【期末核心考点】分式方程（含解析）2024-2025学年八年级下册数学北师大版

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期末核心考点 分式方程
一．选择题（共7小题）
1．（2025 永春县模拟）分式方程的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝17 D．x＝﹣17
2．（2025 东莞市二模）解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程，这个整式是（　　）
A．x B．x﹣3 C．x（x﹣3） D．x+（x﹣3）
3．（2025 罗湖区校级模拟）为改善某市森林公园周边环境，相关部门决定对该森林公园周边部分路段进行维修施工，施工全长3000米，为了早日方便市民，实际施工时，每天施工的长度比原计划增加20%，结果提前4天完成这一任务，若设原计划每天施工x米，则可列方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．（2025 海口一模）方程1的解是（　　）
A．x＝5 B．x＝1
C．x＝﹣1 D．原方程无解
5．（2025 汕尾一模）如果分式方程无解，则a的值为（　　）
A．﹣4 B． C．2 D．﹣2
6．（2025 天镇县模拟）新建、改造社区养老工程是2025年山西省政府确定的民生实事之一．甲、乙两个工程队投标某社区养老工程改造建设任务，甲队单独施工比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．设乙队单独完成此项任务需要x天，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025春 上海校级期中）用换元法解方程时，若设，则原方程可以化为（　　）
A．3y2+2y+3＝0 B．3y2+3y+2＝0
C．2y2+3y+3＝0 D．2y2+2y+3＝0
二．填空题（共5小题）
8．（2025 文成县二模）若，则x＝ 　 　 ．
9．（2024秋 醴陵市期末）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是　 　 ．
10．（2025春 江津区校级期中）关于x的方程的解为非负整数，且不等式组的解集为x≥5，则所有符合条件的m的值之和是　 　 ．
11．（2024秋 阳新县期末）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 　 　 ．
12．（2024秋 利津县期末）若关于x的方程增根，则a的值为　 　 ．
三．解答题（共3小题）
13．（2025 西宁二模）解方程：．
14．（2025 罗湖区校级模拟）已知关于x的方程1无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下：
解：方程两边同乘（x﹣3），得（3﹣2x）﹣（2+mx）＝3﹣x，第一步
整理，得（m+1）x＝﹣2第二步
当x＝3时，原方程无解，此时，（m+1）×3＝﹣2，m，因此，m．第三步
你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正．
15．（2025 深圳二模）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实双减政策，丰富学生的课余活动，开设了书法社团，计划为学生购买A，B两种型号“文房四宝”共40套．已知某文化用品店每套B型号的“文房四宝”的标价比A型号的“文房四宝”的标价高30%，若按标价购买共需花费4300元，其中购买A型号“文房四宝”花费3000元．
（1）求每套A型号的“文房四宝”的标价．
（2）该中学的课余活动进行得如火如荼，另一所学校也打算购入A，B两种型号的工具开展相关活动．考虑到购买较多，店主同意该中学按A型号“文房四宝”八折，B型号“文房四宝”满20套送一套的优惠价，已知A，B两种型号的“文房四宝”每套进价分别为50元和105元，学校购买了A型号“文房四宝”50套，若通过此单生意，该店获利不低于2100元，则该校至少买了多少套B型“文房四宝”？
期末核心考点 分式方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 永春县模拟）分式方程的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝17 D．x＝﹣17
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：原方程去分母得：2x+8＝3x﹣9，
解得：x＝17，
检验：当x＝17时，（x﹣3）（x+4）≠0，
故原方程的解为x＝17，
故选：C．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
2．（2025 东莞市二模）解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程，这个整式是（　　）
A．x B．x﹣3 C．x（x﹣3） D．x+（x﹣3）
【考点】解分式方程；整式．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】C
【分析】方程两边都乘x（x﹣3），可得一个一元一次方程．
【解答】解：方程两边都乘x（x﹣3），可得2x＝3（x﹣3），为一个一元一次方程，
故选：C．
【点评】本题考查了解分式方程，关键是使分式方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程．
3．（2025 罗湖区校级模拟）为改善某市森林公园周边环境，相关部门决定对该森林公园周边部分路段进行维修施工，施工全长3000米，为了早日方便市民，实际施工时，每天施工的长度比原计划增加20%，结果提前4天完成这一任务，若设原计划每天施工x米，则可列方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】设原计划每天施工x米，则实际每天施工（1+20%）x米，根据题意，列出分式方程即可．
【解答】解：根据题意得：
，
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
4．（2025 海口一模）方程1的解是（　　）
A．x＝5 B．x＝1
C．x＝﹣1 D．原方程无解
【考点】解分式方程．
【专题】计算题；分式方程及应用．
【答案】C
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3x＝x﹣2，
解得：x＝﹣1，
经检验x＝﹣1是分式方程的解，
故选：C．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
5．（2025 汕尾一模）如果分式方程无解，则a的值为（　　）
A．﹣4 B． C．2 D．﹣2
【考点】分式方程的解．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】关于x的分式方程2无解，即分式方程去掉分母化为整式方程，整式方程的解就是方程的增根，即x＝4，据此即可求解．
【解答】解：去分母得：x＝2（x﹣4）﹣a
解得：x＝a+8
根据题意得：a+8＝4
解得：a＝﹣4．
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．分式方程无解，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．
6．（2025 天镇县模拟）新建、改造社区养老工程是2025年山西省政府确定的民生实事之一．甲、乙两个工程队投标某社区养老工程改造建设任务，甲队单独施工比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．设乙队单独完成此项任务需要x天，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】设乙队单独完成此项任务需要x天，则甲队单独完成此项任务需要（x+10）天，根据甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同建立方程即可．
【解答】解：根据题意得：，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
7．（2025春 上海校级期中）用换元法解方程时，若设，则原方程可以化为（　　）
A．3y2+2y+3＝0 B．3y2+3y+2＝0
C．2y2+3y+3＝0 D．2y2+2y+3＝0
【考点】换元法解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】把代入原方程，得出，再进行整理即可．
【解答】解：原方程整理得，
把代入方程得：，
整理得：3y2+3y+2＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握利用换元法，把一个式子做为整体进行替换，将分式方程化简为一元二次方程．
二．填空题（共5小题）
8．（2025 文成县二模）若，则x＝ 　﹣1　 ．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】方程两边都乘2（x+3），得出2＝x+3，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：方程两边都乘2（x+3），
得2＝x+3，
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，2（x+3）≠0，
所以x＝﹣1是原方程的解．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
9．（2024秋 醴陵市期末）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是　m＜3且m≠2　 ．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】m＜3且m≠2．
【分析】先解关于x的分式方程，它的解x用含量m的代数式表示，再根据“原分式方程有解”和“方程的解是正数”建立关于m的不等式，求解即可．
【解答】解：，
解得：x＝3﹣m，
∵原分式方程有解，
∴x﹣1≠0，即3﹣m≠1（求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解），
解得：m≠2，
∵方程的解是正数，
∴3﹣m＞0，
解得：m＜3，
∴m＜3且m≠2，
故答案为：m＜3且m≠2．
【点评】本题考查根据分式方程的解情况求参数，根据“原分式方程的解”和“解是正数”建立关于m的不等式是解题的关键．
10．（2025春 江津区校级期中）关于x的方程的解为非负整数，且不等式组的解集为x≥5，则所有符合条件的m的值之和是　﹣4　 ．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣4．
【分析】解分式方程求出，再根据分式方程的解为非负整数，进而得出m≥﹣5且m≠﹣1，同时m+5是偶数，m为奇数．解不等式组可得m＜4，进而得出﹣5≤m＜4且m≠﹣1，m为奇数，即可求出符合条件的m值，即可得出答案．
【解答】解：，
方程两边同时乘（x﹣2），得m+x﹣1＝3（x﹣2），
去括号，得m+x﹣1＝3x﹣6，
解得：，
∵分式方程的解为非负整数，
∴x≥0且x≠2，即且，
解得：m≥﹣5且m≠﹣1，同时m+5是偶数，m为奇数．
解不等式组，
解不等式①，得x≥5，
解不等式②，得x＞m+1，
∵不等式组的解集为x≥5，
∴m+1＜5，
解得：m＜4，
∴﹣5≤m＜4且m≠﹣1，m为奇数，
∴符合条件的m值为﹣5，﹣3，1，3，
∴它们的和为：﹣5+（﹣3）+1+3＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，掌握解分式方程的方法，解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
11．（2024秋 阳新县期末）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 　﹣1　 ．
【考点】分式方程的解．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】先解含有字母参数m的分式方程，求出x，再根据分式方程的解为正整数，列出关于m的方程，解方程求出m，再判断m＝1时分式方程有无意义，从而求出答案即可．
【解答】解：，
﹣mx＝3（x﹣1）﹣x，
﹣mx＝3x﹣3﹣x，
﹣mx＝2x﹣3，
2x+mx＝3，
（2+m）x＝3，
，
∵分式方程的解为正整数，
∴2+m＝1或3，
解得：m＝﹣1或1，
∵当m＝1时，x﹣1＝0，分式无意义，
∴m≠1，
∴整数m的值为﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了分式方程的解，解题关键熟练掌握解分式方程的一般步骤和分式有意义的条件．
12．（2024秋 利津县期末）若关于x的方程增根，则a的值为　﹣4　 ．
【考点】分式方程的增根．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】﹣4．
【分析】根据增根概念进行计算．
【解答】解：方程两边同乘（x﹣4）得：x+5（x﹣4）＝﹣a，
由条件可知x﹣4＝0，
∴x＝4，
由条件可得a＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查分式方程的增根，去分母后确定x的值是求解本题的关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2025 西宁二模）解方程：．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝﹣7.5．
【分析】方程两边同时乘（2x+3）（2x﹣3）得整式方程，然后根据单项式乘多项式法则和平方差公式展开，解整式方程求出x，再进行检验即可．
【解答】解：方程两边同时乘（2x+3）（2x﹣3）得：
2x（2x+3）﹣2（2x﹣3）＝（2x+3）（2x﹣3），
4x2+6x﹣4x+6＝4x2﹣9，
4x2﹣4x2+6x﹣4x＝﹣9﹣6，
2x＝﹣15，
x＝﹣7.5，
检验：当x＝﹣7.5时，（2x+3）（2x﹣3）≠0，
∴x＝﹣7.5是原分式方程的解．
【点评】本题主要考查了解分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤．
14．（2025 罗湖区校级模拟）已知关于x的方程1无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下：
解：方程两边同乘（x﹣3），得（3﹣2x）﹣（2+mx）＝3﹣x，第一步
整理，得（m+1）x＝﹣2第二步
当x＝3时，原方程无解，此时，（m+1）×3＝﹣2，m，因此，m．第三步
你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正．
【考点】分式方程的解．
【答案】见试题解答内容
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x﹣3＝0，求出x＝3，代入整式方程即可求出m的值．
【解答】解：当x＝3时，分式方程去分母得：（3﹣2x）﹣（2+mx）＝3﹣x，
由分式方程无解得到x﹣3＝0，即x＝3，
代入整式方程得：3（m+1）＝﹣2，即m；
当x﹣3≠0时，原式可化为x，
∵原方程无解，
∴m+1＝0，即m＝﹣1．
综上所述，m或m＝﹣1，
故第三步错误．
【点评】此题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0．
15．（2025 深圳二模）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实双减政策，丰富学生的课余活动，开设了书法社团，计划为学生购买A，B两种型号“文房四宝”共40套．已知某文化用品店每套B型号的“文房四宝”的标价比A型号的“文房四宝”的标价高30%，若按标价购买共需花费4300元，其中购买A型号“文房四宝”花费3000元．
（1）求每套A型号的“文房四宝”的标价．
（2）该中学的课余活动进行得如火如荼，另一所学校也打算购入A，B两种型号的工具开展相关活动．考虑到购买较多，店主同意该中学按A型号“文房四宝”八折，B型号“文房四宝”满20套送一套的优惠价，已知A，B两种型号的“文房四宝”每套进价分别为50元和105元，学校购买了A型号“文房四宝”50套，若通过此单生意，该店获利不低于2100元，则该校至少买了多少套B型“文房四宝”？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）100元；
（2）29套．
【分析】（1）设每套A型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套B型号的“文房四宝”的标价为（1+30%）x元，根据购买、两种型号“文房四宝”共40套，列出分式方程，解方程即可；
（2）设该校至少买了y套B型“文房四宝”，根据该店获利不低于2100元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设每套A型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套B型号的“文房四宝”的标价为（1+30%）x元，
根据题意得：，
解得x＝100，
经检验：x＝100是分式方程的解，且符合题意，
所以每套A型号的“文房四宝”的标价为100元，
答：每套A型号的“文房四宝”的标价为100元；
（2）设该校至少买了y套B型“文房四宝”，
由（1）知每套B型号的“文房四宝”的标价为（1+30%）×100＝130（元），
当 0＜y＜20时，根据题意，得：
（100×0.8﹣50）×50+（130﹣105）y≥2100，
整理得，25y≥600，
解得y≥24（舍去），
当20≤y＜40时，根据题意，得：
（100×0.8﹣50）×50+（130﹣105）y﹣105≥2100，
整理得，25y≥705，
解得，
∵y为整数，
∴y≥29的整数；
当40≤y＜60时，根据题意，得：
（100×0.8﹣50）×50+（130﹣105）y﹣105×2≥2100，
整理得，25y≥810，
解得（舍去），
综上，该校至少买了29套B型“文房四宝”．
答：该校至少买了29套B型“文房四宝”．
【点评】本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
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