【中考核心考点】2025年北师大版中考数学考前冲刺 直角三角形的边角关系（含解析）

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中考核心考点 直角三角形的边角关系
一．选择题（共7小题）
1．（2024.深圳二模）如图，某条楼梯及栏杆可以看作直角三角形ABC与平行四边形ACDE构成，若∠D＝59°，则该楼梯的坡角∠BAC的值为（　　）
A．59° B．41° C．31° D．49°
2．（2024.台江区）如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为α的位置OA1释放到OA处时，两次位置的高度差PA＝h．则秋千绳索OA的长为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025春 定海区）某河堤横断面如图所示，堤高BC＝10米，迎水坡AB的坡比是（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（　　）
A．米 B．20米 C．米 D．30米
4．（2024.西山区）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则sinA＝（　　）
A． B． C． D．
5．（2024.五华区一模）如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，则下列结论不正确的是（　　）
A．△ABC是直角三角形 B．
C． D．tanC＝2
6．（2024.郑州）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（　　）
A．155° B．125° C．115° D．65°
7．（2024.宝安区）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为60°，然后向后走190米，到达C处，此时看塔顶A，仰角为30°，则该主塔的高度是（　　）
A．95米 B．米 C．190米 D．米
二．填空题（共5小题）
8．（2024秋 海港区）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60°，BC＝8m，则旗杆AC的高度为　 　 m．
9．（2024.兴庆区）为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知∠ABE＝70°，车轮半径为33cm，当BC＝60cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为　 　 cm．（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.74）
10．（2024.湖北）如图是小区内一小山的等高线示意图，小明同学计划利用这个等高线示意图计算AB的距离，他在点B处测得A处的俯角为30°，则AB＝　 　 m．
11．（2024.深圳二模）深圳某校数学创新小组使用圭表测量正午太阳高度角，圭表由铅垂的表AB（高2.0米）和水平的圭BC组成．冬至日正午，测得太阳光线AD与圭BC的夹角∠ADB＝44°，则冬至日正午表AB落在圭面BC的影长BD为　 　 米．（精确到0.1米，参考数据：sin44°≈0.69，cos44°≈0.71，tan44°≈0.97）
12．（2024.海勃湾区）如图，一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是 　 　 海里．
三．解答题（共3小题）
13．（2024秋 埇桥区）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝13，AD是BC边上的高，AD＝4．求CD和sinC．
14．（2024秋 埇桥区）如图，一艘渔船在海面上航行，准备要停靠到渔港C，渔船航行到A处时，测得渔港C在北偏东60°方向上，为了躲避A、C之间的暗礁，这艘渔船调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东67°方向航行30海里到达渔港C．求渔船从A到C的直线距离．（结果精确到0.1海里，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，
15．（2024.河北）图﹣1是一款可旋转的太阳能路灯，太阳能光伏板面向太阳，且随太阳的升起到落下方向旋转，图﹣2是其侧面示意图，线段AB表示路灯的灯支架，PM为路灯灯杆．线段CD为太阳能光伏板，可绕点P旋转，CD＝1m，AB＝2m，∠BAM＝120°．（图中所有点均在同一平面）（参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，．结果精确到0.1m）
（1）当C，D，B三点共线时，∠DPM＝80°，求PA的长度；
（2）若某一时刻太阳光线与地面l的夹角为60°时，恰好太阳能光伏板CD与PM所成夹角∠DPM＝60°，求太阳能光伏板CD落在地面l上的影子EF的长．
中考核心考点 直角三角形的边角关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2024.深圳二模）如图，某条楼梯及栏杆可以看作直角三角形ABC与平行四边形ACDE构成，若∠D＝59°，则该楼梯的坡角∠BAC的值为（　　）
A．59° B．41° C．31° D．49°
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；平行四边形的性质．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】C
【分析】先根据平行线的性质求出∠ACB，再根据直角三角形的两锐角互余求出∠BAC．
【解答】解：∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AC∥DE，
∴∠ACB＝∠D＝59°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣59°＝31°，
故选：C．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握平行四边形的性质、直角三角形的性质是解题的关键．
2．（2024.台江区）如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为α的位置OA1释放到OA处时，两次位置的高度差PA＝h．则秋千绳索OA的长为（　　）
A． B． C． D．
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】A
【分析】由题意可知，OA＝OA1，再根据余弦的定义求解即可．
【解答】解：由题意可知，OA＝OA1，
∵cosα，
∴OA1，
又∵OP＝OA﹣PA＝OA1﹣PA＝OA1﹣h，
∴OA，
∴OA＝OA1，
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟记三角形函数的定义是解题的关键．
3．（2025春 定海区）某河堤横断面如图所示，堤高BC＝10米，迎水坡AB的坡比是（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（　　）
A．米 B．20米 C．米 D．30米
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】运算能力．
【答案】A
【分析】由堤高BC＝10米，迎水坡AB的坡比，根据坡度的定义，即可求得AC的长．
【解答】解：∵迎水坡AB的坡比，
∴，
∵堤高BC＝10米，
∴（米）．
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡比的概念是解题的关键．
4．（2024.西山区）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则sinA＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】由勾股定理求出BC＝8，由锐角的正弦定义即可求出sinA的值．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，
∴BC8，
sinA．
故选：A．
【点评】本题考查锐角三角函数定义，关键是掌握锐角的正弦定义．
5．（2024.五华区一模）如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，则下列结论不正确的是（　　）
A．△ABC是直角三角形 B．
C． D．tanC＝2
【考点】解直角三角形；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据勾股定理得出AB，AC，BC的长，进而利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，然后结合解直角三角函数的性质进而解答即可．
【解答】解：由勾股定理得：，，，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴，，，
故选：C．
【点评】此题考查的是解直角三角形，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
6．（2024.郑州）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（　　）
A．155° B．125° C．115° D．65°
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意结合图形可知β是重力G与斜面形成的三角形的外角，从而可求得β的度数．
【解答】解：∵重力G的方向竖直向下，
∴重力G与水平方向夹角为90°，
由题意可得：
∴β＝∠1＝α+90°＝115°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，正确进行计算是解题关键．
7．（2024.宝安区）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为60°，然后向后走190米，到达C处，此时看塔顶A，仰角为30°，则该主塔的高度是（　　）
A．95米 B．米 C．190米 D．米
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】该主塔为AD＝x，在Rt△ABD中，利用正切函数的定义求得，同理，在Rt△ACD中，求得，根据CD﹣BD＝190，列出方程求解即可．
【解答】解：如图，该主塔为AD＝x，
由题意，得：∠ADC＝90°，BC＝190，∠ACD＝30°，∠ABD＝60°，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵BC＝CD﹣BD＝190，
∴，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形的实际应用，正确进行计算是解题关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2024秋 海港区）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60°，BC＝8m，则旗杆AC的高度为　　 m．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；几何直观．
【答案】．
【分析】在Rt△ABC中，tan∠ABC＝tan60°，可得AC＝BC tan60°m．
【解答】解：在Rt△ABC中，tan∠ABC＝tan60°，
∴AC＝BC tan60°（m）．
故答案为：．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
9．（2024.兴庆区）为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知∠ABE＝70°，车轮半径为33cm，当BC＝60cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为　89　 cm．（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.74）
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】89．
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，作CH⊥AB于H，作AP⊥地面于P，利用三角函数求出CH+AP即可．
【解答】解：如图2，作CH⊥AB于H，作AP⊥地面于P，
∵∠ABE＝70°，车轮半径为33cm，BC＝60cm，
∴AP＝33cm，
∴CH＝BC sin70°≈60×0.94＝56.4（cm），
∴坐垫C离地面高度约为56.4+33≈89（cm），
故答案为：89．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
10．（2024.湖北）如图是小区内一小山的等高线示意图，小明同学计划利用这个等高线示意图计算AB的距离，他在点B处测得A处的俯角为30°，则AB＝　100　 m．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】100．
【分析】根据由等高线可知A、B两地的高度差为50米，然后点B处测得A处的俯角为30°求值即可．
【解答】解：作示意图如下：
由题意知：A、B两地的实际高度差为AH：550﹣500＝50（m），∠B＝30°，∠AHB＝90°，
∴sinB，即sin30°，
解得：AB＝100，
故答案为：100．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是根据题意，作出直角三角形解决问题．
11．（2024.深圳二模）深圳某校数学创新小组使用圭表测量正午太阳高度角，圭表由铅垂的表AB（高2.0米）和水平的圭BC组成．冬至日正午，测得太阳光线AD与圭BC的夹角∠ADB＝44°，则冬至日正午表AB落在圭面BC的影长BD为　2.1　 米．（精确到0.1米，参考数据：sin44°≈0.69，cos44°≈0.71，tan44°≈0.97）
【考点】解直角三角形的应用；平行投影．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】2.1．
【分析】依据题意，圭表由铅垂的表AB（高2.0米）和水平的圭BC组成，结合冬至日正午，太阳光线AD与圭BC的夹角为∠ADB＝44°，从而在直角三角形ABD中，AB为垂直高度（2.0米），BD为水平影长，太阳高度角∠ADB＝44°，可得，进而2.1（米），故可得解．
【解答】解：由题意，圭表由铅垂的表AB（高2.0米）和水平的圭BC组成，
又∵冬至日正午，太阳光线AD与圭BC的夹角为∠ADB＝44°，
∴在直角三角形ABD中，AB为垂直高度（2.0米），BD为水平影长，太阳高度角∠ADB＝44°．
∴．
∴2.1（米）．
故答案为：2.1．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用、平行投影，解题时要熟练掌握并能利用锐角三角形函数求解是关键．
12．（2024.海勃湾区）如图，一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是 　1　 海里．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】1．
【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据题意可得：AB＝（1）海里，然后设CD＝x海里，分别在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出AD和BD的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
由题意得：AB＝（1）海里，
设CD＝x海里，
在Rt△ACD中，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，
∴ADx（海里），
在Rt△BCD中，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，
∴BDx（海里），
∵AD﹣BD＝AB，
∴x﹣x1，
解得：x＝1，
∴CD＝1海里，
∴渔船与灯塔C的最短距离是1海里，
故答案为：1．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2024秋 埇桥区）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝13，AD是BC边上的高，AD＝4．求CD和sinC．
【考点】解直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】先解直角三角形ABD，得出BD的值，求出CD的值．再解直角三角形ADC求sinC的值．
【解答】解：在Rt△ABD中，由勾股定理，得：
BD
∴CD＝BC﹣BD＝10；
在Rt△ADC中，
AC
∴sinC．
【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．
14．（2024秋 埇桥区）如图，一艘渔船在海面上航行，准备要停靠到渔港C，渔船航行到A处时，测得渔港C在北偏东60°方向上，为了躲避A、C之间的暗礁，这艘渔船调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东67°方向航行30海里到达渔港C．求渔船从A到C的直线距离．（结果精确到0.1海里，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】AC的距离约为59.5海里．
【分析】过B作BD⊥AC于D，在Rt△DBC中，利用正弦函数求得BD≈24.0海里，CD≈18.0海里，再在Rt△ABD中，利用正切函数求出AD≈41.5海里即可得到答案．
【解答】解：如图，过B作BD⊥AC于D，
由题意可知∠BAF＝30°，∠FAC＝60°，∠CBE＝67°，BC＝30海里，
∴∠BAC＝30°，∠ABE＝∠BAF＝30°
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABE﹣∠CBE＝53°，
在Rt△DBC中，∠BDC＝90°，∠C＝53°，BC＝30海里，
∴∠CBD＝37°，
∴CD＝BC sin∠CBD≈30×0.60＝18.0海里，BD＝BC cos∠CBD≈30×0.8＝24.0（海里），
在Rt△ABD中，∠BDA＝90°，∠BAD＝30°，
∴（海里），
∴AC＝AD+CD＝41.5+18.0＝59.5（海里），
∴AC的距离约为59.5海里．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
15．（2024.河北）图﹣1是一款可旋转的太阳能路灯，太阳能光伏板面向太阳，且随太阳的升起到落下方向旋转，图﹣2是其侧面示意图，线段AB表示路灯的灯支架，PM为路灯灯杆．线段CD为太阳能光伏板，可绕点P旋转，CD＝1m，AB＝2m，∠BAM＝120°．（图中所有点均在同一平面）（参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，．结果精确到0.1m）
（1）当C，D，B三点共线时，∠DPM＝80°，求PA的长度；
（2）若某一时刻太阳光线与地面l的夹角为60°时，恰好太阳能光伏板CD与PM所成夹角∠DPM＝60°，求太阳能光伏板CD落在地面l上的影子EF的长．
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）2.0m；
（2）1.2m．
【分析】（1）连接BD，过点B作BE⊥PM于点E，先解Rt△ABE，求得AE，BE，进而解Rt△PBE，求得PE，进而根据PA＝PE+AE，即可求解；
（2）连接DF，CE，过点F作FH⊥CE于点H，设PM，DF交于点G，证明四边形CDFH是平行四边形，则FH＝CD＝1，解Rt△EFH，即可求解．
【解答】解：（1）连接BD，过点B作BE⊥PM于点E，
在Rt△ABE中，∠BAE＝180°﹣∠BAM＝60°，
∴，，
当C，D，B三点共线时，在Rt△PBE中，∠BPE＝∠DPM＝80°，
∴，
∴PA＝PE+AE≈0.3+1.73≈2.0m；
（2）如图，
连接DF，CE，过点F作FH⊥CE于点H，设PM，DF交于点G，
∵∠GFM＝60°，∠GMF＝90°，
∴∠DPG＝∠MGF＝30°，
又∠DPM＝60°，
∴∠PDG＝90°，
由题意可得：FH⊥DF
∴CD∥FH，
∴四边形CDFH是平行四边形，
∴FH＝CD＝1，
∵∠HEF＝∠DFM＝60°，
，
答：EF的长为1.2m．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，作出辅助线构造直角三角形．
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