【中考押题预测】2025年中考数学核心考点考前冲刺 三角形（含解析）

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中考核心考点 三角形
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 宝安区）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC的平分线交CD于点E，连接AC和AE，AC⊥BC，AE⊥BE，若AD＝6，AE＝5，则AB的长为（　　）
A．8 B． C．9 D．
2．（2025春 思明区）如图，在矩形OABC中，OA＝2，AB＝1，OA在数轴上，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于点D，则点D表示的实数是（　　）
A．2.5 B． C． D．
3．（2025 扬州一模）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别记△AOB，△BOC，△COD，△AOD的面积为S1，S2，S3，S4，若AB∥CD，则下列结论不一定正确的是（　　）
A．S2＝S4 B．S1+S3＝S2+S4
C．S1：S2＝S4：S3 D．
4．（2025春 和平区）如图，分别以Rt△ABC的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边AB＝6，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．18
5．（2025春 深圳三模）如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝（　　）
A．130° B．125° C．124° D．135°
6．（2025春 海淀区）如图，数轴上点A表示的数为1，AB⊥OA，且AB＝OA．以原点O为圆心，OB为半径画弧，交数轴的负半轴于点C，则点C所表示的（　　）
A． B． C． D．
7．（2025春 宁波三模）如图，以AB为斜边的Rt△ABC面积为2，以△ABC的各边为边分别向外作正方形，过点E作EM⊥KH于点M，过点G作GN⊥KH于点N，则图中阴影面积为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
8．（2025春 福清市三模）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
9．（2025春 市北区三模）如图，在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，可判断△OMP≌△ONP，依据是（　　）
A．SAS B．SSS C．ASA D．HL
10．（2025春 西安三模）某茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如图，如果屋檐AB＝AC＝10米，横梁BC＝16 米，那么从梁BC上的任意一点D要支一根木头顶住屋顶A处（连接处的损耗不计），这根木头的长度可能是（　　）
A．5米 B．12米 C．8米 D．16米
二．填空题（共5小题）
11．（2025 台山市一模）如图，两车从路段AB的两端同时出发，沿着某个方向行驶一段时间后分别到达C，D两地，使得C，D两地到路段AB的距离相等，请添加一个条件：　 　 ，使得△ACE≌△BDF．（写出一个即可）
12．（2025 姑苏区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，D，E分别为边BC，AB上一点，且∠ADE＝45°，设CD＝x，BE＝y，则y与x之间的函数表达式为 　 　 ．
13．（2025春 静安区）如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝18厘米，且∠B＝∠C，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点的运动速度为4厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为　 　 ．
14．（2025春 海珠区）如图，已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC＝AD，∠DAC＝2∠ABC，若BC＝8，S△ABC＝12，则BD＝ 　 　 ．
15．（2025 琼山区一模）如图，在等边△ABC中，AB＝10，则等边△ABC的面积为 　 　 ；点D是边BC的中点，点P从B点出发，沿BA方向运动．连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPE，当点P从B点运动到A点时，点E运动的路径长是 　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春 和平区）天天和津津放风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程：
①先测得放飞点与风筝的水平距离BD的长为8米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AC的长为10米；
③牵线放风筝的手离地面的距离AB为1.5米．
已知A、B、C、D点在同一平面内．
（1）求风筝离地面的垂直高度CD；
（2）在测高的过程中天天提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升9米，BD长度不变，能否成功呢？请你帮助解决他提出的问题．
17．（2025春 成都三模）如图，已知AB∥CD，∠ABD的平分线交CD于F，∠BDC的平分线交BF于点E．（∠ABD为小于120°的钝角）
（1）求证：DE⊥BF；
（2）若BE长为2，求：BF的长；
（3）若点P为线段BF上一点，∠EDP＝α，∠ABF的角平分线与∠CDP的角平分线交于点G，试用含α的式子表示∠BGD的大小．
18．（2024秋 河源三模）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．
【实践探究】设计测量方案：
第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；
第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米；
【问题解决】设旗杆的高度AB为x米，通过计算即可求得旗杆的高度．
（1）依题知BC＝　 　 米，用含有x的式子表示AC为 　 　 米；
（2）请你求出旗杆的高度．
19．（2025春 长安区三模）已知：如图，在△ABC中，120°＜∠BAC＜180°，AD为边BC的垂直平分线，以AC为边作等边三角形ACE，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，直线BE交DA的延长线于点F，连接FC交AE于点M．
（1）求证：∠FEA＝∠FBA．
（2）求∠EFC的度数．
（3）猜想线段FE，FA，FD之间的数量关系，并证明你的结论．
20．（2025春 天山区）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（a，0），B（0，b）且a，b满足|a+3|0，已知点C坐标为（0，4）．
（1）S△ABC的面积；
（2）若点M在y轴上，且S△ACM，求点M的坐标．
三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 宝安区）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC的平分线交CD于点E，连接AC和AE，AC⊥BC，AE⊥BE，若AD＝6，AE＝5，则AB的长为（　　）
A．8 B． C．9 D．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行线的性质．
【专题】三角形；图形的全等；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】延长AE∠BC的延长线于点F，证明△AEB和△CEB全等得AE＝FE＝5，AB＝BF，进而得AF＝AE+FE＝10，再证明△EAD和△EFC全等得AD＝FC＝6，进而由勾股定理得AC＝8，再由三角形面积公式得S△ABCAF BEBF AC，由此得BEBF，然后在Rt△BEF中，由勾股定理可求出BF，据此即可得出AB的长．
【解答】解：延长AE∠BC的延长线于点F，如图所示：
∵∠ABC的平分线交CD于点E，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在△AEB和△CEB中，
，
∴△AEB≌△CEB（ASA），
∴AE＝FE＝5，AB＝BF，
∴AF＝AE+FE＝10，
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠F，∠D＝∠2，
在△EAD和△EFC中，
，
∴△EAD≌△EFC（AAS），
∴AD＝FC＝6，
∵AC⊥BC，
∴∠ACF＝90°，
在Rt△ACF中，由勾股定理得：AC8，
由三角形面积公式得：S△ABCAF BEBF AC，
∴BEBF，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：FEBF，
∴BFFE．
∴AB＝BF．
故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的性质，灵活勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点．
2．（2025春 思明区）如图，在矩形OABC中，OA＝2，AB＝1，OA在数轴上，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于点D，则点D表示的实数是（　　）
A．2.5 B． C． D．
【考点】勾股定理；实数与数轴．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】D
【分析】由勾股定理计算出，由此即可得到答案．
【解答】解：∵OA＝2，AB＝1，
∴，
∴以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是，
故选：D．
【点评】本题考查实数与数轴，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3．（2025 扬州一模）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别记△AOB，△BOC，△COD，△AOD的面积为S1，S2，S3，S4，若AB∥CD，则下列结论不一定正确的是（　　）
A．S2＝S4 B．S1+S3＝S2+S4
C．S1：S2＝S4：S3 D．
【考点】三角形的面积；平行线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】首先根据同底等高的两个三角形面积相等可判断A；根据高相等的两个三角形的面积比等于底边的比得到，，进而可判断B和C；将S4＝S2代入即可判断D．
【解答】解：由条件可知S△ABD＝S△ABC（同底等高的两个三角形面积相等），
∴S△ABD﹣S1＝S△ABC﹣S1，
∴S4＝S2，故A正确，不符合题意；
∵点A，O，C共线，
∴点B到OA的距离等于点B到OC的距离，
∴，即，
同理可得，，即，
∴，
∵OA和OC不一定相等，
∴S1+S3和S2+S4不一定相等，故B错误，符合题意；
∴，故C正确，不符合题意；
∴S2S4＝S1S3，
∴，
∴，故D正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，同底等高的两个三角形面积相等，高相等的两个三角形的面积比等于底边的比，解题的关键是掌握以上知识点．
4．（2025春 和平区）如图，分别以Rt△ABC的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边AB＝6，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．18
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】根据勾股定理可得AH2+HC2＝AC2，从而可得，，同理，，再根据AC2+BC2＝AB2，代入求值即可．
【解答】解：标记字母如图：
∵△ACH为直角三角形，
∴由勾股定理得：AH2+HC2＝AC2，
又∵AH＝HC，
∴AH2，
∴S△ACHAH×HC，
同理，S△BCF，S△ABE，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
∵AB＝6，
∴阴影部分的面积为S△ACH+S△BCF+S△ABE
BC2+AB2）
2AB2
AB2
62
＝18．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．
5．（2025春 深圳三模）如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝（　　）
A．130° B．125° C．124° D．135°
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】由题意得△AGF≌△ACD，三角形ABE是等腰直角三角形，即可求解．
【解答】解：如图所示：
可得：AG＝AC＝3，GF＝CD＝1，∠AGF＝∠ACD＝90°，
AB＝BE＝2，∠ABE＝90°，
在△AGF和△ACD中，
，
∴△AGF≌△ACD（SAS），三角形ABE是等腰直角三角形，
∴∠3＝∠AFG，∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝∠AFG+∠1+45°＝135°．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形，关键是相关性质的熟练掌握．
6．（2025春 海淀区）如图，数轴上点A表示的数为1，AB⊥OA，且AB＝OA．以原点O为圆心，OB为半径画弧，交数轴的负半轴于点C，则点C所表示的（　　）
A． B． C． D．
【考点】勾股定理；等腰直角三角形；实数与数轴．
【专题】实数；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】D
【分析】利用勾股定理求得OB的长，根据实数与数轴的关系求得点C所表示的数即可．
【解答】解：由题意得：OA＝1，
∵AB＝OA，
∴AB＝1，
由勾股定理得OB，
∴OC＝OB，
∵点C在负半轴，
∴点C所表示的数是．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，实数与数轴，等腰直角三角形，熟练掌握相关性质，实数与数轴的对应关系是解题的关键．
7．（2025春 宁波三模）如图，以AB为斜边的Rt△ABC面积为2，以△ABC的各边为边分别向外作正方形，过点E作EM⊥KH于点M，过点G作GN⊥KH于点N，则图中阴影面积为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形的面积．
【专题】三角形；图形的全等；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】过点C作CO⊥AB于点O，延长AB交EM于点P，交GN于点Q，再由题意得出AC＝AE，BC＝BG，AB＝AK＝BH，四边形AKMP、四边形BHNQ都为矩形，∠CAE＝∠CBG＝90°，然后证△EAP≌△ACO（AAS），得出AP＝CO，△EAP的面积＝△ACO的面积，同理△GBQ≌△BCO（AAS），得出BQ＝CO，△GBQ的面积＝△BCO的面积，即可得出结果．
【解答】解：如图，过点C作CO⊥AB于点O，延长AB交EM于点P，交GN于点Q，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
∵以△ABC的各边为边分别向外作正方形，过点E作EM⊥KH于点M，过点G作GN⊥KH于点N，
∴AC＝AE，BC＝BG，AB＝AK＝BH，四边形AKMP、四边形BHNQ都为矩形，∠CAE＝∠CBG＝90°，
∴∠APE＝∠BQG＝90°，
∵∠EAP+∠CAO＝180°﹣∠CAE＝180°﹣90°＝90°，∠EAP+∠AEP＝90°，
∴∠CAO＝∠AEP，
在△EAP和△ACO中，
，
∴△EAP≌△ACO（AAS），
∴AP＝CO，△EAP的面积＝△ACO的面积，
同理可证：△GBQ≌△BCO（AAS），
∴BQ＝CO，△GBQ的面积＝△BCO的面积，
∴AP＝BQ＝CO，△EAP的面积+△GBQ的面积＝△ACO的面积+△BCO的面积＝△ABC的面积，
∴图中阴影面积＝矩形AKMP的面积+矩形BHNQ的面积+△EAP的面积+△GBQ的面积
＝AK AP+BH BQ+△ABC的面积
＝AB CO+AB COAB CO
＝5×△ABC的面积
＝5×2
＝10，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
8．（2025春 福清市三模）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【考点】勾股定理的证明．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断．
【解答】解：在①选项中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，
∴c2+2ab＝a2+b2+2ab，
在①选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
∴4ab+c2＝（a+b）2，
整理得a2+b2＝c2，故②可以证明勾股定理；
在③选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
∴ababc2（a+b）（a+b），
整理可得a2+b2＝c2，故③可以证明勾股定理；
此图也可以看成Rt△BEA绕其直角顶点顺时针旋转90°，再向下平移得到．一方面，四边形ABCD的面积等于△ABC和Rt△ACD的面积之和，另一方面，四边形ABCD的面积等于Rt△ABD和△BCD的面积之和，
所以S△ABC+S△ACD＝S△ABD+S△BCD
即b2abc2a（b﹣a），
整理：b2+ab＝c2+a（b﹣a）
b2+ab＝c2+ab﹣a2
∴a2+b2＝c2．
故④可以证明勾股定理；
∴能证明勾股定理的是①②③④．
故选：D．
【点评】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．
9．（2025春 市北区三模）如图，在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，可判断△OMP≌△ONP，依据是（　　）
A．SAS B．SSS C．ASA D．HL
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】D
【分析】根据垂直定义得出∠PMO＝∠PNO＝90°，再根据两直角三角形全等的判定定理HL推出即可．
【解答】解：∵PM⊥OA，PN⊥OB，
∴∠PMO＝∠PNO＝90°，
在Rt△OMP和Rt△ONP中，
，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
10．（2025春 西安三模）某茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如图，如果屋檐AB＝AC＝10米，横梁BC＝16 米，那么从梁BC上的任意一点D要支一根木头顶住屋顶A处（连接处的损耗不计），这根木头的长度可能是（　　）
A．5米 B．12米 C．8米 D．16米
【考点】勾股定理的应用；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】过A作AH⊥BC于H，由等腰三角形的性质得到BHBC＝8米，由勾股定理求出AH＝6米，由垂线段最短得到AH≤AD＜AC，即可得到答案．
【解答】解：过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC＝10米，BC＝16米，
∴BHBC＝8米，
在Rt△ABH中，
AH6米，
∵AH≤AD＜AC，
∴这根木头需要长度可能是8米．
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，关键是由等腰三角形的性质推出BHBC，由垂线段最短得到AH≤AD＜AC．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 台山市一模）如图，两车从路段AB的两端同时出发，沿着某个方向行驶一段时间后分别到达C，D两地，使得C，D两地到路段AB的距离相等，请添加一个条件：　AC＝BD（答案不唯一）　 ，使得△ACE≌△BDF．（写出一个即可）
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】AC＝BD（答案不唯一）．
【分析】结合全等三角形的判定方法即可得出答案．
【解答】解：由题意可得：CE＝DF，∠AEC＝∠BFD＝90°，
添加一个条件为AC＝BD，
在Rt△ACE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL），
故答案为：AC＝BD（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，正确掌握基本判定方法是解题关键．
12．（2025 姑苏区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，D，E分别为边BC，AB上一点，且∠ADE＝45°，设CD＝x，BE＝y，则y与x之间的函数表达式为 　yx2（0≤x＜1）　 ．
【考点】等腰直角三角形；函数关系式．
【专题】函数及其图象；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力．
【答案】yx2（0≤x＜1）．
【分析】证明△ADE∽△ABD，推出，推出AD2＝AE AB可得结论．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝1，CD＝x，
∴AD2＝AC2+CD2＝1+x2，
∵AC＝CB＝1，
∴∠B＝45°，AB，
∵EB＝y，
∴AEy，
∵∠DAE＝∠BAD，∠ADE＝∠B＝45°，
∴△ADE∽△ABD，
∴，
∴AD2＝AE AB，
∴1+x2＝（y），
∴yx2（0≤x＜1）．
故答案为：yx2（0≤x＜1）．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形，函数关系式，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
13．（2025春 静安区）如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝18厘米，且∠B＝∠C，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点的运动速度为4厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为　3或4　 ．
【考点】全等三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形中位线定理．
【专题】三角形；图形的全等；推理能力．
【答案】3或4．
【分析】分两种情况讨论：①若△BPD≌△CPQ，根据全等三角形的性质，则BD＝CQ＝12厘米，BP＝CPBC＝9（厘米），根据速度、路程、时间的关系即可求得；②若△BPD≌△CQP，则CP＝BD＝12厘米，BP＝CQ，得出vt＝4t，解得：v＝4．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC＝24厘米，点D为AB的中点，
∴BD＝12厘米，
若△BPD≌△CPQ，则需BD＝CQ＝12厘米，BP＝CPBC＝9（厘米），
∵点Q的运动速度为4厘米/秒，
∴点Q的运动时间为：12÷4＝3（s），
∴v＝9÷3＝3（厘米/秒）；
若△BPD≌△CQP，则需CP＝BD＝12厘米，BP＝CQ，
vt＝4t，
解得：v＝4；
∴v的值为3或4．
故答案为：3或4．
【点评】此题考查了全等三角形的判定和线段垂直平分线的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
14．（2025春 海珠区）如图，已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC＝AD，∠DAC＝2∠ABC，若BC＝8，S△ABC＝12，则BD＝ 　10　 ．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】10．
【分析】过点B作BM⊥BC，过点A作AE⊥BM于点E，在BE的延长线上截取EF＝EB，连接AF，CF，则AE是BF的垂直平分线，AE∥BC，由此得∠BAF＝∠DAC＝2∠ABC，进而得∠CAF＝∠DAB，进而可依据“SAS”判定△AFC和△ABD全等，则CF＝BD，再根据S△ABC＝12得EB＝3，则BF＝2EB＝6，然后在Rt△BCF中，由勾股定理求出CF＝10即可得出BD的长．
【解答】解：过点B作BM⊥BC，过点A作AE⊥BM于点E，在BE的延长线上截取EF＝EB，连接AF，CF，如图所示：
∴AE是BF的垂直平分线，AE∥BC，
∴AF＝AB，
∵AE⊥BM，
∴∠BAE＝∠FAE，
∴∠BAF＝2∠BAE，
∵AE∥BC，
∴∠BAE＝∠ABC，
∴∠BAF＝2∠ABC，
∵∠DAC＝2∠ABC，
∴∠DAC＝∠BAF，
∴∠DAC+∠DAF＝∠BAF+∠DAF，
∴∠CAF＝∠DAB，
在△AFC和△ABD中，
，
∴△AFC≌△ABD（SAS），
∴CF＝BD，
∵BC＝8，S△ABC＝12，
∴S△ABCBC EB＝12，
∴EB3，
∴EF＝EB＝3，
∴BF＝2EB＝6，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：CF10，
∴BD＝CF＝10．
故答案为：10．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
15．（2025 琼山区一模）如图，在等边△ABC中，AB＝10，则等边△ABC的面积为 　　 ；点D是边BC的中点，点P从B点出发，沿BA方向运动．连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPE，当点P从B点运动到A点时，点E运动的路径长是 　10　 ．
【考点】等边三角形的性质；轨迹；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】；10．
【分析】连接AD，根据等边三角形性质得AD⊥BC，BD＝CDBC＝5，则AD，由此可得出等边△ABC的面积；过点D作DF⊥AB于点F，过点E作EH⊥BC于点H，先求出DF，证明△PDF和△DEH全等得DF＝EH，由此得在点D沿BA方向运动的过程中，点E到BC的距离始终等于，则点E运动的轨迹与BC平行，且到BC的距离为，AB的中点为M，过点M作MQ⊥BC于点Q，过点M作直线l∥BC，连接MD，进而得MQ＝EH，由此得在点D沿BA方向运动的过程中，点E始终在直线l上运动，当点P与点B重合时，点E与点M重合，设点P于点A重合时，点运动到点K处，则点E运动的路径是线段MK，然后在Rt△AMK中，由勾股定理求出MK＝10，据此可得点E运动的路径长．
【解答】解：连接AD，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，AB＝10，
∴AB＝BC＝AC＝10，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°，
∵点D值AB的中点，
∴AD⊥BC，BD＝CDBC＝5，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AD，
∴等边△ABC的面积为：BC AD；
过点D作DF⊥AB于点F，过点E作EH⊥BC于点H，如图2所示：
∴∠DFP＝∠EHD＝90°，
在Rt△BDF中，∠B＝60°，BD＝5，
∴∠BDF＝90°﹣∠B＝30°，
∴BFBD，
由勾股定理得：DF，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
在Rt△ADF中，∠ADF＝90°﹣∠BAD＝60°，
∵△DPE是等边三角形，
∴DP＝ED，∠PDE＝60°，
∵∠PDE＝∠ADF＝60°，
∴∠ADP+∠PDF＝∠ADE+∠ADP，
∴∠PDF＝∠ADE，
∵AD⊥BC，EH⊥BC，
∴AD∥EH，
∴∠ADE＝∠DEH，
∴∠PDF＝∠DEH，
在△PDF和△DEH中，
，
∴△PDF≌△DEH（AAS），
∴DF＝EH，
∴在点D沿BA方向运动的过程中，点E到BC的距离始终等于，
∴点E运动的轨迹与BC平行，且到BC的距离为，
设AB的中点为M，过点M作MQ⊥BC于点Q，过点M作直线l∥BC，连接MD，如图3所示：
在Rt△BMQ中，BMAB＝5，∠BMQ＝90°﹣∠B＝30°，
∴BQBM，
由勾股定理得：MQ，
∴MQ＝EH，
∴在点D沿BA方向运动的过程中，点E始终在直线l上运动，
∵点D，M分别是BC，AB的中点，
∴DM是△ABC的中位线，
∴DM＝AMAC＝5，
∴BM＝DM＝5，
∴△BDM是等边三角形，
∴当点P与点B重合时，点E与点M重合，
设点P与点A重合时，点运动到点K处，如图4所示：
∴∠DAK＝60°，AK＝AD，
∴点E运动的路径是线段MK，
∵∠MAK＝∠BAD+∠DAK＝30°+60°＝90°，
在Rt△AMK中，由勾股定理得：MK10，
∴点E运动的路径长是10．
故答案为：；10．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，点的运用轨迹，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，点的运用轨迹是解决问题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春 和平区）天天和津津放风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程：
①先测得放飞点与风筝的水平距离BD的长为8米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AC的长为10米；
③牵线放风筝的手离地面的距离AB为1.5米．
已知A、B、C、D点在同一平面内．
（1）求风筝离地面的垂直高度CD；
（2）在测高的过程中天天提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升9米，BD长度不变，能否成功呢？请你帮助解决他提出的问题．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．
【答案】（1）7.5米；
（2）能成功，理由见解析．
【分析】（1）过点A作AE⊥CD于点E，在Rt△AEC中，根据勾股定理即可求解；
（2）假设能上升9m，作图Rt△AEF，根据勾股定理可得AF＝15m，再根据题意，10+7.5＝17.5＞17即可求解．
【解答】解：（1）如图1所示，过点A作AE⊥CD于点E，
则四边形ABDE是矩形，
AE＝BD＝8米，AB＝CD＝1.5米，
在Rt△ACE中，
CE6（米），
∴CD＝CE+CD＝6+1.5＝7.5（米）；
（2）能成功，理由如下：
假设能上升9m，如图所示，延长DC至点F，连接AF，
则CF＝9米，
∴EF＝CE+CF＝6+9＝15（米）．
在Rt△AEF中，
∴AF17（米），
∵AC＝10米，余线仅剩7.5米，
∴10+7.5＝17.5＞17，
∴能上升9m，即能成功．
【点评】本题主要考查勾股定理的运用，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题．
17．（2025春 成都三模）如图，已知AB∥CD，∠ABD的平分线交CD于F，∠BDC的平分线交BF于点E．（∠ABD为小于120°的钝角）
（1）求证：DE⊥BF；
（2）若BE长为2，求：BF的长；
（3）若点P为线段BF上一点，∠EDP＝α，∠ABF的角平分线与∠CDP的角平分线交于点G，试用含α的式子表示∠BGD的大小．
【考点】角平分线的性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）4；
（3）45°α或45°α．
【分析】（1）根据AB∥CD，BF平分∠ABD得∠ABF＝∠DFB＝∠DBF，则△DBF是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质得BE＝EF＝2，由此可得BF的长；
（2）依题意有以下两种情况：①当点P在线段BE上时，过点G作GH∥AB（点H在点G的左侧），设EDG＝β，先分别求出∠CDG＝∠PDG＝α+β，∠ABG＝45°α﹣β，再根据AB∥GH∥CD得∠BGH＝∠ABG＝45°α﹣β，∠DGH＝∠CDG＝α+β，由此可得∠BGD的大小；①当点P在线段EF上时，过点G作GH∥AB（点H在点G的左侧），设∠CDG＝∠PDG＝θ，则∠CDP＝2θ，再求出∠ABG＝45°﹣θα，再根据AB∥GH∥CD得∠BGH＝∠ABG＝45°﹣θα，∠DGH＝∠CDG＝θ，由此可得∠BGD的大小，综上所述即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠DFB，
∵BF平分∠ABD，
∴∠ABF＝∠DBF，
∴∠DFB＝∠DBF，
∵DF平分∠BDC
∴∠FDE＝∠BDE，
∴DF＝DB，
即△DBF是等腰三角形，
又∵DE平分∠BDC，
∴DE⊥BF；
（2）若BE长为2时，
∵△DBF是等腰三角形，DE平分∠BDC，
∴BE＝EF＝2，
∴BF＝BE+EF＝4；
（3）依题意有以下两种情况：
①当点P在线段BE上时，过点G作GH∥AB（点H在点G的左侧），如图1所示：
设∠EDG＝β，
∵∠EDP＝α，
∴∠PDG＝∠EDP+EDG＝α+β，
∵DG平分∠CDP，
∴∠CDG＝∠PDG＝α+β，
∴∠CDE＝∠CDG+EDG＝α+β+β＝α+2β，
由（1）知：DE⊥BF，
在Rt△FDE中，∠BFD＝90°﹣∠CDE＝90°﹣α﹣2β，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠BFD＝90°﹣α﹣2β，
∵BG平分∠ABF，
∴∠ABG∠ABF＝45°α﹣β，
∵GH∥AB，
∴AB∥GH∥CD，
∴∠BGH＝∠ABG＝45°α﹣β，∠DGH＝∠CDG＝α+β，
∴∠BGD＝∠BGH+∠DGH＝45°α﹣β+α+β＝45°α；
①当点P在线段EF上时，过点G作GH∥AB（点H在点G的左侧），如图2所示：
∵DG平分∠CDP，
∴设∠CDG＝∠PDG＝θ，则∠CDP＝2θ，
∵∠CDE＝∠CDP+∠EDP＝2θ+α，
在Rt△FDE中，∠BFD＝90°﹣∠CDE＝90°﹣2θ﹣α，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠BFD＝90°﹣α﹣2β，
∵BG平分∠ABF，
∴∠ABG∠ABF＝45°﹣θα，
∵GH∥AB，
∴AB∥GH∥CD，
∴∠BGH＝∠ABG＝45°﹣θα，∠DGH＝∠CDG＝θ，
∴∠BGD＝∠BGH+∠DGH＝45°﹣θα+θ＝45°α，
综上所述：∠BGD的大小45°α或45°α．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
18．（2024秋 河源三模）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．
【实践探究】设计测量方案：
第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；
第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米；
【问题解决】设旗杆的高度AB为x米，通过计算即可求得旗杆的高度．
（1）依题知BC＝　5　 米，用含有x的式子表示AC为 　（x+1）　 米；
（2）请你求出旗杆的高度．
【考点】勾股定理的应用；列代数式．
【专题】整式；等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】（1）5；（x+1）；
（2）12米．
【分析】（1）根据“测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米”和“测得多出部分绳子的长度是1米”填空；
（2）因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．
【解答】解：（1）根据题意知：BC＝5米，AC＝（x+1）米．
故答案为：5；（x+1）；
（2）在直角△ABC中，由勾股定理得：
BC2+AB2＝AC2，
即52+x2＝（x+1）2．
解得x＝12．
答：旗杆的高度为12米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
19．（2025春 长安区三模）已知：如图，在△ABC中，120°＜∠BAC＜180°，AD为边BC的垂直平分线，以AC为边作等边三角形ACE，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，直线BE交DA的延长线于点F，连接FC交AE于点M．
（1）求证：∠FEA＝∠FBA．
（2）求∠EFC的度数．
（3）猜想线段FE，FA，FD之间的数量关系，并证明你的结论．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）60°；
（3）FE+FA＝2FD．证明见解析．
【分析】（1）由等边三角形的性质及等腰三角形的性质可得出答案；
（2）证出∠EFC＝∠CAE，由等边三角形的性质可得出答案；
（3）在FC上截取FN，使FN＝FE，连接EN，求出∠EFM＝∠CAM，根据等边三角形的性质得出∠EFM＝60°，根据等边三角形的判定得出△EFN是等边三角形，求出∠FEN＝60°，EN＝EF，求出∠AEF＝∠CEN，根据SAS推出△EFA≌△ENC，根据全等得出FA＝NC，求出FC＝2FD，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AD为边BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，
∵△ACE为等边三角形，
∴AC＝AE，
∴AB＝AE，
∴∠FEA＝∠FBA；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵AD⊥BC，
∴直线AD垂直平分BC，
∴FB＝FC，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴∠FBC﹣∠ABC＝∠FCB﹣∠ACB，
即∠ABE＝∠ACF，
∵∠ABE＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠ACF，
∵∠FME＝∠CMA，
∴∠EFC＝∠CAE，
∵等边三角形ACE中，∠CAE＝60°，
∴∠EFC＝60°．
（3）解：FE+FA＝2FD，
证明：在FC上截取FN，使FN＝FE，连接EN，如图2，
∵∠FME＝∠AMC，∠AEF＝∠ACF，
∴180°﹣∠AEF﹣∠FME＝180°﹣∠ACF﹣∠AMC，
∴∠EFM＝∠CAM，
∵等边三角形ACE中，∠CAE＝60°，
∴∠EFM＝60°，
∵FN＝FE，
∴△EFN是等边三角形，
∴∠FEN＝60°，EN＝EF，
∵△ACE为等边三角形，
∴∠AEC＝60°，EA＝EC，
∴∠FEN＝∠AEC，
∴∠FEN﹣∠MEN＝∠AEC﹣∠MEN，
即∠AEF＝∠CEN，
在△EFA和∠ENC中，
，
∴△EFA≌△ENC（SAS），
∴FA＝NC，
∴FE+FA＝FN+NC＝FC，
∵∠EFC＝∠FBC+∠FCB＝60°，∠FBC＝∠FCB，
∴∠FCB60°＝30°，
∵AD⊥BC，
∴∠FDC＝90°，
∴FC＝2FD，
∴FE+FA＝2FD．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
20．（2025春 天山区）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（a，0），B（0，b）且a，b满足|a+3|0，已知点C坐标为（0，4）．
（1）S△ABC的面积；
（2）若点M在y轴上，且S△ACM，求点M的坐标．
【考点】三角形的面积；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；坐标与图形性质．
【答案】（1）7.5；
（2）（0，3）或（0，5）．
【分析】（1）根据算术平方根的非负性求得a＝﹣3，b＝﹣1，从而得到点A，B得坐标．即可求得OA＝3，BC＝5，再根据三角形的面积公式即可求解；
（2）设点M的坐标为（0，m），则CM＝|4﹣m|，由，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）∵点A、B的坐标分别为A（a，0），B（0，b），a，b满足|a+3|0，
∴a+3＝0，b+1＝0，
∴a＝﹣3，b＝﹣1，
∴A（﹣3，0），B（0，﹣1），
∵C（0，4），
∴OA＝3，BC＝5，
∴；
（2）设点M的坐标为（0，m），则CM＝|4﹣m|，
∵，
∴，
即，
解得：m＝3或5，
∴点M的坐标为（0，3）或（0，5）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，三角形的面积，能根据坐标求出线段长是解题的关键．
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