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【真题严选】浙教版八年级下册期末模拟解透教材卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023八下·确山期末）已知是整数，正整数n的最小值为（ ）
A．2 B．0 C．3 D．4
2．（2022八下·龙岗期末）如图，EF是△ABC的中位线，点O是EF上一点，且满足，则△ABC 的面积与△AOC的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022八下·越秀期末）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．9
4．（2023八下·丽水期末）已知关于x的方程，当时，方程的解为（ ）
A．， B．，
C． D．
5．（2020八下·贵港期末）如图，延长矩形 的边 至点E，使 ，连接 ，如果 ，那么 的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八下·德清期末）如图，菱形中，点为对称中心，点从点出发沿向点移动，移动到点停止，作射线，交边于点，则四边形形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形正方形平行四边形矩形
B．平行四边形正方形矩形菱形
C．平行四边形矩形平行四边形菱形
D．平行四边形菱形正方形矩形
7．（2024八下·乐平期末）如图，在中，，，，点为上任意一点，连结，以，为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为( )
A． B． C． D．
8．（2020八下·丹东期末）如图， 的对角线AC，BD交于点O，AE平分 ，交BC于点E，且 ，连接OE，下列结论① ；②OD=AB；③ ；④ ；其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2024八下·南京期末）如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线绕点B顺时针旋转交x轴于点C，则线段长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023八下·瑶海期末）若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（ ）
①；②，；③；④关于的一元二次方程的两个根为，．
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2023八下·萍乡期末）如图，点，分別是的边，的中点，连接，过点作交的延长线于点，若，则的长为 ．
12．（2023八下·寻乌期末）学校组织一分钟跳绳比赛．八（1）班准备从甲、乙两人中挑选一名成绩比较稳定的同学参赛．两人最近四次的跳绳测试的成绩（单位：个）为：甲：197，213，209，196；乙：205，203，202，205，而这两人平均成绩相同，根据信息，应该选 参加比赛．
13．（2023八下·深圳期末）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2-6x+7=0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是 .
14．（2023八下·东阳期末）若点A（-1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 （用“＜”连接）．
15．（2024八下·镇海区期末）如图， 在平行四边形 中， ， 分别以 为一边， 在平行四边形 外部作正方形 . 若 是各正方形对角线的交点，则四边形 的面积等于 .
16．（2024八下·鄞州期末）如果，是正实数，方程 和方程都有实数解，那么的最小值是 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023八下·相城期末）如图，DF是平行四边形ABCD中∠ADC的平分线，交DC于E.
（1）求证：四边形AFED是菱形；
（2）如果∠A＝60°，AD＝5，求菱形AFED的面积.
18．（2023八下·杭州期末）已知，一辆汽车在笔直的公路上刹车后，该车的速度米秒与时间秒之间满足一次函数关系，其图象如图所示；
（1）求与之间的函数关系式；
（2）已知汽车在该运动状态下，一段时间内向前滑行的距离等于这段时间内的平均速度乘以时间该运动状态下的平均速度，表示这段时间起始时刻的速度，表示这段时间结束时刻的速度．若该车刹车后秒内向前滑行了米，求的值．
19．（2022八下·安宁期末）金方商场日用品柜台10名销售员去年11月完成的销售额情况如下表：
销售额/万元 2 3 5 8 10
售货员/人 2 1 4 2 1
（1）计算这10名销售员今年3月份销售额的平均数、中位数、众数；
（2）商场为了完成年度销售任务，充分调动销售员的积极性，计划在12月实施超额有奖的计划．根据上面的计算结果，你认为销售员的销售额定为多少比较合适？并说明理由．
20．（2022八下·西青期末）如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求和的长．
21．（2022八下·盐城期末）已知，，求下列各式的值：
（1）
（2）.
22．（2023八下·奉化期末）新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具.某品牌新能源汽车经销商对新上市的A汽车在1月份至3月份的销售情况进行统计，发现A汽车1月份的销量为20辆，3月份的销量为45辆.
（1）求A汽车销量的月平均增长率.
（2）为了扩大A汽车的市场占有量，提升A汽车的销售业绩，该公司决定采取适当的降价措施（降价幅度不超过售价的10%）.经调查发现，当A汽车的销售单价定为12万元时，平均每月的售量为30辆，在此基础上，若A汽车的销售单价每降1万元，平均每月可多售出10辆，若销售额要达到440万元，则每辆A汽车需降价多少万元？
23．（2023八下·长春期末）在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，函数的图象与BC边相交于点M（点M不与点B重合），与AB边相交于点N．
（1）如图①，若点B的坐标为（4，2），M为CB中点，求k的值和点N的坐标．
（2）如图②，连结OB，过点M作MQ⊥OB，垂足为Q．若k＝1，MB＝2CM时，设OB长为m，MQ长为n，求m与n的函数关系式．
24．（2022八下·上城期末）：如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于E，连结AE、DE.
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，若点是边上的一点，若，连结交于，
①猜想的度数，并说明理由；
②若，求的值.
25．（2019八下·温州期末）阳光小区附近有一块长100m，宽80m的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道(一纵一横)和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，如图1所示．设步道的宽为a(m)．
（1）求步道的宽．
（2）为了方便市民进行跑步健身，现按如图2所示方案增建塑胶跑道．已知塑胶跑道的宽为1m，长方形区域甲的面积比长方形区域乙大441m2，且区域丙为正方形，求塑胶跑道的总面积．
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【真题严选】浙教版八年级下册期末模拟解透教材卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023八下·确山期末）已知是整数，正整数n的最小值为（ ）
A．2 B．0 C．3 D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：∵是整数，
∴正整数n的最小值为2.
故答案为：A.
【分析】将化为，然后结合其为整数就可得到正整数n的最小值.
2．（2022八下·龙岗期末）如图，EF是△ABC的中位线，点O是EF上一点，且满足，则△ABC 的面积与△AOC的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，EF＝BC，
∵OE＝2OF，
∴OE＝×BC＝BC，
设点A到BC的距离为h，
则S△ABC＝BC h，S△AOC＝OE h＝×BC h＝BC h，
∴△ABC的面积与△AOC的面积之比＝3：1．
故答案为：D
【分析】先求出EF∥BC，EF＝BC，再利用三角形的面积公式计算求解即可。
3．（2022八下·越秀期末）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．9
【答案】A
【解析】【解答】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴BC＝2EF＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24，
故答案为：A．
【分析】先利用中位线的性质求出BC＝2EF＝6，再利用菱形的周长公式求解即可。
4．（2023八下·丽水期末）已知关于x的方程，当时，方程的解为（ ）
A．， B．，
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵b2-4ac=0，
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】利用一元二次方程的求根公式，进行计算，可求出方程的解.
5．（2020八下·贵港期末）如图，延长矩形 的边 至点E，使 ，连接 ，如果 ，那么 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD，OB=OC，
∵∠ABD=60°，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∵CE=BD，
∴CE=AC，
∴∠CAE=∠E=15°，
∴∠BAE=90°-∠E=90°-15°=75°
故答案为：C.
.
【分析】连接AC，交BD于点O，根据矩形的性质得出∠ABC=90°，AC=BD，OB=OC，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得出∠E=15°，即可求出∠BAE的度数.
6．（2024八下·德清期末）如图，菱形中，点为对称中心，点从点出发沿向点移动，移动到点停止，作射线，交边于点，则四边形形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形正方形平行四边形矩形
B．平行四边形正方形矩形菱形
C．平行四边形矩形平行四边形菱形
D．平行四边形菱形正方形矩形
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴这个四边形先是平行四边形，当对角线相等时是矩形，然后又是平行四边形，最后点E与点B重合时是菱形．
故选：C．
【分析】
根据菱形的性质，可证，对角线AC与EF互相平分，即可得四边形肯定是平行四边形，当AC=EF时，平行四边形AECF为矩形，当AE=AB时，平行四边形AECF为菱形，因此变化过程先是平行四边形，再是矩形，再是平行四边形，最后是菱形．
7．（2024八下·乐平期末）如图，在中，，，，点为上任意一点，连结，以，为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图所示：设与交于点O，作于．
在中，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
当P与重合时，的值最小，则的值最小，
∴的最小值．
故答案为：A．
【分析】先根据已知条件判断出 是等腰直角三角形，再根据平行四边形的性质和垂线段最短的性质确定出的最小值，最后由勾股定理计算得出结果.
8．（2020八下·丹东期末）如图， 的对角线AC，BD交于点O，AE平分 ，交BC于点E，且 ，连接OE，下列结论① ；②OD=AB；③ ；④ ；其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC=60°，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，∠CAD=∠EAC，OB=OD，
∴∠DAE=∠AEB，∠BAC=∠BCD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE=∠AEB=60°，AB=BE=AE，
∵
∴EC=AE，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠CAD=30°，故①正确；
∵∠BAD=120°，∠CAD=30°，
∴∠BAC=90°，
∴BO＞AB，
∴OD＞AB，故②错误；
∴S ABCD=AB AC=AC CD，故③正确；
∵∠BAC=90°，BC=2AB，
∴E是BC的中点，
∴S△BEO：S△BCD=1：4，
∴S四边形OECD：S△BCD=3：4，
∴S四边形OECD：S ABCD=3：8，
∵S△AOD：S ABCD=1：4，
∴ 故④正确.
故答案为：C.
【分析】结合平行四边形的性质可证明△ABE为等边三角形，由 可判定①；证明∠BAC=90°，可判定②；由平行四边形的面积公式可判定③；利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判定④.
9．（2024八下·南京期末）如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线绕点B顺时针旋转交x轴于点C，则线段长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x=0，则y=，令y=0，则x=，
则A（，0），B（0，），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，
∴AB==2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD=∠OAB=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，
∴AC==x，
∵旋转，
∴∠ABC=30°，
∴BC=2CD=2x，
∴BD==x，
又BD=AB+AD=2+x，
∴2+x=x，
解得：x=+1，
∴AC=x=（+1）=，
故选A．
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征可得A（，0），B（0，），根据勾股定理可得AB，过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=AD=x，根据勾股定理可得AC，再根据旋转性质可得∠ABC=30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得BC=2CD=2x，根据勾股定理可得BD，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
10．（2023八下·瑶海期末）若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（ ）
①；②，；③；④关于的一元二次方程的两个根为，．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：①根据根与系数的关系可得：，
∴，
∵，∴b=1-a，
∴，
∴故正确；
②∵x1+x2=m+n=2>0，x1x2=mn>0，
∴m>0，n>0，
故②正确；
③∵一元二次方程有两个实数根，
∴△≥0，
∴4-4（a2+b2+ab）≥0，
∴4-4（a2-a+1）≥0，
∴a≥a2，
故③不正确；
④∵a2+b2+ab=a2-a+1，
∴方程x2-2x+a2+b2+ab=0可化简为x2-2x+a2-a+1=0，
即（x-1）2+a2-a=0，
∵方程（x+1）2+a2-a=0可变形为[（x+2）-1]2+a2-a=0，
∴x1=m-2，x2=n-2，
故④正确；
综上，正确的结论为①②④，
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系及一元二次方程根的判别式逐项判断即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2023八下·萍乡期末）如图，点，分別是的边，的中点，连接，过点作交的延长线于点，若，则的长为 ．
【答案】4
【解析】【解答】∵点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的一条中位线，
∴DE∥BC，DE=，
∴EF∥BC，BC=2DE=4，
又∵CF∥BE，
∴四边形BCFE是平行四边形，
∴EF=BC=4.
故第1空答案为：4.
【分析】根据三角形中位线定理得出EF∥BC，BC=2DE=4，然后结合CF∥BE，得出四边形BCFE是平行四边形，根据平行四边形的性质，得出结果即可。
12．（2023八下·寻乌期末）学校组织一分钟跳绳比赛．八（1）班准备从甲、乙两人中挑选一名成绩比较稳定的同学参赛．两人最近四次的跳绳测试的成绩（单位：个）为：甲：197，213，209，196；乙：205，203，202，205，而这两人平均成绩相同，根据信息，应该选 参加比赛．
【答案】乙
【解析】【解答】解：甲的平均数为：（197+213+209+196）÷4=203.75，
乙的平均数为：（205+203+202+205）÷4=203.75，
∴甲的方差为：
乙的方差为：
∵，
∴乙的跳绳成绩波动较小，
∵ 甲、乙两人平均成绩相同 ，
∴选乙参加比赛比较合适。
故第1空答案为：乙.
【分析】分别计算出甲、乙的方差，选取方差小的参加比赛即可。
13．（2023八下·深圳期末）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2-6x+7=0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是 .
【答案】
【解析】【解答】解：解方程x2-6x+7=0.
.
∴ ，
∴x1=3+，x2=3-，
直角边斜边长为：.
故答案为：.
【分析】解出一元二次方程的两个解，利用勾股定理a +b =c ，即可求出斜边的长度.
14．（2023八下·东阳期末）若点A（-1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 （用“＜”连接）．
【答案】y1＜y3＜y2
【解析】【解答】解：∵y=，
∴反比例函数的图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，
∴点A位于第三象限，B、C位于第一象限.
∵2<3，
∴y1＜y3＜y2.
故答案为：y1＜y3＜y2.
【分析】根据反比例函数的性质可得：其图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，据此进行比较.
15．（2024八下·镇海区期末）如图， 在平行四边形 中， ， 分别以 为一边， 在平行四边形 外部作正方形 . 若 是各正方形对角线的交点，则四边形 的面积等于 .
【答案】14
【解析】【解答】
解：连接AP，BM，BN，AM
∵四边形 为平行四边形
∴AD=CB，∠BAD=180°-∠ABC=150°
∴∠EAL=360°-∠EAB-∠LAD-∠BAC=360°-90°-90°-150°=30°
∵ 是各正方形对角线的交点，
∴
∴AP=BN
∴∠MAP=∠MAE＋∠EAL＋∠LAP=45°＋30°＋45°=120°
∴∠MBN=∠MBA＋∠ABC＋∠CBN=45°＋30°＋45°=120°
∴∠MAP=∠MBN
∴△MAP≌△MBN(SAS)
∴MP=MN，∠PMA=∠NMB
∵∠BMN＋∠AMN=90°
∴∠PMA＋∠AMN=90°
∴∠PMN=90°
同理：MP=OP，MN=ON
∴MP=OP=MN=ON，
∴四边形MNOP是正方形
如图所示，过点N作NT⊥MB交MB延长线于T，则∠TBN=60°
∴
∴
∴MT=MB＋TB=
在Rt△MNT中，
∴四边形 的面积为14.
【分析】
根据题意，先证明：△MAP≌△MBN(SAS)，得出MP=MN，∠PMA=∠NMB，即可得：∠PMN=90°，同理：MP=OP，MN=ON，可得：四边形MNOP是正方形，过点N作NT⊥MB交MB延长线于T，则∠TBN=60°，根据30°所对的直角边等于斜边的一半，得出：BT=，TN=，再根据勾股定理：计算出，从而得出四边形 的面积.
16．（2024八下·鄞州期末）如果，是正实数，方程 和方程都有实数解，那么的最小值是 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：∵方程和方程都有实数解，
∴，，
∴，，
∵，是正实数，
∴，
∴，即，
∴，
故的最小值为，
又∵，
则当时，，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：5．
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此列出关于字母m、n得不等式，再对所列不等式进行整理变形并结合m、n都是正实数可得，求解得出m的最小值为4，进而再求出n的最小值为1，最后求m、n的和即可.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023八下·相城期末）如图，DF是平行四边形ABCD中∠ADC的平分线，交DC于E.
（1）求证：四边形AFED是菱形；
（2）如果∠A＝60°，AD＝5，求菱形AFED的面积.
【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
，
∴∠EDF=∠AFD，
，DE∥AF，
四边形AFED是平行四边形.
是平行四边形ABCD中的平分线，
∴∠ADF=∠EDF，
∴∠AFD=∠ADF，
∴AD=AF，
四边形AFED是菱形；
（2）解：=60°，AD=5，
又由(1)知AD=AF，
为等边三角形，
；
连接AE与DF相交于O.
由(1)知四边形AFED是菱形，
AE=2OA，
【解析】【分析】（1）先证四边形AFED是平行四边形，再利用平行线的性质及角平分线的定义得∠AFD=∠ADF，根据等角对等边得AD=AF，进而根据菱形的判定定理即证结论；
（2）易证△AFD为等边三角形，得DF=5，连接AE与DF相交于O，由菱形的性质得OF=，DF⊥AF，AE=2AO，利用勾股定理求出OA的长，即得AE的长，然后根据计算即可.
18．（2023八下·杭州期末）已知，一辆汽车在笔直的公路上刹车后，该车的速度米秒与时间秒之间满足一次函数关系，其图象如图所示；
（1）求与之间的函数关系式；
（2）已知汽车在该运动状态下，一段时间内向前滑行的距离等于这段时间内的平均速度乘以时间该运动状态下的平均速度，表示这段时间起始时刻的速度，表示这段时间结束时刻的速度．若该车刹车后秒内向前滑行了米，求的值．
【答案】（1）解：将点，代入，
，
解得：，
∴与之间的函数关系式为
（2）解：依题意，， ，，
则
依题意，，
即
解得：或（舍去）
答：该车刹车后秒内向前滑行了米．
【解析】【分析】(1)将(4，44)、(12，12)代入函数表达式，利用待定系数法求出解析式.
(2)利用(1)中的函数解析式表示出平均速度v与t的关系式，再通过路程计算公式得到关于t的一元二次方程，求出方程的解即可.
19．（2022八下·安宁期末）金方商场日用品柜台10名销售员去年11月完成的销售额情况如下表：
销售额/万元 2 3 5 8 10
售货员/人 2 1 4 2 1
（1）计算这10名销售员今年3月份销售额的平均数、中位数、众数；
（2）商场为了完成年度销售任务，充分调动销售员的积极性，计划在12月实施超额有奖的计划．根据上面的计算结果，你认为销售员的销售额定为多少比较合适？并说明理由．
【答案】（1）解：依题意可得：
平均数：，
中位数：，
众数：5．
（2）解：销售员的销售额定为5万元比较合适，因为中位数为5，说明有半数销售员可以达到此目标．
（注：这个问题只能以中位数为参照来设定销售定额，不能用平均数来设定销售定额，因为平均数受极端值影响较大；也不能用众数来设定销售定额，因为众数也有可能极端化．）
【解析】【分析】（1）利用平均数、中位数和众数的定义及计算方法求解即可；
（2）利用中位数的定义及性质求解即可。
20．（2022八下·西青期末）如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求和的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴点O是AC的中点，
又∵E是AD的中点，
∴OE是△ACD的中位线，
∴，
又∵，
∴四边形OEFG是平行四边形，
又∵，
∴∠EFG=90°，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOD=90°，AD=CD=10，
又∵点E是的中点，
∴，
∴，
在Rt△DEF中，∠EFD=90°，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）先证明四边形OEFG是平行四边形，再结合∠EFG=90°，即可得到四边形是矩形；
（2）先求出，再利用勾股定理求出DF的长，最后利用线段的和差求出CG的长即可。
21．（2022八下·盐城期末）已知，，求下列各式的值：
（1）
（2）.
【答案】（1）解：，，
∴ ；
（2）解：，，
∴ .
【解析】【分析】（1）利用完全平方式将待求式子进行因式分解，再代值计算，即可求出结果；
（2）利用平方差公式将待求式子进行因式分解，再代值计算，即可求出结果.
22．（2023八下·奉化期末）新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具.某品牌新能源汽车经销商对新上市的A汽车在1月份至3月份的销售情况进行统计，发现A汽车1月份的销量为20辆，3月份的销量为45辆.
（1）求A汽车销量的月平均增长率.
（2）为了扩大A汽车的市场占有量，提升A汽车的销售业绩，该公司决定采取适当的降价措施（降价幅度不超过售价的10%）.经调查发现，当A汽车的销售单价定为12万元时，平均每月的售量为30辆，在此基础上，若A汽车的销售单价每降1万元，平均每月可多售出10辆，若销售额要达到440万元，则每辆A汽车需降价多少万元？
【答案】（1）解：设A汽车的月平均增长率为x，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：A汽车的月平均增长率为50%；
（2）解：设当每辆A汽车降价y万元时，则销售量为（30+10y）辆，
依题意，得：，解得：，.
∵降价幅度不能超过售价的10%，∴y=1.
答：每辆A汽车需降价1万元.
【解析】【分析】（1）设A汽车的月平均增长率为x，此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程，进而利用直接开平方法求解并检验即可；
（2）设当每辆A汽车降价y万元时，则销售量为（30+10y）辆，根据每辆汽车的销售利润乘以销售数量等于总利润建立方程，求解并检验即可得出答案.
23．（2023八下·长春期末）在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，函数的图象与BC边相交于点M（点M不与点B重合），与AB边相交于点N．
（1）如图①，若点B的坐标为（4，2），M为CB中点，求k的值和点N的坐标．
（2）如图②，连结OB，过点M作MQ⊥OB，垂足为Q．若k＝1，MB＝2CM时，设OB长为m，MQ长为n，求m与n的函数关系式．
【答案】（1）解：∵点 B 的坐标为（4，2），M 为 CB 中点，
∴M 的坐标为（2，2）， 将 M 点的坐标代入 得，k＝2×2＝4，
∴ ， ∴当 x＝4 时，y＝1，
∴N 的坐标为（4，1）
（2）解：连结OM，设 M 的坐标为（t，），B 的坐标为（3t，）
， 即
【解析】【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式和三角形等面积求函数关系。（1）根据点B的坐标，M为CB中点，可知M坐标，代入反比例函数，可得k值，当x=4时，求出y值，即为N的横纵坐标；（2） 连结OM，设 M 的坐标为（t，），根据MB=2CM，可得B的坐标为（3t，）根据 可得：，则， 即 .
24．（2022八下·上城期末）：如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于E，连结AE、DE.
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，若点是边上的一点，若，连结交于，
①猜想的度数，并说明理由；
②若，求的值.
【答案】（1）解：四边形是矩形，
，，，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
（2）解：①，
理由：连接，如图2所示：
由（1）得：，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
；
②∵四边形是矩形，
，
，
过作于，
，
，
，
，
，
由①知，，
，
，
，
过作于，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
由①知，≌，
，，
.
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得AB=CD=3，AD=BC=5，∠ADC=∠B=∠C=90°，根据角平分线的概念可得∠CDE=∠ADE=45°，推出△CDE为等腰直角三角形，则CE=CD=3，由BE=BC-CE可得BE，然后利用勾股定理进行计算；
（2）①连接EF，由（1）得CE=CD=AB，∠B=∠C，由三角形全等的判定方法SAS证△ABE≌△ECF，得到AE=EF，∠BAE=∠CEF，结合∠BAE+∠BEA=90°可得∠AEF=90°，推出△AEF是等腰直角三角形，据此解答；
②根据矩形的性质可得∠ADF=90°，过D作DM⊥AF于M，由同角的余角相等可得∠DAF=∠FDM，根据等腰三角形的性质可得∠MDG=∠MDF，由①知∠FDG=∠EAG=45°，由对顶角的性质可得∠AGE=∠DGF，结合内角和定理可得∠AEG=∠DFG，推出AE=AG，过A作AN⊥DE于N，易得∠EAN=∠GAN=∠MDG=∠FDM=∠DAF=22.5°，∠BAE=22.5°，则∠BAE=∠NAE，证明△ABE≌△ANE，得到AN=AB，易得AB=CE=AD=BC，BE=CF=BC-CE=(1-)BC，据此求解.
25．（2019八下·温州期末）阳光小区附近有一块长100m，宽80m的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道(一纵一横)和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，如图1所示．设步道的宽为a(m)．
（1）求步道的宽．
（2）为了方便市民进行跑步健身，现按如图2所示方案增建塑胶跑道．已知塑胶跑道的宽为1m，长方形区域甲的面积比长方形区域乙大441m2，且区域丙为正方形，求塑胶跑道的总面积．
【答案】（1）解：由题意，得100a+80a-a2=(7a)2，
化简，得a2=3.6a，
∵a>0，
∴a=3.6．
答：步道的宽为3.6 m．
（2）解：如图，
由题意，得AB-DE=100-80+1=21(m)，
∴BC=EF= =21(m)．
∴塑胶跑道的总面积为1×(100+80+21-2)=199(m2)．
【解析】【分析】（1）∵步道宽度为a， 则正方形休闲广场的边长为7a， 根据两条步道总面积等于休闲广场面积列方程求解即可。其中注意两条步道总面积要减去重叠部分的小正方形面积。
（2）根据空地的长度和宽度，道路和塑胶的宽度以及丙的边长，计算出甲、乙区域长之差，因两区域的宽度相等，根据面积之差等于长度之差乘以宽度，求得宽度，即正方形丙的边长，塑胶跑道的总面积等于总长度乘以塑胶宽度，总长度等于空地长宽之和加丙的一边长，再减去有2两次重复相加的塑胶宽度。
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