【中考核心考点】2025年北师大版中考数学考前冲刺 切线长定理（含解析）

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中考核心考点 切线长定理
一．选择题（共7小题）
1．（2024.金东区）如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．16
2．（2024.城关区）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，且分别交PA，PB于点C，D，若PA＝6，则△PCD的周长为（　　）
A．5 B．7 C．12 D．10
3．（2024.江门）如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则PA的长为（　　）
A．12 B．6 C．8 D．4
4．（2024.沧州）如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（　　）
A．9 B．7 C．11 D．8
5．（2024.莆田）如图，AB、AC、BD分别切⊙O于点P、C、D．若AB＝5，AC＝3，则BD的长是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（2024.樊城区）如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA的值是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024.邹城市）如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB＝6cm，OC＝8cm，则BE+CG的长等于（　　）
A．13 B．12 C．11 D．10
二．填空题（共5小题）
8．（2024.深圳一模）如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝108°，则∠COD的度数是　 　 ．
9．（2024秋 东莞市）如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为　 　 ．
10．（2024 凉州区三模）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，点C是AB上一点，过C作⊙O的切线，交PA，PB于点D，E，若PA＝6cm，则△PDE的周长是　 　 cm．
11．（2024.滨城区）如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝10，则⊙O的面积为 　 　 ．
12．（2022 白银）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝9，CD＝15，则四边形ABCD的周长为　 　 ．
三．解答题（共3小题）
13．（2024.东源县）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC为弦，BC为⊙O的直径，若∠P＝60°，PB＝2cm．
（1）求证：△PAB是等边三角形；
（2）求AC的长．
14．（2018秋 硚口区）如图，AB为⊙O直径，PA、PC分别与⊙O相切于点A、C，PQ⊥PA，PQ交OC的延长线于点Q．
（1）求证：OQ＝PQ；
（2）连BC并延长交PQ于点D，PA＝AB，且CQ＝6，求BD的长．
15．（2024.扬州月考）如图，∠APB＝52°，PA、PB、DE都为⊙O的切线，切点分别为A、B、F，且PA＝6．
（1）求△PDE的周长；
（2）求∠DOE的度数．
中考核心考点 切线长定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2024.金东区）如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．16
【考点】切线长定理．
【答案】A
【分析】根据切线长定理，可得BI＝BG，CI＝CH，DG＝DF，EF＝EH，则C△ADE＝AD+AE+DE＝AD+AE+DF+EF＝AD+DG+EH+AE＝AG+AH＝C△ABC﹣（BG+CH+BC），据此即可求解．
【解答】解：∵AB、AC、BC、DE都和⊙O相切，
∴BI＝BG，CI＝CH，DG＝DF，EF＝EH．
∴BG+CH＝BI+CI＝BC＝9，
∴C△ADE＝AD+AE+DE＝AD+AE+DF+EF＝AD+DG+EH+AE＝AG+AH＝C△ABC﹣（BG+EH+BC）＝25﹣2×9＝7．
故选：A．
【点评】本题考查了切线长定理，理解定理，找出图形中存在的相等的线段是关键．
2．（2024.城关区）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，且分别交PA，PB于点C，D，若PA＝6，则△PCD的周长为（　　）
A．5 B．7 C．12 D．10
【考点】切线长定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】C
【分析】根据切线长定理得到PB＝PA＝6，CA＝CE，DB＝DE，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，PA＝6，
∴PB＝PA＝6，CA＝CE，DB＝DE，
∴△PCD的周长＝PC+CE+PD+DE＝PC+CA+PD+DB＝PA+PB＝12，
故选：C．
【点评】本题考查的是切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．
3．（2024.江门）如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则PA的长为（　　）
A．12 B．6 C．8 D．4
【考点】切线长定理．
【答案】B
【分析】由PA，PB分别和⊙O切于A，B两点与DE是⊙O的切线，根据切线长定理，即可得PA＝PB，DA＝DC，EB＝EC，又由△PDE的周长为12，易求得PA+PB＝12，则可求得答案．
【解答】解：∵PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，
∴PA＝PB，
∵DE是⊙O的切线，
∴DA＝DC，EB＝EC，
∵△PDE的周长为12，
即PD+DE+PE＝PD+DC+EC+PE＝PD+AD+EB+PE＝PA+PB＝2PA＝12，
∴PA＝6．
故选：B．
【点评】此题考查了切线长定理．此题难度不大，解题的关键是熟练应用切线长定理，注意数形结合思想与整体思想的应用．
4．（2024.沧州）如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（　　）
A．9 B．7 C．11 D．8
【考点】切线长定理．
【专题】与圆有关的位置关系．
【答案】C
【分析】设AB，AC，BC，DE和圆的切点分别是P，N，M，Q．根据切线长定理得到NC＝MC，QE＝DQ．所以三角形CDE的周长即是CM+CN的值，再进一步根据切线长定理由三角形ABC的三边进行求解即可．
【解答】解：设AB，AC，BC，DE和圆的切点分别是P，N，M，Q，CM＝x，根据切线长定理，得
CN＝CM＝x，BM＝BP＝9﹣x，AN＝AP＝10﹣x．
则有9﹣x+10﹣x＝8，
解得：x＝5.5．
所以△CDE的周长＝CD+CE+QE+DQ＝2x＝11．
故选：C．
【点评】此题主要是考查了切线长定理．要掌握圆中的有关定理，才能灵活解题．
5．（2024.莆田）如图，AB、AC、BD分别切⊙O于点P、C、D．若AB＝5，AC＝3，则BD的长是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】切线长定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】C
【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AP，BP＝BD，求出BP的长即可求出BD的长．
【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP＝3，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴BD＝PB＝AB﹣AP＝5﹣3＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．
6．（2024.樊城区）如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA的值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】切线长定理．
【答案】A
【分析】直接利用切线长定理得出AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB，进而求出PA的长．
【解答】解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，
∴AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB
∵△PCD的周长等于3，
∴PA+PB＝3，
∴PA．
故选：A．
【点评】此题主要考查了切线长定理，熟练应用切线长定理是解题关键．
7．（2024.邹城市）如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB＝6cm，OC＝8cm，则BE+CG的长等于（　　）
A．13 B．12 C．11 D．10
【考点】切线长定理；勾股定理．
【专题】空间观念；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明∠BOC＝90°，再根据勾股定理即可求得BC的长，再结合切线长定理即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵CD、BC，AB分别与⊙O相切于G、F、E，
∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠BCD，BE＝BF，CG＝CF，
∴∠OBC+∠OCB＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴BC10，
∴BE+CG＝10（cm）．
故选：D．
【点评】此题主要是考查了切线长定理．从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆心和这点的连线平分两条切线的夹角．
二．填空题（共5小题）
8．（2024.深圳一模）如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝108°，则∠COD的度数是　72°　 ．
【考点】切线长定理；多边形内角与外角；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】图形的全等；与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用切线的性质定理结合全等三角形的判定和性质得出∠2+∠3＝∠DOC＝72°．
【解答】解：如图所示：连接圆心与各切点，
在Rt△DEO和Rt△DFO中，
∴Rt△DEO≌Rt△DFO（HL），
∴∠1＝∠2，
同理可得：Rt△AFO≌Rt△AMO，Rt△BMO≌Rt△BNO，Rt△CEO≌Rt△CNO，
∴∠3＝∠4，∠5＝∠7，∠6＝∠8，
∴∠5+∠6＝∠7+∠8＝108°，
∴2∠2+2∠3＝360°﹣2×108°，
∴∠2+∠3＝∠DOC＝72°．
故答案为：72°．
【点评】此题主要考查了切线的性质定理、全等三角形的判定和性质，正确应用切线的性质定理是解题关键．
9．（2024秋 东莞市）如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为　7　 ．
【考点】切线长定理．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由切线长定理得AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF，根据已知条件，先求出BD，即BF的长，再求出CE＝4，即CF的长，求和即可．
【解答】解：∵AB、AC、BC都是⊙O的切线，
∴AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF，
∵AB＝4，AC＝5，AD＝1，
∴AE＝1，BD＝3，CE＝CF＝4，
∴BC＝BF+CF＝3+4＝7．
【点评】本题考查的是切线长定理，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．
10．（2024 凉州区三模）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，点C是AB上一点，过C作⊙O的切线，交PA，PB于点D，E，若PA＝6cm，则△PDE的周长是　12　 cm．
【考点】切线长定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据切线长定理将△PDE的周长转化为切线长即可．
【解答】解：根据切线长定理得：AD＝CD，BE＝CE，PA＝PB，则△PDE的周长＝2PA＝12cm．
【点评】此题主要考查切线长定理的运用能力．
11．（2024.滨城区）如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝10，则⊙O的面积为 　25π　 ．
【考点】切线长定理；正方形的性质；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】计算题；运算能力；推理能力．
【答案】25π
【分析】设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，连接OE，OF，得到四边形OECF是正方形，求得CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，根据全等三角形的性质得到EM＝NF，得到OE＝5，进而求出⊙O的面积．
【解答】解：设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，
连接OE，OF，
则四边形OECF是正方形，
∴CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，
∵∠MON＝90°，
∴∠EOM＝∠FON，
∴△OEM≌△OFN（ASA），
∴EM＝NF，
∴CM+CN＝CE+CF＝10，
∴OE＝5，
∴⊙O的面积为25π，
故答案为：25π．
【点评】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
12．（2022 白银）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝9，CD＝15，则四边形ABCD的周长为　48　 ．
【考点】切线长定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】48．
【分析】根据切线长定理得到AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，得到AD+BC＝AB+CD＝24，根据四边形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，
∴AD+BC＝AB+CD＝24，
∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝24+24＝48，
故答案为：48．
【点评】本题考查的是切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2024.东源县）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC为弦，BC为⊙O的直径，若∠P＝60°，PB＝2cm．
（1）求证：△PAB是等边三角形；
（2）求AC的长．
【考点】切线长定理；解直角三角形的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由切线长定理可得PA＝PB，且∠P＝60°，可得△PAB是等边三角形；
（2）由等边三角形的性质可得PB＝AB＝2cm，∠PBA＝60°，由圆周角定理和切线的性质可得∠CAB＝90°，∠PBC＝90°，由锐角三角函数可求AC的长，
【解答】解：（1）∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴PA＝PB，且∠P＝60°，
∴△PAB是等边三角形；
（2）∵△PAB是等边三角形；
∴PB＝AB＝2cm，∠PBA＝60°，
∵BC是直径，PB是⊙O切线，
∴∠CAB＝90°，∠PBC＝90°，
∴∠ABC＝30°，
∴tan∠ABC，
∴AC＝2cm．
【点评】本题考查了切线长定理，切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质是本题的关键．
14．（2018秋 硚口区）如图，AB为⊙O直径，PA、PC分别与⊙O相切于点A、C，PQ⊥PA，PQ交OC的延长线于点Q．
（1）求证：OQ＝PQ；
（2）连BC并延长交PQ于点D，PA＝AB，且CQ＝6，求BD的长．
【考点】切线长定理；勾股定理；圆周角定理；切线的性质．
【专题】圆的有关概念及性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）欲证明OQ＝PQ，只要证明∠QOP＝∠QPO即可；
（2）设OA＝r．在Rt△PCQ中，利用勾股定理构建方程求出r，再证明四边形OPDB是平行四边形，求出OP即可解决问题；
【解答】（1）证明：连接OP．
∵PA、PC分别与⊙O相切于点A，C，
∴PA＝PC，OA⊥PA，
∵OA＝OC，OP＝OP，
∴△OPA≌△OPC（SSS），
∴∠AOP＝∠POC，
∵QP⊥PA，
∴QP∥BA，
∴∠QPO＝∠AOP，
∴∠QOP＝∠QPO，
∴OQ＝PQ．
（2）设OA＝r．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵OB∥QD，
∴∠QDC＝∠B，
∵∠OCB＝∠QCD，
∴∠QCD＝∠QDC，
∴QC＝QD＝6，∵QO＝QP，
∴OC＝DP＝r，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP＝∠PCQ＝90°，
在Rt△PCQ中，∵PQ2＝PC2+QC2，
∴（6+r）2＝62+（2r）2，
r＝4或0（舍弃），
∴OP4，
∵OB＝PD，OB∥PD，
∴四边形OBDP是平行四边形，
∴BD＝OP＝4．
【点评】本题考查切线长定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
15．（2024.扬州月考）如图，∠APB＝52°，PA、PB、DE都为⊙O的切线，切点分别为A、B、F，且PA＝6．
（1）求△PDE的周长；
（2）求∠DOE的度数．
【考点】切线长定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据切线长定理得到DA＝DF，EB＝EF，PA＝PB＝6，于是得到DE＝DA+EB，即可得到结论；
（2）根据切线的性质得到OB⊥PB，OA⊥PA，∠BOE＝∠FOE∠BOF，∠FOD＝∠AOD∠AOF，根据四边形的内角和得到∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣52°＝128°，即可得到结论．
【解答】解：（1）∵PA、PB、DE都为⊙O的切线，
∴DA＝DF，EB＝EF，PA＝PB＝6，
∴DE＝DA+EB，
∴PE+PD+DE＝PA+PB＝12，
即△PDE的周长为12；
（2）连接OF，
∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、F三点，
∴OB⊥PB，OA⊥PA，∠BOE＝∠FOE∠BOF，∠FOD＝∠AOD∠AOF，
∵∠APB＝52°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣52°＝128°，
∴∠DOE＝∠FOE+∠FOD（∠BOF+∠AOF）∠BOA＝64°．
【点评】主要考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理等几何知识点的应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断．
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