【期末核心考点】公式法（含解析）2024-2025学年八年级下册数学北师大版

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期末核心考点 公式法
一．选择题（共7小题）
1．（2025 南明区一模）多项式因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025春 福田区校级期中）已知a+b＝4，ab＝3，则a2b+ab2的值为（　　）
A．12 B．7 C．4 D．3
3．（2025 呼和浩特二模）下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的为（　　）
A．x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．﹣x2+y2 D．x2+2xy
4．（2025春 禅城区校级期中）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（　　）
A．4x2﹣1 B．4x2+4x﹣1 C．x2﹣xy+y2 D．
5．（2025春 茂南区期中）若x2﹣mx﹣15＝（x+3）（x+n），则m的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．5 D．﹣5
6．（2024秋 平泉市期末）若k为任意整数，则（k+1）2﹣（k﹣1）2的值总能（　　）
A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除
7．（2024秋 翠屏区期末）甲、乙两个同学分解因式x2+mx+n时，甲把m看错分解结果为（x+3）（x﹣4），乙把n看错分解结果为（x+1）（x+3），那么多项式x2+mx+n分解的正确结果是（　　）
A．（x+2）（x﹣6） B．（x+6）（x﹣2）
C．（x+4）（x﹣3） D．（x﹣1）（x+5）
二．填空题（共5小题）
8．（2025 兴庆区模拟）分解因式：3x3﹣18x2y+27xy2＝　 　 ．
9．（2025 南岗区模拟）把多项式3a3﹣6a2b+3ab2分解因式的结果是　 　 ．
10．（2025 深圳二模）因式分解：4x2﹣4x+1＝　 　 ．
11．（2025 中宁县模拟）分解因式：3x3﹣18x2y+27xy2＝　 　 ．
12．（2025 宿迁模拟）已知x+y＝5，xy＝2，则x2y+xy2的值是 　 　 ．
三．解答题（共3小题）
13．（2024秋 顺城区期末）因式分解：
（1）9a2﹣36b2；
（2）4x2y﹣4xy2+y3．
14．（2024秋 广信区期末）阅读下列材料：
将x2+2x﹣35分解因式，我们可以按下面的方法解答：
解：步骤：①竖分二次项与常数项：x2＝x x，﹣35＝（﹣5）×（+7）．
②交叉相乘，验中项：
③横向写出两因式：x2+2x﹣35＝（x+7）（x﹣5）．
我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．
试用上述方法分解因式：
（1）x2+5x+4；
（2）x2﹣6x﹣7．
15．（2024秋 平邑县期末）阅读材料，拓展知识．
第一步：要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：am+an+bn+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b），这种方法称为分组法．
第二步：理解知识，尝试填空．
（1）ab﹣ac+bc﹣b2＝（ab﹣ac）+（bc﹣b2）＝a（b﹣c）+b（c﹣b）＝　 　 ．
第三步：应用知识，解决问题．
（2）因式分解：
①m2+5n﹣mn﹣5m＝　 　 ．
②x2﹣2x+1﹣y2＝　 　 ．
第四步：提炼思想，拓展应用．
（3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足a2+2b2+c2＝2b（a+c），试判断这个三角形的形状，并说明理由．
期末核心考点 公式法
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 南明区一模）多项式因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】D
【分析】利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：，
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
2．（2025春 福田区校级期中）已知a+b＝4，ab＝3，则a2b+ab2的值为（　　）
A．12 B．7 C．4 D．3
【考点】因式分解的应用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】对所求式子进行因式分解，然后整体代入计算．
【解答】解：由条件可知a2b+ab2＝ab（a+b）＝3×4＝12，
故选：A．
【点评】本题考查了提取公因式法分解因式，熟练掌握以上知识点是关键．
3．（2025 呼和浩特二模）下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的为（　　）
A．x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．﹣x2+y2 D．x2+2xy
【考点】实数范围内分解因式．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】C
【分析】利用平方差公式对选项进行判断即可．
【解答】解：A．x2+y2，不能利用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
B．﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），不能利用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
C．﹣x2+y2＝（y+x）（y﹣x），能利用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意；
D．x2+2xy，不能利用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握利用平方差公式进行因式分解的方法是解题关键．
4．（2025春 禅城区校级期中）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（　　）
A．4x2﹣1 B．4x2+4x﹣1 C．x2﹣xy+y2 D．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【答案】D
【分析】分别进行因式分解，找到能用完全平方公式分解的即可．
【解答】解：A、4x2﹣1＝（2x﹣1）（2x+1），是根据平方差公式，不是完全平方公式，故本选项错误；
B、4x2+4x﹣1不能用公式法因式分解，故本选项错误；
C、x2﹣xy+y2不能用公式法因式分解，故本选项错误；
D、（x）2，是根据完全平方公式，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了运用公式法进行因式分解，熟悉完全平方公式是解题的关键．
5．（2025春 茂南区期中）若x2﹣mx﹣15＝（x+3）（x+n），则m的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．5 D．﹣5
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】把等式的右边展开得：x2﹣mx﹣15＝x2+（n+3）x+3n，然后根据对应项系数相等列式求解即可．
【解答】解：∵x2﹣mx﹣15＝（x+3）（x+n），
∴x2﹣mx﹣15＝x2+nx+3x+3n＝x2+（n+3）x+3n，
∴﹣m＝n+3，﹣15＝3n，
解得n＝﹣5，m＝2．
故选：A．
【点评】本题考查因式分解与多项式的乘法是互为逆运算，根据对应项系数相等列出等式是解本题的关键．
6．（2024秋 平泉市期末）若k为任意整数，则（k+1）2﹣（k﹣1）2的值总能（　　）
A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除
【考点】因式分解的应用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】利用平方差公式把（k+1）2﹣（k﹣1）2因式分解为4k，据此可得答案．
【解答】解：（k+1）2﹣（k﹣1）2＝4k；
∵k为任意整数，
∴4k为整数，
∴4k一定能被4整除，
∴（k+1）2﹣（k﹣1）2的值总能被4整除，
故选：A．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握该知识点是关键．
7．（2024秋 翠屏区期末）甲、乙两个同学分解因式x2+mx+n时，甲把m看错分解结果为（x+3）（x﹣4），乙把n看错分解结果为（x+1）（x+3），那么多项式x2+mx+n分解的正确结果是（　　）
A．（x+2）（x﹣6） B．（x+6）（x﹣2）
C．（x+4）（x﹣3） D．（x﹣1）（x+5）
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】先计算（x+3）（x﹣4），（x+1）（x+3），根据甲的结果可求出n的值，根据乙的结果可求出m的值，再利用十字相乘法分解因式即可得．
【解答】解：（x+3）（x﹣4）＝x2﹣4x+3x﹣12＝x2﹣x﹣12，
（x+1）（x+3）＝x2+3x+x+3＝x2+4x+3，
由条件可知n＝﹣12，m＝4，
∴x2+mx+n＝x2+4x﹣12＝（x+6）（x﹣2），
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解、多项式乘以多项式，熟练掌握利用十字相乘法分解因式是解题关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2025 兴庆区模拟）分解因式：3x3﹣18x2y+27xy2＝　3x（x﹣3y）2　 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】3x（x﹣3y）2．
【分析】先运用提公因式法进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答．
【解答】解：原式＝3x（x2﹣6xy+9y2）
＝3x（x﹣3y）2，
故答案为：3x（x﹣3y）2．
【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握该知识点是关键．
9．（2025 南岗区模拟）把多项式3a3﹣6a2b+3ab2分解因式的结果是　3a（a﹣b）2　 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】3a（a﹣b）2．
【分析】先提公因式3a，再根据完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：3a3﹣6a2b+3ab2
＝3a（a2﹣2ab+b2）
＝3a（a﹣b）2，
故答案为：3a（a﹣b）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．
10．（2025 深圳二模）因式分解：4x2﹣4x+1＝　（2x﹣1）2　 ．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出即可．
【解答】解：4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2．
故答案为：（2x﹣1）2．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
11．（2025 中宁县模拟）分解因式：3x3﹣18x2y+27xy2＝　3x（x﹣3y）2　 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先运用提公因式法进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答．
【解答】解：原式＝3x（x2﹣6xy+9y2）＝3x（x﹣3y）2，
故答案为：3x（x﹣3y）2．
【点评】本题考查的是因式分解，熟知因式分解的提公因式法和公式法是解题的关键．
12．（2025 宿迁模拟）已知x+y＝5，xy＝2，则x2y+xy2的值是 　10　 ．
【考点】因式分解的应用．
【专题】整式；应用意识．
【答案】10．
【分析】本题将x2y+xy2分解因式即可解答．
【解答】解：∵x+y＝5，xy＝2，
∴x2y+xy2
＝xy（x+y）
＝2×5＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了分解因式的应用，熟练掌握提公因式法是解题关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2024秋 顺城区期末）因式分解：
（1）9a2﹣36b2；
（2）4x2y﹣4xy2+y3．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）9（a+2b）（a﹣2b）；
（2）y（2x﹣y）2．
【分析】（1）先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答．
（2）先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答．
【解答】解：（1）原式＝9（a2﹣4b2）
＝9（a+2b）（a﹣2b）；
（2）原式＝y（4x2﹣4xy+y2）
＝y（2x﹣y）2．
【点评】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
14．（2024秋 广信区期末）阅读下列材料：
将x2+2x﹣35分解因式，我们可以按下面的方法解答：
解：步骤：①竖分二次项与常数项：x2＝x x，﹣35＝（﹣5）×（+7）．
②交叉相乘，验中项：
③横向写出两因式：x2+2x﹣35＝（x+7）（x﹣5）．
我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．
试用上述方法分解因式：
（1）x2+5x+4；
（2）x2﹣6x﹣7．
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）（x+1）（x+4）；
（2）（x+1）（x﹣7）．
【分析】（1）根据十字相乘法分解因式即可；
（2）根据十字相乘法分解因式即可．
【解答】解：（1）①竖分二次项与常数项：x2＝x x，4＝（+1）×（+4），
②，
③横向写出两因式：x2+5x+4＝（x+1）（x+4）；
（2）①竖分二次项与常数项：x2＝x x，﹣7＝（+1）×（﹣7）．
②如图：
③横向写出两因式：x2﹣6x﹣7＝（x+1）（x﹣7）．
【点评】本题考查分解因式—十字相乘法，掌握十字相乘法分解因式的步骤是解题的关键．
15．（2024秋 平邑县期末）阅读材料，拓展知识．
第一步：要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：am+an+bn+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b），这种方法称为分组法．
第二步：理解知识，尝试填空．
（1）ab﹣ac+bc﹣b2＝（ab﹣ac）+（bc﹣b2）＝a（b﹣c）+b（c﹣b）＝　（b﹣c）（a﹣b）　 ．
第三步：应用知识，解决问题．
（2）因式分解：
①m2+5n﹣mn﹣5m＝　（m﹣n）（m﹣5）　 ．
②x2﹣2x+1﹣y2＝　（x﹣1+y）（x﹣1﹣y）　 ．
第四步：提炼思想，拓展应用．
（3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足a2+2b2+c2＝2b（a+c），试判断这个三角形的形状，并说明理由．
【考点】因式分解的应用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）（b﹣c）（a﹣b）；
（2）①（m﹣n）（m﹣5）；②（x﹣1+y）（x﹣1﹣y）；
（3）这个三角形为等边三角形，理由见解析．
【分析】（1）仿照例题，先分组，再利用提取公因式法分解即可；
（2）①先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可；
②先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可；
（3）移项后分解因式，可得出a＝b＝c，则可得出答案．
【解答】解：（1）ab﹣ac+bc﹣b2
＝（ab﹣ac）+（bc﹣b2）
＝a（b﹣c）﹣b（b﹣c）
＝（b﹣c）（a﹣b），
故答案为：（b﹣c）（a﹣b）；
（2）①m2+5n﹣mn﹣5m
＝m2﹣mn+5n﹣5m
＝m（m﹣n）+5（n﹣m）
＝m（m﹣n）﹣5（m﹣n）
＝（m﹣n）（m﹣5）；
②x2﹣2x+1﹣y2
＝（x2﹣2x+1）﹣y2
＝（x﹣1）2﹣y2
＝（x﹣1+y）（x﹣1﹣y）；
（3）这个三角形为等边三角形．
理由如下：
∵a2+2b2+c2＝2b（a+c），
∴a2+2b2+c2﹣2ba﹣2bc＝0，
∴a2﹣2ba+b2+c2﹣2bc+b2＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴这个三角形是等边三角形．
【点评】本题考查了因式分解的分组分解方法，等边三角形的判定，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
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