华东师大版九年级数学上册22.2一元二次方程的解法第5课时一元二次方程的根与系数的关系课件

(共19张PPT)
1. 了解一元二次方程根与系数的关系；（重点）
2. 会应用一元二次方程根与系数的关系. (难点)
学习目标
2.求根公式是什么？根的个数怎么确定的？
1.一元二次方程的解法有哪些，步骤呢？
知识回顾
导入新课
方程 x1 x2 x1 + x2 x1 x2
x2 - 3x + 2 = 0
x2 - 2x - 3 = 0
x2 - 5x + 4 = 0
问题：你发现这些一元二次方程的两根 x1+ x2，x1 x2 与对应的一元二次方程的系数有什么关系？
2 1
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一元二次方程的根与系数的关系
一
讲授新课
方 程
- 2
x1 + x2，x1 x2 与对应的一元二次方程的系数有什么关系？
猜想：当二次项系数为 1 时，方程 x2 + px + q = 0 的两根为x1， x2.
9x2 - 6x + 1 = 0
3x2 - 4x - 1 = 0
3x2 + 7x + 2 = 0
如果 ax2 + bx + c = 0 ( a、b、c 是常数，a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，则
b2 - 4ac≥0.
由二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，可得
猜想
解：
任何一个一元二次方程的根与系数的关系：
如果方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根是 x1，x2，
那么
（韦达定理）
注：能用根与系数的关系的前提条件为 b2 - 4ac≥0.
一、直接运用根与系数的关系
例1 不解方程，求下列方程两根的和与积.
利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题
二
在使用根与系数的关系时，应注意：
（1）不是一般式的要先化成一般式；
（2）在使用 时，注意“－ ”不要漏写.
二、求关于两根的代数式的值
例2 设 x1，x2 是方程 2x + 4x - 3 = 0 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.
解:由题意知
三、构造新方程
例3 求一个一元二次方程，使它的两个根是 2 和 3，且二次项系数为 1.
解：(x - 2)(x - 3)=0，
x2 - 5x + 6 = 0.
例4 方程 的两根的和为 6，一根为 2，求 p、q 的值.
四、求方程中的待定系数
解：若方程的另一个根为 x1，由题意得
2 + x1 = - p = 6，2x1 = q，
即 x1 = 4，p = - 6，q = 8.
1.关于 x 的方程 有一个正根，一个负根，求 m 的取值范围.
解：由已知得
即
m＞0
m - 1＜0
∴0＜m＜1
当堂练习
2. 求一个一元二次方程，使它的两个根是 2 和 3，且二次项系数为 5.
解： 5(x - 2)(x - 3) = 0，
5x2 - 25x + 30 = 0.
一元二次方程的根与系数的关系
如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，那么
注意
满足上述关系的前提条件
b2 - 4ac≥0.
课堂小结
一正根，一负根
Δ ＞0
x1x2＜0
两个正根
Δ ≥0
x1x2＞0
x1+x2＞0
两个负根
Δ ≥0
x1x2＞0
x1+x2＜0