【中考核心考点】2025年北师大版中考数学考前冲刺 圆的对称性（含解析）

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中考核心考点 圆的对称性
一．选择题（共7小题）
1．（2024秋 银川）如图，在⊙O中，AB＝CD，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C．AC＝BD D．AD＝BD
2．（2024.灞桥区）如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　）
A．42° B．44° C．46° D．48°
3．（2024.武汉）如图，在⊙O中，点C是的中点，CD垂直平分半径OA，，则该圆的半径为（　　）
A．4 B．2 C． D．
4．（2024.郯城县一模）如图，点A是优弧BC的中点，过点B作AC的垂线交AC于点E，与圆交于点D．若∠BDC＝60°，且AE＝3，则圆的半径为（　　）
A． B．3 C． D．
5．（2024.天心区）如图，A、B、C、D都是⊙O上的点，若CD＝BD，∠AOC＝108°，则∠AOD＝（　　）
A．140° B．144° C．146° D．150°
6．（2024.芜湖一模）图1是一个球形烧瓶，图2是这个球形烧杯下半部分的平面示意图，若D为的中点，∠AOB＝100°，则∠AOD＝（　　）
A．100° B．60° C．50° D．40°
7．（2024秋 五河县）下列说法：
①直径是弦；
②弧是半圆；
③同圆或等圆中，相等的弦所对弦心距相等；
④同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；
⑤同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．其中正确的说法有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共5小题）
8．（2024.洪泽区一模）在⊙O中，弦AB＝2cm，圆心角∠AOB＝60°，则⊙O的直径为　 　 cm．
9．（2025春 新吴区月考）如图，AB是⊙O的直径，∠E＝35°，则∠BOD＝　 　 ．
10．（2024秋 巴南区）如图，⊙O为四边形ADBC的外接圆，AB＝AC，若D是的中点，且DE＝2，AC＝8，则⊙O的半径为 　 　 ，BC＝ 　 　 ．
11．（2023秋 门头沟区）如图，在⊙O中，，∠BDC＝20°，则∠AOB的度数是 　 　 ．
12．（2024秋 思明区）如图，AB是直径，，∠BOC＝40°，∠AOE的度数是 　 　 ．
三．解答题（共3小题）
13．（2024.利辛县一模）如图，点A，B，C，D在⊙O在中，若BC＝AD，
求证：AC＝BD．
14．（2024.桑植县一模）如图：，D、E分别是半径OA和OB的中点，求证：CD＝CE．
15．（2024秋 随州）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC与OB交于点D．若AD＝CD＝4，OD＝3，求BD的长．
中考核心考点 圆的对称性
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2024秋 银川）如图，在⊙O中，AB＝CD，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C．AC＝BD D．AD＝BD
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【答案】D
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得出，，AC＝BD，即可得出选项．
【解答】解：∵AB＝CD，
∴，
∴，
即，
∴AC＝BD，
∵和无法确定相等，
∴无法判断AD＝BD，
故选：D．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解此题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系．
2．（2024.灞桥区）如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　）
A．42° B．44° C．46° D．48°
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】D
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC＝∠BOD＝84°，再根据等腰三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图，连接OA，
∵AB＝CD，
∴，
∴，
∴，
∴∠AOC＝∠BOD＝84°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO（180°﹣∠AOC）（180°﹣84°）＝48°，
故选：D．
【点评】此题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握圆心角、弧的关系是解题的关键．
3．（2024.武汉）如图，在⊙O中，点C是的中点，CD垂直平分半径OA，，则该圆的半径为（　　）
A．4 B．2 C． D．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；线段垂直平分线的性质．
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】连接AC，BC，OB，OC，设OD＝a，证明△OAC是等边三角形得AC＝OA＝OB＝2a，∠OCD＝30°，进而得CD，再证明△OBC是等边三角形得OB＝OC＝BC＝2a，∠OCB＝60°，则∠BCD＝90°，然后在Rt△BCD中，由勾股定理求出a＝2，继而可得⊙O半径．
【解答】解：连接AC，BC，OB，OC，如图所示：
∴OA＝OC＝OB，
设OD＝a，
∵CD垂直平分半径OA，
∴AC＝OC，AD＝OA＝a，
∴OA＝OC＝AC＝2a，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠OCA＝60°，
∴∠OCD∠OCA＝30°，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：CD，
∵点C是弧AB的中点，
∴AC＝BC，
∴OB＝OC＝BC，
∴△OBC是等边三角形，
∵OB＝OC＝BC＝2a，∠OCB＝60°，
∴∠BCD＝∠OCB+∠OCD＝60°+30°＝90°，
∴△BCD是直角三角形，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：CD2+BC2＝BD2，
∵BD，
∴（，
整理得：a2＝4，
解得：a＝2，a＝﹣2（不合题意，舍去），
∴OA＝2a＝4，
即该圆的半径为4．
故选：A．
【点评】此题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，线段垂直平分线的性质，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．
4．（2024.郯城县一模）如图，点A是优弧BC的中点，过点B作AC的垂线交AC于点E，与圆交于点D．若∠BDC＝60°，且AE＝3，则圆的半径为（　　）
A． B．3 C． D．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】A
【分析】连接BC，首先根据圆周角定理得到∠A＝∠D＝60°，然后得到∠ABE＝30°，AC＝AB＝2AE＝6，证明出△ABE≌△CBE（SAS），BD是圆的直径，最后利用勾股定理求解即可．
【解答】解：如图所示，连接BC，
∴∠A＝∠D＝60°，
∵BD⊥AC，
∴∠ABE＝30°，
∴AB＝2AE＝6，
∵点A是优弧BC的中点，
∴AB＝AC，
∴AC＝2AE＝6，
∴AE＝CE，
∵∠AEB＝∠CEB＝90°，BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴∠ABE＝∠CBE＝30°，BC＝AB＝6，
∵∠BDC＝60°，
∴∠BCD＝90°，
∴BD是圆的直径，
∵BD＝2CD，BC2+CD2＝BD2，
∴62+CD2＝（2CD）2，
∴，
∴，
∴圆的直径为，
∴圆的半径为．
故选：A．
【点评】本题考查圆周角定理和垂径定理，勾股定理等知识，作出合适的辅助线是解题的关键．
5．（2024.天心区）如图，A、B、C、D都是⊙O上的点，若CD＝BD，∠AOC＝108°，则∠AOD＝（　　）
A．140° B．144° C．146° D．150°
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】B
【分析】先利用平角的定义计算出∠BOC＝72°，再根据圆心角、弧、弦的关系，由CD＝BD得到∠BOD＝∠COD＝36°，然后计算∠AOC+∠COD即可．
【解答】解：∵∠AOC＝108°，
∴∠BOC＝180°﹣108°＝72°，
∵CD＝BD，
∴∠BOD＝∠COD∠BOC＝36°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝108°+36°＝144°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
6．（2024.芜湖一模）图1是一个球形烧瓶，图2是这个球形烧杯下半部分的平面示意图，若D为的中点，∠AOB＝100°，则∠AOD＝（　　）
A．100° B．60° C．50° D．40°
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】C
【分析】根据即可得出答案．
【解答】解：由题意可得：，
∴，
∵∠AOB＝100°，
∴，
故答案为：C．
【点评】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，熟知等弧所对的圆心角相等是正确解决本题的关键．
7．（2024秋 五河县）下列说法：
①直径是弦；
②弧是半圆；
③同圆或等圆中，相等的弦所对弦心距相等；
④同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；
⑤同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．其中正确的说法有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆的认识．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】B
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系进行判断即可．
【解答】解：①直径是弦，正确，符合题意；
②弧是圆的一部分，不一定是半圆，原说法错误，不符合题意；
③同圆或等圆中，相等的弦所对弦心距相等，正确，符合题意；
④在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧有优弧和劣弧两段，不一定相等，原说法错误，不符合题意；
⑤同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，符合题意，
综上所述，正确的序号是①③⑤．
故选：B．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，圆的认识，熟知以上知识是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2024.洪泽区一模）在⊙O中，弦AB＝2cm，圆心角∠AOB＝60°，则⊙O的直径为　4　 cm．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；等边三角形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意画出图形，再由等边三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：如图所示，
∵在⊙O中AB＝2cm，圆心角∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA＝AB＝2cm，
∴⊙O的直径＝2OA＝4cm．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
9．（2025春 新吴区月考）如图，AB是⊙O的直径，∠E＝35°，则∠BOD＝　110°　 ．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】110°．
【分析】依据题意，由圆周角定理得到∠AOD＝2∠E＝70°，由邻补角的性质求出∠BOD＝180°﹣70°＝110°．
【解答】解：∵∠E＝35°，
∴∠AOD＝2∠E＝70°，
∴∠BOD＝180°﹣70°＝110°．
故答案为：110°．
【点评】本题主要考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出∠AOD＝2∠E．
10．（2024秋 巴南区）如图，⊙O为四边形ADBC的外接圆，AB＝AC，若D是的中点，且DE＝2，AC＝8，则⊙O的半径为 　5　 ，BC＝ 　　 ．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】5，．
【分析】连接AO并延长交BC于H点，连接OB，如图，设⊙O的半径为r，则OA＝OD＝r，OE＝r﹣2，根据垂径定理的推论得OD⊥AB，则AE＝BE＝4，在Rt△AOE中利用勾股定理得到（r﹣2）2+42＝r2，解方程得到⊙O的半径为5，再利用圆心角、弧、弦的关系，由AB＝AC得到，接着根据垂径定理的推论得到H⊥BC，BH＝CH，然后利用勾股定理得到BH2+OH2＝52，BH2+（5+OH）2＝82，则解方程组可求出BH，从而得到BC的长．
【解答】解：连接AO并延长交BC于H点，连接OB，如图，设⊙O的半径为r，则OA＝OD＝r，OE＝r﹣2，
∵AC＝8，
∴AB＝8，
∵D是的中点，
∴OD⊥AB，
∴AE＝BEAB＝4，
在Rt△AOE中，（r﹣2）2+42＝r2，
解得r＝5，
即⊙O的半径为5，
∵AB＝AC，
∴，
∴AH⊥BC，
∴BH＝CH，
在Rt△OBH中，BH2+OH2＝52①，
在Rt△ABH中，BH2+AH2＝AB2，
即BH2+（5+OH）2＝82②，
②﹣①得25+10OH＝64﹣25，
解得OH，
∴BH，
∴BC＝2BH．
故答案为：5，．
【点评】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和勾股定理．
11．（2023秋 门头沟区）如图，在⊙O中，，∠BDC＝20°，则∠AOB的度数是 　40°　 ．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】40°．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理即可求解．
【解答】解：∵AB＝BC，
∴，
∴∠AOB＝2∠BDC，
∵∠BDC＝20°，
∴∠AOB＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，理解定理是关键．
12．（2024秋 思明区）如图，AB是直径，，∠BOC＝40°，∠AOE的度数是 　60°　 ．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】60°．
【分析】根据同圆中等弧所对的圆心角相等得到∠DOE＝∠COD＝∠BOC＝40°，再根据平角的定义可得答案．
【解答】解：∵，∠BOC＝40°，
∴∠DOE＝∠COD＝∠BOC＝40°，
∴∠AOE＝180°﹣∠DOE﹣∠COD﹣∠BOC＝60°，
故答案为：60°．
【点评】本题主要考查了圆心角、弧、弦之间的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2024.利辛县一模）如图，点A，B，C，D在⊙O在中，若BC＝AD，
求证：AC＝BD．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；全等三角形的判定与性质．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】见解析．
【分析】根据BC＝AD，得，所以，根据圆心角、弧、弦的关系定理即可得出结论．
【解答】证明：∵BC＝AD，
∴，
∴，
即，
∴AC＝BD．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．
14．（2024.桑植县一模）如图：，D、E分别是半径OA和OB的中点，求证：CD＝CE．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；全等三角形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接OC，构建全等三角形△COD和△COE；然后利用全等三角形的对应边相等证得CD＝CE．
【解答】证明：连接OC．
在⊙O中，∵
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OA＝OB，D、E分别是半径OA和OB的中点，
∴OD＝OE，
∵OC＝OC（公共边），
∴△COD≌△COE（SAS），
∴CD＝CE（全等三角形的对应边相等）．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及全等三角形的判定与性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
15．（2024秋 随州）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC与OB交于点D．若AD＝CD＝4，OD＝3，求BD的长．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】2．
【分析】利用AD＝CD＝4得到OB⊥AC，再结合勾股定理求出半径，即可得到BD的长．
【解答】解：由AD＝CD＝4，
∴OB⊥AC．
∵OD＝3，
∴OA＝5，
∵OB＝OA＝5，
∴BD＝OB﹣OD＝5﹣3＝2．
所以BD的长为2．
【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
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