【中考核心考点】2025年人教版中考数学考前冲刺 相似（含解析）

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中考冲刺核心考点 相似
一．选择题（共8小题）
1．（2024.海伦市）如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为O．△ABC与△A′B′C′的面积之比为9：1，若OA′＝4，则OA的长度为（　　）
A．6 B．12 C．18 D．20
2．（2024秋 海港区）如图，在△ABC中，CE⊥AB边交AB的延长线于E点，BD⊥AC边于D点，下列结论不一定成立的是（　　）
A．AB×CE＝AC×BD B．∠ABD＝∠ACB+∠BCE
C．AD+DC＞AB+BE D．∠ABC﹣∠CBE＝90°
3．（2025春 大足区）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OD＝3：2，则△ABC与△DEF的周长比是（　　）
A．2：1 B．3：2 C．9：4 D．4：1
4．（2024.汕头一模）已知，则下列式子不成立的是（　　）
A．5x＝3y B．3x＝5 C． D．
5．（2024.高州市）一个油画架如图所示，已知AB∥CD∥EF，OC＝100cm，CE＝20cm，CD＝30cm，则EF＝（　　）
A．30cm B．35cm C．36cm D．40cm
6．（2024.濠江区一模）如图，四边形ABCD为平行四边形，CE：EF：FD＝1：2：1，AE，BF相交于点G．设△EFG和△ABG的面积分别为S△EFG，S△ABG，则S△EFG：S△ABG＝（　　）
A．1：2 B．1：3 C．4：9 D．1：4
7．（2024.新兴县一模）如图，在 ABCD中，BE是∠ABC的平分线，延长BE交CD的延长线于点F．若DF＝6，AB＝12，则BC的长为（　　）
A．12 B．15 C．18 D．21
8．（2024.西山区）如图，为测量学校旗杆高度，小明同学在地面水平放置一平面镜，他站在能刚好从镜子中看到旗杆的顶端的地方．已知小明的眼睛离地面高度为1.5m，量得小明与镜子的水平距离为2m，小明与旗杆的水平距离为14m，则旗杆高度为（　　）
A．7.5m B．8m C．9m D．10.5m
二．填空题（共4小题）
9．（2024.宝应县二模）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若AB＝6，则EF的长为 　 　 ．
10．（2024.台江区）如图所示是凸透镜成像的原理示意图，且AD∥l∥BC，光屏上显示的缩小的实像高8cm．若物体AH到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜中心线DB的距离OF1之比为5：4，则物体的高为　 　 ．
11．（2024.深圳二模）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上，若OA：AA′＝1：2，则△ABC与△A′B′C′的周长之比为 　 　 ．
12．（2024.南山区一模）数学家定义：若点C把线段AB分成两部分，满足，则点C为线段AB的白银分割点．已知点C是线段AB的白银分割点（AC＞BC），且BC＝4，则AC＝ 　 　 ．
三．解答题（共3小题）
13．（2024秋 埇桥区）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中：
（1）将△ABC先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；
（2）以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．
14．（2024.合肥二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，5）．
（1）以O为位似中心，在第三象限内画出△ABC的位似图形△A1B1C1，且位似比为1；
（2）借助网格，利用无刻度直尺在图中找一格点E，使得S△ABC＝S△ABE，并写出E点坐标．
15．（2024.罗湖区）如图，O为线段PB上一点，以点O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝PA PB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AB＝2PA，求的值．
中考冲刺核心考点 相似
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024.海伦市）如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为O．△ABC与△A′B′C′的面积之比为9：1，若OA′＝4，则OA的长度为（　　）
A．6 B．12 C．18 D．20
【考点】位似变换；相似三角形的性质．
【专题】三角形；图形的相似．
【答案】B
【分析】根据位似变换的概念得到△ABC∽△A′B′C′，A′B′∥AB，得到△ABO∽△A′B′O，根据相似三角形的性质得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′位似，
∴△ABC∽△A′B′C′，A′B′∥AB，
∴△ABO∽△A′B′O，
∴，
∵△ABC与△A′B′C′的面积之比为9：1，
∴，
∴，
∵OA′＝4，
∴OA＝12，
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
2．（2024秋 海港区）如图，在△ABC中，CE⊥AB边交AB的延长线于E点，BD⊥AC边于D点，下列结论不一定成立的是（　　）
A．AB×CE＝AC×BD B．∠ABD＝∠ACB+∠BCE
C．AD+DC＞AB+BE D．∠ABC﹣∠CBE＝90°
【考点】相似三角形的判定与性质；三角形三边关系．
【专题】三角形；图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】由题意易证△ABD∽△ACE，根据相似三角形的性质即可判断A，B，由外角的性质可判断D，由三角形三边的关系可判断C．
【解答】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACE，
∴AC：AB ＝BD：CE，∠ABD＝∠ACE，
∴AC×BE＝AB×CD，故A正确；
∴∠ABD＝∠ABE＝∠ABC+∠BCE，故B正确；
∵∠ABC＝∠BCE+∠E＝90°+∠BCE，
∴∠ACB﹣∠BCE＝90°，
∵∠BCE≠∠CBE，故D错误；
∵AD+DC＝AC＞AC+BC，BC＞CE，
∴AB＞AC+CE，即AD+DB＝AB＞AB+BE＝AE，故C正确；
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形三边的关系，熟练掌握以上知识是解题关键．
3．（2025春 大足区）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OD＝3：2，则△ABC与△DEF的周长比是（　　）
A．2：1 B．3：2 C．9：4 D．4：1
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】B
【分析】先根据位似的性质得到△ABC与△DEF的位似比为OA：OD＝3：2，然后利用相似三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEF，
∵OA：OD＝3：2，
∴，
∴△ABC与△DEF的周长比是3：2，
故选：B．
【点评】本题考查了位似变换，熟知位似图形一定是相似图形是解题的关键．
4．（2024.汕头一模）已知，则下列式子不成立的是（　　）
A．5x＝3y B．3x＝5 C． D．
【考点】比例的性质．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】B
【分析】根据比例的性质分别判断即可．
【解答】解：∵，
∴5x＝3y，或者，或者，得不到3x＝5，故A、C、D选项不符合题意，B选项符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练根据比例的性质进行变形是解题的关键．
5．（2024.高州市）一个油画架如图所示，已知AB∥CD∥EF，OC＝100cm，CE＝20cm，CD＝30cm，则EF＝（　　）
A．30cm B．35cm C．36cm D．40cm
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】证明△COD∽△EOF，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵CD∥EF，
∴△COD∽△EOF，
∴，即，
解得：EF＝36，
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．
6．（2024.濠江区一模）如图，四边形ABCD为平行四边形，CE：EF：FD＝1：2：1，AE，BF相交于点G．设△EFG和△ABG的面积分别为S△EFG，S△ABG，则S△EFG：S△ABG＝（　　）
A．1：2 B．1：3 C．4：9 D．1：4
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】设CE＝x，EF＝2x，FD＝x，则CD＝4x，先根据平行四边形的性质得到AB＝CD＝4x，AB∥CD，再证明△EFG∽△ABG，然后利用相似三角形的性质得到得到的值．
【解答】解：∵CE：EF：FD＝1：2：1，
∴设CE＝x，EF＝2x，FD＝x，
∴CD＝4x，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD＝4x，AB∥CD，
∵EF∥AB，
∴△EFG∽△ABG，
∴（）2＝（）2．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质是解决问题的关键．也考查了平行四边形的性质．
7．（2024.新兴县一模）如图，在 ABCD中，BE是∠ABC的平分线，延长BE交CD的延长线于点F．若DF＝6，AB＝12，则BC的长为（　　）
A．12 B．15 C．18 D．21
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】先根据平行四边形的性质得到CD∥AB，AD∥BC，则∠AEB＝∠ABE，再证明∠ABE＝∠AEB得到AE＝AB＝12，接着证明△DEF∽△AEB，利用相似比求出DE＝6，然后计算出AD的长，从而得到BC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，AD∥BC，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠ABE，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝12，
∵DF∥AB，
∴△DEF∽△AEB，
∴DE：AE＝DF：AB，
即DE：12＝6：12，
解得DE＝6，
∴AD＝AE+DE＝12+6＝18，
∴BC＝18．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了平行四边形的性质．
8．（2024.西山区）如图，为测量学校旗杆高度，小明同学在地面水平放置一平面镜，他站在能刚好从镜子中看到旗杆的顶端的地方．已知小明的眼睛离地面高度为1.5m，量得小明与镜子的水平距离为2m，小明与旗杆的水平距离为14m，则旗杆高度为（　　）
A．7.5m B．8m C．9m D．10.5m
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】D
【分析】根据镜面反射性质，可求出∠ACB＝∠ECD，再利用垂直求∠ABC＝∠EDC＝90°，得出△ACB∽△ECD，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案．
【解答】解：如图，由题意得，AB＝1.5m，BC＝2m，CD＝14m，
根据镜面反射可知：∠ACB＝∠ECD，
∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
∴△ACB∽△ECD，
∴，即，
∴ED＝10.5，
答：旗杆高度为10.5米，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质．
二．填空题（共4小题）
9．（2024.宝应县二模）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若AB＝6，则EF的长为 　　 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力．
【答案】．
【分析】结合平行四边形的性质以及点E为OC的中点求出CEAC，再证明△CEF∽△CAB，由相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC，
∵点E为OC的中点，
∴CEOCAC，
∵EF∥AB，
∴∠CEF＝∠CAB，∠CFE＝∠CBA，
∴△CEF∽△CAB，
∴，
∴EFAB6，
即EF的长为．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
10．（2024.台江区）如图所示是凸透镜成像的原理示意图，且AD∥l∥BC，光屏上显示的缩小的实像高8cm．若物体AH到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜中心线DB的距离OF1之比为5：4，则物体的高为　10cm　 ．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】10cm．
【分析】如图，证明△AHF1∽△BOF1，则利用相似三角形的性质得到，然后利用CG＝OB＝8cm得到物体的高．
【解答】解：由题意可得：AH∥BO，
∴△AHF1∽△BOF1，
∴，
由题意可得，CG＝OB＝8cm，
∴．
故答案为：10cm．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，正确进行计算是解题关键．
11．（2024.深圳二模）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上，若OA：AA′＝1：2，则△ABC与△A′B′C′的周长之比为 　1：3　 ．
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】1：3．
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△A′B′C′，AB∥A′B′，得到△AOB∽△A′OB′，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可．
【解答】解：∵OA：AA′＝1：2，
∴OA：OA′＝1：3，
∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△A′B′C′，AB∥A′B′，
∴△AOB∽△A′OB′，
∴，
∴△ABC与△A′B′C′的周长之比为1：3，
故答案为：1：3．
【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．
12．（2024.南山区一模）数学家定义：若点C把线段AB分成两部分，满足，则点C为线段AB的白银分割点．已知点C是线段AB的白银分割点（AC＞BC），且BC＝4，则AC＝ 　　 ．
【考点】比例线段．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】．
【分析】根据白银分割点的定义得到，即可求出AC的长．
【解答】解：∵点C是线段AB的白银分割点（AC＞BC），
∴，
∵BC＝4，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了成比例线段，理解白银分割点的定义是解题关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2024秋 埇桥区）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中：
（1）将△ABC先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；
（2）以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．
【考点】作图﹣位似变换；作图﹣平移变换．
【专题】作图题．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）把A、B、C三点先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到A1，B1，C1，顺次连接得到的各点即可；
（2）延长OA1到A2，使OA2＝2OA1，同法得到其余各点，顺次连接即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
【点评】此题考查了作图﹣位似变换与平移变换，熟练掌握以上知识是解题的关键．
14．（2024.合肥二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，5）．
（1）以O为位似中心，在第三象限内画出△ABC的位似图形△A1B1C1，且位似比为1；
（2）借助网格，利用无刻度直尺在图中找一格点E，使得S△ABC＝S△ABE，并写出E点坐标．
【考点】作图﹣位似变换．
【专题】作图题；图形的相似；几何直观．
【答案】（1）作图见解析；
（2）作图见解析，E（0，4）．
【分析】（1）根据位似的性质，得到A1，B1，C1的位置，作图即可；
（2）利用平移思想，作CE∥AB即可．
【解答】解：（1）以O为位似中心，在第三象限内画出△ABC的位似图形△A1B1C1，如图1即为所求；
（2）如图2，点E即为所求（答案不唯一）．
由图可知：E（0，4）．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质，平移的性质是解题的关键．
15．（2024.罗湖区）如图，O为线段PB上一点，以点O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝PA PB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AB＝2PA，求的值．
【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理；点与圆的位置关系；切线的判定与性质．
【专题】与圆有关的位置关系；图形的相似；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由PC2＝PA PB得，可证得△PAC∽△PCB，根据相似三角形的性质得∠PCA＝∠B，根据圆周角定理得∠ACB＝90°，则∠CAB+∠B＝90°，由OA＝OC得∠CAB＝∠OCA，等量代换可得∠PCA+∠OCA＝90°，即OC⊥PC，即可得出结论；
（2）由AB＝2PA可得PB＝3PA，OA＝OC＝PA，根据勾股定理求出PCPA，根据相似三角形的性质即可得出的值．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵PC2＝PA PB，
∴，
∵∠P＝∠P，
∴△PAC∽△PCB，
∴∠PCA＝∠B，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠OCA，
∴∠PCA+∠OCA＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝2PA，
∴PB＝3PA，OA＝OC＝PA，PO＝2PA，
∵OC⊥PC，OC是圆的半径，
∴PCPA，
∵△PAC∽△PCB，
∴．
【点评】本题考查三角形相似的判定与性质，考查切线的判定，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理及相似三角形的判定等知识点的综合运用．
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