【期末核心考点】用正多边形铺设地板（含解析）2024-2025学年七年级下册数学华东师大版（2024）
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| 名称 | 【期末核心考点】用正多边形铺设地板（含解析）2024-2025学年七年级下册数学华东师大版（2024） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 968.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-14 19:15:02 | ||
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文档简介
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期末核心考点 用正多边形铺设地板
一．选择题（共7小题）
1．（2024春 南关区校级期中）如图，有四种瓷砖图案，用同一种瓷砖能铺满地面的是（ ）
A．（1）（2）（4） B．（2）（3）（4） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）
2．（2024秋 义乌市期中）某校校园里的一条小路使用正六边形、正方形、正三角形三种地砖按如图方式铺设．若这条小路共用了50块正六边形地砖，则正方形地砖的数量为（ ）
A．300块 B．301块 C．250块 D．251块
3．（2024秋 思明区校级期中）如图是用边长相等的正三角形和正n边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则正n边形的内角和为（ ）
A．1800° B．1440° C．1080° D．720°
4．（2024 蒸湘区校级开学）正六边形和下列边长相同的正多边形地砖组合中，能铺满地面的是（ ）
A．正方形
B．正八边形
C．正十二边形
D．正四边形和正十二边形
5．（2024春 偃师区期末）“动感数学”社团教室重新装修，如图是用边长相等的正方形和正n边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则n的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．（2024 印江县开学）如图所示，是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在∠AOB处，则这块正多边形地砖的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（2024春 新乡期末）现有几种形状的多边形地砖，分别是：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤一般三角形；⑥一般四边形．每一种地砖的大小形状都相同，且都有很多块，如果只用其中的一种多边形地砖镶嵌，那么能够镶嵌成一个平面图案的有（ ）
A．2 种 B．3种 C．4种 D．5种
二．填空题（共5小题）
8．（2025 碑林区校级三模）用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面（即每个顶点上的各个角度数的和为360°并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．如图所示的“半正密铺”图案，每个顶点上和为360°的三个角依次为正方形、正八边形、正八边形的各一个内角，可以用记号（4，8，8）表示．请尝试用正三角形和正六边形组成一个“半正密铺”图案，并类比上述方法用记号表示 ．（写出一种即可）
9．（2025 长春一模）如图，要用三块正多边形的木板铺地，使拼在一起并相交于点A的各边完全吻合，其中已经拼好的两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数应是 ．
10．（2025 渭滨区校级模拟）如图，这是儿童玩具底板的一幅图案，供小朋友拼图用的是正方形的木块和正n边形木块．由于小朋友只选了正方形的木块，导致没有拼成．老师鼓励他选取正n边形的木块试试，他试了几次终于成功了．这里的n＝ ．
11．（2025 永寿县校级一模）小明家装修房屋，想用一种正多边形瓷砖铺地，顶点连着顶点，彼此之间不留空隙又不重叠，请你帮助他选择一种能密铺的瓷砖形状 .（写出一种即可）
12．（2025 历城区模拟）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角∠1的大小为 °．
三．解答题（共3小题）
13．（2025 上海校级一模）簪花结束后，小强和爸爸牵着妈妈的手，到蟳埔村参观游玩拍照纪念，精美的镂空窗花搭配蚵壳墙，极具泉州古民居特色，给小强一家留下来极其深刻的印象，在感叹泉州人民的勤劳与智慧的同
时，聪明的小强发现有的窗花是由几种形状的正多边形组合镶嵌而成，具有很好的对称美，小强爸爸给他出了如下两个题目，请帮帮小强一起解决．
问题1．
已知一扇窗户在某个结点处由两种边长相等的正多边形镶嵌而成，其中一种是等边三角形，另一个种不能是下列哪种形状的正多边形 （填序号）
①正三角形
②正四边形
③正五边形
④正六边形
问题2．
小强发现某个花纹用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1；小强猜想，如果用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为 ，并简要说明理由．
14．（2025春 铜山区期中）【问题情境】平面密铺是一类有趣的几何问题．平面密铺指的是用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，在拼接点处不留空隙也不会重叠．（注：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和为360°时，完成密铺．）
某学习小组尝试用几种边长相等的正多边形完成平面密铺．开始前做足准备，求出一些熟悉的正多边形的内角度数，记录如下：
正多边形 正三角形 正四边形 正五边形 正六边形 正八边形
正多边形内角的度数 60° 90° 108° 120° 135°
【初步感知】该小组尝试用一种正多边形完成密铺，结果发现用正三角形、正四边形和正六边形都可以密铺平面，如图所示．
思考回答：用正五边形能不能密铺？请说明理由．
【问题探究】该学习小组打算用上面问题情境表格中的两种正多边形组合密铺，其中一种是正三角形，另一种是正n边形，求n的可能值，并说明组合方式．
【拓展延伸】该学习小组进一步探究，用上面问题情境表格中的三种正多边形组合密铺，你认为可行的是 ．
A．正三角形、正四边形和正六边形
B．正三角形、正四边形和正八边形
C．正三角形、正六边形和正八边形
D．正四边形、正六边形和正八边形
15．（2024秋 虞城县月考）相信很多人家里都有“巧手妈妈”，图1是一位巧手妈妈手工织的坐垫，图2是某学校操场铺的地砖．它们或是用单独的正多边形，或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些作品就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题．
（1）如果限用一种正三角形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由；
（2）如果同时用正三角形和正十二边形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？如果能，应如何搭配进行平铺，请说明理由．
期末核心考点 用正多边形铺设地板
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2024春 南关区校级期中）如图，有四种瓷砖图案，用同一种瓷砖能铺满地面的是（ ）
A．（1）（2）（4） B．（2）（3）（4） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】正多边形与圆．
【答案】A
【分析】能够铺满地面的图形是看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．
【解答】解：（1）正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺，故符合题意；
（2）正方形的每个内角是90°，能整除360°，能密铺，故符合题意；
（3）正五边形的每个内角是180°﹣360°÷5＝108°，不能整除360°，不能密铺，故不符合题意；
（4）正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺，故符合题意；
∴符合题意有（1）（2）（4），
故选：A．
【点评】本题考查几何图形平面镶嵌（密铺）的基本性质，掌握正多边形的内角求法是解题的关键．
2．（2024秋 义乌市期中）某校校园里的一条小路使用正六边形、正方形、正三角形三种地砖按如图方式铺设．若这条小路共用了50块正六边形地砖，则正方形地砖的数量为（ ）
A．300块 B．301块 C．250块 D．251块
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】规律型；创新意识．
【答案】D
【分析】根据所给图形，发现六边形及正方形地砖与图案之间的关系即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
每增加一个图案，则六边形地砖的块数增加1，且一个图案中所含六边形的个数为1，
又因为这条小路共用去50块六边形地砖，
所以这条小路由50个图案组成．
因为每增加一个图案，正方形地砖的块数增加5，且一个图案中所含的正方形个数为6，
所以50个图案中所含正方形的个数为5×50+1＝251块，
故选：D．
【点评】本题考查平面镶嵌（密铺），能根据所给图形发现六边形及正方形地砖与图案之间的关系是解题的关键．
3．（2024秋 思明区校级期中）如图是用边长相等的正三角形和正n边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则正n边形的内角和为（ ）
A．1800° B．1440° C．1080° D．720°
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】A
【分析】根据平面镶嵌的条件，先求出正n边形的一个内角的度数，再根据内角和公式求出n的值．
【解答】解：正n边形的一个内角＝（360°﹣60°）÷2＝150°，
则150°n＝（n﹣2） 180°，
解得n＝12，
∴（12﹣2） 180°＝1800°，
故选：A．
【点评】本题考查了平面镶嵌，体现了学数学用数学的思想，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
4．（2024 蒸湘区校级开学）正六边形和下列边长相同的正多边形地砖组合中，能铺满地面的是（ ）
A．正方形
B．正八边形
C．正十二边形
D．正四边形和正十二边形
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】D
【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满，反之，则说明不能铺满．
【解答】解：A、正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120°，90°m+120°n＝360°，n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满，A选项不符合题意；
B、正八边形的每个内角是135°，正六边形的每个内角是120°，135°m+120°n＝360°，n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满，B选项不符合题意；
C、正十二形的每个内角是150°，正六边形的每个内角是120°，150°m+120°n＝360°，n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满，C选项不符合题意；
D、正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120°，正十二形的每个内角是150°，90°+120°+150°＝360°，故能铺满，D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平面几何图形镶嵌，解题的关键是明确围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
5．（2024春 偃师区期末）“动感数学”社团教室重新装修，如图是用边长相等的正方形和正n边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则n的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】B
【分析】根据平面镶嵌的条件，先求出正n边形的一个内角的度数，再根据内角和公式求出n的值．
【解答】解：正n边形的一个内角＝（360°﹣90°）÷2＝135°，
则135°n＝（n﹣2） 180°，
解得n＝8．
故选：B．
【点评】本题考查了平面镶嵌，体现了学数学用数学的思想，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
6．（2024 印江县开学）如图所示，是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在∠AOB处，则这块正多边形地砖的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据多边形的内角和求出∠AOB＝120°，计算多边形的外角为60°即可得到答案．
【解答】解：∵正三角形的内角为60°，正方形的内角为90°，
∴∠AOB＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°，
∴这块正多边形地砖的边数是，
故选：B．
【点评】本题主要考查平面密铺，熟练掌握多边形内角和是解题的关键．
7．（2024春 新乡期末）现有几种形状的多边形地砖，分别是：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤一般三角形；⑥一般四边形．每一种地砖的大小形状都相同，且都有很多块，如果只用其中的一种多边形地砖镶嵌，那么能够镶嵌成一个平面图案的有（ ）
A．2 种 B．3种 C．4种 D．5种
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】几何图形；几何直观．
【答案】D
【分析】判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．据此判断即可．
【解答】解：①∵正三角形的每个内角是60°，60°×6＝360°，
∴能够镶嵌成一个平面图案；
②∵正方形的每个内角是90°，90°×4＝360°，
∴能够镶嵌成一个平面图案；
③∵正五边形的每个内角是108°，
∴不能镶嵌成一个平面图案；
④∵正六边形的每个内角是120°，120°×3＝360°，
∴能够镶嵌成一个平面图案；
⑤∵一般三角形的三个内角组合在一起是180°，6个就可以组成360°，
∴能够镶嵌成一个平面图案；
⑥∵一般四边形四个内角组合在一起可以组成360°，
∴4个即能够镶嵌成一个平面图案．
综上所述，符合题意的有①②④⑤⑥共5种，
故选：D．
【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺），掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2025 碑林区校级三模）用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面（即每个顶点上的各个角度数的和为360°并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．如图所示的“半正密铺”图案，每个顶点上和为360°的三个角依次为正方形、正八边形、正八边形的各一个内角，可以用记号（4，8，8）表示．请尝试用正三角形和正六边形组成一个“半正密铺”图案，并类比上述方法用记号表示 （3，3，6，6）（答案不唯一） ．（写出一种即可）
【考点】平面镶嵌（密铺）；多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】（3，3，6，6）或（3，3，3，3，1）（答案不唯一）．
【分析】根据在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°，分别判断即可．
【解答】解：∵正三角形一个内角为60°，正六边形一个内角为120°，
又∵2×60°+2×120°＝360°，4×60°+120°＝360°，
∴可以用记号（3，3，6，6）或（3，3，3，3，1）表示．
故答案为：（3，3，6，6）或（3，3，3，3，1）（答案不唯一）．
【点评】此题考查了平面镶嵌（密铺），两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360度．
9．（2025 长春一模）如图，要用三块正多边形的木板铺地，使拼在一起并相交于点A的各边完全吻合，其中已经拼好的两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数应是 12 ．
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】线段、角、相交线与平行线；空间观念．
【答案】12．
【分析】先求出正四边形和正六边形每个内角的度数，然后根据平面镶嵌的条件求解第三块正多边形的每个内角度数，然后再结合外角和公式进行计算求解．
【解答】解：正四边形每个内角度数为360°÷4＝90°，
正六边形每个内角度数为180﹣360°÷6＝120°，
∴第三块正多边形的每个内角度数为360°﹣90°﹣120°＝150°，
∴第三块正多边形的边数为360°÷（180°﹣150°）＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺），两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
10．（2025 渭滨区校级模拟）如图，这是儿童玩具底板的一幅图案，供小朋友拼图用的是正方形的木块和正n边形木块．由于小朋友只选了正方形的木块，导致没有拼成．老师鼓励他选取正n边形的木块试试，他试了几次终于成功了．这里的n＝ 8 ．
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】8．
【分析】根据平面镶嵌的条件，先求出正n边形的一个内角的度数，再根据内角和公式求出n的值．
【解答】解：正n边形的一个内角为（360°﹣90°）÷2＝135°，
则135°n＝（n﹣2） 180°，
解得n＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺），体现了学数学用数学的思想，同时考查了多边形的内角和公式．
11．（2025 永寿县校级一模）小明家装修房屋，想用一种正多边形瓷砖铺地，顶点连着顶点，彼此之间不留空隙又不重叠，请你帮助他选择一种能密铺的瓷砖形状 正三角形 .（写出一种即可）
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】多边形与平行四边形；应用意识．
【答案】正三角形．
【分析】正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°．
【解答】解：正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺．
故答案为：正三角形（答案不唯一）．
【点评】本题考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．本题的难点在于判断出是求一种多边形的镶嵌．
12．（2025 历城区模拟）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角∠1的大小为 45 °．
【考点】平面镶嵌（密铺）；多边形内角与外角．
【专题】运算能力．
【答案】45．
【分析】由多边形的外角和定理直接可求出结论．
【解答】解：∵正八边形的每一个外角都相等，外角和为360°，
∴它的一个外角∠1＝360°÷8＝45°．
故答案为：45．
【点评】本题考查了多边形外角和定理，平面镶嵌等知识点，掌握外角和定理是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2025 上海校级一模）簪花结束后，小强和爸爸牵着妈妈的手，到蟳埔村参观游玩拍照纪念，精美的镂空窗花搭配蚵壳墙，极具泉州古民居特色，给小强一家留下来极其深刻的印象，在感叹泉州人民的勤劳与智慧的同
时，聪明的小强发现有的窗花是由几种形状的正多边形组合镶嵌而成，具有很好的对称美，小强爸爸给他出了如下两个题目，请帮帮小强一起解决．
问题1．
已知一扇窗户在某个结点处由两种边长相等的正多边形镶嵌而成，其中一种是等边三角形，另一个种不能是下列哪种形状的正多边形 ③ （填序号）
①正三角形
②正四边形
③正五边形
④正六边形
问题2．
小强发现某个花纹用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1；小强猜想，如果用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为 6 ，并简要说明理由．
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】多边形与平行四边形；几何直观．
【答案】问题1：③；
问题2：6．
【分析】问题1：分别求出各多边形内角的度数，再由密铺的条件即可得出结论；
问题2：根据正六边形各内角的度数即可得出结论．
【解答】解：问题1：①正三角形的内角是60°，60°×6＝360°，可以密铺，不符合题意；
②正四边形的内角是90°，60°×3+90°×2＝360°，可以密铺，不符合题意；
③正五边形的内角是108°，60°×2+108°×2＝336°≠360°°，不能密铺，符合题意；
④正六边形的内角是120°，60°×2+120°×2＝360°°，能密铺，不符合题意，
故答案为：③；
问题2：n＝6，
理由如下：由题意得，这n个正六边形围成的图形是一个正多边形．由图2可知，围成的这个正多边的每个内角的度数是120°
所以，（n﹣2）180°＝120°n，
解得n＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查的是平面镶嵌，熟知用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌是解题的关键．
14．（2025春 铜山区期中）【问题情境】平面密铺是一类有趣的几何问题．平面密铺指的是用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，在拼接点处不留空隙也不会重叠．（注：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和为360°时，完成密铺．）
某学习小组尝试用几种边长相等的正多边形完成平面密铺．开始前做足准备，求出一些熟悉的正多边形的内角度数，记录如下：
正多边形 正三角形 正四边形 正五边形 正六边形 正八边形
正多边形内角的度数 60° 90° 108° 120° 135°
【初步感知】该小组尝试用一种正多边形完成密铺，结果发现用正三角形、正四边形和正六边形都可以密铺平面，如图所示．
思考回答：用正五边形能不能密铺？请说明理由．
【问题探究】该学习小组打算用上面问题情境表格中的两种正多边形组合密铺，其中一种是正三角形，另一种是正n边形，求n的可能值，并说明组合方式．
【拓展延伸】该学习小组进一步探究，用上面问题情境表格中的三种正多边形组合密铺，你认为可行的是 A ．
A．正三角形、正四边形和正六边形
B．正三角形、正四边形和正八边形
C．正三角形、正六边形和正八边形
D．正四边形、正六边形和正八边形
【考点】平面镶嵌（密铺）；三角形内角和定理；多边形内角与外角．
【专题】应用意识．
【答案】【初步感知】不能，理由见解析过程；
【问题探究】n＝6时，组合方式是2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形；n＝4时，组合方式是3个正三角形和2个正四边形；
【拓展延伸】A．
【分析】根据平面密铺的定义，得出能平面密铺的图形的角度特征，据此即可解决问题．
【解答】解：【初步感知】不能，理由如下：
由题知，
能平面密铺的图形，其角度必须是360的因数．
因为360÷108的结果不是整数，
所以正五边形不能密铺．
【问题探究】当1个正三角形时，
360°﹣60°＝300°，
其余角度中没有300的因数，
所以此种情况不存在．
当2个正三角形时，
360°﹣120°＝240°，
因为240÷120＝2，
所以n＝6，此时的组合方式是2个正三角形和2个正六边形．
当3个正三角形时，
360°﹣180°＝180°，
因为180÷90＝2，
所以n＝4，此时的组合方式是3个正三角形和2个正四边形．
当4个正三角形时，
360°﹣240°＝120°，
因为120÷120＝1，
所以n＝6，此时的组合方式是4个正三角形和1个正六边形．
当5个正三角形时，
360°﹣300°＝60°，
其余角度中没有60的因数，
所以此种情况不存在．
综上所述：n＝6时，组合方式是2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形；n＝4时，组合方式是3个正三角形和2个正四边形．
【拓展延伸】，
因为60°+2×90°+120°＝360°，
所以A选项符合题意．
因为60°，90°，135°无法同时使用凑出360°，
所以B选项不符合题意．
因为60°，120°，135°无法同时使用凑出360°，
所以C选项不符合题意．
因为90°，120°，135°无法同时使用凑出360°，
所以D选项不符合题意．
故答案为：A．
【点评】本题主要考查了平面密铺（镶嵌），三角形的内角和定理及三角形内角和外角，理解平面密铺的定义是解题的关键．
15．（2024秋 虞城县月考）相信很多人家里都有“巧手妈妈”，图1是一位巧手妈妈手工织的坐垫，图2是某学校操场铺的地砖．它们或是用单独的正多边形，或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些作品就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题．
（1）如果限用一种正三角形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由；
（2）如果同时用正三角形和正十二边形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？如果能，应如何搭配进行平铺，请说明理由．
【考点】平面镶嵌（密铺）；多边形．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）正三角形能镶嵌成一个平面图形．理由见解析；
（2）同时用正三角形和正十二边形能镶嵌成一个平面图形．理由见解析．
【分析】（1）内角的整数倍能等于360°即可；
（2）利用两种正多边形镶嵌内角之间关系进而求出即可；
【解答】解：（1）能，理由如下：
∵正三角形的内角和为180°，
∴正三角形的每一个内角为180°÷3＝60°．
∵360°÷60°＝6，
∴正三角形能镶嵌成一个平面图形．
（2）能，
理由：
∵正十二边形的内角和为（12﹣2）×180°＝1800°，
∴正十二边形的每一个内角为1800°÷12＝150°．
∵150°×2+60°＝360°，
∴同时用1块正三角形和2块正十二边形能镶嵌成一个平面图形．
【点评】本题考查了平面镶嵌，解题的关键是根据围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角来解答．
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期末核心考点 用正多边形铺设地板
一．选择题（共7小题）
1．（2024春 南关区校级期中）如图，有四种瓷砖图案，用同一种瓷砖能铺满地面的是（ ）
A．（1）（2）（4） B．（2）（3）（4） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）
2．（2024秋 义乌市期中）某校校园里的一条小路使用正六边形、正方形、正三角形三种地砖按如图方式铺设．若这条小路共用了50块正六边形地砖，则正方形地砖的数量为（ ）
A．300块 B．301块 C．250块 D．251块
3．（2024秋 思明区校级期中）如图是用边长相等的正三角形和正n边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则正n边形的内角和为（ ）
A．1800° B．1440° C．1080° D．720°
4．（2024 蒸湘区校级开学）正六边形和下列边长相同的正多边形地砖组合中，能铺满地面的是（ ）
A．正方形
B．正八边形
C．正十二边形
D．正四边形和正十二边形
5．（2024春 偃师区期末）“动感数学”社团教室重新装修，如图是用边长相等的正方形和正n边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则n的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．（2024 印江县开学）如图所示，是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在∠AOB处，则这块正多边形地砖的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（2024春 新乡期末）现有几种形状的多边形地砖，分别是：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤一般三角形；⑥一般四边形．每一种地砖的大小形状都相同，且都有很多块，如果只用其中的一种多边形地砖镶嵌，那么能够镶嵌成一个平面图案的有（ ）
A．2 种 B．3种 C．4种 D．5种
二．填空题（共5小题）
8．（2025 碑林区校级三模）用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面（即每个顶点上的各个角度数的和为360°并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．如图所示的“半正密铺”图案，每个顶点上和为360°的三个角依次为正方形、正八边形、正八边形的各一个内角，可以用记号（4，8，8）表示．请尝试用正三角形和正六边形组成一个“半正密铺”图案，并类比上述方法用记号表示 ．（写出一种即可）
9．（2025 长春一模）如图，要用三块正多边形的木板铺地，使拼在一起并相交于点A的各边完全吻合，其中已经拼好的两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数应是 ．
10．（2025 渭滨区校级模拟）如图，这是儿童玩具底板的一幅图案，供小朋友拼图用的是正方形的木块和正n边形木块．由于小朋友只选了正方形的木块，导致没有拼成．老师鼓励他选取正n边形的木块试试，他试了几次终于成功了．这里的n＝ ．
11．（2025 永寿县校级一模）小明家装修房屋，想用一种正多边形瓷砖铺地，顶点连着顶点，彼此之间不留空隙又不重叠，请你帮助他选择一种能密铺的瓷砖形状 .（写出一种即可）
12．（2025 历城区模拟）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角∠1的大小为 °．
三．解答题（共3小题）
13．（2025 上海校级一模）簪花结束后，小强和爸爸牵着妈妈的手，到蟳埔村参观游玩拍照纪念，精美的镂空窗花搭配蚵壳墙，极具泉州古民居特色，给小强一家留下来极其深刻的印象，在感叹泉州人民的勤劳与智慧的同
时，聪明的小强发现有的窗花是由几种形状的正多边形组合镶嵌而成，具有很好的对称美，小强爸爸给他出了如下两个题目，请帮帮小强一起解决．
问题1．
已知一扇窗户在某个结点处由两种边长相等的正多边形镶嵌而成，其中一种是等边三角形，另一个种不能是下列哪种形状的正多边形 （填序号）
①正三角形
②正四边形
③正五边形
④正六边形
问题2．
小强发现某个花纹用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1；小强猜想，如果用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为 ，并简要说明理由．
14．（2025春 铜山区期中）【问题情境】平面密铺是一类有趣的几何问题．平面密铺指的是用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，在拼接点处不留空隙也不会重叠．（注：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和为360°时，完成密铺．）
某学习小组尝试用几种边长相等的正多边形完成平面密铺．开始前做足准备，求出一些熟悉的正多边形的内角度数，记录如下：
正多边形 正三角形 正四边形 正五边形 正六边形 正八边形
正多边形内角的度数 60° 90° 108° 120° 135°
【初步感知】该小组尝试用一种正多边形完成密铺，结果发现用正三角形、正四边形和正六边形都可以密铺平面，如图所示．
思考回答：用正五边形能不能密铺？请说明理由．
【问题探究】该学习小组打算用上面问题情境表格中的两种正多边形组合密铺，其中一种是正三角形，另一种是正n边形，求n的可能值，并说明组合方式．
【拓展延伸】该学习小组进一步探究，用上面问题情境表格中的三种正多边形组合密铺，你认为可行的是 ．
A．正三角形、正四边形和正六边形
B．正三角形、正四边形和正八边形
C．正三角形、正六边形和正八边形
D．正四边形、正六边形和正八边形
15．（2024秋 虞城县月考）相信很多人家里都有“巧手妈妈”，图1是一位巧手妈妈手工织的坐垫，图2是某学校操场铺的地砖．它们或是用单独的正多边形，或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些作品就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题．
（1）如果限用一种正三角形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由；
（2）如果同时用正三角形和正十二边形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？如果能，应如何搭配进行平铺，请说明理由．
期末核心考点 用正多边形铺设地板
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2024春 南关区校级期中）如图，有四种瓷砖图案，用同一种瓷砖能铺满地面的是（ ）
A．（1）（2）（4） B．（2）（3）（4） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】正多边形与圆．
【答案】A
【分析】能够铺满地面的图形是看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．
【解答】解：（1）正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺，故符合题意；
（2）正方形的每个内角是90°，能整除360°，能密铺，故符合题意；
（3）正五边形的每个内角是180°﹣360°÷5＝108°，不能整除360°，不能密铺，故不符合题意；
（4）正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺，故符合题意；
∴符合题意有（1）（2）（4），
故选：A．
【点评】本题考查几何图形平面镶嵌（密铺）的基本性质，掌握正多边形的内角求法是解题的关键．
2．（2024秋 义乌市期中）某校校园里的一条小路使用正六边形、正方形、正三角形三种地砖按如图方式铺设．若这条小路共用了50块正六边形地砖，则正方形地砖的数量为（ ）
A．300块 B．301块 C．250块 D．251块
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】规律型；创新意识．
【答案】D
【分析】根据所给图形，发现六边形及正方形地砖与图案之间的关系即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
每增加一个图案，则六边形地砖的块数增加1，且一个图案中所含六边形的个数为1，
又因为这条小路共用去50块六边形地砖，
所以这条小路由50个图案组成．
因为每增加一个图案，正方形地砖的块数增加5，且一个图案中所含的正方形个数为6，
所以50个图案中所含正方形的个数为5×50+1＝251块，
故选：D．
【点评】本题考查平面镶嵌（密铺），能根据所给图形发现六边形及正方形地砖与图案之间的关系是解题的关键．
3．（2024秋 思明区校级期中）如图是用边长相等的正三角形和正n边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则正n边形的内角和为（ ）
A．1800° B．1440° C．1080° D．720°
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】A
【分析】根据平面镶嵌的条件，先求出正n边形的一个内角的度数，再根据内角和公式求出n的值．
【解答】解：正n边形的一个内角＝（360°﹣60°）÷2＝150°，
则150°n＝（n﹣2） 180°，
解得n＝12，
∴（12﹣2） 180°＝1800°，
故选：A．
【点评】本题考查了平面镶嵌，体现了学数学用数学的思想，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
4．（2024 蒸湘区校级开学）正六边形和下列边长相同的正多边形地砖组合中，能铺满地面的是（ ）
A．正方形
B．正八边形
C．正十二边形
D．正四边形和正十二边形
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】D
【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满，反之，则说明不能铺满．
【解答】解：A、正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120°，90°m+120°n＝360°，n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满，A选项不符合题意；
B、正八边形的每个内角是135°，正六边形的每个内角是120°，135°m+120°n＝360°，n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满，B选项不符合题意；
C、正十二形的每个内角是150°，正六边形的每个内角是120°，150°m+120°n＝360°，n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满，C选项不符合题意；
D、正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120°，正十二形的每个内角是150°，90°+120°+150°＝360°，故能铺满，D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平面几何图形镶嵌，解题的关键是明确围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
5．（2024春 偃师区期末）“动感数学”社团教室重新装修，如图是用边长相等的正方形和正n边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则n的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】B
【分析】根据平面镶嵌的条件，先求出正n边形的一个内角的度数，再根据内角和公式求出n的值．
【解答】解：正n边形的一个内角＝（360°﹣90°）÷2＝135°，
则135°n＝（n﹣2） 180°，
解得n＝8．
故选：B．
【点评】本题考查了平面镶嵌，体现了学数学用数学的思想，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
6．（2024 印江县开学）如图所示，是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在∠AOB处，则这块正多边形地砖的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据多边形的内角和求出∠AOB＝120°，计算多边形的外角为60°即可得到答案．
【解答】解：∵正三角形的内角为60°，正方形的内角为90°，
∴∠AOB＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°，
∴这块正多边形地砖的边数是，
故选：B．
【点评】本题主要考查平面密铺，熟练掌握多边形内角和是解题的关键．
7．（2024春 新乡期末）现有几种形状的多边形地砖，分别是：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤一般三角形；⑥一般四边形．每一种地砖的大小形状都相同，且都有很多块，如果只用其中的一种多边形地砖镶嵌，那么能够镶嵌成一个平面图案的有（ ）
A．2 种 B．3种 C．4种 D．5种
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】几何图形；几何直观．
【答案】D
【分析】判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．据此判断即可．
【解答】解：①∵正三角形的每个内角是60°，60°×6＝360°，
∴能够镶嵌成一个平面图案；
②∵正方形的每个内角是90°，90°×4＝360°，
∴能够镶嵌成一个平面图案；
③∵正五边形的每个内角是108°，
∴不能镶嵌成一个平面图案；
④∵正六边形的每个内角是120°，120°×3＝360°，
∴能够镶嵌成一个平面图案；
⑤∵一般三角形的三个内角组合在一起是180°，6个就可以组成360°，
∴能够镶嵌成一个平面图案；
⑥∵一般四边形四个内角组合在一起可以组成360°，
∴4个即能够镶嵌成一个平面图案．
综上所述，符合题意的有①②④⑤⑥共5种，
故选：D．
【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺），掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2025 碑林区校级三模）用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面（即每个顶点上的各个角度数的和为360°并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．如图所示的“半正密铺”图案，每个顶点上和为360°的三个角依次为正方形、正八边形、正八边形的各一个内角，可以用记号（4，8，8）表示．请尝试用正三角形和正六边形组成一个“半正密铺”图案，并类比上述方法用记号表示 （3，3，6，6）（答案不唯一） ．（写出一种即可）
【考点】平面镶嵌（密铺）；多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】（3，3，6，6）或（3，3，3，3，1）（答案不唯一）．
【分析】根据在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°，分别判断即可．
【解答】解：∵正三角形一个内角为60°，正六边形一个内角为120°，
又∵2×60°+2×120°＝360°，4×60°+120°＝360°，
∴可以用记号（3，3，6，6）或（3，3，3，3，1）表示．
故答案为：（3，3，6，6）或（3，3，3，3，1）（答案不唯一）．
【点评】此题考查了平面镶嵌（密铺），两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360度．
9．（2025 长春一模）如图，要用三块正多边形的木板铺地，使拼在一起并相交于点A的各边完全吻合，其中已经拼好的两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数应是 12 ．
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】线段、角、相交线与平行线；空间观念．
【答案】12．
【分析】先求出正四边形和正六边形每个内角的度数，然后根据平面镶嵌的条件求解第三块正多边形的每个内角度数，然后再结合外角和公式进行计算求解．
【解答】解：正四边形每个内角度数为360°÷4＝90°，
正六边形每个内角度数为180﹣360°÷6＝120°，
∴第三块正多边形的每个内角度数为360°﹣90°﹣120°＝150°，
∴第三块正多边形的边数为360°÷（180°﹣150°）＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺），两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
10．（2025 渭滨区校级模拟）如图，这是儿童玩具底板的一幅图案，供小朋友拼图用的是正方形的木块和正n边形木块．由于小朋友只选了正方形的木块，导致没有拼成．老师鼓励他选取正n边形的木块试试，他试了几次终于成功了．这里的n＝ 8 ．
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】8．
【分析】根据平面镶嵌的条件，先求出正n边形的一个内角的度数，再根据内角和公式求出n的值．
【解答】解：正n边形的一个内角为（360°﹣90°）÷2＝135°，
则135°n＝（n﹣2） 180°，
解得n＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺），体现了学数学用数学的思想，同时考查了多边形的内角和公式．
11．（2025 永寿县校级一模）小明家装修房屋，想用一种正多边形瓷砖铺地，顶点连着顶点，彼此之间不留空隙又不重叠，请你帮助他选择一种能密铺的瓷砖形状 正三角形 .（写出一种即可）
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】多边形与平行四边形；应用意识．
【答案】正三角形．
【分析】正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°．
【解答】解：正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺．
故答案为：正三角形（答案不唯一）．
【点评】本题考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．本题的难点在于判断出是求一种多边形的镶嵌．
12．（2025 历城区模拟）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角∠1的大小为 45 °．
【考点】平面镶嵌（密铺）；多边形内角与外角．
【专题】运算能力．
【答案】45．
【分析】由多边形的外角和定理直接可求出结论．
【解答】解：∵正八边形的每一个外角都相等，外角和为360°，
∴它的一个外角∠1＝360°÷8＝45°．
故答案为：45．
【点评】本题考查了多边形外角和定理，平面镶嵌等知识点，掌握外角和定理是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2025 上海校级一模）簪花结束后，小强和爸爸牵着妈妈的手，到蟳埔村参观游玩拍照纪念，精美的镂空窗花搭配蚵壳墙，极具泉州古民居特色，给小强一家留下来极其深刻的印象，在感叹泉州人民的勤劳与智慧的同
时，聪明的小强发现有的窗花是由几种形状的正多边形组合镶嵌而成，具有很好的对称美，小强爸爸给他出了如下两个题目，请帮帮小强一起解决．
问题1．
已知一扇窗户在某个结点处由两种边长相等的正多边形镶嵌而成，其中一种是等边三角形，另一个种不能是下列哪种形状的正多边形 ③ （填序号）
①正三角形
②正四边形
③正五边形
④正六边形
问题2．
小强发现某个花纹用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1；小强猜想，如果用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为 6 ，并简要说明理由．
【考点】平面镶嵌（密铺）．
【专题】多边形与平行四边形；几何直观．
【答案】问题1：③；
问题2：6．
【分析】问题1：分别求出各多边形内角的度数，再由密铺的条件即可得出结论；
问题2：根据正六边形各内角的度数即可得出结论．
【解答】解：问题1：①正三角形的内角是60°，60°×6＝360°，可以密铺，不符合题意；
②正四边形的内角是90°，60°×3+90°×2＝360°，可以密铺，不符合题意；
③正五边形的内角是108°，60°×2+108°×2＝336°≠360°°，不能密铺，符合题意；
④正六边形的内角是120°，60°×2+120°×2＝360°°，能密铺，不符合题意，
故答案为：③；
问题2：n＝6，
理由如下：由题意得，这n个正六边形围成的图形是一个正多边形．由图2可知，围成的这个正多边的每个内角的度数是120°
所以，（n﹣2）180°＝120°n，
解得n＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查的是平面镶嵌，熟知用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌是解题的关键．
14．（2025春 铜山区期中）【问题情境】平面密铺是一类有趣的几何问题．平面密铺指的是用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，在拼接点处不留空隙也不会重叠．（注：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和为360°时，完成密铺．）
某学习小组尝试用几种边长相等的正多边形完成平面密铺．开始前做足准备，求出一些熟悉的正多边形的内角度数，记录如下：
正多边形 正三角形 正四边形 正五边形 正六边形 正八边形
正多边形内角的度数 60° 90° 108° 120° 135°
【初步感知】该小组尝试用一种正多边形完成密铺，结果发现用正三角形、正四边形和正六边形都可以密铺平面，如图所示．
思考回答：用正五边形能不能密铺？请说明理由．
【问题探究】该学习小组打算用上面问题情境表格中的两种正多边形组合密铺，其中一种是正三角形，另一种是正n边形，求n的可能值，并说明组合方式．
【拓展延伸】该学习小组进一步探究，用上面问题情境表格中的三种正多边形组合密铺，你认为可行的是 A ．
A．正三角形、正四边形和正六边形
B．正三角形、正四边形和正八边形
C．正三角形、正六边形和正八边形
D．正四边形、正六边形和正八边形
【考点】平面镶嵌（密铺）；三角形内角和定理；多边形内角与外角．
【专题】应用意识．
【答案】【初步感知】不能，理由见解析过程；
【问题探究】n＝6时，组合方式是2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形；n＝4时，组合方式是3个正三角形和2个正四边形；
【拓展延伸】A．
【分析】根据平面密铺的定义，得出能平面密铺的图形的角度特征，据此即可解决问题．
【解答】解：【初步感知】不能，理由如下：
由题知，
能平面密铺的图形，其角度必须是360的因数．
因为360÷108的结果不是整数，
所以正五边形不能密铺．
【问题探究】当1个正三角形时，
360°﹣60°＝300°，
其余角度中没有300的因数，
所以此种情况不存在．
当2个正三角形时，
360°﹣120°＝240°，
因为240÷120＝2，
所以n＝6，此时的组合方式是2个正三角形和2个正六边形．
当3个正三角形时，
360°﹣180°＝180°，
因为180÷90＝2，
所以n＝4，此时的组合方式是3个正三角形和2个正四边形．
当4个正三角形时，
360°﹣240°＝120°，
因为120÷120＝1，
所以n＝6，此时的组合方式是4个正三角形和1个正六边形．
当5个正三角形时，
360°﹣300°＝60°，
其余角度中没有60的因数，
所以此种情况不存在．
综上所述：n＝6时，组合方式是2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形；n＝4时，组合方式是3个正三角形和2个正四边形．
【拓展延伸】，
因为60°+2×90°+120°＝360°，
所以A选项符合题意．
因为60°，90°，135°无法同时使用凑出360°，
所以B选项不符合题意．
因为60°，120°，135°无法同时使用凑出360°，
所以C选项不符合题意．
因为90°，120°，135°无法同时使用凑出360°，
所以D选项不符合题意．
故答案为：A．
【点评】本题主要考查了平面密铺（镶嵌），三角形的内角和定理及三角形内角和外角，理解平面密铺的定义是解题的关键．
15．（2024秋 虞城县月考）相信很多人家里都有“巧手妈妈”，图1是一位巧手妈妈手工织的坐垫，图2是某学校操场铺的地砖．它们或是用单独的正多边形，或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些作品就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题．
（1）如果限用一种正三角形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由；
（2）如果同时用正三角形和正十二边形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？如果能，应如何搭配进行平铺，请说明理由．
【考点】平面镶嵌（密铺）；多边形．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）正三角形能镶嵌成一个平面图形．理由见解析；
（2）同时用正三角形和正十二边形能镶嵌成一个平面图形．理由见解析．
【分析】（1）内角的整数倍能等于360°即可；
（2）利用两种正多边形镶嵌内角之间关系进而求出即可；
【解答】解：（1）能，理由如下：
∵正三角形的内角和为180°，
∴正三角形的每一个内角为180°÷3＝60°．
∵360°÷60°＝6，
∴正三角形能镶嵌成一个平面图形．
（2）能，
理由：
∵正十二边形的内角和为（12﹣2）×180°＝1800°，
∴正十二边形的每一个内角为1800°÷12＝150°．
∵150°×2+60°＝360°，
∴同时用1块正三角形和2块正十二边形能镶嵌成一个平面图形．
【点评】本题考查了平面镶嵌，解题的关键是根据围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角来解答．
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