【中考押题预测】2025年中考数学核心考点考前冲刺 分式方程（含解析）

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中考押题预测 分式方程
一．选择题（共10小题）
1．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
2．已知关于x的方程有增根，则a的值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．﹣5
3．已知关于x的分式方程1无解，则m的值为（　　）
A．m＝1 B．m＝4 C．m＝3 D．m＝1或m＝4
4．若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．2
5．已知关于x的分式方程1的解为负数，则k的取值范围是（　　）
A．k或k≠1 B．k且k≠1 C．k且k≠1 D．k或k≠1
6．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　）
A．m≤5且m≠﹣3 B．m≥5且m≠﹣3 C．m≤5且m≠3 D．m≥5且m≠3
7．在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（　　）
A．5 B．5
C．5 D．5
8．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．关于x的分式方程1的解为负数，则a的取值范围是（　　）
A．a＞1 B．a＜1 C．a＜1且a≠﹣2 D．a＞1且a≠2
10．已知方程的两根分别为a，，则方程a的根是（　　）
A．a， B．，a﹣1 C．，a﹣1 D．a，
二．填空题（共5小题）
11．若关于x的分式方程1无解，则m的值　 　 ．
12．若关于x的分式方程无解，则a＝　 　 ．
13．若关于x的分式方程3有增根，则实数m的值是 　 　 ．
14．关于x的分式方程1的解为正数，则a的取值范围是　 　 ．
15．若分式方程有增根，则m的值是　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．解分式方程：1．
17．若关于x的方程1无解，求m的值．
18．为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4800元．已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元．
（1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？
（2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？
19．某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
20．阅读下面材料，解答后面的问题
解方程：．
解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y＝±2，
经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1，
当y＝﹣2时，，解得：x，经检验：x＝﹣1或x都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或x．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程中，设，则原方程可化为：　 　 ；
（2）若在方程中，设，则原方程可化为：　 　 ；
（3）模仿上述换元法解方程：．
中考押题预测 分式方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得等量关系：慢马速度×2＝快马速度，根据等量关系，可得方程．
【解答】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得：
2，
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
2．已知关于x的方程有增根，则a的值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．﹣5
【考点】分式方程的增根．
【专题】计算题；分式方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】D
【分析】首先最简公分母为0，求出增根，化分式方程为整式方程，把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【解答】解：∵方程有增根，
∴x﹣5＝0，
∴x＝5，
，
x＝3（x﹣5）﹣a，
x＝3x﹣15﹣a，
把x＝5代入整式方程解得a＝﹣5，
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根产生的原因，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，这是解题的关键．
3．已知关于x的分式方程1无解，则m的值为（　　）
A．m＝1 B．m＝4 C．m＝3 D．m＝1或m＝4
【考点】分式方程的解．
【专题】分式方程及应用．
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x﹣3＝0，确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【解答】解：去分母得：3﹣2x﹣9+mx＝﹣x+3，
整理得：（m﹣1）x＝9，
当m﹣1＝0，即m＝1时，该整式方程无解；
当m﹣1≠0，即m≠1时，由分式方程无解，得到x﹣3＝0，即x＝3，
把x＝3代入整式方程得：3m﹣3＝9，
解得：m＝4，
综上，m的值为1或4，
故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
4．若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．2
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式；一元一次不等式组的整数解．
【专题】方程思想．
【答案】C
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式有且只有4个整数解确定出a的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之和．
【解答】解：，
不等式组整理得：，
由不等式组有且只有四个整数解，得到01，
解得：﹣2＜a≤2，即整数a＝﹣1，0，1，2，
2，
分式方程去分母得：y+a﹣2a＝2（y﹣1），
解得：y＝2﹣a，
由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到a为﹣1，0，2，之和为1．
故选：C．
【点评】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．已知关于x的分式方程1的解为负数，则k的取值范围是（　　）
A．k或k≠1 B．k且k≠1 C．k且k≠1 D．k或k≠1
【考点】分式方程的解．
【专题】计算题．
【答案】B
【分析】首先根据解分式方程的步骤，求出关于x的分式方程1的解是多少；然后根据分式方程的解为负数，求出k的取值范围即可．
【解答】解：由1，
可得（x+k）（x﹣1）﹣k（x+1）＝x2﹣1，
解得x＝1﹣2k，
∵1﹣2k＜0，且1﹣2k≠1，1﹣2k≠﹣1，
∴k且k≠1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
6．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　）
A．m≤5且m≠﹣3 B．m≥5且m≠﹣3 C．m≤5且m≠3 D．m≥5且m≠3
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
【专题】计算题；分式方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】首先对原分式方程变形，其次解出分式方程的解，再根据分式方程解是非负数，最简公分母不为0，列不等式，求出公共的解集即可．
【解答】解：原分式方程可化为：2，
去分母，得1﹣m﹣2（x﹣1）＝﹣2，
解得x，
∵分式方程解是非负数，
∴0，且1，
∴m的取值范围是：m≤5且m≠3，
故选：C．
【点评】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，掌握用含m的式子表示方程的解，根据方程的解为非负数，x﹣1≠0，列不等式组是解题关键．
7．在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（　　）
A．5 B．5
C．5 D．5
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【答案】A
【分析】根据题意给出的等量关系即可列出方程．
【解答】解：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，
∴实际每天植树（x+0.2x）万棵，需要天完成，
∵提前5天完成任务，
∴5，
故选：A．
【点评】本题考查分式方程的应用，解题的关键是利用题目中的等量关系，本题属于基础题型．
8．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【答案】A
【分析】根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同，所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间＝原计划生产450台时间．
【解答】解：设原计划每天生产x台机器，则现在可生产（x+50）台．
依题意得：．
故选：A．
【点评】此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在平均每天比原计划多生产50台机器”这一个隐含条件，进而得出等式方程是解题关键．
9．关于x的分式方程1的解为负数，则a的取值范围是（　　）
A．a＞1 B．a＜1 C．a＜1且a≠﹣2 D．a＞1且a≠2
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
【专题】常规题型．
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为负数列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可确定出a的范围．
【解答】解：分式方程去分母得：x+1＝2x+a，即x＝1﹣a，
根据分式方程解为负数，得到1﹣a＜0，且1﹣a≠﹣1，
解得：a＞1且a≠2．
故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0．
10．已知方程的两根分别为a，，则方程a的根是（　　）
A．a， B．，a﹣1 C．，a﹣1 D．a，
【考点】分式方程的解．
【专题】压轴题．
【答案】D
【分析】首先观察已知方程的特点，然后把方程a变形成具有已知方程的特点的形式，从而得出所求方程的根．
【解答】解：方程a可以写成x﹣1a﹣1的形式，
∵方程的两根分别为a，，
∴方程x﹣1a﹣1的两根的关系式为x﹣1＝a﹣1，x﹣1，即方程的根为x＝a或，
∴方程a的根是a，．
故选：D．
【点评】观察出已知方程的特点是解答本题的前提，把方程a变形成具有已知方程的特点的形式是解答本题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．若关于x的分式方程1无解，则m的值　或　 ．
【考点】分式方程的解．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据解分式方程的步骤，可求出分式方程的解，根据分式方程无解，可得m的值．
【解答】解：方程两边同乘x（x﹣3），得x（2m+x）﹣（x﹣3）x＝2（x﹣3）
（2m+1）x＝﹣6
x，
当2m+1＝0，方程无解，解得m．
x＝3时，m，
x＝0时，m无解．
故答案为：或．
【点评】本题考查了分式方程的解，把分式方程转化成整式方程，把分式方程的增根代入整式方程，求出答案．
12．若关于x的分式方程无解，则a＝　1或﹣2　 ．
【考点】分式方程的解．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的x能令最简公分母为0，据此进行解答．
【解答】解：方程两边都乘x（x﹣1）得，x（x﹣a）﹣3（x﹣1）＝x（x﹣1），
整理得，（a+2）x＝3，
当整式方程无解时，a+2＝0即a＝﹣2，
当分式方程无解时：①x＝0时，a无解，
②x＝1时，a＝1，
所以a＝1或﹣2时，原方程无解．
故答案为：1或﹣2．
【点评】分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根．
13．若关于x的分式方程3有增根，则实数m的值是 　1　 ．
【考点】分式方程的增根．
【答案】见试题解答内容
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【解答】解：去分母，得：m＝x﹣1﹣3（x﹣2），
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程可得：m＝1，
故答案为：1．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14．关于x的分式方程1的解为正数，则a的取值范围是　a＜5且a≠3　 ．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
【专题】分式．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出a的取值范围，进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：去分母得：1﹣a+2＝x﹣2，
解得：x＝5﹣a，
5﹣a＞0，
解得：a＜5，
∵x≠2，
∴a≠3，
故a＜5且a≠3．
故答案为：a＜5且a≠3．
【点评】此题主要考查了分式方程的解，注意分式方程的解是否有意义是解题关键．
15．若分式方程有增根，则m的值是　4或﹣8　 ．
【考点】分式方程的增根．
【答案】见试题解答内容
【分析】解：先把分式方程化为整式方程，根据方程有增根，可得出x的值，再代入整式方程求得k的值即可．
【解答】解：去分母得，m﹣2（x﹣2）＝x+2，
∵方程有增根，
∴x＝±2，
当x＝2时，m＝4；
当x＝﹣2时，m＝﹣8；
故答案为4或﹣8．
【点评】本题考查了分式的增根，掌握有增根的条件是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．解分式方程：1．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】本题考查解分式方程的能力，因为3﹣x＝﹣（x﹣3），所以可得方程最简公分母为（x﹣3），方程两边同乘（x﹣3）将分式方程转化为整式方程求解，要注意检验．
【解答】解：方程两边同乘（x﹣3），
得：2﹣x﹣1＝x﹣3，
整理解得：x＝2，
经检验：x＝2是原方程的解．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
（3）方程有常数项的不要漏乘常数项．
17．若关于x的方程1无解，求m的值．
【考点】分式方程的解．
【专题】分式方程及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解可得m﹣1＝0或将x＝3代入整式方程，即可求出m的值．
【解答】解：去分母得：3﹣2x+mx﹣2＝﹣x+3，
整理得：（m﹣1）x＝2，
当m﹣1＝0，即m＝1时，方程无解；
当m﹣1≠0时，x﹣3＝0，
即x＝3时，方程无解，
此时3，即m，
所以m＝1或m．
【点评】此题考查了分式方程的解，分式方程的解即为能使分式方程左右两边相等的未知数的值，且分式方程分母不为0．
18．为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4800元．已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元．
（1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？
（2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？
【考点】分式方程的应用；一元一次方程的应用．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）假设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运2x趟，根据工作总量＝工作时间×工作效率建立方程求出其解即可；
（2）分别表示出甲、乙两车单独运每一趟所需费用，再根据关键语句“两车各运12趟可完成，需支付运费4800元”可得方程，再解出方程，再分别计算出利用甲或乙所需费用进行比较即可．
【解答】解：（1）设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运2x趟，根据题意得出：
12（）＝1，
解得：x＝18，
经检验得出：x＝18是原方程的解，
则乙车单独运完此堆垃圾需运：2x＝36，
答：甲车单独运完需18趟，乙车单独运完需36趟；
（2）设甲车每一趟的运费是a元，由题意得：
12a+12（a﹣200）＝4800，
解得：a＝300，
则乙车每一趟的费用是：300﹣200＝100（元），
单独租用甲车总费用是：18×300＝5400（元），
单独租用乙车总费用是：36×100＝3600（元），
3600＜5400，
故单独租用一台车，租用乙车合算．
答：单独租用一台车，租用乙车合算．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
19．某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
【考点】分式方程的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，根据甲、乙队先合做15天，余下的工程由甲队单独需要10天完成，可得出方程解答即可；
（2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可．
【解答】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得：
（）×151．
解得：x＝30．
经检验x＝30是原分式方程的解．
答：这项工程的规定时间是30天．
（2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（）＝22.5（天），
则该工程施工费用是：22.5×（6500+3500）＝225000（元）．
答：该工程的费用为225000元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答．
20．阅读下面材料，解答后面的问题
解方程：．
解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y＝±2，
经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1，
当y＝﹣2时，，解得：x，经检验：x＝﹣1或x都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或x．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程中，设，则原方程可化为：　　 ；
（2）若在方程中，设，则原方程可化为：　　 ；
（3）模仿上述换元法解方程：．
【考点】换元法解分式方程．
【专题】阅读型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）和（2）将所设的y代入原方程即可；
（3）利用换元法解分式方程，设，将原方程化为，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可．
【解答】解：（1）将代入原方程，则原方程化为；
（2）将代入方程，则原方程可化为；
（3）原方程化为：，
设，则原方程化为：，
方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0
解得：y＝±1，
经检验：y＝±1都是方程的解．
当y＝1时，，该方程无解；
当y＝﹣1时，，解得：；
经检验：是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为．
【点评】本题考查了分式方程的解法，关键是如何换元，题目比较好，有一定的难度．
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