【中考核心考点】2025年华东师大版中考数学考前冲刺 切线（含解析）

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中考核心考点 切线
一．选择题（共7小题）
1．（2024.平房区二模）如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点C，若，则⊙O的半径为（　　）
A．4 B．3 C． D．
2．（2024.洛阳二模）如图，AB为⊙O的直径，PB，PC分别与⊙O相切于点B，C，过点C作AB的垂线，垂足为E，交⊙O于点D．若，则⊙O的半径长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024.海口一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝116°，过点C作⊙O的切线CD交BO的延长线于点D，则∠D的度数为（　　）
A．36° B．38° C．40° D．42°
4．（2024.东莞市二模）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2024.瓯海区二模）如图，AB是⊙O的切线，C为切点，连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD．若∠A＝24°，则∠D的度数为（　　）
A．24° B．30° C．33° D．36°
6．（2024.龙湾区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，tanB＝2．以AB为直径画半圆O，交BC于点D，过点D作半圆O的切线交AC于点E，若DE＝4，则AB的长为（　　）
A．8 B． C． D．10
7．（2024秋 太和县）如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，若AD＝10，BC＝12，则四边形ABCD的周长是（　　）
A．22 B．64 C．52 D．44
二．填空题（共5小题）
8．（2024.南岗区）如图，AB与⊙O相切于点A，连接OA，点C在⊙O上，连接BC并延长BC交⊙O于点D，连接DO，若∠AOC＝80°，∠DOC＝40°，则∠B＝　 　 度．
9．（2024.沛县二模）如图，AB是⊙O的直径，PA切于点A，线段PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P＝46°，则∠B＝　 　 °．
10．（2025春 大足区）如图，△ABC内接于⊙O，PA是⊙O的切线，A为切点，PC交⊙O与点D．若∠ABC＝60°，PA＝6，PD＝4，则PC＝ 　 　 ，AC＝ 　 　 ．
11．（2024.温岭市二模）如图，Rt△ABC，∠ABC＝90°，点O在BC上，以点O为圆心OB为半径的⊙O与AC相切于点D，连结AO，若∠AOB＝70°，则∠C的度数为 　 　 ．
12．（2024.文成县二模）如图，AB是半圆O的直径，C为AB延长线上一点，CD与半圆相切于点D，若∠C＝40°，则∠DAC的度数为 　 　 ．
三．解答题（共3小题）
13．（2024.庐江县二模）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D，DH⊥AB于点H，E是的中点，连接AE并延长交BC于点F，交DH，DB于点M，N．
（1）求证：DM＝DN；
（2）AD＝4，BD＝3，求EF的长．
14．（2024秋 海港区）如图，AB为半圆O的直径，点F在半圆上，连接OF，点P在AB的延长线上，PC与半圆相切于点C，与OF的延长线相交于点D．连接AC与OF相交于点E，OD⊥AB．
（1）求证：DC＝DE；
（2）若OA＝2OE，DF＝2，求PD的长．
15．（2024.阳新县）如图，在△ABC中，AB＝AC，O在AB上，以O为圆心，OB为半径的圆与AC相切于点F，交BC于点D，交AB于点G，过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）DE与⊙O有什么位置关系，请写出你的结论并证明；
（2）若⊙O的半径长为3，AF＝4，求CE的长．
中考核心考点 切线
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2024.平房区二模）如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点C，若，则⊙O的半径为（　　）
A．4 B．3 C． D．
【考点】切线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】A
【分析】连接OC，根据切线的性质得到OC⊥BC，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠A，求出∠B＝30°，再根据正切的定义计算即可．
【解答】解：如图，连接OC，
∵BC是⊙O的切线，
∴OC⊥BC，
∴∠BOC+∠A＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A，
∴∠B＝30°，
∴OC＝BC tanB＝44，
故选：A．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
2．（2024.洛阳二模）如图，AB为⊙O的直径，PB，PC分别与⊙O相切于点B，C，过点C作AB的垂线，垂足为E，交⊙O于点D．若，则⊙O的半径长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】切线的性质．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】B
【分析】连接OD、BD，根据切线的性质得到PC＝PB＝2，AB⊥PB，根据平行四边形的性质求出BD，根据勾股定理求出BE，再根据勾股定理计算即可．
【解答】解：如图，连接OD、BD，
∵PB，PC分别与⊙O相切于点B，C，
∴PC＝PB＝2，AB⊥PB，
∵AB⊥CD，
∴CD∥PB，
∵CD＝PB，
∴四边形CPBD为平行四边形，
∴BD＝PC＝2，
∵AB⊥CD，
∴DECD，
由勾股定理得：BE3，
在Rt△DOE中，OD2＝OE2+DE2，即OD2＝（3﹣OD）2+（）2，
解得：OD＝2，
故选：B．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
3．（2024.海口一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝116°，过点C作⊙O的切线CD交BO的延长线于点D，则∠D的度数为（　　）
A．36° B．38° C．40° D．42°
【考点】切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【专题】与圆有关的位置关系；运算能力．
【答案】B
【分析】连接OC，设DB交⊙O于点M，连接CM，切线的性质，得到∠OCD＝90°，圆内接四边形的性质结合等边对等角，求出∠OMC，∠OCM的度数，再根据角的和差关系和三角形的外角的性质，进行求解即可．
【解答】解：连接OC，设DB交⊙O于点M，连接CM，则：OC＝OM，
由题意可得：∠OCD＝90°，
∵∠A＝116°，
∴∠OMC＝180°﹣116°＝64°，
∵OC＝OM，
∴∠OCM＝∠OMC＝64°，
∴∠MCD＝∠OCD﹣∠OCM＝90°﹣64°＝26°，
∵∠BMC＝∠MCD+∠D，
∴∠D＝64°﹣26°＝38°．
故选：B．
【点评】本题考查切线的性质，圆内接四边形的性质，正确进行计算是解题关键．
4．（2024.东莞市二模）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】切线长定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】B
【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AP，BP＝BD，求出BP的长即可求出BD的长．
【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP＝6，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．
5．（2024.瓯海区二模）如图，AB是⊙O的切线，C为切点，连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD．若∠A＝24°，则∠D的度数为（　　）
A．24° B．30° C．33° D．36°
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】C
【分析】根据切线的性质得到∠ACO＝90°，求得∠AOC＝90°﹣24°＝66°，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB是⊙O的切线，
∴∠ACO＝90°，
∵∠A＝24°，
∴∠AOC＝90°﹣24°＝66°，
∵OC＝OD，
∴∠D＝∠OCD，
∵∠AOC＝∠D+∠OCD，
∴∠D°，
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
6．（2024.龙湾区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，tanB＝2．以AB为直径画半圆O，交BC于点D，过点D作半圆O的切线交AC于点E，若DE＝4，则AB的长为（　　）
A．8 B． C． D．10
【考点】切线的性质；解直角三角形；等腰三角形的性质．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】D
【分析】连结OD、AD，如图，先根据切线的性质得到OD⊥DE，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，再证明OD为△ABC的中位线得到OD∥AC，所以∠AED＝90°，接着在Rt△CDE中利用正切的定义求出CE＝2，则利用勾股定理可计算出CD＝2，然后再在Rt△ACD中利用正切的定义求AD，最后利用勾股定理计算出AC的长即可．
【解答】解：连结OD、AD，如图，
∵DE为半圆O的切线，
∴OD⊥DE，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，∠C＝∠B，
∵OA＝OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠AED＝90°，
在Rt△CDE中，∵tanCtanB＝2，
∴CEDE＝2，
∴CD2，
在Rt△ACD中，∵tanC2，
∴AD＝2CD＝4，
∴AC10，
∴AB＝10．
故选：D．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质和解直角三角形．
7．（2024秋 太和县）如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，若AD＝10，BC＝12，则四边形ABCD的周长是（　　）
A．22 B．64 C．52 D．44
【考点】三角形的内切圆与内心；切线长定理．
【专题】运算能力．
【答案】D
【分析】设切点分别为E，F，G，H，连接OE，OF，OG，OH，根据四边形ABCD是⊙O的外切四边形，得出AE＝AH，DH＝DG，CG＝CF，BE＝BF，证得AD+BC＝AB+CD，再根据AD＝10，BC＝12，即可得出四边形ABCD的周长．
【解答】解：设切点分别为E，F，G，H，连接OE，OF，OG，OH，
∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AE＝AH，DH＝DG，CG＝CF，BE＝BF，
∴AD+BC＝AH+DH+BF+CF＝AE+DG+BE+CG＝AB+CD，
∵AD＝10，BC＝12，
∴四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+DA＝44．
故选：D．
【点评】本题考查了切线长定理，掌握切线长定理是解本题的关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2024.南岗区）如图，AB与⊙O相切于点A，连接OA，点C在⊙O上，连接BC并延长BC交⊙O于点D，连接DO，若∠AOC＝80°，∠DOC＝40°，则∠B＝　80　 度．
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【专题】多边形与平行四边形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】80．
【分析】由切线的性质得∠A＝90°，由OC＝OD，得∠OCD＝∠D，而∠AOC＝80°，∠DOC＝40°，则∠AOD＝120°，2∠D+40°＝180°，求得∠D＝70°，则∠B＝360°﹣∠A﹣∠AOD﹣∠D＝80°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB与⊙O相切于点A，
∴AB⊥OA，
∴∠A＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠D，
∵∠AOC＝80°，∠DOC＝40°，且∠OCD+∠D+∠DOC＝180°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠DOC＝120°，2∠D+40°＝180°，
∴∠D＝70°，
∴∠B＝360°﹣∠A﹣∠AOD﹣∠D＝80°，
故答案为：80．
【点评】此题重点考查切线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、四边形的内角和等于360°等知识，推导出AB⊥OA，并且求得∠D＝70°是解题的关键．
9．（2024.沛县二模）如图，AB是⊙O的直径，PA切于点A，线段PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P＝46°，则∠B＝　22　 °．
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；运算能力．
【答案】22．
【分析】根据切线的性质可得∠PAB＝90°，进而可得∠POA的度数，然后根据圆周角定理即得答案．
【解答】解：由切线的性质可得：∠PAB＝90°，
∵∠P＝46°，
∴∠POA＝90°﹣46°＝44°，
∵，
∴．
故答案为：22．
【点评】本题考查了圆的切线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理，正确进行计算是解题关键．
10．（2025春 大足区）如图，△ABC内接于⊙O，PA是⊙O的切线，A为切点，PC交⊙O与点D．若∠ABC＝60°，PA＝6，PD＝4，则PC＝ 　6　 ，AC＝ 　3+3　 ．
【考点】切线的性质；三角形的外接圆与外心．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】6，3+3．
【分析】连接OA、OC，过P点作PH⊥AC于H点，如图，根据圆周角定理得到∠AOC＝120°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠OAC＝30°，接着根据切线的性质得到∠OAP＝90°，则∠PAC＝60°，然后根据切割线定理得到PC9，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到AH＝3，PH＝3，最后利用勾股定理计算出CH，从而得到AC的长．
【解答】解：连接OA、OC，过P点作PH⊥AC于H点，如图，
∵∠AOC＝2∠ABC＝120°，
而OA＝OC，
∴∠OAC（1280°﹣120°）＝30°，
∵PA是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°，
∴∠PAC＝90°﹣30°＝60°，
∵PA为⊙O的切线，PC为割线，
∴PA2＝PD PC，
∴PC9，
在Rt△APH中，∵∠PAH＝60°，
∴AHPA＝3，
∴PHAH＝3，
在Rt△PCH中，CH3，
∴AC＝AH+CH＝3+6．
故答案为：6，3+3．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切割线定理．
11．（2024.温岭市二模）如图，Rt△ABC，∠ABC＝90°，点O在BC上，以点O为圆心OB为半径的⊙O与AC相切于点D，连结AO，若∠AOB＝70°，则∠C的度数为 　50°　 ．
【考点】切线的性质；全等三角形的判定与性质；圆周角定理．
【专题】图形的全等；与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】50°．
【分析】连接OD，根据切线性质得到∠ADO＝90，根据全等三角形的性质得到∠AOD＝∠AOB＝70°，求得∠COD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，得到∠C＝90°﹣40°＝50°．
【解答】解：连接OD，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠ADO＝90，
∴∠ABC＝∠ADO＝90°，
∵OB＝OD，AO＝AO，
∴Rt△ABO≌Rt△ADO（HL），
∴∠AOD＝∠AOB＝70°，
∴∠COD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠C＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
12．（2024.文成县二模）如图，AB是半圆O的直径，C为AB延长线上一点，CD与半圆相切于点D，若∠C＝40°，则∠DAC的度数为 　25°　 ．
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系．
【答案】25°．
【分析】先根据切线的性质得到∠ODC＝90°，则利用互余计算出∠COD＝50°，然后根据圆周角定理求解．
【解答】解：∵CD与半圆相切于点D，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC＝90°，
∵∠C＝40°，
∴∠COD＝90°﹣40°＝50°，
∴∠DAC∠COD＝25°．
故答案为：25°．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
三．解答题（共3小题）
13．（2024.庐江县二模）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D，DH⊥AB于点H，E是的中点，连接AE并延长交BC于点F，交DH，DB于点M，N．
（1）求证：DM＝DN；
（2）AD＝4，BD＝3，求EF的长．
【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）．
【分析】（1）根据切线的性质求出∠ABC＝90°，结合垂直的定义、平行线的判定与性质、圆周角定理求出∠AND＝∠DMF＝∠AFB＝∠FNB，再根据等腰三角形的判定即可得证；
（2）连接BE，过点N作NG⊥AB于点G，根据圆周角定理、角平分线的性质定理求出DN＝GN，根据勾股定理求出AB＝5，根据三角形面积公式求出，，根据勾股定理求出AN，AF，则NF＝AF﹣AN，再根据等腰三角形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵BC为⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°，
∴∠FAB+∠AFB＝90°，
∵DH⊥AB，
∴∠AHD＝90°＝∠ABC，
∴DH∥BC，
∴∠DMF＝∠AFB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠FAD+∠AND＝90°，
∵E是的中点，
∴，
∴∠FAD＝∠FAB，
∴∠AND＝∠AFB，
∴∠AND＝∠DMF＝∠AFB＝∠FNB，
∴DM＝DN；
（2）解：连接BE，过点N作NG⊥AB于点G，
∵，
∴∠FAD＝∠FAB，
∵NG⊥AB，∠ADB＝90°，
∴DN＝GN，
∵AD＝4，BD＝3，
∴AB5，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）知∠AFB＝∠FNB，
∴，
∴，
∴NF＝AF﹣AN，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴．
【点评】此题考查了切线的性质、勾股定理、圆周角定理等知识，熟练运用切线的性质、勾股定理、圆周角定理是解题的关键．
14．（2024秋 海港区）如图，AB为半圆O的直径，点F在半圆上，连接OF，点P在AB的延长线上，PC与半圆相切于点C，与OF的延长线相交于点D．连接AC与OF相交于点E，OD⊥AB．
（1）求证：DC＝DE；
（2）若OA＝2OE，DF＝2，求PD的长．
【考点】切线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）连接OC，由切线的性质推出∠OCD＝90°，由余角的性质推出∠DCE＝∠AEO，由对顶角的性质得到∠DEC＝∠AEO，因此∠DCE＝∠DEC，推出DC＝DE；
（2）设OE＝x，由勾股定理得到（2x+2）2＝（2+x）2+（2x）2，求出x＝4，得到DC＝6，OC＝8，判定△PCO∽△OCD，推出CO：CD＝PC：OC，求出PC，即可得到PD的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵PC与半圆相切于点C，
∴半径OC⊥PC，
∴∠OCD＝90°，
∴∠DCE+∠OCE＝90°，
∵OD⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∴∠AEO+∠OAE＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OCE＝∠OAE，
∴∠DCE＝∠AEO，
∵∠DEC＝∠AEO，
∴∠DCE＝∠DEC，
∴DC＝DE；
（2）解：设OE＝x，
∵OF＝OA＝2OE＝2x，
∴EF＝OE＝x，OD＝OF+DF＝2x+2，
∴DE＝DF+FE＝2+x，
由（1）知：DC＝DE＝2+x，
∵∠OCD＝90°，
∴OD2＝CD2+OC2，
∴（2x+2）2＝（2+x）2+（2x）2，
∴x＝4，
∴DC＝2+x＝6，OC＝2x＝8，
∵∠P+∠POC＝∠COD+∠POC＝90°，
∴∠P＝∠COD，
∵∠PCO＝∠DCO，
∴△PCO∽△OCD，
∴CO：CD＝PC：OC，
∴8：6＝PC：8，
∴PC，
∴PD＝PC+DC6．
【点评】本题考查切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，关键是由切线的性质推出∠OCD＝90°，由余角的性质和对顶角的性质推出∠DCE＝∠DEC，由勾股定理列出关于x的方程，判定△PCO∽△OCD，推出CO：CD＝PC：OC．
15．（2024.阳新县）如图，在△ABC中，AB＝AC，O在AB上，以O为圆心，OB为半径的圆与AC相切于点F，交BC于点D，交AB于点G，过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）DE与⊙O有什么位置关系，请写出你的结论并证明；
（2）若⊙O的半径长为3，AF＝4，求CE的长．
【考点】切线的判定．
【专题】综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由已知可证得OD⊥DE，OD为圆的半径，所以DE与⊙O相切；连接OD，OF，由已知可得四边形ODEF为矩形，从而得到EF的长，再利用勾股定理求得AO的长，从而可求得AC的长，此时CE就不难求得了．
【解答】解：（1）DE与⊙O相切；
理由如下：
连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB；
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC；
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切．
（2）连接OD，OF；
∵DE，AF是⊙O的切线，
∴OF⊥AC，OD⊥DE，
又∵DE⊥AC，
∴四边形ODEF为矩形，
∴EF＝OD＝3；
在Rt△OFA中，AO2＝OF2+AF2，
∴，
∴AC＝AB＝AO+BO＝8，CE＝AC﹣AF﹣EF＝8﹣4﹣3＝1，
∴CE＝1．
答：CE长度为1．
【点评】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．
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