【中考押题预测】2025年中考数学核心考点考前冲刺 二次函数（含解析）

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中考核心考点 二次函数
一．选择题（共10小题）
1．（2025 阎良区二模）已知抛物线y＝ax2﹣6ax+c（a、c为常数，a＞0）经过点A（2，y1），B（4.5，y2），则y1和y2的大小关系为（　　）
A．y1≥y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．y1＞y2
2．（2025春 肥西县三模）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则下列判断中，错误的是（　　）
A．c＜﹣3a
B．若点A（b﹣3，y1），B（b﹣1，y2）在该抛物线上，且在x轴的下方，则y1＜y2
C．ax2+bx+c+k＝0（k＞0）一定有两个不相等的实数根
D．m（am+b）≥﹣a（m为实数）
3．（2025 碑林区四模）在平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+nx﹣2m与y＝（x﹣m+2）（x+n）关于直线y＝m对称，则符合条件的m和n的值可以为（　　）
A．， B．m＝1，
C．m＝10，n＝9 D．m＝2，n＝2
4．（2025 南安市一模）如图，二次函数y＝x2﹣x﹣2及一次函数y＝﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（　　）
A．﹣2＜m＜﹣1 B． C．﹣3＜m＜﹣2 D．
5．（2024秋 白碱滩区三模）关于抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，下列说法中错误的是（　　）
A．顶点坐标为（1，﹣2）
B．对称轴是直线x＝1
C．当x＞1时，y随x的增大而减小
D．开口方向向上
6．（2025春 集美区）已知抛物线y＝mx2+2mx+1，m＞0上有点A（t﹣2，y1），B（t，y2），C（t+1，y3），D（t+2，y4），则下列结论正确的是（　　）
A．若y2＞0，总有y1＞0 B．若y2＜0，总有y3＞0
C．若y1y2＜0，总有y4＞0 D．若y3y4＞0，总有y2＞0
7．（2025 无锡一模）随着《三体》的热播，越来越多的人喜欢上了天文，如图1是北京三老屯里的直立的雷达，它的横剖面如图2所示，CD∥MN，FG⊥MN，雷达的反射面DGC和抛物线类似，在不考虑厚度的情况下，反射面口径CD＝12m，最大深度EG＝8m．为了更好的跟踪信号，雷达的底座AB绕着点B顺时针旋转了一定的角度．如图3所示，当∠ABM＝45°时，且CH∥MN，此时水平面宽度CH为（　　）
A． B． C．9 D．10
8．（2025 曲阜市一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，顶点纵坐标大于2．下列结论：①abc＞0；②b2+8a＞4ac；③a+c＜1；④若m，n（m＜n）是方程ax2+（b+2）x＝x﹣c的两个根，则m＜﹣1，n＞0．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2025 高新区）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴相交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，下列说法正确的是（　　）
A．c＞0
B．对称轴为直线x＝﹣2
C．关于x的方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个不相等的实数根
D．2a+b＝0
10．（2025 成都）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），顶点的纵坐标为﹣4，其中2a+b＝0，下列说法错误的是（　　）
A．抛物线的对称轴是直线x＝1
B．抛物线与x轴的另一个交点为（2，0）
C．函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4
D．方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根
二．填空题（共5小题）
11．（2025春 鼓楼区）如图，抛物线y＝﹣x2+2x与x轴的另一个交点为A，现将抛物线向右平移m（m＞2）个单位长度，所得抛物线与x轴交于C，D，与原抛物线交于点P，设△APD的面积为S，则S可用含m的式子表示为　 　 ．
12．（2025春 莱州市三模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，其与x轴的一个交点为A（1，0），与y轴的交点C在点（0，﹣2），（0，﹣3）之间（不含端点），有下列结论：
①abc＞0；
②2a+b+c＞1；
③；
④若方程ax2+（b﹣1）x+c﹣1＝0的两根分别为x1，x2（x1＜x2），则﹣3＜x1＜1＜x2．
其中，正确结论的个数是 　 　 ．
13．（2025 武侯区）在平面直角坐标系中，已知M（a，b），N（a，2﹣3a﹣b）两点，连接MN，设线段MN的长为p，若点M在二次函数y＝x2的图象上，则当时，p的取值范围是 　 　 ．
14．（2025 温江区二模）在平面直角坐标系xOy中，若二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上存在A（x1，y1），B（x2，y2）两点，当m﹣2＜x1＜x2＜m时，满足y1＝y2，则m的取值范围为　 　 ．
15．（2025 成华区）一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“二倍点”，在﹣3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“二倍点”，则c的取值范围是　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 海陵区一模）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+m﹣3（m为常数，且m＞0）．
（1）当x＝1时，求y的值；
（2）若二次函数y＝mx2﹣2mx+m﹣3的图象经过点（2，y1），（3，y2），比较y1和y2的大小，并说明理由；
（3）若二次函数y＝mx2﹣2mx+m﹣3满足当n≤x≤2时，﹣3≤y≤m﹣3，直接写出n的取值范围．
17．（2025 工业园区一模）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，尽可能减少库存，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）如果商场通过销售这批衬衫每天盈利1050元，那么衬衫的单价降了多少元？
（2）单价降了多少元时，销售这批衬衫每天盈利最大？最大盈利是多少元？
18．（2025 阎良区二模）如图，某公园用两段院墙和一段抛物线型的围栏围出一个封闭的花圃，OA与OB是两段院墙，OA⊥OB，抛物线L与两段院墙分别交于点A、B，以OA所在直线为y轴，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，抛物线L的对称轴垂直于x轴，已知，OB＝7m，抛物线L的函数表达式为（a、c为常数，a≠0）．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）过点A向右作x轴的平行线交抛物线L于点C，过点C作CD⊥x轴于点D，现要在矩形OACD区域种植郁金香，请你求出矩形OACD区域的面积．
19．（2025 江西）综合与实践
根据以下素材，完成探究任务．
城墙建多高才能抵御敌方的进攻？
【素材1】图1是古代一种攻城器械“发石车”，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．
【素材2】如图2，防守方的护城墙BD垂直于地面AB，墙高BD＝10m，进攻方把“发石车”放置在距B处90m的A处，石块从A处竖直方向上的C处被投出，当石块在空中飞行到与AC的水平距离为50m时，石块离地面AB的高度最高，最高高度为27m．
【解决问题】
（1）当AC＝2m时．
①建立适当的平面直角坐标系，求抛物线（石块运动轨迹）的解析式；
②进攻方的石块能飞进防守方的城墙吗？若能，城墙应加建多高以上，才能让进攻方的石块飞不进防守方城墙；若不能，请说明理由．
（2）问：石块初发点C与A的距离在什么范围内，防守方无须加高城墙？
20．（2025 运城）综合与实践
【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率
【问题背景】如图1，洒水车沿着平行于公路绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水．数学兴趣小组的同学想了解洒水车要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索．
【数学建模】如图2，建立平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；喷水口H离地竖直高度OH为1.5m，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m，OD表示洒水车和绿化带之间的距离．内边缘抛物线y2是由外边缘抛物线y1向左平移得到，外边缘抛物线y1最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m．
【解决问题】
（1）求外边缘抛物线y1的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
（2）请求出内边缘抛物线y2与x轴的正半轴交点B的坐标；
（3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出OD的取值范围．
二次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 阎良区二模）已知抛物线y＝ax2﹣6ax+c（a、c为常数，a＞0）经过点A（2，y1），B（4.5，y2），则y1和y2的大小关系为（　　）
A．y1≥y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．y1＞y2
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】B
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A，B两点到对称轴的距离大小求解．
【解答】解：由二次函数解析式可知：抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴距离对称轴越近的点的纵坐标越小，
∵3﹣2＝1＜4.5﹣3＝1.5，
∴y1＜y2，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
2．（2025春 肥西县三模）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则下列判断中，错误的是（　　）
A．c＜﹣3a
B．若点A（b﹣3，y1），B（b﹣1，y2）在该抛物线上，且在x轴的下方，则y1＜y2
C．ax2+bx+c+k＝0（k＞0）一定有两个不相等的实数根
D．m（am+b）≥﹣a（m为实数）
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根的判别式．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】D
【分析】根据函数图象中的信息和二次函数的性质，可以分别判断各个选项中的结论是否正确，从而可以判断哪个选项符合题意．
【解答】解：由图象知，
x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，
∴1，
∵b＝2a，
∴3a+c＜0，
∴c＜﹣3a，故选项A正确，不符合题意；
由图象可知：a＜0，c＞0，b＜0，
∴b﹣3＜b﹣1＜﹣1，
∵当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2，故B正确，不符合题意；
根据图象可知，当k＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c与y＝﹣k的图象有两个交点，
∴ax2+bx+c+k＝0有两个不相等的实数根，故C正确，不符合题意；
∵抛物线对称轴为x＝﹣1，
∴1，
∴b＝2a，
∵抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣1，a﹣b+c），
∴y最大＝a﹣b+c＝﹣a+c，
∴am2+bm+c≤﹣a+c，
∴m（am+b）≤﹣a，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3．（2025 碑林区四模）在平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+nx﹣2m与y＝（x﹣m+2）（x+n）关于直线y＝m对称，则符合条件的m和n的值可以为（　　）
A．， B．m＝1，
C．m＝10，n＝9 D．m＝2，n＝2
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】D
【分析】由题可得两个抛物线的对称轴相同，再根据开口相反得到﹣n+（n﹣m+2）＝0，据此求解即可．
【解答】解：∵抛物线与y＝（x﹣m+2）（x+n）关于直线y＝m对称，
∴两个抛物线的对称轴相同，
又∵开口相反，
∴﹣n+（n﹣m+2）＝0，
解得m＝2，
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的几何变换、对称性，熟练掌握相关知识是解题的关键．
4．（2025 南安市一模）如图，二次函数y＝x2﹣x﹣2及一次函数y＝﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（　　）
A．﹣2＜m＜﹣1 B． C．﹣3＜m＜﹣2 D．
【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数图象与系数的关系；一次函数图象与几何变换；二次函数的性质；二次函数图象与几何变换．
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观；运算能力．
【答案】A
【分析】先求出A、B点坐标，作图分析出现四个交点的情况，过点A的直线与抛物线相切的直线之间存在四个交点的情况，分两种情况计算出m值即可得到答案．
【解答】解：∵y＝x2﹣x﹣2＝（x），令y＝x2﹣x﹣2＝0，则x＝﹣1或x＝2，
∴A（﹣1，0），B（2，0），
∵直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点，
∴①当直线y＝﹣x+m过点A时，则交点有3个，此时m＝﹣1；
②当直线y＝﹣x+m与抛物线相切时，则x2﹣x﹣2＝﹣x+m，整理得：
x2﹣（2+m）＝0，
Δ＝02+4×（2+m）＝0，
解得m＝﹣2，
如图所示，当直线y＝﹣x+m在两条直线之间时，有4个交点，
此时m的范围为：﹣2＜m＜﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，找到有四个交点时直线的运动范围是解答本题的关键．
5．（2024秋 白碱滩区三模）关于抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，下列说法中错误的是（　　）
A．顶点坐标为（1，﹣2）
B．对称轴是直线x＝1
C．当x＞1时，y随x的增大而减小
D．开口方向向上
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】C
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣2），对称轴为直线x＝1，
∴x＞1时，y随x的增大而增大．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
6．（2025春 集美区）已知抛物线y＝mx2+2mx+1，m＞0上有点A（t﹣2，y1），B（t，y2），C（t+1，y3），D（t+2，y4），则下列结论正确的是（　　）
A．若y2＞0，总有y1＞0 B．若y2＜0，总有y3＞0
C．若y1y2＜0，总有y4＞0 D．若y3y4＞0，总有y2＞0
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】C
【分析】先将抛物线y＝mx2+2mx+1（m＞0）化为顶点式，确定其对称轴，然后根据点到对称轴的距离来判断函数值得大小关系，再结合各选项条件进行分析．
【解答】解：将抛物线y＝mx2+2mx+1（m＞0）化为顶点式y＝m（x+1）2﹣m+1，
∴对称轴为x＝﹣1，
点A（t﹣2，y1） 到对称轴x＝﹣1的距离，d1＝|（t﹣2）﹣（﹣1）|＝|t﹣1|，
点B（t，y2） 到对称轴x＝﹣1的距离，d2＝|t﹣（﹣1）|＝|t+1|，
点C（t+1，y3） 到对称轴x＝﹣1的距离，d3＝|t+1﹣（﹣1）|＝|t+2|，
点D（t+2，y4） 到对称轴x＝﹣1的距离，d3＝|t+2﹣（﹣1）|＝|t+3|，
∵m＞0，抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大，且点到对称轴越远，函数值越大．
分析选项A，若y2＞0，仅知道点B的函数值大于0，但点A到对称轴的距离与点B到对称轴的距离关系不确定，不能得出总有y1＞0，所以A选项错误，
分析选项B，若y2＜0，不能确定点C的函数值一定大于0，因为不知道点B、C与对称轴的具体位置关系以及函数的具体形态，所以B选项错误，
分析选项C，若y1y2＜0，则y1与y2异号，说明A点和B点一个在x轴上方，一个在x轴下方，点D到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，且抛物线开口向上
，所以y4＞y2，又因为y1与y2异号，所以y2＜0时，y4＞0，C选项正确．
分析选项D，若y3y4＞0，说明y3与y4同号，但不能确定y2的正负，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，包括对称轴、开口方向以及点到对称轴的距离与函数值大小的关系．解题的关键在于利用二次函数的这些性质，结合各点的坐标来分析函数值的正负情况．需要准确把握函数的单调性和对称性等性质，通过分析点与对称轴的位置关系来判断函数值之间的大小和正负关系．
7．（2025 无锡一模）随着《三体》的热播，越来越多的人喜欢上了天文，如图1是北京三老屯里的直立的雷达，它的横剖面如图2所示，CD∥MN，FG⊥MN，雷达的反射面DGC和抛物线类似，在不考虑厚度的情况下，反射面口径CD＝12m，最大深度EG＝8m．为了更好的跟踪信号，雷达的底座AB绕着点B顺时针旋转了一定的角度．如图3所示，当∠ABM＝45°时，且CH∥MN，此时水平面宽度CH为（　　）
A． B． C．9 D．10
【考点】二次函数的应用；坐标与图形变化﹣旋转．
【专题】二次函数的应用；平移、旋转与对称；运算能力；应用意识．
【答案】A
【分析】依据题意，以CD为x轴，EG为y轴建立直角坐标系，先求出抛物线的解析式为yx2﹣8，然后由∠ABK＝45°，可得旋转前CH与水平方向的夹角为45°，从而可设直线CH的解析式为y＝x+b，将点C的坐标代入，求出直线CH的表达式为：y＝x﹣6，再建立方程组，可得0，则x1+x2，x1x2＝﹣9，故（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2，进而|x1﹣x2|，最后根据CH和x轴的夹角为45°，则CH|，进而可以判断得解．
【解答】解：以CD为x轴，EG为y轴建立直角坐标系，如图所示：
∵CD＝12m，
∴D（﹣6，0），C（6，0）．
∵EG＝8m，
∴E（0，﹣8）．
设抛物线的解析式为y＝ax2﹣8，将点C（6，0）代入解析式，有36a﹣8＝0，
∴a．
∴抛物线为yx2﹣8．
由题意，当∠ABK＝45°时，
∴旋转前CH与水平方向的夹角为45°，
设直线CH的解析式为y＝x+b，将点C的坐标代入，
∴6+b＝0．
∴b＝﹣6．
∴直线CH的表达式为：y＝x﹣6．
联立方程组，
∴0．
∴x1+x2，x1x2＝﹣9．
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2．
∴|x1﹣x2|．
由CH的表达式知，其和x轴的夹角为45°，则CH|（m）．
∴此时水平面的宽度CH的长为m．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用、坐标与图形变化﹣旋转，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
8．（2025 曲阜市一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，顶点纵坐标大于2．下列结论：①abc＞0；②b2+8a＞4ac；③a+c＜1；④若m，n（m＜n）是方程ax2+（b+2）x＝x﹣c的两个根，则m＜﹣1，n＞0．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系即可判断①；由题意可知2，进而得b2+8a＞4ac，即可判断②；由当x＝﹣1得a﹣b+c＝2，由x＝1得a+b+c＜0，进而得a+c的取值范围，即可判断③；根据函数与方程的关系即可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
∵抛物线的顶点纵坐标大于2，
∴2，
∵a＜0，
∴4ac﹣b2＜8a，
∴b2+8a＞4ac，故②正确；
当x＝﹣1时，a﹣b+c＝2，
当x＝1时，a+b+c＜0，
∴a﹣b+c+a+b+c＜2，
∴a+c＜1，故③正确；
∵m，n（m＜n）是方程ax2+（b+2）x＝x﹣c的两个根，
∴m，n（m＜n）是直线y＝﹣x与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标，
∴m＜﹣1，n＞0，故④正确，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
9．（2025 高新区）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴相交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，下列说法正确的是（　　）
A．c＞0
B．对称轴为直线x＝﹣2
C．关于x的方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个不相等的实数根
D．2a+b＝0
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】C
【分析】根据所给函数图象，得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性和增减性对所给选项依次进行判断即可．
【解答】解：由函数图象可知，
抛物线与y轴交于负半轴，
所以c＜0．
故A选项不符合题意．
因为抛物线与x轴的两个交点坐标为（﹣3，0）和（1，0），
所以抛物线的对称轴为直线x．
故B选项不符合题意．
因为抛物线与直线y＝2有两个不同的交点，
所以关于x的方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个不相等的实数根．
故C选项符合题意．
因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
所以，
则2a﹣b＝0．
故D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
10．（2025 成都）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），顶点的纵坐标为﹣4，其中2a+b＝0，下列说法错误的是（　　）
A．抛物线的对称轴是直线x＝1
B．抛物线与x轴的另一个交点为（2，0）
C．函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4
D．方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根
【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；二次函数的性质；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】B
【分析】利用对称轴方程可对A选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点为（3，0），从而可对B选项进行判断；根据二次函数的性质可对C选项进行判断；根据抛物线与x轴有2个交点可对D选项进行判断．
【解答】解：∵2a+b＝0，
∴b＝﹣2a，
∴抛物线的对称轴为直线x1，所以A选项的说法正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的一个交点为（3，0），所以B选项的说法错误；
∵抛物线的顶点的纵坐标为﹣4，
∴函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4，所以C选项的说法正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，所以D选项的说法正确．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
二．填空题（共5小题）
11．（2025春 鼓楼区）如图，抛物线y＝﹣x2+2x与x轴的另一个交点为A，现将抛物线向右平移m（m＞2）个单位长度，所得抛物线与x轴交于C，D，与原抛物线交于点P，设△APD的面积为S，则S可用含m的式子表示为　1　 ．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】1．
【分析】依据题意，先求出A的坐标，设P关于直线x＝1的对称点为Q，且设P的横坐标为x1，Q的横坐标为x2，根据题意可知x1+x2＝2，x1﹣x2＝m，从而求出x1，x2关于m的表达式，求出点P坐标，然后由三角形的面积公式求出面积．
【解答】解：由题意，∵抛物线y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
∴抛物线的对称轴为直线 x＝1．
令y＝0代入y＝﹣x2+2x，
∴0＝﹣x2+2x．
∴x＝0 或x＝2，
∴A（2，0）．
∴OA＝2，
设P关于直线x＝1的对称点为Q，且设P的横坐标为x1，Q的横坐标为x2，
∴．
∵抛物线向右平移m（m＞2）个单位长度，
∴PQ＝m，
∴x1﹣x2＝m．
∴．
∴，
∴把代入y＝﹣x2+2x得，y＝10．
∴在△PCD中，CD边上的高为：1．
∵OA＝CD＝2，
∴S△PCD2（1）1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是求出P的坐标，然后根据三角形面积公式即可求出△PCD的面积．
12．（2025春 莱州市三模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，其与x轴的一个交点为A（1，0），与y轴的交点C在点（0，﹣2），（0，﹣3）之间（不含端点），有下列结论：
①abc＞0；
②2a+b+c＞1；
③；
④若方程ax2+（b﹣1）x+c﹣1＝0的两根分别为x1，x2（x1＜x2），则﹣3＜x1＜1＜x2．
其中，正确结论的个数是 　2　 ．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】2．
【分析】根据题干可得a＞0，b＝2a＞0，﹣3＜c＜﹣2，即可判断①错误；根据抛物线与x轴的一个交点为A（1，0），即可判断②错误；将c和b用a表示，即可得到﹣3＜﹣3a＜﹣2，即可判断③正确；结合抛物线y＝ax2+bx+c和直线y＝x+1与x轴的交点，即可判断④正确．
【解答】解：由图可知a＞0，
∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，
∴x1，
则b＝2a＞0，
∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴的交点B在（0，﹣2），（0，﹣3）之间，
∴﹣3＜c＜﹣2，
则abc＜0，故①错误
∵该抛物线与x轴交于点A（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵a＞0，
2a+b+c＞0，故②错误；
∵﹣3＜c＜﹣2，a+b+c＝0，b＝2a＞0，
∴﹣3＜﹣3a＜﹣2，
解得，故③正确；
根据抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和（﹣3，0），直线y＝x+1过点（﹣1，0）和（0，1），如图，
方程ax2+（b﹣1）x+c﹣1＝0两根分别为x1，x2（x1＜x2），则﹣3＜x1＜1＜x2．故④正确；
故答案为：2．
【点评】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是关键．
13．（2025 武侯区）在平面直角坐标系中，已知M（a，b），N（a，2﹣3a﹣b）两点，连接MN，设线段MN的长为p，若点M在二次函数y＝x2的图象上，则当时，p的取值范围是 　p　 ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】p．
【分析】求得p＝|b﹣2+3a+b|＝|3a+2b﹣2|，由点M在二次函数y＝x2的图象上，得到b＝a2，代入P得到P＝|2a2+3a﹣2|＝|2（a）2|，根据二次函数的性质即可求得p的取值范围．
【解答】解：∵点M在二次函数y＝x2的图象上，
∴b＝a2，
∵p＝|b﹣2+3a+b|＝|3a+2b﹣2|
∴p＝|2a2+3a﹣2|＝|2（a）2|
∵，
∴当x时，2（a）2；x时2（a）2
∴p．
故答案为：p．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，得到p＝|2（a）2|是解题的关键．
14．（2025 温江区二模）在平面直角坐标系xOy中，若二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上存在A（x1，y1），B（x2，y2）两点，当m﹣2＜x1＜x2＜m时，满足y1＝y2，则m的取值范围为　1＜m＜3　 ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】1＜m＜3．
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征先求出对称轴为直线x＝1，再根据条件画出图象，根据图象和条件m﹣2＜x1＜x2＜m时，满足y1＝y2，得到m的取值范围即可．
【解答】解：二次函数y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x1，
∵A（x1，y1），B（x2，y2）两点在抛物线上，且y1＝y2，
∴点A（x1，y1）与点B（x2，y2）关于对称轴x＝1对称，
∵当m﹣2＜x1＜x2＜m时，满足y1＝y2，
∴，
解得1＜m＜3．
∴m的取值范围为1＜m＜3．
故答案为：1＜m＜3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是关键．
15．（2025 成华区）一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“二倍点”，在﹣3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“二倍点”，则c的取值范围是　c＜4　 ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象；二次函数图象与系数的关系．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】c＜4．
【分析】由题意得，二倍点所在的直线为y＝2x，根据二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“二倍点”转化为y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一个交点，求Δ≥0，再根据x＝﹣3和x＝1时两个函数值大小即可求出．
【解答】解：由题意得，二倍点所在的直线为y＝2x，
在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“二倍点”，
即在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c和y＝2x至少有一个交点，
令2x＝﹣x2﹣x+c，整理得，x2+3x﹣c＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝9+4c≥0，
解得c，
把x＝﹣3代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣12+c，代入y＝2x得y＝﹣6，
∴﹣6＞﹣12+c，
解得c＜6；
把x＝1代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣2+c，代入y＝2x得y＝2，
∴2＞﹣2+c，
解得：c＜4，
综上，c的取值范围为：c＜4．
故答案为：c＜4．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相关性质是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 海陵区一模）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+m﹣3（m为常数，且m＞0）．
（1）当x＝1时，求y的值；
（2）若二次函数y＝mx2﹣2mx+m﹣3的图象经过点（2，y1），（3，y2），比较y1和y2的大小，并说明理由；
（3）若二次函数y＝mx2﹣2mx+m﹣3满足当n≤x≤2时，﹣3≤y≤m﹣3，直接写出n的取值范围．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）﹣3；（2）y1＜y2；（3）0≤n≤1．
【分析】（1）依据题意，把x＝1代入y＝m﹣2m+m﹣3＝﹣3，进而可以判断得解；
（2）依据题意，由二次函数为y＝mx2﹣2mx+m﹣3，且m＞0，从而对称轴是直线x1，结合抛物线的开口向上，从而当x＞1时，y随x的增大而增大，又2＜3，进而可以判断得解；
（3）依据题意，由二次函数为y＝mx2﹣2mx+m﹣3＝m（x﹣1）2﹣3，且m＞0，则当x＝1时，y取最小值为﹣3，又当n≤x≤2时，﹣3≤y≤m﹣3，故n≤1，又当x＝2时，y＝m×22﹣2m×2+m﹣3＝m﹣3，且当n≤x≤2时，﹣3≤y≤m﹣3，则当x＝n时，y＝m×n2﹣2m×n+m﹣3＝mn2﹣2mn+m﹣3≤m﹣3，从而n2﹣2n≤0，即n（n﹣2）≤0，则0≤n≤2，又n≤1，进而可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，当x＝1时，y＝m﹣2m+m﹣3＝﹣3．
（2）由题意，∵二次函数为y＝mx2﹣2mx+m﹣3，且m＞0，
∴对称轴是直线x1．
又∵抛物线的开口向上，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大．
又∵2＜3，
∴y1＜y2．
（3）由题意，∵二次函数为y＝mx2﹣2mx+m﹣3＝m（x﹣1）2﹣3，且m＞0，
∴当x＝1时，y取最小值为﹣3．
又∵当n≤x≤2时，﹣3≤y≤m﹣3，
∴n≤1．
又∵当x＝2时，y＝m×22﹣2m×2+m﹣3＝m﹣3，且当n≤x≤2时，﹣3≤y≤m﹣3，
∴当x＝n时，y＝m×n2﹣2m×n+m﹣3＝mn2﹣2mn+m﹣3≤m﹣3．
∴n2﹣2n≤0，即n（n﹣2）≤0．
∴0≤n≤2．
又∵n≤1，
∴0≤n≤1．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
17．（2025 工业园区一模）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，尽可能减少库存，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）如果商场通过销售这批衬衫每天盈利1050元，那么衬衫的单价降了多少元？
（2）单价降了多少元时，销售这批衬衫每天盈利最大？最大盈利是多少元？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）25元；（2）单价降了15元时，销售这批衬衫每天盈利最大，最大盈利是1250元．
【分析】（1）依据题意，设衬衫的单价降了x元，根据题意，得关于x的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义作出取舍即可．
（2）依据题意，设单价降了x元后，则每天盈利为y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，进而结合二次函数的性质即可判断得解．
【解答】解：（1）由题意，设衬衫的单价降了x元，根据题意，得 （20+2x）（40﹣x）＝1050，∴x2﹣30x+125＝0．
∴x1＝5（不符合题意，舍去），x2＝25
∴衬衫的单价应降25元．
答：衬衫的单价应降25元．
（2）由题意，设单价降了x元后，
∴每天盈利为y＝（20+2x）（40﹣x）
＝﹣2（x﹣15）2+1250．
∴当x＝15时，y最大值为1250，
∴单价降了15元时，销售这批衬衫每天盈利最大，最大盈利是1250元．
【点评】本题主要考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并正确运用一元二次方程和二次函数的性质是解题的关键．
18．（2025 阎良区二模）如图，某公园用两段院墙和一段抛物线型的围栏围出一个封闭的花圃，OA与OB是两段院墙，OA⊥OB，抛物线L与两段院墙分别交于点A、B，以OA所在直线为y轴，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，抛物线L的对称轴垂直于x轴，已知，OB＝7m，抛物线L的函数表达式为（a、c为常数，a≠0）．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）过点A向右作x轴的平行线交抛物线L于点C，过点C作CD⊥x轴于点D，现要在矩形OACD区域种植郁金香，请你求出矩形OACD区域的面积．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据题意得出，B（7，0），利用待定系数法求二次函数解析式即可．
（2）令，求出AC，再根据矩形的面积求解即可．
【解答】解：（1）∵，OB＝7m，
∴，B（7，0），
由条件可得出：，
解得：，
∴抛物线L的函数表达式为：．
（2）∵令，
解得：x1＝0，x2＝6，
∴AC＝6，
矩形OACD的面积为：．
【点评】本题主要考查了二次函数和四边形的综合问题，解出二次函数解析式是解题的关键．
19．（2025 江西）综合与实践
根据以下素材，完成探究任务．
城墙建多高才能抵御敌方的进攻？
【素材1】图1是古代一种攻城器械“发石车”，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．
【素材2】如图2，防守方的护城墙BD垂直于地面AB，墙高BD＝10m，进攻方把“发石车”放置在距B处90m的A处，石块从A处竖直方向上的C处被投出，当石块在空中飞行到与AC的水平距离为50m时，石块离地面AB的高度最高，最高高度为27m．
【解决问题】
（1）当AC＝2m时．
①建立适当的平面直角坐标系，求抛物线（石块运动轨迹）的解析式；
②进攻方的石块能飞进防守方的城墙吗？若能，城墙应加建多高以上，才能让进攻方的石块飞不进防守方城墙；若不能，请说明理由．
（2）问：石块初发点C与A的距离在什么范围内，防守方无须加高城墙？
【考点】二次函数的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】（1）①抛物线的解析式为；②进攻方的石块能飞进防守方的城墙，城墙应加建1m以上
（2）当时，防守方无须加高城墙
【分析】（1）①以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立直角坐标系，
则C（0，2），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣50）2+27，利用待定系数法求解即可；
②令x＝90，求出y＝11值，即可判断进攻方的石块能飞进防守方的城墙，用求出的y值减去城墙高度即可得到城墙应加建多高；
（2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣50）2+27，AC＝nm，则C（0，n），得到，抛物线的解析式为，根据题意可得：当x＝90时，，即可求解．
【解答】（1）①以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立直角坐标系，
∵AC＝2m，AB＝90m，
∴C（0，2），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣50）2+27，
将C（0，2）代入抛物线的解析式为y＝a（x﹣50）2+27，
得2＝a（0﹣50）2+27，
∴，
∴；
②进攻方的石块能飞进防守方的城墙，
∵BD＝10m，AB＝90m，
∴D（90，10），
令x＝90，则，
∵11＞10，
∴进攻方的石块能飞进防守方的城墙，
11﹣10＝1m，
∴城墙应加建1m以上；
（2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣50）2+27，AC＝nm，则C（0，n），
将C（0，n）代入抛物线解析式得：n＝a（0﹣50）2+27，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∴当x＝90时，，
解得：，
∴当时，防守方无须加高城墙．
【点评】本题考查了二次函数的应用，不等式的应用，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
20．（2025 运城）综合与实践
【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率
【问题背景】如图1，洒水车沿着平行于公路绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水．数学兴趣小组的同学想了解洒水车要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索．
【数学建模】如图2，建立平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；喷水口H离地竖直高度OH为1.5m，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m，OD表示洒水车和绿化带之间的距离．内边缘抛物线y2是由外边缘抛物线y1向左平移得到，外边缘抛物线y1最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m．
【解决问题】
（1）求外边缘抛物线y1的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
（2）请求出内边缘抛物线y2与x轴的正半轴交点B的坐标；
（3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出OD的取值范围．
【考点】二次函数的应用．
【专题】待定系数法；二次函数的应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）易得y1的顶点A的坐标，用顶点式表示出y1的解析式，进而把点H的坐标代入可得a的值，取y＝0，可得OC的长度；
（2）设出平移后y2的解析式，进而把点H的坐标代入可得m的值，取y＝0，求得相应的x的值可得抛物线y2与x轴的正半轴交点B的坐标；
（3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，点D与点B重合或点F在y1上，分别求得对应的OD的长，可得OD的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得：点A（2，2）是外边缘抛物线的顶点，
∴设y1＝a（x﹣2）2+2，
∵抛物线过点H（0，1.5），
∴1.5＝4a+2，
∴a，
∴外边缘抛物线的函数解析式为：y1（x﹣2）2+2，
当y＝0时，0（x﹣2）2+2，
解得：x1＝6，x2＝﹣2（舍去），
∴喷出水的最大射程OC为6m；
（2）∵y由y1左右平移得到，
∴设y2（x﹣2+m）2+2，
∵经过点H（0，1.5），
∴1.5（﹣2+m）2+2，
解得：m1＝4，m2＝0（舍去），
∴y2（x+2）2+2，
把y2＝0代入，得：0（x+2）2+2
解得：x1＝2，x2＝﹣6（舍去），
∴点B的坐标为（2，0）；
（3）∵要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴点D与点B重合或点F在y1上，
当点D与点B重合时，OD＝OB＝2，
当点F在y1上时，0.5（x﹣2）2+2，
解得：x1＝2+2，x2＝2﹣2（不合题意，舍去），
∵DE＝3m，
∴DO＝2+23＝21，
∴OD的取值范围是2≤OD≤21．
【点评】本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得y1的解析式是解决本题的关键；易错点是根据二次函数的平移规律得到y2的解析式；难点是判断出洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带时，点D或点F对应的位置．
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