【中考核心考点】2025年北师大版中考数学考前冲刺 确定圆的条件（含解析）

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中考核心考点 确定圆的条件
一．选择题（共7小题）
1．（2024秋 海港区）如图，⊙O中，弦AB的长为，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°，⊙O所在的平面内有一点P，若OP＝2，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定
2．（2024秋 定兴县）已知⊙O的半径为9，点A在⊙O内，则OA的长可能为（　　）
A．13 B．11 C．9 D．7
3．（2024.汕头一模）如图，⊙O是△CDB的外接圆，AB为直径，若∠ABC＝10°，则∠BDC的度数是（　　）
A．90° B．80° C．70° D．60°
4．（2024秋 裕安区）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣4与x轴，y轴分别交于A，B两点，C，D是半径为2的⊙O上两动点，且，P为弦CD的中点，Q为线段AB的中点，当C，D两点在圆上运动时，PQ的最小值是（　　）
A． B．2 C．2 D．1
5．（2024秋 新市区）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，⊙O的半径r＝4，则阴影部分的面积为（　　）
A．4 B．2 C．4π﹣8 D．4π﹣16
6．（2024.雁塔区）如图，△ABC内接于⊙O，点D是弧AB的中点，∠DAB＝25°，则∠C＝（　　）
A．45° B．50° C．55° D．60°
7．（2024秋 邯郸）⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC，CD为⊙O的直径，若∠ACD＝25°，则∠BDC为（　　）
A．25° B．45° C．50° D．60°
二．填空题（共5小题）
8．（2024秋 清苑区）如图，在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（4，3）、C（6，1）．则经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心P的坐标为 　 　 ．
9．（2024.建邺区一模）已知等边三角形的边长为6cm，则它的外接圆半径长为 　 　 cm．
10．（2024秋 谯城区）如图，在⊙O中，△ABC是⊙O的内接三角形，，直径CD⊥AB，垂足为E，连接AD．若DE＝2，则AB的长为 　 　 ．
11．（2024.定海区）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若OA∥CB，∠ACB＝22°，则∠CAB＝ 　 　 ．
12．（2024.山东一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D是弧BC的中点，已知∠AOB＝100°，∠CAB＝60°，则∠ABD＝　 　 度．
三．解答题（共3小题）
13．（2024.庐阳区二模）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，OD⊥AB交半圆AB弧于D，点D与点C分别在直径的两侧，连接CD交AB于E，过点B作CD的平行线交AC延长线于F．
（1）求证：CF＝CB；
（2）若AC＝4，BC＝2，求CD的长．
14．（2024.庆元县一模）如图，三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，连结BO并延长交AC于点E，交⊙O于点D，连结AO，AD，CD．
（1）求证：∠ABC＝∠ADB；
（2）猜想OA与CD的位置关系，并说明理由；
（3）若，求AE的长．
15．（2024.张家口一模）如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆O上一点（不含端点），连接AC，OC，BC，在OC右侧作∠OCD＝∠OCA，DC＝AC．
（1）判断点D与半圆O所在圆的位置关系，并说明理由．
（2）连接DB并延长，与过点C的切线交于点E．
①求∠E的度数；
②若AB＝10，∠CDB＝30°，求与线段BD的长度，并比较大小．
中考核心考点 确定圆的条件
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2024秋 海港区）如图，⊙O中，弦AB的长为，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°，⊙O所在的平面内有一点P，若OP＝2，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定
【考点】点与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】A
【分析】由垂径定理可得AD，由圆周角定理可得∠AOC＝60°，再结合特殊角的正弦值，求出⊙O的半径，即可得到答案．
【解答】解：如图，设OC与AB的交点为D，
∵OC为⊙O的半径，弦AB的长为，且OC⊥AB，
∴，
∵，∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，
在△ADO中，∠ADO＝90°，∠AOD＝60°，
∵sin∠AOD，
∴2，即⊙O的半径为2，
∵OP＝2，
∴点P在⊙O上，
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．
2．（2024秋 定兴县）已知⊙O的半径为9，点A在⊙O内，则OA的长可能为（　　）
A．13 B．11 C．9 D．7
【考点】点与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；运算能力．
【答案】D
【分析】由点A在⊙O内，可知点A到该圆圆心的距离小于其半径，即可得解．
【解答】解：∵⊙O的半径为9，且点A在⊙O内，
∴OA的长小于半径，即OA＜9，
故选：D．
【点评】本题考查点与圆的位置关系．掌握点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外是解题关键．
3．（2024.汕头一模）如图，⊙O是△CDB的外接圆，AB为直径，若∠ABC＝10°，则∠BDC的度数是（　　）
A．90° B．80° C．70° D．60°
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】连接AD，由AB是⊙O的直径，得∠ADB＝90°，而∠ADC＝∠ABC＝10°，所以∠BDC＝∠ADB﹣∠ADC＝80°，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝∠ABC＝10°，
∴∠BDC＝∠ADB﹣∠ADC＝90°﹣10°＝80°，
故选：B．
【点评】此题重点考查同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角等于90°等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
4．（2024秋 裕安区）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣4与x轴，y轴分别交于A，B两点，C，D是半径为2的⊙O上两动点，且，P为弦CD的中点，Q为线段AB的中点，当C，D两点在圆上运动时，PQ的最小值是（　　）
A． B．2 C．2 D．1
【考点】点与圆的位置关系；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；三角形三边关系；勾股定理；三角形中位线定理；垂径定理．
【专题】一次函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】连接OP，利用垂径定理和勾股定理求得OP，则点P在以点O为圆心，为半径的圆上运动，连接OQ，交小⊙O于点F，则QF为PQ的最小值，OF＝OP；利用一次函数的图象与性质求得AB，利用直角三角形的斜边上的中线的性质求得OQ，结论可求．
【解答】解：连接OP，如图，
∵P为弦CD的中点，
∴OP⊥CD，DP＝CP，
∴OP，
∵C，D是半径为2的⊙O上两动点，
∴点P在以点O为圆心，为半径的圆上运动，
连接OQ，交小⊙O于点F，则QF为PQ的最小值，OF＝OP．
∵直线y＝﹣x﹣4与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴A（﹣4，0），B（0，﹣4），
∴OA＝4，OB＝4，
∵∠AOB＝90°，
∴AB＝4，
∵Q为线段AB的中点，
∴OQ，
∴QF＝OQ﹣OF．
∴PQ的最小值是．
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理，点的轨迹，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，斜边上的中线的性质，一次函数的图象与性质，点的坐标的特征，熟练掌握上述性质是解题的关键．
5．（2024秋 新市区）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，⊙O的半径r＝4，则阴影部分的面积为（　　）
A．4 B．2 C．4π﹣8 D．4π﹣16
【考点】三角形的外接圆与外心；扇形面积的计算．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】C
【分析】根据圆周角定理可得∠BOC＝90°，然后根据阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣△BOC的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠A＝45°，
∴∠BOC＝2∠A＝90°，
∵⊙O的半径r＝4，
∴阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣△BOC的面积
OB OC
＝4π4×4
＝4π﹣8，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
6．（2024.雁塔区）如图，△ABC内接于⊙O，点D是弧AB的中点，∠DAB＝25°，则∠C＝（　　）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【考点】三角形的外接圆与外心；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】B
【分析】根据已知易得：，从而可得∠DAB＝∠DBA＝25°，然后利用三角形内角和定理可得∠D＝130°，再利用圆内接四边形对角互补进行计算，即可解答．
【解答】解：∵点D是弧AB的中点，
∴，
∴∠DAB＝∠DBA＝25°，
∴∠D＝180°﹣∠DAB﹣∠DBA＝130°，
∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形，
∴∠C＝180°﹣∠D＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
7．（2024秋 邯郸）⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC，CD为⊙O的直径，若∠ACD＝25°，则∠BDC为（　　）
A．25° B．45° C．50° D．60°
【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质；圆周角定理．
【专题】三角形；圆的有关概念及性质．
【答案】C
【分析】根据直径所对的圆周角为直角，得到∠CAD＝∠CBD＝90°，三角形的内角和求出∠ADC，等弦对等弧，得到，进而得到∠ACB＝∠ADC＝65°，进而求出∠BCD＝40°，再根据三角形的内角和定理求出∠BDC的度数即可．
【解答】解：∵CD为⊙O的直径，
∴∠CAD＝∠CBD＝90°，
∵∠ACD＝25°，
∴∠ADC＝90°﹣∠ACD＝65°，
∵AB＝AC，
∴，
∴∠ACB＝∠ADC＝65°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝40°，
∴∠BDC＝90°﹣∠BCD＝50°；
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，等弦对等弧，掌握以上知识点是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2024秋 清苑区）如图，在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（4，3）、C（6，1）．则经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心P的坐标为 　（2，﹣1）　 ．
【考点】三角形的外接圆与外心；坐标与图形性质；垂径定理；点与圆的位置关系．
【专题】推理能力．
【答案】（2，﹣1）．
【分析】AB的垂直平分线所在的直线为x＝2，可知圆心P在直线x＝2上，设P（2，m），根据PA＝PC，可求点P坐标．
【解答】解：∵A（0，3）、B（4，3），
∴AB的垂直平分线是直线x＝2，
∵经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心为点P，
∴圆心P在直线x＝2上，
设P（2，m），
∵PA＝PC，
∴4+（m﹣3）2＝16+（m﹣1）2，
解得m＝﹣1，
∴P（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
【点评】本题主要考查了三角形的外心，掌握三角形的外心是三边垂直平分线的交点是正确解答此题的关键．
9．（2024.建邺区一模）已知等边三角形的边长为6cm，则它的外接圆半径长为 　2　 cm．
【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】2．
【分析】连接OB、OC，过点O作OH⊥BC于H，根据圆周角定理得到∠BOC＝120°，根据等腰三角形的性质求出∠BOH、BH，再根据正弦的定义计算即可．
【解答】解：如图，连接OB、OC，过点O作OH⊥BC于H，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝120°，
∵OB＝OC，OH⊥BC，
∴∠BOH＝60°，BH＝HCBC＝3cm，
∴OB2（cm），
故答案为：2．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握等边三角形的性质、圆周角定理是解题的关键．
10．（2024秋 谯城区）如图，在⊙O中，△ABC是⊙O的内接三角形，，直径CD⊥AB，垂足为E，连接AD．若DE＝2，则AB的长为 　　 ．
【考点】三角形的外接圆与外心；特殊角的三角函数值；含30度角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；几何直观；推理能力．
【答案】．
【分析】如图：连接OA，由垂径定理可得，再结合圆周角定理可得，然后运用特殊角三角函数值可得，进而得到∠EAO＝30°，即，然后求得OE＝DE＝2、OA＝2OE＝4，再运用勾股定理求得AE，最后结合垂径定理即可解答．
【解答】解：如图：连接OA，
∵直径CD⊥AB，垂足为E，
∴，
∵，
∴，
∴，即∠ACE＝30°，
∵AO＝OC，
∴∠OAC＝∠ACE＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∵∠AEC＝90°，
∴∠EAO＝30°，
∴，
∴点E是OD的中点，即OE＝DE＝2，
∴OA＝2OE＝4，
在直角三角形AOE中，由勾股定理得：，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，含30度角的直角三角形，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
11．（2024.定海区）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若OA∥CB，∠ACB＝22°，则∠CAB＝ 　46°　 ．
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】46°．
【分析】连接OB，根据圆周角定理得∠AOB＝2∠ACB＝44°，然后根据等腰三角形”等边对等角“性质，结合三角形内角和定理得∠OAB＝∠OBA＝68°，接下来根据平行线的性质得∠OAC＝∠ACB＝22°，最后求出∠CAB＝∠OAB﹣∠OAC的值即可．
【解答】解：连接OB，
∵∠ACB＝22°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝2×22°＝44°，
∵OA＝OB，
∴，
∵OA∥CB，
∴∠OAC＝∠ACB＝22°，
∴∠CAB＝∠OAB﹣∠OAC＝68°﹣22°＝46°，
故答案为：46°．
【点评】本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆与外心，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
12．（2024.山东一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D是弧BC的中点，已知∠AOB＝100°，∠CAB＝60°，则∠ABD＝　100　 度．
【考点】三角形的外接圆与外心；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】100．
【分析】接OD，易得∠OAB＝∠OBA，根据三角形内角和定理得∠OBA（180°﹣∠AOB）＝40°，由点D是弧BC的中点得∠BOD＝60°，所以∠OBD＝60°，然后利用∠ABD＝∠OBA+∠OBD进行计算．
【解答】解：连接OD，如图，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠OBA（180°﹣∠AOB）（180°﹣100°）＝40°，
∵点D是弧BC的中点，
∴∠BOD＝∠CAB＝60°，
∴∠OBD＝60°，
∴∠ABD＝∠OBA+∠OBD＝40°+60°＝100°．
故答案为：100．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
三．解答题（共3小题）
13．（2024.庐阳区二模）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，OD⊥AB交半圆AB弧于D，点D与点C分别在直径的两侧，连接CD交AB于E，过点B作CD的平行线交AC延长线于F．
（1）求证：CF＝CB；
（2）若AC＝4，BC＝2，求CD的长．
【考点】三角形的外接圆与外心；平行线的性质；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质．
【答案】（1）证明见解析；（2）3．
【分析】（1）由圆周角定理得到，则由平行线的性质得到∠CBF＝∠BCD＝45°，再证明∠FCB＝90°，则可证明△BCF是等腰直角三角形，则CF＝CB；
（2）过点C作CH⊥AB于H，由勾股定理得，解直角三角形得到，则可求出，，OH，证明△DEO∽△CEH，得到，则，，最后利用勾股定理求出CE，DE的长即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵OD⊥AB，
∴∠BOD＝90°，
∴，
∵BF∥CD，
∴∠CBF＝∠BCD＝45°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠FCB＝180°﹣∠ACB＝90°，
∴△BCF是等腰直角三角形，
∴CF＝CB；
（2）解：如图所示，过点C作CH⊥AB于H，
在 Rt△ABC中，由勾股定理得，
∴sin，，
∵在Rt△HBC中，，，
∴，
∴∠DOE＝∠CHE＝90°，∠DEO＝∠CEH，
∴△DEO∽△CEH，
∴，
∴，OE，
∴CE，DE，
∴CD＝CE+DE＝3．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，圆的相关性质，正确作出辅助线是解题的关键．
14．（2024.庆元县一模）如图，三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，连结BO并延长交AC于点E，交⊙O于点D，连结AO，AD，CD．
（1）求证：∠ABC＝∠ADB；
（2）猜想OA与CD的位置关系，并说明理由；
（3）若，求AE的长．
【考点】三角形的外接圆与外心；解直角三角形；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质．
【答案】（1）见解析；（2）AO∥CD，证明见解析；（3）AE．
【分析】（1）由题意易得∠ABC＝∠ACB，然后根据圆周角的性质可进行求解；
（2）延长AO交BC于点F，由题意易得AF⊥BC，则有∠AFB＝90°，然后问题可求证；
（3）由（2）易得，由可设BF＝x，则 AF＝2x，然后根据勾股定理可得 x＝4，进而可得△AOE∽△CDE，最后根据相似三角形的性质可进行求解．
【解答】（1）证明：∵AB＝BC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ADB；
（2）解：平行，如图，延长AO交BC于点F，
∵AB＝BC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴，即点A为的中点，
∵AO是半径，
∴AF⊥BC，
∴∠AFB＝90°，
∵BD是直径，
∴∠BCD＝90°，
∴AO∥CD；
（3）解：由（2）易得，
∵，
∴设BF＝x，则AF＝2x，
∴OA＝OB＝2x﹣3，
∵BF2+OF2＝OB2，
∴x2+32＝（2x﹣3）2，
解得：x＝4，
∴OA＝5，
∴ABAC，
∵AO∥CD，
∴△AOE∽△CDE，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查圆周角的性质、勾股定理、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握圆周角的性质、勾股定理、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．
15．（2024.张家口一模）如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆O上一点（不含端点），连接AC，OC，BC，在OC右侧作∠OCD＝∠OCA，DC＝AC．
（1）判断点D与半圆O所在圆的位置关系，并说明理由．
（2）连接DB并延长，与过点C的切线交于点E．
①求∠E的度数；
②若AB＝10，∠CDB＝30°，求与线段BD的长度，并比较大小．
【考点】点与圆的位置关系；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；三角形中位线定理；垂径定理；圆周角定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】（1）点D在半圆O所在的圆上，见解析；
（2）①∠E＝90°；②，见解析．
【分析】（1）连接OD，证明△OCD≌△OCA，即可得到结论；
（2）①证明OC∥DE，根据∠OCE＝90°即可得到答案；
②根据弧长公式计算出BC的长度为，证明∠BCD＝∠CDB，得到BC＝BD＝5即可得到结论．
【解答】解：（1）点D在半圆O所在的圆上．
理由如下：如图，连接OD．
∵DC＝AC，∠OCD＝∠OCA，OC＝OC，
∴△OCD≌△OCA（SAS），
∴OD＝OA，
∴点D在半圆O所在的圆上；
（2）①∵点D在半圆O所在的圆上，
∴∠CDE＝∠CAB．
由条件可知∠CDE＝∠OCD，
∴OC∥DE，
由条件可知∠OCE＝90°，
∴∠E＝90°；
②由题意，得∠CAB＝∠CDB＝∠OCA＝∠OCD＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∴BC的长度为，
由条件可知∠ACB＝90°，
∴，∠BCD＝∠ACB﹣∠OCA﹣∠OCD＝30°，
∴∠BCD＝∠CDB，
∴BC＝BD＝5．
∵，
∴．
【点评】本题主要考查了切线的性质、点与圆的位置关系、弧长、全等三角形的判定和锐角三角函数，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
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