【中考核心考点】2025年北师大版中考数学考前冲刺 垂径定理（含解析）

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中考核心考点 垂径定理
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 海港区）高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝12米，净高CD＝8米，则此圆的半径OA为（　　）
A．6米 B．米 C．7米 D．米
2．（2024秋 银川）如图半径为5的⊙A与y轴交于B（0，2），C（0，10），则点A的坐标为（　　）
A．（3，6） B．（3，5） C．（2，4） D．（2，3）
3．（2024秋 谯城区）如图，在⊙O中，半径OA的长为，圆心O到AB的距离OE＝4，则弦AB的长为（　　）
A．4 B． C．8 D．
4．（2024秋 阳谷县）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，P是弦AB上的一个动点，则OP的长可能是（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
5．（2024秋 元阳县）如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E．若AB＝16，CE＝4，则⊙O的半径为（　　）
A．10 B．8 C．6 D．
6．（2024.武汉）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB＝3cm，CD＝4cm．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（　　）
A．4.8cm B．5cm C．5.2cm D．6cm
7．（2024秋 迪庆州）工程上常用钢珠来测量零件上槽孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个槽孔的宽口AB的长度为（　　）
A．6mm B．8mm C．10mm D．5mm
8．（2024.惠城区一模）为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（　　）
A．4cm B．8cm C．5cm D．10cm
二．填空题（共4小题）
9．（2024秋 蒙城县）如图，半径为6的⊙O沿弦AB折叠，弧AB恰好经过圆心O．则弦AB的长为 　 　 ．
10．（2024.罗湖区）嘉兴南湖不仅是党的诞生地，它优美的风光还吸引全国各地的旅客前来观赏．如图是南湖的一座三孔桥，某天测得最大桥拱的水面宽AB为6m，桥顶C到水面AB的距离为2m，则这座桥桥拱半径为 　 　 m．
11．（2025春 惠山区）如图，OA是⊙O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知OC＝5，AP＝2，则弦CD＝　 　 ．
12．（2024.厦门）《九章算术》“方田章”中记载了关于图形面积的经验公式，其与实际的较小误差令人由衷感叹我国古代劳动人民的智慧．其中的弧田术：“以弦乘矢，矢又自乘，并之，二面一．”即：弓形面积＝（弦长×矢长+矢长×矢长）÷2．如图，一块弓形田的弦AB长为12m，矢CD长为，用弧田术计算其面积，与实际的误差为 　 　 .取古圆周率3）
三．解答题（共3小题）
13．（2024秋 阜平县）中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是⊙O上一点，EM经过圆心O，且EM⊥弦CD，垂足为M，已知CD＝2m，EM＝3m．
（1）不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段；
（2）求这个月亮门的最大宽度（⊙O的直径）．
14．（2024秋 清苑区）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．
（1）求该圆的半径；
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？
15．（2024.河北）日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，⊙O表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边AB在水平线l上，△OAB为等边三角形，OA，OB与⊙O分别交于P，Q两点．点C，D是⊙O上两点，CD∥AB，过O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，交⊙O于点M．已知，FM＝30cm，ME＝20cm．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
中考核心考点 垂径定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 海港区）高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝12米，净高CD＝8米，则此圆的半径OA为（　　）
A．6米 B．米 C．7米 D．米
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】设圆的半径长是x米，由垂径定理得到ADAB＝6（米），由勾股定理得到x2＝（8﹣x）2+62，求出x，即可得到圆的半径OA的长．
【解答】解：设圆的半径长是x米，
∴OA＝OC＝x米，
∴OD＝CD﹣OC＝（8﹣x）米，
∵CD⊥AB，
∴ADAB12＝6（米），
∵OA2＝OD2+AD2，
∴x2＝（8﹣x）2+62，
∴x，
∴圆的半径OA为米．
故选：D．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由以上知识点列出关于x的方程．
2．（2024秋 银川）如图半径为5的⊙A与y轴交于B（0，2），C（0，10），则点A的坐标为（　　）
A．（3，6） B．（3，5） C．（2，4） D．（2，3）
【考点】垂径定理；坐标与图形性质．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】A
【分析】过点A作AD⊥BC与D，连接AB，根据点B和点C的坐标求出BC，再根据垂径定理求出BD＝CD＝4，根据勾股定理求出AD即可，继而即可求解坐标
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，连接AB，
∵⊙A的半径为5，B（0，2）、C（0，10），
∴AB＝5，BC＝10﹣2＝8，OB＝2，
∵AD⊥BC，AD过圆心A，
∴CD＝BD＝4，
∴OD＝2+4＝6，
∴，
∴A（3，6）
故选：A．
【点评】本题主要考查了坐标与图形的性质，垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
3．（2024秋 谯城区）如图，在⊙O中，半径OA的长为，圆心O到AB的距离OE＝4，则弦AB的长为（　　）
A．4 B． C．8 D．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】推理能力．
【答案】C
【分析】先由垂径定理得到，在Rt△AOE中，由勾股定理求解即可得到答案．
【解答】解：∵AB是⊙O的弦，OE⊥AB，
∴由垂径定理可知，
∵，OE＝4，
∴，
∴AB＝2AE＝8，
故选：C．
【点评】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握圆中求线段长的方法是解决问题的关键．
4．（2024秋 阳谷县）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，P是弦AB上的一个动点，则OP的长可能是（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】C
【分析】根据点P的位置，OP为半径时，最长，OP⊥AB时，最短，求出OP的取值范围，即可得出结果．
【解答】解：当点P与点A或点B重合时，OP为半径，长度最长为5；
当OP⊥AB时，由垂线段最短，可知此时OP最短，
∵OP⊥AB，
∴，
∴，
∴3≤OP≤5，
∴OP的长可能是4；
故选：C．
【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理，根据题意得出当点P与点A或点B重合时，OP为半径，长度最长为5；当OP⊥AB时，由垂线段最短是解题的关键．
5．（2024秋 元阳县）如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E．若AB＝16，CE＝4，则⊙O的半径为（　　）
A．10 B．8 C．6 D．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】A
【分析】根据垂径定理求出AE，设⊙O的半径为r，在Rt△AOE中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可．
【解答】解：∵AB⊥CD，AB＝16，
∴AEAB＝8，
设⊙O的半径为r，则OE＝OC﹣CE＝r﹣4，
在Rt△AOE中利用勾股定理，得AE2+OE2＝OA2，即82+（r﹣4）2＝r2，
解得r＝10．
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
6．（2024.武汉）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB＝3cm，CD＝4cm．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（　　）
A．4.8cm B．5cm C．5.2cm D．6cm
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】B
【分析】由垂径定理求出BN，CM的长，设ON＝x，由勾股定理得到（3.5﹣x）2+22＝x2+1.52，求出x的值，得到ON的长，由勾股定理求出OB长，即可求出纸杯的直径长．
【解答】解：如图，MN⊥AB，MN过圆心O，连接OC，OB，
∴MN＝3.5cm，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∴，，
设ON＝x cm，
∴OM＝MN﹣ON＝（3.5﹣x）cm，
∵OM2+MC2＝OC2，ON2+BN2＝OB2，
∴OM2+MC2＝ON2+BN2，
∴（3.5﹣x）2+22＝x2+1.52，
∴12.25﹣7x+x2+4＝x2+2.25，
∴7x＝14，
∴x＝2，
∴ON＝2（cm），
∴，
∴纸杯的直径为2.5×2＝5（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
7．（2024秋 迪庆州）工程上常用钢珠来测量零件上槽孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个槽孔的宽口AB的长度为（　　）
A．6mm B．8mm C．10mm D．5mm
【考点】垂径定理的应用．
【专题】常规题型；圆的有关概念及性质．
【答案】B
【分析】先求出钢珠的半径及OD的长，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出AD的长，进而得出AB的长．
【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
则AB＝2AD，
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm，
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD＝3mm，
在Rt△AOD中，
∵AD4mm，
∴AB＝2AD＝2×4＝8mm．
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
8．（2024.惠城区一模）为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（　　）
A．4cm B．8cm C．5cm D．10cm
【考点】垂径定理的应用．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】D
【分析】连接AB、CD交于点D，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：连接AB、CD交于点D，
由题意得，OC⊥AB，则，
设圆的半径为Rcm，则OD＝（R﹣2）cm，
在Rt△AOD中，OA2＝AD2+OD2，
即R2＝42+（R﹣2）2，
解得：R＝5，
则该铁球的直径为10cm，
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，熟练掌握以上知识点是关键．
二．填空题（共4小题）
9．（2024秋 蒙城县）如图，半径为6的⊙O沿弦AB折叠，弧AB恰好经过圆心O．则弦AB的长为 　6　 ．
【考点】垂径定理；翻折变换（折叠问题）；勾股定理．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】．
【分析】连接OA，OB，过点O作OF⊥AB于F交⊙O于E，勾股定理求出，然后再进一步求解即可．
【解答】解：连接OA，OB，过点O作OF⊥AB于F交⊙O于E．
∴AF＝BF，
∵半径为6的⊙O沿弦AB折叠，弧AB恰好经过圆心O，
∴AB垂直平分线段OE，OF＝EF＝3，
∵OA＝OE＝6，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查的是翻折变换，垂径定理，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．（2024.罗湖区）嘉兴南湖不仅是党的诞生地，它优美的风光还吸引全国各地的旅客前来观赏．如图是南湖的一座三孔桥，某天测得最大桥拱的水面宽AB为6m，桥顶C到水面AB的距离为2m，则这座桥桥拱半径为 　　 m．
【考点】垂径定理的应用．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】．
【分析】连接OA，设OB＝OC＝x，则OD＝x﹣2，根据垂径定理得出BD，然后根据勾股定理得出关于x的方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：连接BO，
由题意可得：AD＝BD＝3m，设B半径OC＝x m，
则DO＝（x﹣2）m，
由勾股定理可得：x2＝（x﹣2）2+32，
解得：x．
∴这座桥桥拱半径为m．
故答案为：．
【点评】此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意作出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理．
11．（2025春 惠山区）如图，OA是⊙O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知OC＝5，AP＝2，则弦CD＝　8　 ．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】8．
【分析】先根据题意得出OP的长，再由勾股定理的长PC的长，根据垂径定理即可得出结论．
【解答】解：∵OC＝5，AP＝2，
∴OP＝OA﹣AP＝5﹣2＝3，
∵CD⊥OA于点P，
∴∠OPC＝90°，CD＝2PC，
∴PC4，
∴CD＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
12．（2024.厦门）《九章算术》“方田章”中记载了关于图形面积的经验公式，其与实际的较小误差令人由衷感叹我国古代劳动人民的智慧．其中的弧田术：“以弦乘矢，矢又自乘，并之，二面一．”即：弓形面积＝（弦长×矢长+矢长×矢长）÷2．如图，一块弓形田的弦AB长为12m，矢CD长为，用弧田术计算其面积，与实际的误差为 　1.2　 .取古圆周率3）
【考点】垂径定理的应用；扇形面积的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】1.2．
【分析】设圆心为O，连接OA，OB，设OA＝OC＝r．利用勾股定理求出r，再利用两种方法求出弓形面积即可．
【解答】解：设圆心为O，连接OA，OB，设OA＝OC＝r．
∵OC⊥AB，
∴AD＝DBAB12＝6（m），，
∴∠AOC＝∠BOC，
在Rt△ADO中，r2＝62+（r﹣2）2，
解得r＝4，
∴sin∠AOD，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
∴弓形实际面积12×216π﹣12，
另外弧田术计算弓形面积（12×22）＝126，
∴用弧田术计算其面积，与实际的误差为＝16π﹣12126≈1.2．
故答案为：1.2．
【点评】本题考查垂径定理，扇形的面积，解题的关键是理解题意，正确计算．
三．解答题（共3小题）
13．（2024秋 阜平县）中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是⊙O上一点，EM经过圆心O，且EM⊥弦CD，垂足为M，已知CD＝2m，EM＝3m．
（1）不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段；
（2）求这个月亮门的最大宽度（⊙O的直径）．
【考点】垂径定理；勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）CM＝DM；
（2）m．
【分析】（1）由垂径定理，即可得到答案；
（2）由勾股定理得到r2＝（3﹣r）2+12，求出r，即可得到这个月亮门的最大宽度．
【解答】解：（1）∵EM经过圆心O，且EM⊥弦CD，
∴CM＝DM；
（2）连接OC，设⊙O的半径是r m，
∴OM＝EM＝OE＝（3﹣r）m，
由（1）知CMCD2＝1（m），
∵OC2＝OM2+CM2，
∴r2＝（3﹣r）2+12，
∴r，
∴这个月亮门的最大宽度是2r＝2（m）．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理的应用，关键是由垂径定理得到CM＝DM，由垂径定理、勾股定理列出关于r的方程．
14．（2024秋 清苑区）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．
（1）求该圆的半径；
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？
【考点】垂径定理的应用．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】（1）5米；
（2）2米．
【分析】（1）作OD⊥AB于点E，根据垂径定理得AE＝3米，设圆的半径为r米，根据勾股定理得AE2+OE2＝OA2，即可求出答案；
（2）当AB＝8米时，AE＝4，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）如图，作OD⊥AB于点E，交圆于点D，
则AEAB＝3米，DE＝1米，
设圆的半径为r米，
在Rt△AOE中，AE2+OE2＝OA2，
∴32+（r﹣1）2＝r2，
解得r＝5，
∴该圆的半径为5米；
（2）如图，当AB＝8米时，AEAB＝4，
在Rt△AOE中，AE2+OE2＝OA2，
∴42+OE2＝52，
∴OE＝3米，
∴DE＝5﹣3＝2（米），
答：水面下盛水筒的最大深度为2米．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，垂径定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
15．（2024.河北）日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，⊙O表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边AB在水平线l上，△OAB为等边三角形，OA，OB与⊙O分别交于P，Q两点．点C，D是⊙O上两点，CD∥AB，过O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，交⊙O于点M．已知，FM＝30cm，ME＝20cm．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
【考点】垂径定理的应用．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OD，先证明OE⊥CD，再由垂径定理得到，然后设⊙O的半径OD＝OM＝r，在Rt△ODF中，利用勾股定理得到OD2＝OF2+FD2，列方程计算即可；
（2）由OE＝OM+ME＝80，求出等边△OAB的边长，再分别求出S△OAB，S扇形POQ，最后根据S阴影＝S△OAB﹣S扇形POQ计算即可．
【解答】解：（1）∵OE⊥AB，CD∥AB，
∴OE⊥CD，
∴，
∵，
∴，
如图，连接OD，
设⊙O的半径OD＝OM＝r，
∴OF＝OM﹣FM＝r﹣30，
在Rt△ODF中，，
解得r＝60，
即⊙O的半径为60cm；
（2）∵△OAB为等边三角形，
∴∠OBE＝∠BOE＝60°，AB＝OB，
∵OE⊥AB，
∴∠BEO＝90°，，
∴OE＝OM+ME＝60+20＝80cm，
在Rt△BOE中，，
解得（负值舍去），
∴，
∵，
∴．
【点评】本题考查垂径定理的实际应用，与圆有关的阴影部分面积，熟练掌握以上知识点是关键．
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