【中考押题预测】2025年中考数学核心考点考前冲刺 不等式与不等式组（含解析）

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中考核心考点 不等式与不等式组
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 洛江区三模）若关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为x≥1，则符合条件的所有整数a的值之和是（　　）
A．﹣9 B．﹣10 C．﹣11 D．﹣12
2．（2025春 清城区）关于x的不等式组恰有三个整数解，则m的取值范围是（　　）
A．0＜m≤1 B．0≤m＜1 C．0＜m＜1 D．0≤m≤1
3．（2025春 永春县）关于x，y二元一次方程组的解满足2x+y＜1，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣2 B．m＞﹣2 C．m＜2 D．m＞2
4．（2025春 深圳三模）已知关于x的不等式3x﹣m+1＞0的最小整数解为3，则实数m的取值范围是（　　）
A．7＜m＜10 B．7≤m＜10 C．7＜m≤10 D．7≤m≤10
5．（2025 浦东新区二模）不等式组的解集是（　　）
A．x＜2 B．x＜3 C．x≤5 D．2＜x≤5
6．（2025春 鲤城区）已知x、y、z是三个非负实数，满足3x+2y+z＝5，x+y﹣z＝2，若s＝2x+y﹣z，则s的最大值与最小值的差为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2025春 金凤区）小聪用100元钱购买笔记本和钢笔共30件．已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，求小聪最多能买多少支钢笔．设小聪能买x支钢笔，根据题意列不等式为（　　）
A．5x+2（30﹣x）≤100 B．5x+2（30﹣x）＜100
C．5x+2（30﹣x）≥100 D．5x+2（30﹣x）＞100
8．（2025春 市北区三模）已知是不等式kx+3y≤4的一个解，则整数k的最小值为（　　）
A．6 B．5 C．﹣6 D．﹣5
9．（2024秋 宁波三模）不等式3x+1≤2x+2的解集在数轴上表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
10．（2025春 泉州三模）已知关于x的不等式组的整数解只有1、2、3，其中m、n都为整数，则m+n的值共有（　　）
A．16个 B．17个 C．18个 D．72个
二．填空题（共5小题）
11．（2025春 虹口区）不等式的解集是　 　 ．
12．（2025春 洛江区三模）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是 　 　 ．
13．（2025春 虹口区）关于x的不等式的解集为　 　 ．
14．（2025 河北）对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数．如：[3.14]＝3，[﹣7.59]＝﹣8，则满足关系式的x的整数值有 　 　 个．
15．（2025春 长安区三模）不等式的所有负整数解的和为　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春 宝安区）求满足不等式组的所有整数解的和．
17．（2025春 莲湖区）解不等式组．
18．（2025春 洛江区三模）已知关于x，y的方程组
（1）若该方程组的解满足x﹣y＝2024，求m的值；
（2）若该方程组的解满足x为正数，y为负数，求m的取值范围；
19．（2025春 洛江区三模）我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为ad﹣bc．例如：2×5﹣3×4＝﹣2．
（1）求不等式0的解集；
（2）若关于x的不等式0的解都是（1）中不等式的解，求n的取值范围为　 　 ；
（3）若关于x的不等式组有解，求m的取值范围．
20．（2025春 中山市）【问题背景】对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足x﹣y＝1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”．
【数学理解】（1）方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？请说明理由；
【逆向思考】（2）已知关于x，y的二元一次方程组的解x与y具有“邻好关系”，求k的值．
【深入探究】（3）未知数为x，y的方程组，其中a与x，y都是正整数，该方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由．
不等式与不等式组
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 洛江区三模）若关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为x≥1，则符合条件的所有整数a的值之和是（　　）
A．﹣9 B．﹣10 C．﹣11 D．﹣12
【考点】一元一次不等式组的整数解；有理数的加法；一元一次方程的解；解一元一次方程；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】先由得x≥2+a和x≥1，再结合关于x的不等式组的解集为x≥1，得2+a≤1，解得a≤﹣1，根据得y＝1.5a+7.5，再结合于y的方程有非负整数解，得出a＝﹣5或﹣3或﹣1，即可作答．
【解答】解：∵，
∴由得x﹣a≥2，
解得x≥2+a；
由x﹣4≤3（x﹣2）得x﹣4≤3x﹣6，
∴x﹣3x≤4﹣6，
∴﹣2x≤﹣2，
解得x≥1，
∵关于x的不等式组的解集为x≥1，
∴2+a≤1，
∴a≤﹣1，
∵，
∴2y+3＝3a+18，
∴y＝1.5a+7.5，
∵关于y的方程有非负整数解，
∴1.5a+7.5≥0，
∴a≥﹣5，
∴﹣5≤a≤﹣1，
∵a为整数，
∴a＝﹣5或﹣4或﹣3或﹣2或﹣1，
当a＝﹣5时，则y＝1.5a+7.5＝0，是整数，符合题意；
当a＝﹣4时，则y＝1.5a+7.5＝﹣6+7.5＝1.5，不是整数，不符合题意；
当a＝﹣3时，则y＝1.5a+7.5＝﹣4.5+7.5＝3，是整数，符合题意；
当a＝﹣2时，则y＝1.5a+7.5＝﹣3+7.5＝4.5，不是整数，不符合题意；
当a＝﹣1时，则y＝1.5a+7.5＝﹣1.5+7.5＝6，是整数，符合题意；
∴a＝﹣5或﹣3或﹣1，
∴﹣5+（﹣3）+（﹣1）＝﹣9．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次方程，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
2．（2025春 清城区）关于x的不等式组恰有三个整数解，则m的取值范围是（　　）
A．0＜m≤1 B．0≤m＜1 C．0＜m＜1 D．0≤m≤1
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据题意，得出关于m的不等式组，再进行计算即可．
【解答】解：由不等式2x﹣1≤5得，x≤3；
由不等式x﹣m＞0得，x＞m．
因为此不等式组恰有三个整数解，
所以0≤m＜1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
3．（2025春 永春县）关于x，y二元一次方程组的解满足2x+y＜1，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣2 B．m＞﹣2 C．m＜2 D．m＞2
【考点】解一元一次不等式；二元一次方程组的解．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】将两个方程相加得到2x+y的值，整体代入不等式中，解不等式即可．
【解答】解：，
①+②得：4x+2y＝4+m，
∵2x+y＜1，
∴4x+2y＜2，
∴4+m＜2，
解得：m＜﹣2；
故选：A．
【点评】本题考查解一元一次不等式，二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键．
4．（2025春 深圳三模）已知关于x的不等式3x﹣m+1＞0的最小整数解为3，则实数m的取值范围是（　　）
A．7＜m＜10 B．7≤m＜10 C．7＜m≤10 D．7≤m≤10
【考点】一元一次不等式的整数解．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】先解出不等式，然后根据最小整数解为3得出关于m的不等式组，解之即可求得m的取值范围．
【解答】解：解不等式3x﹣m+1＞0得，
由条件可知，
解得：7≤m＜10，
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．
5．（2025 浦东新区二模）不等式组的解集是（　　）
A．x＜2 B．x＜3 C．x≤5 D．2＜x≤5
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分．
【解答】解：，
由①得：x≤5，
由②得：x＜2，
∴不等式组的解集为x＜2．
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6．（2025春 鲤城区）已知x、y、z是三个非负实数，满足3x+2y+z＝5，x+y﹣z＝2，若s＝2x+y﹣z，则s的最大值与最小值的差为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】不等式的性质；解三元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】由题意得S＝x+2，y或z，再根据x、y、z是三个非负实数列不等式解答即可．
【解答】解：∵x+y﹣z＝2，S＝2x+y﹣z，
∴S＝x+2，
∵3x+2y+z＝5，x+y﹣z＝2，
∴y或z，
∵x，y，z为三个非负整数，
∴0①，0②，
解不等式①得，x，
解不等式②得，x≤1，
∴x≤1，
又∵x，y，z为三个非负整数，
∴0≤x≤1，
∴S的最大值3，最小值2，
则S的最大值与最小值的差：3﹣2＝1．
故选：A．
【点评】此题考查了不等式的性质以及解三元一次方程组，用S表示出x，y，z是本题的突破点．
7．（2025春 金凤区）小聪用100元钱购买笔记本和钢笔共30件．已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，求小聪最多能买多少支钢笔．设小聪能买x支钢笔，根据题意列不等式为（　　）
A．5x+2（30﹣x）≤100 B．5x+2（30﹣x）＜100
C．5x+2（30﹣x）≥100 D．5x+2（30﹣x）＞100
【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】设小聪买了x支钢笔，则买了（30﹣x）本笔记本，根据总价＝单价×购买数量结合总价不超过100元，即可得出关于x的一元一次不等式．
【解答】解：根据题意，得5x+2（30﹣x）≤100．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
8．（2025春 市北区三模）已知是不等式kx+3y≤4的一个解，则整数k的最小值为（　　）
A．6 B．5 C．﹣6 D．﹣5
【考点】不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可．
【解答】解：由条件可知﹣2k+15≤4，解得，
∴整数k的最小值是6．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
9．（2024秋 宁波三模）不等式3x+1≤2x+2的解集在数轴上表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】先求出不等式的解集，再对所给选项依次进行判断即可．
【解答】解：3x+1≤2x+2，
3x﹣2x≤2﹣1，
x≤1，
显然只有B选项符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的步骤及数轴上的点所表示数的特征是解题的关键．
10．（2025春 泉州三模）已知关于x的不等式组的整数解只有1、2、3，其中m、n都为整数，则m+n的值共有（　　）
A．16个 B．17个 C．18个 D．72个
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】先解两个不等式，结合不等式组的整数解得出m、n的取值范围，结合m、n为整数可以确定m、n的值，代入计算可得．
【解答】解：解不等式9x﹣m≥0，得：x，
解不等式8x﹣n＜0，得：x，
∵不等式组的整数解是1，2，3，
∴01，34，
∴0＜m≤9，24＜n≤32，
∵m，n为整数，
∴m＝1，2，3，4，5，6，7，8，9共9个值，
n＝25，26，27，28，29，30，31，32，共8个值，
∴m有9种取值，n有8种取值，
∴m+n的取值为16种．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025春 虹口区）不等式的解集是　﹣4＜x≤2　 ．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣4＜x≤2，
【分析】根据同号得正，得出两个不等式组，分别求解可得．
【解答】解：原不等式可化为①或②，
不等式组①的解集为﹣4＜x≤2，
不等式组②无解，
∴原不等式的解集为﹣4＜x≤2．
故答案为：﹣4＜x≤2，
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，将原不等式转化为两个不等式组是解题的关键．
12．（2025春 洛江区三模）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是 　m≤3　 ．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】m≤3．
【分析】根据不等式组的解集的定义可知，不等式组中两个不等式的解集没有公共部分，进而得出m的取值范围．
【解答】解：由条件可知2x＞6，则x＞3，
∴x＞3，x≤m没有公共部分，
∴m≤3，
故答案为：m≤3．
【点评】本题考查不等式组的解集，解题的关键是理解不等式组解集的定义．
13．（2025春 虹口区）关于x的不等式的解集为　x≤﹣3或1＜x≤2　 ．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x≤﹣3或1＜x≤2．
【分析】依据题意，由，可得不等式的解集与（x+3）（x﹣2）（x﹣1）≤0且x﹣1≠0的解集相同，进而或或或，进而计算可以得解．
【解答】解：由题意，∵，
∴不等式的解集与（x+3）（x﹣2）（x﹣1）≤0且x﹣1≠0的解集相同．
∴或或或．
∴x≤﹣3或1＜x≤2．
故答案为：x≤﹣3或1＜x≤2．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题时要熟练掌握并能化简不等式组是关键．
14．（2025 河北）对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数．如：[3.14]＝3，[﹣7.59]＝﹣8，则满足关系式的x的整数值有 　3　 个．
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【专题】新定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先把问题转化为解不等式组45，得到不等式组的解集，然后求其整数解．
【解答】解：由题意得45，
解得：7≤x，
其整数解为7、8、9共3个．
故答案为：3．
【点评】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
15．（2025春 长安区三模）不等式的所有负整数解的和为　﹣3　 ．
【考点】一元一次不等式的整数解．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣3．
【分析】根据不等式确定所有的负整数解，最后求和即可．
【解答】解：不等式的所有负整数解为：﹣2，﹣1，
∴﹣2+（﹣1）＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式的负整数解．解题的关键在于正确的解不等式．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春 宝安区）求满足不等式组的所有整数解的和．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】5．
【分析】先解不等式组得出不等式组的解集，从而知道不等式组的整数解情况，再求和即可得出答案．
【解答】解：
解不等式①得：x≤3，
解不等式②得：x＞﹣2，
所以不等式组的解集是﹣2＜x≤3，
∴在这个范围内的整数解有﹣1，0，1，2，3，
∴它们的和为（﹣1）+0+1+2+3＝5．
【点评】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是得出不等式组的解集及其整数解的情况．
17．（2025春 莲湖区）解不等式组．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣2＜x≤9．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①，得：x＞﹣2，
解不等式②，得：x≤9，
∴原不等式组的解集是﹣2＜x≤9．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
18．（2025春 洛江区三模）已知关于x，y的方程组
（1）若该方程组的解满足x﹣y＝2024，求m的值；
（2）若该方程组的解满足x为正数，y为负数，求m的取值范围；
【考点】解一元一次不等式组；解一元一次方程；二元一次方程组的解；解二元一次方程组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）m＝2023；
（2）m＞3．
【分析】（1）根据①+②得3x﹣3y＝3m+3，得x﹣y＝m+1，因为x﹣y＝2024，则m＝2023，即可作答．
（2）根据，分别得，，再结合x为正数，y为负数，列出不等式组，再解出m＞3，即可作答．
【解答】解：（1）将原方程标号得，
∴①+②得3x﹣3y＝3m+3，
∴x﹣y＝m+1，
∵x﹣y＝2024，
∴m+1＝2024，
∴m＝2023；
（2）将原方程组标号得，
∴①+②×4得x+8x＝2m﹣2+4m+20，
∴9x＝6m+18，
解得，
由（1）得x﹣y＝m+1，
∴，
∴，
∴，
∴m＞﹣3，
∴，
∴3＜m，
∴m的取值范围为m＞3．
【点评】本题考查了二元一次方程组，解不等式组的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
19．（2025春 洛江区三模）我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为ad﹣bc．例如：2×5﹣3×4＝﹣2．
（1）求不等式0的解集；
（2）若关于x的不等式0的解都是（1）中不等式的解，求n的取值范围为　n≥6　 ；
（3）若关于x的不等式组有解，求m的取值范围．
【考点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）x＞2；
（2）n≥6；
（3）m＜﹣5．
【分析】（1）根据新定义得出2x﹣（6﹣x）＞0，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得答案；
（2）由题意得n﹣3x＜0，解得x，由该不等式的解都是（1）中的不等式的解，知，解之即可得出答案；
（3）根据新定义得出化为，求得每个不等式的解集，然后根据题意得到关于m的不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）由题意知，2x﹣（6﹣x）＞0，
2x﹣6+x＞0，
2x+x＞6，
3x＞6，
解得x＞2；
（2）由题意得n﹣3x＜0，
解得x，
∵该不等式的解都是（1）中的不等式的解，
∴，
解得n≥6．
故答案为：n≥6．
（3）不等式组化为，
解不等式①得x，
解不等式②得x＜﹣1，
∵关于x的不等式组有解，
∴，
∴m＜﹣5．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解一元一次不等式组，理解二阶行列式的运算法则，掌握解一元一次不等式组以及解一元一次不等式的方法是正确解答的关键．
20．（2025春 中山市）【问题背景】对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足x﹣y＝1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”．
【数学理解】（1）方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？请说明理由；
【逆向思考】（2）已知关于x，y的二元一次方程组的解x与y具有“邻好关系”，求k的值．
【深入探究】（3）未知数为x，y的方程组，其中a与x，y都是正整数，该方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由．
【考点】解一元一次不等式组；二元一次方程组的解；解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）x与y具有“邻好关系”，理由见解析；
（2）k＝2；
（3）当a＝1时x与y具有“邻好关系”，方程组的解为．
【分析】（1）表示出方程组的解，利用题中的新定义判断即可；
（2）表示出方程组的解，由题中的新定义求出k的值即可；
（3）方程组两方程相加消元y，表示出x，根据a，x，y都为正整数，利用题中的新定义确定出a与方程组的解即可．
【解答】解：（1），
把②代入①，得3x+2（2x﹣7）＝28，
解得x＝6，
把x＝6代入②，得y＝2×6﹣7＝5，
∴方程组的解为，
∴x﹣y＝6﹣5＝1，
∴x与y具有“邻好关系”；
（2），
①×2﹣②，得x＝2k，
把x＝2k代入①，得4k+y＝5k+1，
∴y＝k+1，
∴方程的解为，
∵x与y具有“邻好关系”，
∴2k﹣（k+1）＝1，
解得k＝2；
（3）两方程相加，得（2+a）x＝12，
∵a与x，y都是正整数，
∴，，（舍去），（舍去），
在上面符合题意的两组解中，只有当a＝1时，x﹣y＝4﹣3＝1，
∴当a＝1时x与y具有“邻好关系”，方程组的解为．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
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