 x m，那么横向小路的面积是______m2，纵向小路的面积是 m2，两者重叠的面积是 m2.
32x
2.由于花坛的总面积是 570 m2.你能根据题意，列出方程吗？
整理以上方程可得：
思考：
2×20x
32×20－(32x＋2×20x)＋2x2 = 570
2x2
x2－36x＋35 = 0 （2）
32
20
x
想一想：
还有其它的列法吗？试说明原因.
(20 - x)(32 - 2x) = 570
32 - 2x
20 - x
32
20
请观察下面两个方程并回答问题：
x2 + 2x - 1 = 0 x2 - 36x + 35 = 0
（1）它们是一元一次方程吗？
（2）与一元一次方程有何异同？
（3）通过比较你能归纳出这类方程的特点吗？
类比发现，探索新知
1. 等号两边都是整式
2. 只含有一个未知数
3. 未知数的最高次数是 2
特点：
一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程都可以
化为 (a ≠ 0) 的形式，我们把
(a，b，c 是已知数，a ≠ 0) 称为一元二次方程的一般形式.
想一想：为什么要限制 a ≠ 0？b，c 可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0
(a ≠ 0)
二次项
系数
一次项
系数
常数项
（4）通过与一元一次方程的对比，你能给这类方程取个合理的名字吗？
（1）列表填空：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
4x2 = 3x
(x - 1)2 - 9 = 0
x(x + 2) = 3(x + 2)
4x2 - 3x = 0
x2 - 2x - 8 = 0
x2 - x - 6 = 0
4
-3
0
1
-2
-8
1
-1
-6
练一练
（2）下列方程中哪些是一元二次方程，并说明理由.
x + 2 = 5x - 3
x2 = 4
2x2 - 4 = (x + 2)2
（3）关于 x 的方程 (2a - 4)x2 - 2bx + a = 0 在什么条件下为一元二次方程？
不是
是
是
不是
当 2a - 4 ≠ 0 时，即 a ≠ 2 时，该方程为一元二次方程.
通过以上习题的练习的情况，你认为在确定一元二次方程的各项系数及常数项的时候，需要注意哪些？
（1）在确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项时必须把方程化为一般形式才能进行.
（2）二次项系数、一次项系数以及常数项都要连同它前面的符号.
（3）二次项系数 a ≠ 0.
议一议
能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根).
判断未知数的值 x = -1，x = 0，x = 2 是不是方程 x2 - 2 = x 的根.
一元二次方程的根
二
1.判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根：
x2 - 3x + 2 = 0 (x1 = 1， x2 = 2，x3 = 3)
2.构造一个一元二次方程，要求：
（1）常数项为零；（2）有一根为 2.
当 x1 = 1 时，x2 - 3x + 2 = 1 - 3 + 2 = 0，故是该方程的解；
当 x2 = 2 时，x2 - 3x + 2 = 4 - 6 + 2 = 0，故是该方程的解；
当 x3 = 3 时，x2 - 3x + 2 = 9 - 9 + 2 = 2 ≠ 0，故不是该方程的解.
x2 - 2x = 0
(答案不唯一)
当堂练习
3.已知关于 x 的一元二次方程 x2 + ax + a = 0 的一个根是 3，求 a 的值.
解：由题意，把 x = 3 代入方程 x2 + ax + a = 0，得
32 + 3a + a = 0
9 + 4a = 0
4a = -9
4. 已知关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)一个根为 1，求 a + b + c 的值.
解：由题意得
思考：若 a + b + c，你能通过观察，求出方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的一个根吗？
解：由题意得
∴方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的一个根是 1.
拓广探索 若 a - b + c = 0，4a + 2b + c = 0，你能通过观察，求出方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的一个根吗？
x = 2
一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程都可以化为 (a ≠ 0) 的形式，我们把
(a，b，c 是已知数，a ≠ 0) 称为一元二次方程的一般形式.
能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根).
课堂小结