【期末核心考点】矩形（含解析）2024-2025学年八年级下册数学华东师大版
文档属性
| 名称 | 【期末核心考点】矩形（含解析）2024-2025学年八年级下册数学华东师大版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-14 19:09:11 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
期末核心考点 矩形
一．选择题（共7小题）
1．（2025 路桥区二模）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC和BD相交于点O，已知AC＝4，则OB的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（2025 淮南二模）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AD＝12，DC＝5，则△AOB的周长是（ ）
A．13 B．15 C．17 D．18
3．（2024秋 成都期末）如图，将两个矩形叠合放置，如果∠1＝115°，那么∠2等于（ ）
A．25° B．45° C．65° D．85°
4．（2025春 盐城期中）如图，将长为5cm，宽为3cm的长方形ABCD向右平移1cm，得到长方形A'B'C'D'，则阴影部分的面积为（ ）
A．3cm2 B．5cm2 C．12cm2 D．15cm2
5．（2024秋 金沙县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，点D是BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（ ）
A． B．13 C． D．
6．（2025春 滨海新区期中）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，OA＝9，则BE的长为（ ）
A． B．9 C． D．12
7．（2025春 香洲区校级期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝120°，则∠CDE的大小是（ ）
A．55° B．40° C．30° D．20°
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 上海校级期中）已知点E为矩形ABCD的边AD上一点，若BC＝EC，∠ABE＝15°，如果AB＝4cm，那么BC＝ cm．
9．（2025春 天河区校级期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知∠ACB＝25°，则∠AOB的大小是 ．
10．（2025春 珠海期中）如图，在矩形ABCD中，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB与点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，若AB＝3，BC＝4，则FG的最小值 ．
11．（2025春 江汉区期中）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，点E在BC的延长线上，BE＝AC，∠E＝74°，则∠DAC＝ °．
12．（2025春 石楼县月考）古代建筑中的榫卯结构精妙绝伦，体现了古人的智慧．如图，这是一种古代建筑构件“榫头”的示意图，其中两直角边长分别为6cm和8cm，斜面（阴影部分）为长方形，其中长方形的一边长为3cm，则此长方形的面积为 cm2．
三．解答题（共3小题）
13．（2025春 江津区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF．试判断四边形ADCF的形状，并给予证明．
14．（2025 五华区校级模拟）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF，AF与DE交于点O．
（1）求证：四边形AEFD为矩形；
（2）若AB＝6，OE＝4，∠BAE＝∠DEF，求BF、DF的长．
15．（2025春 长寿区校级期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝2，∠AOD＝120°，求矩形ABCD的面积．
期末核心考点 矩形
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 路桥区二模）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC和BD相交于点O，已知AC＝4，则OB的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据矩形的对角线相等可得AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，则可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
又∵AC＝4，
∴OA＝OB＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
2．（2025 淮南二模）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AD＝12，DC＝5，则△AOB的周长是（ ）
A．13 B．15 C．17 D．18
【考点】矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据矩形的性质，利用勾股定理先求出AC长，再求出△AOB的周长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AO＝BOAC，
∴△ACD是Rt△，
∵AD＝12，DC＝5，
∴AC 13，
∴AO+BO＝13，
∴△AOB的周长是13+5＝18．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，熟练掌握该知识点是关键．
3．（2024秋 成都期末）如图，将两个矩形叠合放置，如果∠1＝115°，那么∠2等于（ ）
A．25° B．45° C．65° D．85°
【考点】矩形的性质；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】设两个矩形分别为矩形ABCD和矩形EFGH，则∠ADC＝∠E＝90°，求得∠EAD＝65°，由∠2+∠ADE＝90°，∠EAD+∠ADE＝90°，得∠2＝∠EAD＝65°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形EFGH都是矩形，
∴∠ADC＝∠E＝90°，
∵∠1＝115°，
∴∠EAD＝180°﹣∠1＝180°﹣115°＝65°，
∵∠2+∠ADE＝90°，∠EAD+∠ADE＝90°，
∴∠2＝∠EAD＝65°，
故选：C．
【点评】此题重点考查矩形的性质、三角形内角和定理等知识，求得∠EAD＝65°是解题的关键．
4．（2025春 盐城期中）如图，将长为5cm，宽为3cm的长方形ABCD向右平移1cm，得到长方形A'B'C'D'，则阴影部分的面积为（ ）
A．3cm2 B．5cm2 C．12cm2 D．15cm2
【考点】矩形的性质；平移的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】由平移可得空白部分长方形的长为3cm，宽为1cm，即得空白部分长方形的面积，进而可求出阴影部分的面积．
【解答】解：5×3﹣3×1＝12（cm2），
∴阴影部分的面积为12cm2，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，平移的性质，掌握平移的性质是解答本题的关键．
5．（2024秋 金沙县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，点D是BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（ ）
A． B．13 C． D．
【考点】矩形的判定与性质；垂线段最短．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝12，
∴BC13，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积AB×ACBC×AD，
∴AD，
∴MN的最小值为；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．（2025春 滨海新区期中）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，OA＝9，则BE的长为（ ）
A． B．9 C． D．12
【考点】矩形的性质；角平分线的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据矩形的性质得出∠BAE＝∠EAD＝45°，AD∥BC，OA＝OB＝9，证出∠AEB＝∠EAD＝45°，得出BE＝BA．证出△OAB为等边三角形，得出BO＝BA＝9，则可得出答案．
【解答】解：在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝45°，AD∥BC，OA＝OB＝6，
∴∠AEB＝∠EAD＝45°，
∴BE＝BA．
∵∠CAE＝15°，∠BAE＝45°，
∴∠BAC＝60°，
又∵OA＝OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴BO＝BA＝9，
∴BO＝BE＝9．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形和等腰三角形的判定及三角形的内角和等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
7．（2025春 香洲区校级期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝120°，则∠CDE的大小是（ ）
A．55° B．40° C．30° D．20°
【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据矩形性质和条件可得到∠ECD＝60°，再直角三角形两个锐角互余可求出∠CDE的大小．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠AOD＝120°，
∴∠COD＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ECD＝60°，
∵DE⊥AC于点E，
∴∠DEC＝90°，
∴∠CDE＝90°﹣∠ECD＝90°﹣60°＝30°．
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形性质是关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 上海校级期中）已知点E为矩形ABCD的边AD上一点，若BC＝EC，∠ABE＝15°，如果AB＝4cm，那么BC＝ 8 cm．
【考点】矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】8．
【分析】利用余角的性质求得∠AEB＝∠EBC＝75°，利用等边对等角求得∠CEB＝∠EBC＝75°，再利用平角的定义求得∠CED＝30°，根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵∠A＝∠ABC＝∠D＝90°，AB＝CD＝4cm，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC＝90°﹣15°＝75°，
∵BC＝EC，
∴∠CEB＝∠EBC＝75°，
∴∠CED＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴BC＝EC＝2CD＝8cm．
故答案为：8．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，掌握“30度角对应的直角边长度为斜边长度的一半”是解题的关键．
9．（2025春 天河区校级期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知∠ACB＝25°，则∠AOB的大小是 50° ．
【考点】矩形的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】50°．
【分析】根据矩形的性质，可得∠ABC的度数，OA与OB的关系，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得答案．
【解答】解：由矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝25°，得，
∠ABC＝90°，
∠BAO＝90°﹣∠ACB＝65°．
由OA＝OB，得△ABO是等腰三角形，
∠AOB＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，利用三角形内角和定理是解题关键．
10．（2025春 珠海期中）如图，在矩形ABCD中，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB与点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，若AB＝3，BC＝4，则FG的最小值 ．
【考点】矩形的判定与性质；垂线段最短．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接BE，由矩形的性质得∠B＝90°，再证明四边形EFBG为矩形，得FG＝BE，当BE⊥AC时，BE最小，然后由三角形面积求出此时BE的长，即可得出结论．
【解答】解：如图，连接BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AC5，
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠EFB＝∠EGB＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形EFBG为矩形，
∴FG＝BE，
当BE⊥AC时，BE最小，
此时，△ABC的面积AC BEAC BC，
∴5BE＝3×4，
∴BE，
∴FG的最小值是，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
11．（2025春 江汉区期中）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，点E在BC的延长线上，BE＝AC，∠E＝74°，则∠DAC＝ 32 °．
【考点】矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】32．
【分析】连接BD交AC于点O，根据矩形性质得BD＝AC＝BE，AD∥BC，OB＝OD＝OA＝OC，则∠BDE＝∠E＝74°，进而得∠DBE＝32°，∠OCB＝∠DBE＝32°，然后根据AD∥BC得∠DAC＝∠OCB＝32°，由此即可得出答案．
【解答】解：连接BD交AC于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC，AD∥BC，OB＝OD＝OA＝OC，
∵BE＝AC，
∴BE＝BD，
∴∠BDE＝∠E＝74°，
在△BDE中，∠DBE+∠BDE+∠E＝180°，
∴∠DBE+74°+74°＝180°，
∴∠DBE＝32°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠DBE＝32°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠OCB＝32°．
故答案为：32．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．
12．（2025春 石楼县月考）古代建筑中的榫卯结构精妙绝伦，体现了古人的智慧．如图，这是一种古代建筑构件“榫头”的示意图，其中两直角边长分别为6cm和8cm，斜面（阴影部分）为长方形，其中长方形的一边长为3cm，则此长方形的面积为 30 cm2．
【考点】矩形的性质；勾股定理．
【专题】推理能力．
【答案】30．
【分析】首先利用勾股定理求出AB＝10cm，再根据长方形的面积公式求出结果即可．
【解答】解：∵AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，
∴AB10（cm），
∴．
故答案为：30．
【点评】本题考查了勾股定理，掌握矩形的面积公式是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2025春 江津区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF．试判断四边形ADCF的形状，并给予证明．
【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】四边形ADCF是平行四边形，证明见解析．
【分析】根据AF∥BC，可得∠AFE＝∠DBE，利用AAS可证明△BDE≌△FAE（AAS），根据等腰三角形三线合一可得BD＝CD，AD⊥BC，然后证明四边形ADCF是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题．
【解答】解：四边形ADCF是平行四边形，
证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△BDE和△FAE中，
，
∴△BDE≌△FAE（AAS），
∴AF＝BD，
∵AB＝AC，D是线段BC的中点，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，AF＝CD，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的判定．
14．（2025 五华区校级模拟）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF，AF与DE交于点O．
（1）求证：四边形AEFD为矩形；
（2）若AB＝6，OE＝4，∠BAE＝∠DEF，求BF、DF的长．
【考点】矩形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形．
【答案】（1）见解析；
（2）BF＝10，DF＝4.8．
【分析】（1）先根据一组对边平行且相等证明四边形AEFD为平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可证明四边形AEFD为矩形；
（2）先根据矩形的性质通过导角证明∠BAF＝90°，再用勾股定理解Rt△BAF求出BF，最后根据求出AE即可．
【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD＝BC＝EF，
又∵AD∥EF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFD为矩形；
（2）解：∵四边形AEFD为矩形，
∴，
∴AF＝DE＝2OE＝8，OA＝OF＝OD＝OE，
∴∠DEF＝∠AFE，
又∵∠AEF＝90°，
∴∠EAF+∠AFE＝90°，
又∵∠BAE＝∠DEF，∠DEF＝∠AFE，
∴∠BAE+∠EAF＝90°，
∴∠BAF＝90°，
在Rt△BAF中，由勾股定理得：BF2＝AB2+AF2＝62+82＝100，
∴BF＝10，
∵，
∴，
解得AE＝4.8，
∴DF＝AE＝4.8．
【点评】本题考查平行四边形的性质与判定，矩形的性质和判定，勾股定理等，熟练掌握平行四边形和矩形的性质是解题的关键．
15．（2025春 长寿区校级期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝2，∠AOD＝120°，求矩形ABCD的面积．
【考点】矩形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）4．
【分析】（1）连接EO，首先根据O为BD和AC的中点，得出四边形ABCD是平行四边形，在Rt△AEC中EOAC，在Rt△EBD中，EOBD，得到AC＝BD，可证出结论；
（2）根据矩形的性质和等边三角形的判定和性质，余角矩形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接EO，如图所示：
∵O是AC、BD的中点，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
在Rt△EBD中，
∵O为BD中点，
∴EOBD，
∵O为AC中点，
∴EOAC，
∴AC＝BD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）∵平行四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，
∴AO＝OB，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO＝BO＝AB＝2，
∴AC＝2AO＝4，
∴BC2，
∴矩形ABCD的面积＝AB BC＝4．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
期末核心考点 矩形
一．选择题（共7小题）
1．（2025 路桥区二模）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC和BD相交于点O，已知AC＝4，则OB的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（2025 淮南二模）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AD＝12，DC＝5，则△AOB的周长是（ ）
A．13 B．15 C．17 D．18
3．（2024秋 成都期末）如图，将两个矩形叠合放置，如果∠1＝115°，那么∠2等于（ ）
A．25° B．45° C．65° D．85°
4．（2025春 盐城期中）如图，将长为5cm，宽为3cm的长方形ABCD向右平移1cm，得到长方形A'B'C'D'，则阴影部分的面积为（ ）
A．3cm2 B．5cm2 C．12cm2 D．15cm2
5．（2024秋 金沙县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，点D是BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（ ）
A． B．13 C． D．
6．（2025春 滨海新区期中）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，OA＝9，则BE的长为（ ）
A． B．9 C． D．12
7．（2025春 香洲区校级期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝120°，则∠CDE的大小是（ ）
A．55° B．40° C．30° D．20°
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 上海校级期中）已知点E为矩形ABCD的边AD上一点，若BC＝EC，∠ABE＝15°，如果AB＝4cm，那么BC＝ cm．
9．（2025春 天河区校级期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知∠ACB＝25°，则∠AOB的大小是 ．
10．（2025春 珠海期中）如图，在矩形ABCD中，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB与点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，若AB＝3，BC＝4，则FG的最小值 ．
11．（2025春 江汉区期中）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，点E在BC的延长线上，BE＝AC，∠E＝74°，则∠DAC＝ °．
12．（2025春 石楼县月考）古代建筑中的榫卯结构精妙绝伦，体现了古人的智慧．如图，这是一种古代建筑构件“榫头”的示意图，其中两直角边长分别为6cm和8cm，斜面（阴影部分）为长方形，其中长方形的一边长为3cm，则此长方形的面积为 cm2．
三．解答题（共3小题）
13．（2025春 江津区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF．试判断四边形ADCF的形状，并给予证明．
14．（2025 五华区校级模拟）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF，AF与DE交于点O．
（1）求证：四边形AEFD为矩形；
（2）若AB＝6，OE＝4，∠BAE＝∠DEF，求BF、DF的长．
15．（2025春 长寿区校级期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝2，∠AOD＝120°，求矩形ABCD的面积．
期末核心考点 矩形
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 路桥区二模）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC和BD相交于点O，已知AC＝4，则OB的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据矩形的对角线相等可得AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，则可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
又∵AC＝4，
∴OA＝OB＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
2．（2025 淮南二模）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AD＝12，DC＝5，则△AOB的周长是（ ）
A．13 B．15 C．17 D．18
【考点】矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据矩形的性质，利用勾股定理先求出AC长，再求出△AOB的周长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AO＝BOAC，
∴△ACD是Rt△，
∵AD＝12，DC＝5，
∴AC 13，
∴AO+BO＝13，
∴△AOB的周长是13+5＝18．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，熟练掌握该知识点是关键．
3．（2024秋 成都期末）如图，将两个矩形叠合放置，如果∠1＝115°，那么∠2等于（ ）
A．25° B．45° C．65° D．85°
【考点】矩形的性质；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】设两个矩形分别为矩形ABCD和矩形EFGH，则∠ADC＝∠E＝90°，求得∠EAD＝65°，由∠2+∠ADE＝90°，∠EAD+∠ADE＝90°，得∠2＝∠EAD＝65°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形EFGH都是矩形，
∴∠ADC＝∠E＝90°，
∵∠1＝115°，
∴∠EAD＝180°﹣∠1＝180°﹣115°＝65°，
∵∠2+∠ADE＝90°，∠EAD+∠ADE＝90°，
∴∠2＝∠EAD＝65°，
故选：C．
【点评】此题重点考查矩形的性质、三角形内角和定理等知识，求得∠EAD＝65°是解题的关键．
4．（2025春 盐城期中）如图，将长为5cm，宽为3cm的长方形ABCD向右平移1cm，得到长方形A'B'C'D'，则阴影部分的面积为（ ）
A．3cm2 B．5cm2 C．12cm2 D．15cm2
【考点】矩形的性质；平移的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】由平移可得空白部分长方形的长为3cm，宽为1cm，即得空白部分长方形的面积，进而可求出阴影部分的面积．
【解答】解：5×3﹣3×1＝12（cm2），
∴阴影部分的面积为12cm2，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，平移的性质，掌握平移的性质是解答本题的关键．
5．（2024秋 金沙县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，点D是BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（ ）
A． B．13 C． D．
【考点】矩形的判定与性质；垂线段最短．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝12，
∴BC13，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积AB×ACBC×AD，
∴AD，
∴MN的最小值为；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．（2025春 滨海新区期中）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，OA＝9，则BE的长为（ ）
A． B．9 C． D．12
【考点】矩形的性质；角平分线的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据矩形的性质得出∠BAE＝∠EAD＝45°，AD∥BC，OA＝OB＝9，证出∠AEB＝∠EAD＝45°，得出BE＝BA．证出△OAB为等边三角形，得出BO＝BA＝9，则可得出答案．
【解答】解：在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝45°，AD∥BC，OA＝OB＝6，
∴∠AEB＝∠EAD＝45°，
∴BE＝BA．
∵∠CAE＝15°，∠BAE＝45°，
∴∠BAC＝60°，
又∵OA＝OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴BO＝BA＝9，
∴BO＝BE＝9．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形和等腰三角形的判定及三角形的内角和等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
7．（2025春 香洲区校级期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝120°，则∠CDE的大小是（ ）
A．55° B．40° C．30° D．20°
【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据矩形性质和条件可得到∠ECD＝60°，再直角三角形两个锐角互余可求出∠CDE的大小．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠AOD＝120°，
∴∠COD＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ECD＝60°，
∵DE⊥AC于点E，
∴∠DEC＝90°，
∴∠CDE＝90°﹣∠ECD＝90°﹣60°＝30°．
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形性质是关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 上海校级期中）已知点E为矩形ABCD的边AD上一点，若BC＝EC，∠ABE＝15°，如果AB＝4cm，那么BC＝ 8 cm．
【考点】矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】8．
【分析】利用余角的性质求得∠AEB＝∠EBC＝75°，利用等边对等角求得∠CEB＝∠EBC＝75°，再利用平角的定义求得∠CED＝30°，根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵∠A＝∠ABC＝∠D＝90°，AB＝CD＝4cm，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC＝90°﹣15°＝75°，
∵BC＝EC，
∴∠CEB＝∠EBC＝75°，
∴∠CED＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴BC＝EC＝2CD＝8cm．
故答案为：8．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，掌握“30度角对应的直角边长度为斜边长度的一半”是解题的关键．
9．（2025春 天河区校级期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知∠ACB＝25°，则∠AOB的大小是 50° ．
【考点】矩形的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】50°．
【分析】根据矩形的性质，可得∠ABC的度数，OA与OB的关系，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得答案．
【解答】解：由矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝25°，得，
∠ABC＝90°，
∠BAO＝90°﹣∠ACB＝65°．
由OA＝OB，得△ABO是等腰三角形，
∠AOB＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，利用三角形内角和定理是解题关键．
10．（2025春 珠海期中）如图，在矩形ABCD中，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB与点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，若AB＝3，BC＝4，则FG的最小值 ．
【考点】矩形的判定与性质；垂线段最短．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接BE，由矩形的性质得∠B＝90°，再证明四边形EFBG为矩形，得FG＝BE，当BE⊥AC时，BE最小，然后由三角形面积求出此时BE的长，即可得出结论．
【解答】解：如图，连接BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AC5，
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠EFB＝∠EGB＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形EFBG为矩形，
∴FG＝BE，
当BE⊥AC时，BE最小，
此时，△ABC的面积AC BEAC BC，
∴5BE＝3×4，
∴BE，
∴FG的最小值是，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
11．（2025春 江汉区期中）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，点E在BC的延长线上，BE＝AC，∠E＝74°，则∠DAC＝ 32 °．
【考点】矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】32．
【分析】连接BD交AC于点O，根据矩形性质得BD＝AC＝BE，AD∥BC，OB＝OD＝OA＝OC，则∠BDE＝∠E＝74°，进而得∠DBE＝32°，∠OCB＝∠DBE＝32°，然后根据AD∥BC得∠DAC＝∠OCB＝32°，由此即可得出答案．
【解答】解：连接BD交AC于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC，AD∥BC，OB＝OD＝OA＝OC，
∵BE＝AC，
∴BE＝BD，
∴∠BDE＝∠E＝74°，
在△BDE中，∠DBE+∠BDE+∠E＝180°，
∴∠DBE+74°+74°＝180°，
∴∠DBE＝32°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠DBE＝32°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠OCB＝32°．
故答案为：32．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．
12．（2025春 石楼县月考）古代建筑中的榫卯结构精妙绝伦，体现了古人的智慧．如图，这是一种古代建筑构件“榫头”的示意图，其中两直角边长分别为6cm和8cm，斜面（阴影部分）为长方形，其中长方形的一边长为3cm，则此长方形的面积为 30 cm2．
【考点】矩形的性质；勾股定理．
【专题】推理能力．
【答案】30．
【分析】首先利用勾股定理求出AB＝10cm，再根据长方形的面积公式求出结果即可．
【解答】解：∵AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，
∴AB10（cm），
∴．
故答案为：30．
【点评】本题考查了勾股定理，掌握矩形的面积公式是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2025春 江津区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF．试判断四边形ADCF的形状，并给予证明．
【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】四边形ADCF是平行四边形，证明见解析．
【分析】根据AF∥BC，可得∠AFE＝∠DBE，利用AAS可证明△BDE≌△FAE（AAS），根据等腰三角形三线合一可得BD＝CD，AD⊥BC，然后证明四边形ADCF是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题．
【解答】解：四边形ADCF是平行四边形，
证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△BDE和△FAE中，
，
∴△BDE≌△FAE（AAS），
∴AF＝BD，
∵AB＝AC，D是线段BC的中点，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，AF＝CD，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的判定．
14．（2025 五华区校级模拟）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF，AF与DE交于点O．
（1）求证：四边形AEFD为矩形；
（2）若AB＝6，OE＝4，∠BAE＝∠DEF，求BF、DF的长．
【考点】矩形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形．
【答案】（1）见解析；
（2）BF＝10，DF＝4.8．
【分析】（1）先根据一组对边平行且相等证明四边形AEFD为平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可证明四边形AEFD为矩形；
（2）先根据矩形的性质通过导角证明∠BAF＝90°，再用勾股定理解Rt△BAF求出BF，最后根据求出AE即可．
【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD＝BC＝EF，
又∵AD∥EF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFD为矩形；
（2）解：∵四边形AEFD为矩形，
∴，
∴AF＝DE＝2OE＝8，OA＝OF＝OD＝OE，
∴∠DEF＝∠AFE，
又∵∠AEF＝90°，
∴∠EAF+∠AFE＝90°，
又∵∠BAE＝∠DEF，∠DEF＝∠AFE，
∴∠BAE+∠EAF＝90°，
∴∠BAF＝90°，
在Rt△BAF中，由勾股定理得：BF2＝AB2+AF2＝62+82＝100，
∴BF＝10，
∵，
∴，
解得AE＝4.8，
∴DF＝AE＝4.8．
【点评】本题考查平行四边形的性质与判定，矩形的性质和判定，勾股定理等，熟练掌握平行四边形和矩形的性质是解题的关键．
15．（2025春 长寿区校级期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝2，∠AOD＝120°，求矩形ABCD的面积．
【考点】矩形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）4．
【分析】（1）连接EO，首先根据O为BD和AC的中点，得出四边形ABCD是平行四边形，在Rt△AEC中EOAC，在Rt△EBD中，EOBD，得到AC＝BD，可证出结论；
（2）根据矩形的性质和等边三角形的判定和性质，余角矩形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接EO，如图所示：
∵O是AC、BD的中点，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
在Rt△EBD中，
∵O为BD中点，
∴EOBD，
∵O为AC中点，
∴EOAC，
∴AC＝BD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）∵平行四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，
∴AO＝OB，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO＝BO＝AB＝2，
∴AC＝2AO＝4，
∴BC2，
∴矩形ABCD的面积＝AB BC＝4．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)