【期末核心考点】一元一次不等式与一元一次不等式组（含解析）2024-2025学年八年级下册数学北师大版

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期末核心考点 一元一次不等式与一元一次不等式组
一．选择题（共7小题）
1．（2024秋 醴陵市期末）解不等式时，下列去分母正确的是（　　）
A．6﹣x﹣2＜2（2x﹣1） B．1﹣x+2＜2（2x﹣1）
C．6﹣x+2＜2（2x﹣1） D．6﹣x+2＜2x﹣1
2．（2024秋 铁锋区期末）某种羽绒服的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该羽绒服积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最多可打（　　）
A．6折 B．7折 C．7.5折 D．8折
3．（2025 永春县模拟）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025春 海淀区校级期中）若点G（a，3﹣a）在第四象限内，则a的取值范围是（　　）
A．a＜0 B．a＞3 C．0＜a＜3 D．a＜0或a＞3
5．（2025春 海淀区校级期中）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（　　）
A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m≤1
6．（2025春 海淀区校级期中）已知x＜y，则下列不等式成立的是（　　）
A．x﹣2＞y﹣2 B．2x＞2y
C．﹣2x+3＞﹣2y+3 D．﹣2x＜﹣2y
7．（2025春 港北区期中）定义新运算“ ”，规定；a b＝a﹣2b．若关于x的不等式x m＞3的解集为x＞﹣1，则m的值是（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 毕节市期中）对于实数m，n定义一种新运算“※”为m※n＝m﹣3n，例如7※2＝7﹣3×2＝1，若﹣3≤x※，则x的取值范围是　 　 ．
9．（2025 茂名一模）请写出一个不等式x＞3的整数解：　 　 ．
10．（2024秋 醴陵市期末）“a的一半与3的和小于2”用不等式表示为 　 　 ．
11．（2025春 青岛期中）已知一次函数y＝ax+b的两个变量x与y的部分对应值如下表所示：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 4 3 2 1 0 ﹣1 …
则关于x的不等式ax+b＜0的解集是 　 　 ．
12．（2025春 海淀区校级期中）有人问一位教师所教班级有多少人，教师说：“一半学生在学数学，四分之一学生在学音乐，七分之一学生在读外语，还剩下不足六位学生在操场踢足球”，则这个班有　 　 名学生．
三．解答题（共3小题）
13．（2025春 青岛期中）（1）解不等式：﹣x+1＞2x﹣5，并把它的解集表示在数轴上；
（2）解不等式组：；
（3）解不等式组：．
14．（2025 红桥区二模）解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 　 　 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 　 　 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 　 　 ．
15．（2025 登封市二模）体育已经作为中考重点考查项目，分过程性评价和终结性评价，其中足球、篮球也是主要考查对象．为了增强学生体育素养，某校准备花费15000元购买这两种球，第一种方案恰好可以购买篮球100个，足球100个；第二种方案恰好可以购买篮球120个，足球60个．
（1）求足球、篮球的单价；
（2）因学生参与积极性高，参加人数多，现决定再以同样的单价购买足球和篮球共100个，其中足球数量不超过篮球数量的，如何设计购买方案，才能使花费最少？
期末核心考点 一元一次不等式与一元一次不等式组
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2024秋 醴陵市期末）解不等式时，下列去分母正确的是（　　）
A．6﹣x﹣2＜2（2x﹣1） B．1﹣x+2＜2（2x﹣1）
C．6﹣x+2＜2（2x﹣1） D．6﹣x+2＜2x﹣1
【考点】解一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】此题可根据一元一次不等式的解法进行求解即可．
【解答】解：去分母得：6﹣x+2＜2（2x﹣1），
故选：C．
【点评】本题主要考查的是解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
2．（2024秋 铁锋区期末）某种羽绒服的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该羽绒服积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最多可打（　　）
A．6折 B．7折 C．7.5折 D．8折
【考点】一元一次不等式的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】B
【分析】设可打x折，根据售价＝标价×打折率和利润＝售价﹣进价＝进价×利润率，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：设可打x折，
由题意得：1200×0.1x﹣800≥800×5%，
解得：x≥7，
即最多可打7折．
故选：B．
【点评】本题考查的是一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
3．（2025 永春县模拟）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】方程与不等式．
【答案】C
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
【解答】解：解不等式x﹣1＞0，得：x＞1；
解不等式﹣3x+6≥0，得：x≤2，
所以不等式组的解集为：1＜x≤2，
数轴上表示为：，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
4．（2025春 海淀区校级期中）若点G（a，3﹣a）在第四象限内，则a的取值范围是（　　）
A．a＜0 B．a＞3 C．0＜a＜3 D．a＜0或a＞3
【考点】解一元一次不等式组；点的坐标．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；平面直角坐标系；运算能力．
【答案】B
【分析】根据点G（a，3﹣a）在第四象限，可知，然后求解即可．
【解答】解：∵点G（a，3﹣a）在第四象限，
∴，
解得a＞3，
故选：B．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、点的坐标，解答本题的关键是明确第四象限内的点的坐标特征，列出相应的不等式组．
5．（2025春 海淀区校级期中）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（　　）
A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m≤1
【考点】解一元一次不等式组；不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】解第二个不等式求得其解集，再根据原不等式组无解确定m的取值范围即可．
【解答】解：解第二个不等式得：x＜1，
∵原不等式组无解，
∴m≥1，
故选：C．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，不等式组的解集，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．
6．（2025春 海淀区校级期中）已知x＜y，则下列不等式成立的是（　　）
A．x﹣2＞y﹣2 B．2x＞2y
C．﹣2x+3＞﹣2y+3 D．﹣2x＜﹣2y
【考点】不等式的性质．
【专题】计算题；一元一次不等式（组）及应用；数感；符号意识；运算能力．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【解答】解：A、在不等式x＜y的两边同时减去2，不等式仍成立，即x﹣2＜y﹣2，原变形错误，故本选项不符合题意；
B、在不等式x＜y的两边同时乘以2，不等式仍成立，即2x＜2y，原变形错误，故本选不项符合题意；
C、在不等式x＜y的两边同时乘以﹣2，不等式的符号方向改变，即﹣2x＞﹣2y，在不等式﹣2x＞﹣2y的两边同时加上3，不等式仍成立，即﹣2x+3＞﹣2y+3，原变形正确，故本选项符合题意；
D、在不等式x＜y的两边同时乘以﹣2，不等式的符号方向改变，即﹣2x＞﹣2y，原变形错误，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质．
7．（2025春 港北区期中）定义新运算“ ”，规定；a b＝a﹣2b．若关于x的不等式x m＞3的解集为x＞﹣1，则m的值是（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
【考点】解一元一次不等式．
【专题】运算能力；创新意识．
【答案】B
【分析】根据定义新运算的法则得出不等式，解不等式；根据解集列方程即可．
【解答】解：∵a b＝a﹣2b，
∴x m＝x﹣2m．
∵x m＞3，
∴x﹣2m＞3，
∴x＞2m+3．
∵关于x的不等式x m＞3的解集为x＞﹣1，
∴2m+3＝﹣1，
∴m＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了新定义计算在不等式中的运用，读懂新定义并熟练的解不等式是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 毕节市期中）对于实数m，n定义一种新运算“※”为m※n＝m﹣3n，例如7※2＝7﹣3×2＝1，若﹣3≤x※，则x的取值范围是　　 ．
【考点】解一元一次不等式；实数的运算．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】由新定义运算得出，结合题意得出﹣3≤﹣2x﹣1＜2，解不等式组即可得解．
【解答】解：由题意可得：，
由条件可得﹣3≤﹣2x﹣1＜2，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了新定义运算、解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是关键．
9．（2025 茂名一模）请写出一个不等式x＞3的整数解：　x＝4（答案不唯一）　 ．
【考点】一元一次不等式的整数解．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x＝4（答案不唯一）．
【分析】在x＞3的范围内找一个整数即可．
【解答】解：不等式x＞3的一个整数解为x＝4，
故答案为：x＝4（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握不等式解及解集的概念．
10．（2024秋 醴陵市期末）“a的一半与3的和小于2”用不等式表示为 　a+3＜2　 ．
【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，可以用含a的不等式表示“a的一半与3的和小于2”．
【解答】解：“a的一半与3的和小于2”用不等式表示为：a+3＜2，
故答案为：a+3＜2．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等式．
11．（2025春 青岛期中）已知一次函数y＝ax+b的两个变量x与y的部分对应值如下表所示：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 4 3 2 1 0 ﹣1 …
则关于x的不等式ax+b＜0的解集是 　x＞2　 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；运算能力．
【答案】x＞2．
【分析】通过一次函数与一元一次不等式的关系可知，kx+b＜0，即为y＜0．即可得到对应的x的取值范围．
【解答】解：当x＝2时y＝0，
根据表中数据可知函数值y随x的增大而减小，
∴不等式kx+b＜的解等是x＞2．
故答案为：x＞2．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键在于通过不等式与一次函数的增减性得到x的取值范围．
12．（2025春 海淀区校级期中）有人问一位教师所教班级有多少人，教师说：“一半学生在学数学，四分之一学生在学音乐，七分之一学生在读外语，还剩下不足六位学生在操场踢足球”，则这个班有　28　 名学生．
【考点】一元一次不等式的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】28．
【分析】根据题意可以列出相应的不等式，又根据一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在读外语，可知该班学生一定是2、4、7的倍数，从而可以解答本题．
【解答】解：设这个班有x人，
由题意可得：，
整理得，x＜6，
解得x＜56，
又∵一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在读外语，
∴该班学生一定是2、4、7的倍数，
∴x＝28，
所以这个班有28名学生，
故答案为：28．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，解答此类问题的关键是列出相应的不等式，注意要联系实际情况和题目中的要求．
三．解答题（共3小题）
13．（2025春 青岛期中）（1）解不等式：﹣x+1＞2x﹣5，并把它的解集表示在数轴上；
（2）解不等式组：；
（3）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）x＜2，数轴见解答；
（2）x＜3；
（3）x≥4．
【分析】（1）移项，合并同类项，系数化为1即可得到答案；
（2）根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可；
（3）先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解：（1）﹣x+1＞2x﹣5，
移项得：﹣2x﹣x＞﹣5﹣1，
合并同类项得：﹣3x＞﹣6．
系数化为1得：x＜2，
数轴表示为：
；
（2），
解不等式①得x＜3，
解不等式②得x，
∴原不等式组的解集为x＜3；
（3），
解不等式①得x＞2，
解不等式②得x≥4，
∴原不等式组的解集为x≥4．
【点评】本题主要考查对解一元一次不等式（组），不等式的性质，能正确解不等式和能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
14．（2025 红桥区二模）解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 　x≥﹣2　 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 　x≤3　 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 　﹣2≤x≤3．　 ．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（Ⅰ）x≥﹣2；
（Ⅱ）x≤3；
（Ⅲ）数轴表示见解答；
（Ⅳ）﹣2≤x≤3；
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣2；
（Ⅱ）解不等式②，得x≤3；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示如图所示：
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣2≤x≤3；
故答案为：（Ⅰ）x≥﹣2；
（Ⅱ）x≤3；
（Ⅳ）﹣2≤x≤3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
15．（2025 登封市二模）体育已经作为中考重点考查项目，分过程性评价和终结性评价，其中足球、篮球也是主要考查对象．为了增强学生体育素养，某校准备花费15000元购买这两种球，第一种方案恰好可以购买篮球100个，足球100个；第二种方案恰好可以购买篮球120个，足球60个．
（1）求足球、篮球的单价；
（2）因学生参与积极性高，参加人数多，现决定再以同样的单价购买足球和篮球共100个，其中足球数量不超过篮球数量的，如何设计购买方案，才能使花费最少？
【考点】一元一次不等式的应用；一次函数的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）篮球的单价是100元，足球的单价是50元；
（2）购买80个篮球、20个足球，才能使花费最少．
【分析】（1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，利用总价＝单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m个篮球，则购买（100﹣m）个足球，根据购买足球数量不超过篮球数量的，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设再次购买篮球、足球的总费用为w元，利用总价＝单价×数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：篮球的单价是100元，足球的单价是50元；
（2）设购买m个篮球，则购买（100﹣m）个足球，
根据题意得：100﹣mm，
解得：m≥80，
设再次购买篮球、足球的总费用为w元，则w＝100m+50（100﹣m），
即w＝50m+5000，
∵50＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝80时，w取得最小值，此时100﹣m＝100﹣80＝20（个）．
答：购买80个篮球、20个足球，才能使花费最少．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
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