【中考核心考点】2025年北师大版中考数学考前冲刺 正多边形和圆（含解析）

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中考核心考点 正多边形和圆
一．选择题（共7小题）
1．（2024.献县）如图，正六边形ABCDEF的边长为，以顶点A为圆心，AB长为半径画圆，则图中扇形BAF的面积是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024.江海区一模）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：通过圆内接正多边形割圆，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．如图，由圆内接正六边形可算出π≈3．若利用圆内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率π约为（　　）
A．12sin30° B．12cos30° C．12sin15° D．12cos15°
3．（2024秋 怀仁市）如图，购物车和物品放在一起的形状可以近似看作正五边形，已知正五边形ABCDE，连接EC，则∠CEA的度数为（　　）
A．50° B．60° C．62° D．72°
4．（2024秋 襄都区）⊙O是边长为4的正六边形ABCDEF的外接圆，点M在上，连接BM，则BM的长可以是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．9
5．（2024.德州一模）如图，AB、AC分别是某圆内接正六边形、正五边形的一边．则∠BAC的度数是（　　）
A．4° B．5° C．6° D．12°
6．（2024秋 迪庆州）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM为（　　）
A．4 B． C． D．
7．（2024秋 绵阳）如图，边长为2的正六边形ABCDEF中，O为正六边形ABCDEF的中心，M、N分别为AB边和CD边上的点，且∠MON＝120°，则阴影部分的面积为（　　）
A．1 B． C．2 D．
二．填空题（共5小题）
8．（2024.建邺区一模）如图，在正八边形ABCDEFGH中，对角线CG，BE交于点P，则∠GPE＝ 　 　 °．
9．（2024.海陵区一模）如图，点O是边长为1的正六边形的中心，以OA为半径的扇形的圆心角∠AOB＝60°，，则阴影部分的面积为　 　 ．
10．（2024.合肥二模）如图，在正n边形中，∠1＝18°，则n的值是　 　 ．
11．（2024.沛县二模）如图，⊙O与正五边形OABCD的边OA，OD分别交于点E，F，则劣弧所对的圆周角∠EPF的大小为 　 　 °．
12．（2024秋 韩城市）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，作OF⊥BC交⊙O于点F，连接FA，则∠OFA＝ 　 　 °．
三．解答题（共3小题）
13．（2024.邯郸）如图，在正六边形ABCDEF中，点M是边DE的中点，连接AM并延长交CD延长线于N点．
（1）求证：AF∥CN；
（2）若AF＝2，求DN的长．
14．（2024秋 馆陶县）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧AD中点，连接BM，CM．
（1）求证：BM＝CM；
（2）连接OB、OM，求∠BOM的度数．
15．（2023秋 上城区）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接AD、CE交于点G，DG＝2．
（1）求正六边形ABCDEF的边长；
（2）求阴影部分的面积．
中考核心考点 正多边形和圆
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2024.献县）如图，正六边形ABCDEF的边长为，以顶点A为圆心，AB长为半径画圆，则图中扇形BAF的面积是（　　）
A． B． C． D．
【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算．
【专题】圆的有关概念及性质．
【答案】B
【分析】根据正六边形的性质求出∠A的度数，再由扇形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴，，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键．
2．（2024.江海区一模）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：通过圆内接正多边形割圆，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．如图，由圆内接正六边形可算出π≈3．若利用圆内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率π约为（　　）
A．12sin30° B．12cos30° C．12sin15° D．12cos15°
【考点】正多边形和圆；解直角三角形．
【专题】正多边形与圆；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据正多边形和圆的性质以及直角三角形的边角关系计算正多边形的周长与直径的比值即可．
【解答】解：如图，连接OA1，OA2，过点O作OM⊥A1A2，垂足为M，设⊙O的半径为R，
∵十二边形A1A2…A12是圆内接正十二边形，
∴∠A1OA230°，
又∵OA1＝OA2，OM⊥A1A2，
∴∠A1OM＝15°，
在Rt△A1OM中，∠A1OM＝15°，OA1＝R，
∴A1M＝R sin15°，
∴A1A2＝2A1M＝2R sin15°，
∴正十二边形A1A2…A12的周长为12A1A2＝2R sin15°×12，
∴π12sin15°，
故选：C．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正十二边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
3．（2024秋 怀仁市）如图，购物车和物品放在一起的形状可以近似看作正五边形，已知正五边形ABCDE，连接EC，则∠CEA的度数为（　　）
A．50° B．60° C．62° D．72°
【考点】正多边形和圆；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；正多边形与圆；推理能力．
【答案】D
【分析】根据正五边形ABCDE的性质得出DE＝DC，∠D＝∠DEA＝108°，再根据三角形内角和定理、等边对等角求出∠DEC＝∠DCE，即可求出∠CEA的度数．
【解答】
解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴DE＝DC，∠D＝∠DEA108°，
∴∠DEC＝∠DCE36°，
∴∠CEA＝∠DEA﹣∠DEC＝108°﹣36°＝72°，
故选：D．
【点评】本题考查了正多边形与圆，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．
4．（2024秋 襄都区）⊙O是边长为4的正六边形ABCDEF的外接圆，点M在上，连接BM，则BM的长可以是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．9
【考点】正多边形和圆；勾股定理．
【专题】正多边形与圆．
【答案】C
【分析】连接BE，BD，过点C作CH⊥BD于点H，则BM的长介于BE和BD之间，分别求出BE和BD的长，再结合选项即可得到问题答案．
【解答】解：连接BE，BD，过点C作CH⊥BD于点H，
由题意可得：∠BCD＝∠CDE＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，
∴∠CBH＝∠CDB＝30°，∠BDE＝90°，
∴，
由勾股定理可得：
，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了正多边形，以及勾股定理等知识，正确进行计算是解题关键．
5．（2024.德州一模）如图，AB、AC分别是某圆内接正六边形、正五边形的一边．则∠BAC的度数是（　　）
A．4° B．5° C．6° D．12°
【考点】正多边形和圆；圆周角定理．
【专题】正多边形与圆；运算能力．
【答案】C
【分析】根据正多边形内角的计算方法进行计算即可．
【解答】解：由题意得，
∠BAC（）
（120°﹣108°）
12°
＝6°．
故选：C．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正五边形、正六边形内角的计算方法是正确解答的关键．
6．（2024秋 迪庆州）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM为（　　）
A．4 B． C． D．
【考点】正多边形和圆．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】B
【分析】连接OB、OC，证明△OBC是等边三角形，得出BC＝OB＝2，由垂径定理求出BM，再由勾股定理求出OM即可．
【解答】解：连接OB、OC，如图所示：
则∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝6，
∵OM⊥BC，
∴BM＝CMBC＝3，
∴OM3，
故选：B．
【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出BM是解决问题的关键．
7．（2024秋 绵阳）如图，边长为2的正六边形ABCDEF中，O为正六边形ABCDEF的中心，M、N分别为AB边和CD边上的点，且∠MON＝120°，则阴影部分的面积为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【考点】正多边形和圆．
【专题】正多边形与圆；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】由正六边形的性质可得△BOC和△COD为等边三角形，进而可得，再证明△OBM≌△ODN（ASA），得到S△OBM≌S△ODN，即得S阴影＝2S△OBC，据此即可求解．
【解答】解：边长为2的正六边形ABCDEF中，O为正六边形ABCDEF的中心，如图，连接OB、OC、OD，过点O作OH⊥BC于H，
∴∠BOC＝∠COD＝60°，OB＝OC＝OD，∠ABC＝120°，
∴△BOC和△COD为等边三角形，∠BOD＝120°，
∴OB＝BC＝2，∠OBC＝∠ODC＝60°，
∴∠OBM＝120°﹣60°＝60°，
∴∠OBM＝∠ODN，
∵OH⊥BC，
∴，
∴，
∵∠MON＝120°，∠BOD＝120°，
∴∠BOM+∠BON＝∠DON+∠BON，
∴∠BOM＝∠DON，
在△OBM和△ODN中，
，
∴△OBM≌△ODN（ASA），
∴S△OBM≌S△ODN，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握正六边形的性质是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2024.建邺区一模）如图，在正八边形ABCDEFGH中，对角线CG，BE交于点P，则∠GPE＝ 　67.5　 °．
【考点】正多边形和圆．
【专题】正多边形与圆；推理能力．
【答案】67.5．
【分析】根据正八边形的性质得出CG是它的一条对称轴，BE∥CD，∠BCD＝135°，即可得出∠DCG的度数，从而求出∠GPE的度数．
【解答】解：∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴CG是它的一条对称轴，BE∥CD，∠BCD135°，
∴∠DCG∠BCD＝67.5°，
∴∠GPE＝∠DCG＝67.5°，
故答案为：67.5．
【点评】本题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．
9．（2024.海陵区一模）如图，点O是边长为1的正六边形的中心，以OA为半径的扇形的圆心角∠AOB＝60°，，则阴影部分的面积为　　 ．
【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算．
【专题】正多边形与圆；与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】根据正六边形的性质，全等三角形的判定和性质以及扇形面积、三角形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：如图，设正六边形的边长CD，连接OC，OD，则∠COD＝60°，OC＝OD＝CD＝1，
∵∠AOB＝60＝∠COM＝∠CON，∠COD＝60°＝∠DON+∠CON，
∴∠COM＝∠DON，
∵∠ODN＝∠OCM，OC＝OD，
∴△COM≌△DON（ASA），
∴S四边形OMCN＝S△COD，
∴S阴影部分＝S扇形OAB﹣S四边形OMCN
＝S扇形OAB﹣S△COD
1
．
故答案为：．
【点评】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，掌握正六边形的性质，扇形面积的计算方法是正确解答的关键．
10．（2024.合肥二模）如图，在正n边形中，∠1＝18°，则n的值是　20　 ．
【考点】正多边形和圆．
【专题】正多边形与圆；几何直观；推理能力．
【答案】20．
【分析】根据圆周角定理求出中心角的度数，求出n的值即可．
【解答】解：在正n边形中，∠1＝18°，如图，点O为外接圆的圆心，连接OA，OB，OC，
∴∠AOC＝2∠1＝36°，∠AOB＝∠BOC，
∴∠AOB＝18°，
∴；
故答案为：20．
【点评】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是熟练掌握正n边形的内角和定理．
11．（2024.沛县二模）如图，⊙O与正五边形OABCD的边OA，OD分别交于点E，F，则劣弧所对的圆周角∠EPF的大小为 　54　 °．
【考点】正多边形和圆；圆周角定理．
【专题】正多边形与圆；与圆有关的计算；几何直观；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先求得正五边形OABCD的内角的度数，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案．
【解答】解：∵五边形OABCD是正五边形，
∴，
即∠EOF＝108°，
∴．
故答案为：54．
【点评】此题考查了圆周角定理与正五边形的性质，解答本题的关键是注意掌握正五边形内角的求法与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用，注意数形结合思想的应用．
12．（2024秋 韩城市）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，作OF⊥BC交⊙O于点F，连接FA，则∠OFA＝ 　36　 °．
【考点】正多边形和圆；多边形内角与外角；圆周角定理．
【专题】正多边形与圆；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接OA，OB，OB交AF于J．由垂径定理得出∠AOB＝72°，∠BOF＝36°，由等腰三角形的性质得出答案．
【解答】解：连接OA，OB，OB交AF于J．
∵OF⊥BC，
∴，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB＝72°，∠BOF＝36°，
∴∠AOF＝108°，
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA＝∠FOJ＝36°，
故答案为：36．
【点评】本题考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，垂径定理，圆周角定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2024.邯郸）如图，在正六边形ABCDEF中，点M是边DE的中点，连接AM并延长交CD延长线于N点．
（1）求证：AF∥CN；
（2）若AF＝2，求DN的长．
【考点】正多边形和圆；相似三角形的判定与性质；平行线的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；正多边形与圆；几何直观；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）连接BE，利用正六边形的对称性质证出∠FEB＝∠BED＝60°，然后得出AF∥BE，CN∥BE，进而即可得解；
（2）延长AF、DE交于G点，先证出△GEF是等边三角形，再证出AG＝4，GM＝3，DM＝1，由△AGM∽△NDM得出，代入计算即可得解．
【解答】解：（1）六边形ABCDEF是正六边形，如图1，连接BE，
∴∠F＝∠CDE＝∠DEF＝120°，BE是正六边形的对称轴，
∴∠FEB＝∠BED＝60°，
∴∠F+∠FEB＝180°，
∴AF∥BE，
同理可证CN∥BE，
∴AF∥CN；
（2）延长AF、DE交于G点，如图2，
∴∠GFE＝∠GEF＝60°，
∴△GEF是等边三角形，
∴FG＝GE＝EF＝AF＝2，
∴AG＝4，GM＝3，DM＝1，
∵AF∥CN，
∴△AGM∽△NDM，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆，平行线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键．
14．（2024秋 馆陶县）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧AD中点，连接BM，CM．
（1）求证：BM＝CM；
（2）连接OB、OM，求∠BOM的度数．
【考点】正多边形和圆；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；垂径定理；圆周角定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；正多边形与圆；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）∠BOM的度数是135°．
【分析】（1）由AB＝DC，得，而，可推导出，则BM＝CM；
（2）连接OB、OM、OC，由∠BOC360°＝90°，得∠BOM+∠COM＝270°，由BM＝CM，得∠BOM＝∠COM，则2∠BOM＝270°，求得∠BOM＝135°．
【解答】（1）证明：∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴AB＝DC，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴BM＝CM．
（2）解：连接OB、OM、OC，
∵∠BOC360°＝90°，
∴∠BOM+∠COM＝360°﹣∠BOC＝270°，
∵BM＝CM，
∴∠BOM＝∠COM，
∴2∠BOM＝270°，
∴∠BOM＝135°，
∴∠BOM的度数是135°．
【点评】此题重点考查正方形的性质、正多边形与圆等知识，推导出是解题的关键．
15．（2023秋 上城区）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接AD、CE交于点G，DG＝2．
（1）求正六边形ABCDEF的边长；
（2）求阴影部分的面积．
【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算．
【专题】正多边形与圆；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】（1）4；
（2）4．
【分析】（1）根据圆内接正六边形的性质以及正三角形的性质进行计算即可；
（2）由扇形面积、三角形面积公式以及图形中各个部分面积之间的关系进行计算即可．
【解答】解：（1）如图，连接OC，则CG⊥OD，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴△COD是正三角形，
∴∠COD＝60°，
∵CG⊥OD，
∴OG＝DGOD＝2，
∴OC＝2OG＝4，
即正六边形的边长为4；
（2）在Rt△COD中，OG＝2，∠COG＝60°，
∴CGOG＝2，
∴S阴影部分＝S扇形COD﹣S△COD
4×2
4．
【点评】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，掌握正多边形和圆的性质，以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键．
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