【中考押题预测】2025年中考数学核心考点考前冲刺 反比例函数（含解析）

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中考押题预测 反比例函数
一．选择题（共10小题）
1．若反比例函数y的图象经过点（2，﹣1），则该反比例函数的图象在（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
2．在反比例函数y图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜0＜x2，y1＜y2，则m的取值范围是（　　）
A．m B．m C．m D．m
3．一次函数y＝ax+b与反比例函数y，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知k1＜0＜k2，则函数y和y＝k2x﹣1的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y在第一象限内的图象交于点B，连接BO．若S△OBC＝1，tan∠BOC，则k2的值是（　　）
A．﹣3 B．1 C．2 D．3
6．如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限．若反比例函数y的图象经过点B，则k的值是（　　）
A．1 B．2 C． D．
7．关于x的函数y＝k（x+1）和y（k≠0）在同一坐标系中的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，已知直线y＝mx与双曲线y的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是（　　）
A．（﹣3，4） B．（﹣4，﹣3） C．（﹣3，﹣4） D．（4，3）
9．如图，在平面直角坐标系中，函数y（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式的值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，已知直线y＝﹣x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线y交于E，F两点，若AB＝2EF，则k的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．
二．填空题（共4小题）
11．如图，已知双曲线y（k＞0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k＝　 　 ．
12．如图，已知，在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数y（k＞0）的图象与AC边交于点E，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为　 　 ．
13．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为3，则这个反比例函数的解析式为　 　 ．
14．如图，直线AB交双曲线y于A、B两点，交x轴于点C，且B恰为线段AC的中点，连接OA．若S△OAC，则k的值为　 　 ．
三．解答题（共6小题）
15．如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于第二、四象限内的点A（a，4）和点B（8，b）．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．
（1）分别求出a和b的值；
（2）结合图象直接写出mx+n的解集；
（3）在x轴上取点P，使PA﹣PB取得最大值时，求出点P的坐标．
16．如图，直线y＝ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y（x＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC＝2，点A的坐标为（﹣2，0）．
（1）求双曲线的解析式；
（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标．
17．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝12．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；
（3）直接写出不等式kx+b的解集．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，﹣3），反比例函数y（x＞0）的图象经过点A，动直线x＝t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N．
（1）求k的值；
（2）求△BMN面积的最大值；
（3）若MA⊥AB，求t的值．
19．如图，已知直线y＝x+k和双曲线y（k为正整数）交于A，B两点．
（1）当k＝1时，求A、B两点的坐标；
（2）当k＝2时，求△AOB的面积；
（3）当k＝1时，△OAB的面积记为S1，当k＝2时，△OAB的面积记为S2，…，依此类推，当k＝n时，△OAB的面积记为Sn，若S1+S2+…+Sn，求n的值．
20．如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足， ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线经过C、D两点．
（1）求k的值；
（2）点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标；
（3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．
中考押题预测 反比例函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．若反比例函数y的图象经过点（2，﹣1），则该反比例函数的图象在（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
【考点】反比例函数的性质．
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象在第一、三象限或在第二、四象限，根据（2，﹣1）所在象限即可作出判断．
【解答】解：点（2，﹣1）在第四象限，则该反比例函数的图象的两个分支在第二、四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在第一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
2．在反比例函数y图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜0＜x2，y1＜y2，则m的取值范围是（　　）
A．m B．m C．m D．m
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【答案】B
【分析】首先根据当x1＜0＜x2时，有y1＜y2则判断函数图象所在象限，再根据所在象限判断1﹣3m的取值范围．
【解答】解：∵x1＜0＜x2时，y1＜y2，
∴反比例函数图象在第一，三象限，
∴1﹣3m＞0，
解得：m．
故选：B．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质，关键是根据题意判断出图象所在象限．
3．一次函数y＝ax+b与反比例函数y，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．
【答案】C
【分析】根据一次函数的位置确定a、b的大小，看是否符合ab＜0，计算a﹣b确定符号，确定双曲线的位置．
【解答】解：A、由一次函数图象过一、三象限，得a＞0，交y轴负半轴，则b＜0，
满足ab＜0，
∴a﹣b＞0，
∴反比例函数y的图象过一、三象限，
所以此选项不正确；
B、由一次函数图象过二、四象限，得a＜0，交y轴正半轴，则b＞0，
满足ab＜0，
∴a﹣b＜0，
∴反比例函数y的图象过二、四象限，
所以此选项不正确；
C、由一次函数图象过一、三象限，得a＞0，交y轴负半轴，则b＜0，
满足ab＜0，
∴a﹣b＞0，
∴反比例函数y的图象过一、三象限，
所以此选项正确；
D、由一次函数图象过二、四象限，得a＜0，交y轴负半轴，则b＜0，
满足ab＞0，与已知相矛盾
所以此选项不正确；
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数图象与系数的关系，熟练掌握两个函数的图象的性质是关键．
4．已知k1＜0＜k2，则函数y和y＝k2x﹣1的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的图象性质及正比例函数的图象性质可作出判断．
【解答】解：∵k1＜0＜k2，b＝﹣1＜0，
∴直线过一、三、四象限；双曲线位于二、四象限．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y在第一象限内的图象交于点B，连接BO．若S△OBC＝1，tan∠BOC，则k2的值是（　　）
A．﹣3 B．1 C．2 D．3
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【答案】D
【分析】首先根据直线求得点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，求得结论．
【解答】解：∵直线y＝k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，2），
∴OC＝2，
∵S△OBC＝1，
∴BD＝1，
∵tan∠BOC，
∴，
∴OD＝3，
∴点B的坐标为（1，3），
∵反比例函数y在第一象限内的图象交于点B，
∴k2＝1×3＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，解题的关键是仔细审题，能够求得点B的坐标，难度不大．
6．如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限．若反比例函数y的图象经过点B，则k的值是（　　）
A．1 B．2 C． D．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．
【答案】C
【分析】首先过点B作BC垂直OA于C，根据AO＝2，△ABO是等边三角形，得出B点坐标，进而求出反比例函数解析式．
【解答】解：过点B作BC垂直OA于C，
∵点A的坐标是（2，0），
∴AO＝2，
∵△ABO是等边三角形，
∴OC＝1，BC，
∴点B的坐标是（1，），
把（1，）代入y，
得k．
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数的综合应用、等边三角形的性质以及图象上点的坐标特点等知识，根据已知表示出B点坐标是解题关键．
7．关于x的函数y＝k（x+1）和y（k≠0）在同一坐标系中的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．
【专题】数形结合．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的比例系数可得经过的象限，一次函数的比例系数和常数项可得一次函数图象经过的象限．
【解答】解：当k＞0时，反比例函数图象经过一三象限；一次函数图象经过第一、二、三象限，故A、C错误；
当k＜0时，反比例函数经过第二、四象限；一次函数经过第二、三、四象限，故B错误，D正确；
故选：D．
【点评】考查反比例函数和一次函数图象的性质：
（1）反比例函数y：当k＞0，图象过第一、三象限；当k＜0，图象过第二、四象限；
（2）一次函数y＝kx+b：当k＞0，图象必过第一、三象限，当k＜0，图象必过第二、四象限．当b＞0，图象与y轴交于正半轴，当b＝0，图象经过原点，当b＜0，图象与y轴交于负半轴．
8．如图，已知直线y＝mx与双曲线y的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是（　　）
A．（﹣3，4） B．（﹣4，﹣3） C．（﹣3，﹣4） D．（4，3）
【考点】反比例函数图象的对称性．
【专题】压轴题．
【答案】C
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：因为直线y＝mx过原点，双曲线y的两个分支关于原点对称，
所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4），另一个交点的坐标为（﹣3，﹣4）．
故选：C．
【点评】此题考查了函数交点的对称性，通过数形结合和中心对称的定义很容易解决．
9．如图，在平面直角坐标系中，函数y（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；模型思想；应用意识．
【答案】C
【分析】根据函数的关系式可求出交点坐标，进而确定a、b的值，代入计算即可．
【解答】解：
法一：由题意得，
，解得，或（舍去），
∴点P（，），
即：a，b，
∴；
法二：由题意得，
函数y（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），
∴ab＝4，b＝a﹣1，
∴；
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，求出交点坐标是正确计算的前提．
10．如图，已知直线y＝﹣x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线y交于E，F两点，若AB＝2EF，则k的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】压轴题．
【答案】D
【分析】作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，先利用一次函数图象上点的坐标特征得到A（2，0），B（0，2），易得△AOB为等腰直角三角形，则ABOA＝2，所以EFAB，且△DEF为等腰直角三角形，则FD＝DEEF＝1；设F点坐标为（t，﹣t+2），则E点坐标为（t+1，﹣t+1），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到t（﹣t+2）＝（t+1） （﹣t+1），解得t，这样可确定E点坐标为（，），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k．
【解答】解：作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，如图，
A点坐标为（2，0），B点坐标为（0，2），OA＝OB，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴ABOA＝2，
∴EFAB，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴FD＝DEEF＝1，
设F点横坐标为t，代入y＝﹣x+2，则纵坐标是﹣t+2，则F的坐标是：（t，﹣t+2），E点坐标为（t+1，﹣t+1），
∴t（﹣t+2）＝（t+1） （﹣t+1），解得t，
∴E点坐标为（，），
∴k．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
二．填空题（共4小题）
11．如图，已知双曲线y（k＞0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k＝　2　 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S|k|．
【解答】解：过D点作DE⊥x轴，垂足为E，
∵在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，
∴DE∥AB，
∵D为Rt△OAB斜边OB的中点D，
∴DE为Rt△OAB的中位线，
∴DE∥AB，
∴△OED∽△OAB，
∴两三角形的相似比为：
∵双曲线y（k＞0），可知S△AOC＝S△DOEk，
∴S△AOB＝4S△DOE＝2k，
由S△AOB﹣S△AOC＝S△OBC＝3，得2kk＝3，
解得k＝2．
故本题答案为：2．
【点评】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
12．如图，已知，在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数y（k＞0）的图象与AC边交于点E，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为　　 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】证明Rt△MED∽Rt△BDF，则，而EM：DB＝ED：DF＝4：3，求出DB，在Rt△DBF中，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，过点E作EM⊥x轴于点M，
∵将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的D点处，
∴∠EDF＝∠C＝90°，EC＝ED，CF＝DF，
∴∠MDE+∠FDB＝90°，
而EM⊥OB，
∴∠MDE+∠MED＝90°，
∴∠MED＝∠FDB，
∴Rt△MED∽Rt△BDF；
又∵EC＝AC﹣AE＝4，CF＝BC﹣BF＝3，
∴ED＝4，DF＝3，
∴；
∵EM：DB＝ED：DF＝4：3，而EM＝3，
∴DB，
在Rt△DBF中，DF2＝DB2+BF2，即（3）2＝（）2+（）2，
解得k，
故答案为．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到图形折叠的性质、勾股定理以及三角形相似的判定与性质，综合性强，难度适中．
13．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为3，则这个反比例函数的解析式为　y　 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【答案】见试题解答内容
【分析】过A点向x轴作垂线，与坐标轴围成的四边形的面积是定值|k|，由此可得出答案．
【解答】解：过A点向x轴作垂线，如图：
根据反比例函数的几何意义可得：四边形ABCD的面积为3，即|k|＝3，
又∵函数图象在二、四象限，
∴k＝﹣3，即函数解析式为：y．
故答案为：y．
【点评】此题考查了反比例函数的几何意义，解答本题关键是掌握在反比例函数中k所代表的几何意义，属于基础题，难度一般．
14．如图，直线AB交双曲线y于A、B两点，交x轴于点C，且B恰为线段AC的中点，连接OA．若S△OAC，则k的值为　　 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】设A点坐标为（a，），C点坐标为（b，0），根据线段中点坐标公式得到B点坐标为（，），利用反比例函数图象上点的坐标特征得到 k，得到b＝3a，然后根据三角形面积公式得到 3a ，于是可计算出k．
【解答】解：设A点坐标为（a，），C点坐标为（b，0），
∵B恰为线段AC的中点，
∴B点坐标为（，），
∵B点在反比例函数图象上，
∴ k，
∴b＝3a，
∵S△OAC，
∴b ，
∴ 3a ，
∴k．
故答案为．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数解析式．
三．解答题（共6小题）
15．如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于第二、四象限内的点A（a，4）和点B（8，b）．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．
（1）分别求出a和b的值；
（2）结合图象直接写出mx+n的解集；
（3）在x轴上取点P，使PA﹣PB取得最大值时，求出点P的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；平移、旋转与对称．
【答案】（1）a＝﹣2，b＝﹣1；
（2）﹣2＜x＜0或x＞8；
（3）P（，0）．
【分析】（1）由△AOC的面积为4，可求出a的值，确定反比例函数的关系式，把点B坐标代入可求b的值．
（2）根据图象观察当自变量x取何值时，一次函数图象位于反比例函数图象的下方即可，注意有两部分．
（3）由对称点B关于x轴的对称点B′，直线AB′与x轴交点就是所求的点P，求出直线与x轴的交点坐标即可．
【解答】解：（1）∵点A（a，4），
∴AC＝4，
∵S△AOC＝4，即，
∴OC＝2，
∵点A（a，4）在第二象限，
∴a＝﹣2 A（﹣2，4），
将A（﹣2，4）代入y得：k＝﹣8，
∴反比例函数的关系式为：y，
把B（8，b）代入得：b＝﹣1，
∴B（8，﹣1）
因此a＝﹣2，b＝﹣1；
（2）由图象可以看出mx+n的解集为：﹣2＜x＜0或x＞8；
（3）如图，作点B关于x轴的对称点B′，直线AB′与x轴交于P，
此时PA﹣PB最大（PA﹣PB＝PA﹣PB′≤AB′，共线时差最大）
∵B（8，﹣1）
∴B′（8，1）
设直线AP的关系式为y＝mx+n，将 A（﹣2，4），B′（8，1）代入得：
，
解得：m，n，
∴直线AP的关系式为yx，
当y＝0时，即x0，解得x，
∴P（，0）．
【点评】考查反比例函数的图象和性质、一次函数、轴对称以及待定系数法求函数的关系式等知识，理解作点B关于x轴的对称点B′，直线AB′与x轴交于P，此时PA﹣PB最大是解决问题的关键．
16．如图，直线y＝ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y（x＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC＝2，点A的坐标为（﹣2，0）．
（1）求双曲线的解析式；
（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把A坐标代入直线解析式求出a的值，确定出直线解析式，把y＝2代入直线解析式求出x的值，确定出P坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出双曲线解析式；
（2）设Q（m，n），代入反比例解析式得到n，分两种情况考虑：当△QCH∽△BAO时；当△QCH∽△ABO时，由相似得比例求出m的值，进而确定出n的值，即可得出Q坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0）代入y＝ax+1中，求得a，
∴yx+1，
由PC＝2，把y＝2代入yx+1中，得x＝2，即P（2，2），
把P代入y得：k＝4，
则双曲线解析式为y；
（2）设Q（m，n），
∵Q（m，n）在y上，
∴n，
当△QCH∽△BAO时，可得，即，
∴m﹣2＝2n，即m﹣2，
整理得：m2﹣2m﹣8＝0，
解得：m＝4或m＝﹣2（舍去），
∴Q（4，1）；
当△QCH∽△ABO时，可得，即，
整理得：2m﹣4，
解得：m＝1或m＝1（舍），
∴Q（1，22）．
综上，Q（4，1）或Q（1，22）．
【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的性质，待定系数法确定直线解析式，待定系数法确定反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
17．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝12．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；
（3）直接写出不等式kx+b的解集．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】代数几何综合题；反比例函数及其应用；用函数的观点看方程（组）或不等式．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据三角形相似，可求出点C坐标，可得一次函数和反比例函数解析式；
（2）联立解析式，可求交点坐标；
（3）根据数形结合，将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系．
【解答】解：（1）由已知，OA＝6，OB＝12，OD＝4
∵CD⊥x轴
∴OB∥CD
∴△ABO∽△ACD
∴
∴
∴CD＝20
∴点C坐标为（﹣4，20）
∴n＝xy＝﹣80
∴反比例函数解析式为：y
把点A（6，0），B（0，12）代入y＝kx+b得：
解得：
∴一次函数解析式为：y＝﹣2x+12
（2）当2x+12时，解得
x1＝10，x2＝﹣4
当x＝10时，y＝﹣8
∴点E坐标为（10，﹣8）
∴S△CDE＝S△CDA+S△EDA
（3）不等式kx+b，从函数图象上看，表示各个象限一次函数图象不高于反比例函数图象，
∴由图象得，不等式kx+b的解集﹣4≤x＜0或x≥10．
【点评】本题考查了应用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式以及用函数的观点通过函数图象解不等式．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，﹣3），反比例函数y（x＞0）的图象经过点A，动直线x＝t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N．
（1）求k的值；
（2）求△BMN面积的最大值；
（3）若MA⊥AB，求t的值．
【考点】反比例函数综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把点A坐标代入y（x＞0），即可求出k的值；
（2）先求出直线AB的解析式，设M（t，），N（t，t﹣3），则MNt+3，由三角形的面积公式得出△BMN的面积是t的二次函数，即可得出面积的最大值；
（3）求出直线AM的解析式，由反比例函数解析式和直线AM的解析式组成方程组，解方程组求出M的坐标，即可得出结果．
【解答】解：（1）把点A（8，1）代入反比例函数y（x＞0）得：
k＝1×8＝8，y，
∴k＝8；
（2）设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
根据题意得：，
解得：k，b＝﹣3，
∴直线AB的解析式为：yx﹣3；
设M（t，），N（t，t﹣3），
则MNt+3，
∴△BMN的面积S（t+3）tt2t+4（t﹣3）2，
∴△BMN的面积S是t的二次函数，
∵0，
∴S有最大值，
当t＝3时，△BMN的面积的最大值为；
（3）∵MA⊥AB，
∴设直线MA的解析式为：y＝﹣2x+c，
把点A（8，1）代入得：c＝17，
∴直线AM的解析式为：y＝﹣2x+17，
解方程组 得： 或 （舍去），
∴M的坐标为（，16），
∴t．
【点评】本题是反比例函数综合题目，考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式、二次函数的最值问题、垂线的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要确定一次函数的解析式，由反比例函数解析式和直线AM的解析式组成方程组，解方程组才能得出结果．
19．如图，已知直线y＝x+k和双曲线y（k为正整数）交于A，B两点．
（1）当k＝1时，求A、B两点的坐标；
（2）当k＝2时，求△AOB的面积；
（3）当k＝1时，△OAB的面积记为S1，当k＝2时，△OAB的面积记为S2，…，依此类推，当k＝n时，△OAB的面积记为Sn，若S1+S2+…+Sn，求n的值．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由k＝1得到直线和双曲线的解析式，组成方程组，求出方程组的解，即可得到A、B两点的坐标；
（2）先由k＝2得到直线和双曲线的解析式，组成方程组，求出方程组的解，即可得到A、B两点的坐标；再求出直线AB的解析式，得到直线AB与y轴的交点（0，2），利用三角形的面积公式，即可解答．
（3）根据当k＝1时，S11×（1+2），当k＝2时，S22×（1+3）＝4，…得到当k＝n时，Snn（1+n+1）n2+n，根据若S1+S2+…+Sn，列出等式，即可解答．
【解答】解：（1）当k＝1时，直线y＝x+k和双曲线y化为：y＝x+1和y，
解得，，
∴A（1，2），B（﹣2，﹣1），
（2）当k＝2时，直线y＝x+k和双曲线y化为：y＝x+2和y，
解得，，
∴A（1，3），B（﹣3，﹣1）
设直线AB的解析式为：y＝mx+n，
∴
∴，
∴直线AB的解析式为：y＝x+2
∴直线AB与y轴的交点（0，2），
∴S△AOB2×12×3＝4；
（3）当k＝1时，S11×（1+2），
当k＝2时，S22×（1+3）＝4，
…
当k＝n时，Snn（1+n+1）n2+n，
∵S1+S2+…+Sn，
∴（12+22+32+…+n2）+（1+2+3+…n），
整理得：，
解得：n＝6．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，解决本题的关键是联立函数解析式，组成方程组，求交点坐标．在（3）中注意找到三角形面积的规律是关键．
20．如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足， ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线经过C、D两点．
（1）求k的值；
（2）点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标；
（3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，故可得出A、B两点的坐标，设D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t﹣2），再根据反比例函数的性质求出t的值即可；
（2）由（1）知k＝4可知反比例函数的解析式为y，再由点P在双曲线上，点Q在y轴上，设Q（0，y），P（x，），再分以AB为边和以AB为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标；
（3）连NH、NT、NF，易证NF＝NH＝NT，故∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，∠TNH＝∠TAH＝90°，MNHT，由此即可得出结论．
【解答】解：（1）∵（a+b+3）2＝0，且0，（a+b+3）2≥0，
∴，
解得：，
∴A（﹣1，0），B（0，﹣2），
∵E为AD中点，
∴xD＝1，
设D（1，t），
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴C（2，t﹣2），
∴t＝2t﹣4，
∴t＝4，
∴k＝4；
（2）∵由（1）知k＝4，
∴反比例函数的解析式为y，
∵点P在双曲线上，点Q在y轴上，
∴设Q（0，y），P（x，），
①当AB为边时：
如图1所示：若ABPQ为平行四边形，则0，解得x＝1，此时P1（1，4），Q1（0，6）；
如图2所示；若ABQP为平行四边形，则，解得x＝﹣1，此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；
②如图3所示；当AB为对角线时：AP＝BQ，且AP∥BQ；
∴，解得x＝﹣1，
∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；
故P1（1，4），Q1（0，6）；P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；
（3）连NH、NT、NF，
∵MN是线段HT的垂直平分线，
∴NT＝NH，
∵四边形AFBH是正方形，
∴∠ABF＝∠ABH，
在△BFN与△BHN中，
，
∴△BFN≌△BHN，
∴NF＝NH＝NT，
∴∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，
四边形ATNH中，∠ATN+∠NTF＝180°，而∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，
所以，∠ATN+∠AHN＝180°，所以，四边形ATNH内角和为360°，
所以∠TNH＝360°﹣180°﹣90°＝90°．
∴MNHT，
∴．
【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，难度较大．
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