【中考押题预测】2025年中考数学核心考点考前冲刺 整式（含解析）

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中考核心考点 整式
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 瑞安市二模）如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠的部分分别记为①和②，正方形ABCD中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，①和②的面积分别记为S1和S2．若知道下列条件，可以求S1﹣S2值的是（　　）
A．长方形纸片的面积
B．长方形纸片的周长
C．长方形纸片和①的面积差
D．图1与图2阴影部分的面积差
2．（2025 阎良区二模）计算（﹣2ab2）2 b﹣2的结果是（　　）
A．﹣4a2b2 B．4a2b2 C．4a3b2 D．4a2b3
3．（2025春 清城区二模）若x2+mx+25是完全平方式，则m＝（　　）
A．5 B．5或﹣5 C．10 D．10或﹣10
4．（2025春 杭州二模）把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A和B两部分（B为长方形），再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张A纸片的面积为S1，一张B纸片的面积为S2，若S1﹣S2＝10，则图2中阴影部分面积为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
5．（2025春 深圳二模）若（x﹣2）（x+3）＝x2+ax+b，则a+b的值分别为（　　）
A．﹣7 B．7 C．﹣5 D．5
6．（2025春 南海区二模）在一家创意家居装饰店中，老板接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的A，B，C三种卡片来装饰一面墙壁，拼成一个长为（3a+2b），宽为（a+b）的长方形图案．为了完成这个装饰任务，老板需要A型卡片、B型卡片和C型卡片的张数分别是（　　）
A．3，5，2 B．2，3，5 C．2，5，3 D．3，2，5
7．（2025春 滨江区二模）如图1，现有边长为b和a+b的正方形纸片各一张，长和宽分别为b，a的长方形纸片一张．把纸片Ⅰ，Ⅲ按图2所示的方式放入纸片Ⅱ内，若图2中阴影部分的面积S1和S2满足S1＝4S2，则a，b满足的关系式为（　　）
A．b＝4a B．b＝3a C．b＝2a D．b＝1.5a
8．（2025春 温州二模）将正方形ABCD，长方形BEFG按如图所示方式拼在一起，CG＝FG，连接DB，DF，BF．记正方形ABCD的面积为S1，长方形BEFG的面积为S2，若要求出△DBF的面积，则需要知道（　　）
A．S1 B．S2 C．S1+S2 D．S1﹣S2
9．（2025 成都）下列计算正确的是（　　）
A．（3x）2＝9x2 B．7x 5x＝35x
C．（x+3）2＝x2+9 D．（x﹣y）（x+y）＝x2+y2
10．（2025春 龙岗区二模）乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是（　　）
A．（x2﹣2x+6） B．（x2﹣3x2+6）
C．（x2﹣3x+6） D．（x2﹣3x﹣6）
二．填空题（共5小题）
11．（2025 阎良区二模）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．如图可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，若ab＝6，a+b＝5，则a2+b2的值为　 　 ．
12．（2025春 靖江市二模）若m，n，k满足m2+n2+k2＝8，则（m+n）2+（n+k）2+（m+k）2的最小值为 　 　 ．
13．（2025春 九龙坡区二模）一个各数位数字互不相等且均不为0三位正整数，若百位数字与个位数字之和减去4等于十位数字，则称这个三位数为“至善数”，例如：631，因为6+1﹣4＝3，则称631是“至善数”；则最大的“至善数”与最小的“至善数”之差是　 　 ；若正整数，记F（t）＝c﹣2a．且，是两个不同的“至善数”（1≤y≤8，1≤n≤9，1≤m，z≤9且y，z，m，n均为整数），且F（t1）+2F（t2）+4n能被17整除，t2的值是　 　 ．
14．（2025春 梅县区二模）如图，两个正方形的边长分别为a、b，若a+b＝10，ab＝20，则图中阴影部分的面积为 　 　 ．
15．（2025春 蜀山区二模）如图，将两张周长为10，面积为4的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，正方形ABCD中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为S1和S2．则S1﹣S2＝ 　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春 清新区二模）先化简，再求值：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣3x（x﹣2y）]÷2x，其中，．
17．（2025春 海州区二模）如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）观察图2，直接写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的关系：　 　 ；
（2）利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题：
①已知x+y＝7，xy＝6，则x﹣y的值为　 　 ；
②已知（2024﹣x）（x﹣2025）＝﹣6，求（2024﹣x）2+（x﹣2025）2的值；
（3）两个正方形ABCD、AEFG如图3摆放．边长分别为x，y，若x2+y2＝34，BE＝2，求图中阴影部分的面积．
18．（2025 扬州一模）某数学兴趣小组研究如下等式：38×32＝1216，53×57＝3021，71×79＝5609，84×86＝7224．观察发现以上等式均是“两位数乘以两位数，十位数字相同，个位数字之和是10，且积有一定的规律”．
（1）根据上述的运算规律，直接写出结果：58×52＝ 　 　 ；752＝ 　 　 ；
（2）设其中一个数的十位数字为a，个位数字为b（a＞0，b＞0）．
①请用含a，b的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明；
②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位数字调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：38×32调换为83×23）．若记新的两个两位数的乘积为m，①中的运算结果为n，若|m﹣n|一定能被一个两位数整除，试求这个两位数的最大值．
19．（2025春 扬州二模）阅读：在计算（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
（1）【观察】①（x﹣1）（x+1）＝　 　 ；
②（x﹣1）（x2+x+1）＝　 　 ：
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝　 　 ；………
（2）【猜想】由此可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）＝　 　 ；
（3）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：52024+52023+52022+52021+…+5+1的值．
20．（2025春 包河区二模）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（如图①），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若在图①中大正方形的右下角再摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2；
（2）若a+b＝4、ab＝5，求S1+S2；
（3）图③也是由两个边长分别为a和b的正方形放置构成．用a、b的代数式表示图③中阴影部分的面积S3；并当S1+S2＝32时，求S3的值．
中考核心考点 整式
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 瑞安市二模）如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠的部分分别记为①和②，正方形ABCD中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，①和②的面积分别记为S1和S2．若知道下列条件，可以求S1﹣S2值的是（　　）
A．长方形纸片的面积
B．长方形纸片的周长
C．长方形纸片和①的面积差
D．图1与图2阴影部分的面积差
【考点】整式的混合运算；列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】用字母表示长度，列代数式，运用整式的运算进行验证．
【解答】解：如图，设矩形的两边长分别是a、b；阴影部分的长分别为下x、y；
则a+x＝b+y，即a﹣b＝y﹣x，
∴图1阴影部分面积为x2+y2，图2阴影部分面积为2xy；
∴x2+y2﹣2xy＝（x﹣y）2＝（a﹣b）2；
又因为①的面积是（b﹣x）（a﹣y）②的面积是（a﹣x）（b﹣y）；
（b﹣x）（a﹣y）﹣（a﹣x）（b﹣y）＝（a﹣b）（y﹣x）＝（a﹣b）2；
故选：D．
【点评】本题整式的混合运算的运用，熟记运算法则是解题的关键．
2．（2025 阎良区二模）计算（﹣2ab2）2 b﹣2的结果是（　　）
A．﹣4a2b2 B．4a2b2 C．4a3b2 D．4a2b3
【考点】单项式乘单项式；负整数指数幂；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘法即可．
【解答】解：原式＝4a2b4 b﹣2
＝4a2b4﹣2
＝4a2b2．
故选：B．
【点评】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法，单项式乘单项式，负整数指数幂的含义，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（2025春 清城区二模）若x2+mx+25是完全平方式，则m＝（　　）
A．5 B．5或﹣5 C．10 D．10或﹣10
【考点】完全平方式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】先根据平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．利用乘积二倍项列式求解即可．
【解答】解：∵x2+mx+25＝x2+mx+52是完全平方式，
∴这两个数是x和5，
∴mx＝±2×5 x，
∴m＝±10，
故选：D．
【点评】本题考查完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，根据平方项确定出这两个数是求解的关键．
4．（2025春 杭州二模）把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A和B两部分（B为长方形），再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张A纸片的面积为S1，一张B纸片的面积为S2，若S1﹣S2＝10，则图2中阴影部分面积为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
【考点】整式的混合运算．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】设图1正方形纸片边长为a，B部分的宽为b，长为c，根据图1和图2得出a＝3b和c＝2b，再利用S1﹣S2＝10得到b2＝2，再表示出，代入计算即可．
【解答】解：将B向左推，可得如图，
设图1正方形纸片边长为a，B部分的宽为b，长为c，
根据图2是正方形，得a+（a﹣b）＝a+2b，
即a＝3b，
由图（2）两个A的位置，可得c+b＝a即c＝2b，
∴图2正方形边长为a+2b＝5b．
∴PQ＝5b﹣a﹣（a﹣c）＝5b﹣3b﹣b＝b，HQ＝3b﹣2b＝b．
∵S1﹣S2＝10，
∴a2﹣bc﹣bc＝10．
∴b2＝2．
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算的顺序和法则是解题的关键．
5．（2025春 深圳二模）若（x﹣2）（x+3）＝x2+ax+b，则a+b的值分别为（　　）
A．﹣7 B．7 C．﹣5 D．5
【考点】多项式乘多项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】先根据多项式乘多项式法则展开，合并同类项，求出a、b值，再代入求出即可．
【解答】解：∵（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6，（x﹣2）（x+3）＝x2+ax+b，
∴a＝1，n＝﹣6，
∴a+b＝﹣5，
故选：C．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则，能正确根据多项式乘以多项式法则展开是解此题的关键．
6．（2025春 南海区二模）在一家创意家居装饰店中，老板接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的A，B，C三种卡片来装饰一面墙壁，拼成一个长为（3a+2b），宽为（a+b）的长方形图案．为了完成这个装饰任务，老板需要A型卡片、B型卡片和C型卡片的张数分别是（　　）
A．3，5，2 B．2，3，5 C．2，5，3 D．3，2，5
【考点】多项式乘多项式．
【专题】整式；应用意识．
【答案】D
【分析】根据长方形的面积公式可知该墙壁面积S＝3a2+2b2+5ab，即可得出答案．
【解答】解：∵长方形的长为（3a+2b），宽为（a+b），
∴长方形的面积S＝（3a+2b）（a+b）＝3a2+2b2+5ab，
∴需要A型卡片、B型卡片和C型卡片的张数分别3、2、5张．
故选：D．
【点评】本题主要考查了多项式的乘法的应用，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．
7．（2025春 滨江区二模）如图1，现有边长为b和a+b的正方形纸片各一张，长和宽分别为b，a的长方形纸片一张．把纸片Ⅰ，Ⅲ按图2所示的方式放入纸片Ⅱ内，若图2中阴影部分的面积S1和S2满足S1＝4S2，则a，b满足的关系式为（　　）
A．b＝4a B．b＝3a C．b＝2a D．b＝1.5a
【考点】整式的混合运算．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意可得S1＝（a+b）2﹣b2﹣a2＝2ab，S2＝（b﹣a）a＝ab﹣a2，利用S1＝4S2可得b＝2a即可．
【解答】解：由题意可得：S1＝（a+b）2﹣b2﹣a2＝2ab，S2＝（b﹣a）a＝ab﹣a2，
∵S1＝4S2，
∴2ab＝4（ab﹣a2），
2ab＝4ab﹣4a2，
∵a≠0，
∴b＝2a，
故选：C．
【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握s1和s2面积的组成是关键．
8．（2025春 温州二模）将正方形ABCD，长方形BEFG按如图所示方式拼在一起，CG＝FG，连接DB，DF，BF．记正方形ABCD的面积为S1，长方形BEFG的面积为S2，若要求出△DBF的面积，则需要知道（　　）
A．S1 B．S2 C．S1+S2 D．S1﹣S2
【考点】整式的混合运算．
【专题】整式；矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】A
【分析】延长DC和EF交于点H，连接CF，利用等底同高的两个三角形面积相等可得S△DBF＝S△DBCS1即可得到结论．
【解答】解：如图，延长DC和EF交于点H，连接CF，
∵CG＝FG，
∴四边形CGFH是正方形，
∵四边形ABCD和四边形CGFH都是正方形，
∴∠DBC＝∠FCG＝45°，
∴CF∥BD，
∴S△DBF＝S△DBCS1．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质、整式的混合运算，熟练掌握等底同高的两个三角形面积相等是关键．
9．（2025 成都）下列计算正确的是（　　）
A．（3x）2＝9x2 B．7x 5x＝35x
C．（x+3）2＝x2+9 D．（x﹣y）（x+y）＝x2+y2
【考点】整式的混合运算．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝9x2，故符合题意；
B、原式＝35x2，故不符合题意；
C、原式＝x2+6x+9，故不符合题意；
D、原式＝x2﹣y2，故不符合题意，
故选：A．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．（2025春 龙岗区二模）乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是（　　）
A．（x2﹣2x+6） B．（x2﹣3x2+6）
C．（x2﹣3x+6） D．（x2﹣3x﹣6）
【考点】整式的除法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意得到（x3﹣3x2+6x）÷x，计算即可得到等号左边被撕掉的内容．
【解答】解：根据题意可知，（x3﹣3x2+6x）÷x＝x2﹣3x+6．
故选：C．
【点评】此题考查了整式的除法，掌握整式的除法的运算法则是关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 阎良区二模）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．如图可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，若ab＝6，a+b＝5，则a2+b2的值为　13　 ．
【考点】完全平方公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】13．
【分析】直接利用完全平方公式变形计算即可．
【解答】解：由条件可知（a+b）2＝a2+2ab+b2＝a2+b2+2×6＝25，
∴a2+b2＝13；
故答案为：13．
【点评】本题考查利用完全平方公式变形计算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
12．（2025春 靖江市二模）若m，n，k满足m2+n2+k2＝8，则（m+n）2+（n+k）2+（m+k）2的最小值为 　8　 ．
【考点】完全平方公式．
【专题】运算能力．
【答案】8．
【分析】根据m2+n2+k2＝8，代入（m+n）2+（n+k）2+（m+k）2＝2m2+2n2+2k2+2mn+2nk+2mk，得（m+n）2+（n+k）2+（m+k）2＝16+2（mn+nk+mk），根据（m+n+k）2＝8+2（mn+nk+mk），得mn+nk+mk，mn+nk+mk要想取得最小值（m+n+k）2取最小值即可解答．
【解答】解：原式＝（m2+2mn+n2）+（n2+2nk+k2）+（m2+2mk+k2）
＝2m2+2n2+2k2+2mn+2nk+2mk，
∵m2+n2+k2＝8，
∴2m2+2n2+2k2+2mn+2nk+2mk＝16+2（mn+nk+mk），
∵（m+n+k）2＝m2+n2+k2+2（mn+nk+mk）＝8+2（mn+nk+mk），
∴mn+nk+mk，
∴16+2（mn+nk+mk）＝8+（m+n+k）2，
当（m+n+k）2取得最小值0时，16+2（mn+nk+mk）取得最小值8，
即（m+n）2+（n+k）2+（m+k）2取得最小值8，
故答案为：8．
【点评】本题的考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．
13．（2025春 九龙坡区二模）一个各数位数字互不相等且均不为0三位正整数，若百位数字与个位数字之和减去4等于十位数字，则称这个三位数为“至善数”，例如：631，因为6+1﹣4＝3，则称631是“至善数”；则最大的“至善数”与最小的“至善数”之差是　858　 ；若正整数，记F（t）＝c﹣2a．且，是两个不同的“至善数”（1≤y≤8，1≤n≤9，1≤m，z≤9且y，z，m，n均为整数），且F（t1）+2F（t2）+4n能被17整除，t2的值是　631，543，367　 ．
【考点】整式的加减；列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】858；631，543，367．
【分析】根据最大的“至善数”可得a＝9，b＝8，进而根据定义求得c，同理求得最小的“至善数”的a＝1，b＝2，再求得c的值，求两数的差，即可求解．，是两个不同的“至善数”，可得方程组；再根据F（t1）+2F（t2）+4n列代数式，最后根据F（t1）+2F（t2）+4n能被17整除进行分类讨论，即可得答案．
【解答】解：由条件可知a+c﹣4＝b，则c＝b﹣a+4，
最大的“至善数”可得a＝9，b＝8，则c＝3，则最大的“至善数”为983，
最小的“至善数”的a＝1，b＝2，则c＝5，则最小的“至善数”为125，
983﹣125＝858，
由条件可知，
得2+z＝m+n，即z＝m+n﹣2，y＝z﹣2＝m+n﹣4，
∴F（t1）+2F（t2）+4n
＝z﹣2×2+2（n﹣2m）+4n
＝z﹣4﹣4m+6n
＝m+n﹣2﹣4﹣4m+6n
＝﹣3m+7n﹣6．
∵1≤y≤8，1≤m≤9，1≤n≤9，
∴﹣26≤﹣3m+7n﹣6≤54．
∵﹣3m+7n﹣6能被17整除，
∴﹣3m+7n﹣6＝﹣17或0或17或34或51．
①当﹣3m+7n﹣6＝﹣17时，
∴，
当m＝6时，n＝1，y＝m+n﹣4＝3，z＝m+n﹣2＝6+1﹣2＝5，
∴，
②当﹣3m+7n﹣6＝0时，，
当m＝5时，n＝3，y＝m+n﹣4＝4，z＝y+2＝6，
∴，
③当﹣3m+7n﹣6＝17时，，
当m＝4时，n＝5，y＝m+n﹣4＝5，z＝y+2＝7，
∴（舍去），
④当﹣3m+7n﹣6＝34时，，
当m＝3时，n＝7，y＝m+n﹣4＝6，z＝y+2＝8，
∴，
⑤当﹣3m+7n﹣6＝51时，，
当m＝2时，n＝9，y＝m+n﹣4＝7，z＝y+2＝9，
∴，（相同，舍去），
故答案为：858；631，543，367．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，新定义、数的整除等知识，分类讨论是解题的关键
14．（2025春 梅县区二模）如图，两个正方形的边长分别为a、b，若a+b＝10，ab＝20，则图中阴影部分的面积为 　20　 ．
【考点】完全平方公式的几何背景．
【专题】整式；运算能力．
【答案】20．
【分析】用含有a、b的代数式表示阴影部分的面积，再根据完全平方公式进行代数式的变形，进而求出答案．
【解答】解：阴影部分的面积为，
当a+b＝10，ab＝20时，
原式（100﹣60）＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查完全平方公式的应用，正确的表示阴影部分的面积和适当的变形，是得到正确答案的关键．
15．（2025春 蜀山区二模）如图，将两张周长为10，面积为4的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，正方形ABCD中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为S1和S2．则S1﹣S2＝ 　9　 ．
【考点】整式的混合运算．
【专题】整式；运算能力；推理能力．
【答案】9．
【分析】先求出a、b值，再根据图示列出S1＝（x﹣1）2+（x﹣4）2，S2＝2（x﹣1）（x﹣4），代入S1﹣S2计算即可．
【解答】解：根据题意得，解得，
设正方形ABCD的边长为x，
S1＝（x﹣1）2+（x﹣4）2，S2＝2（x﹣1）（x﹣4），
∴S1﹣S2＝（x﹣1）2+（x﹣4）2﹣2（x﹣1）（x﹣4）＝（x﹣1﹣x+4）2＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了整式的混合运算，根据图示列出S1＝（x﹣1）2+（x﹣4）2，S2＝2（x﹣1）（x﹣4），是关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春 清新区二模）先化简，再求值：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣3x（x﹣2y）]÷2x，其中，．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】，．
【分析】根据整式的混合运算法则化简，再将x、y代入即可解答．
【解答】解：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣3x（x﹣2y）]÷2x
＝（x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2﹣3x2+6xy）÷2x
＝（﹣x2+2xy）÷2x
；
当，时，原式
【点评】本题考查了整式的混合运算和化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
17．（2025春 海州区二模）如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）观察图2，直接写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的关系：　（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn　 ；
（2）利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题：
①已知x+y＝7，xy＝6，则x﹣y的值为　±5　 ；
②已知（2024﹣x）（x﹣2025）＝﹣6，求（2024﹣x）2+（x﹣2025）2的值；
（3）两个正方形ABCD、AEFG如图3摆放．边长分别为x，y，若x2+y2＝34，BE＝2，求图中阴影部分的面积．
【考点】完全平方公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；
（2）±5，13；
（3）8．
【分析】（1）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个小长方形的面积，即可作答．
（2）①直接把数值代入（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy进行计算，即可作答．
②根据（2024﹣x）2+（x﹣2025）2＝[（2024﹣x）+（x﹣2025）]2﹣2（2024﹣x）（x﹣2025），然后代入数值化简计算，即可作答．
（3）由题意可知x﹣y＝2，，，即可求出S阴影＝x+y．结合x2+y2＝34，可求出xy＝15，最后根据（x+y）2＝x2+y2+2xy求解即可．
【解答】解：（1）依题意，（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；
故答案为：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；
（2）①与（1）同理得（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy，
∵x+y＝7，xy＝6，
∴49＝（x﹣y）2+4×6，
∴（x﹣y）2＝25，
∴x﹣y＝±5；
故答案为：±5；
②∵（2024﹣x）（x﹣2025）＝﹣6，
∴（2024﹣x）2+（x﹣2025）2
＝[（2024﹣x）+（x﹣2025）]2﹣2（2024﹣x）（x﹣2025）
＝（﹣1）2﹣2×（﹣6）
＝1+12
＝13．
（3）∵BE＝2，
∴x﹣y＝2．
由图可知△CDF的底为x，高为2，
∴．
△BEF的底为2，高为y，
∴，
∴S阴影＝S△CDF+S△BEF＝x+y．
∵22+2xy＝34，
∴xy＝15，
∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝34+2×15＝64，
∴x+y＝8（舍去负值），
∴阴影部分面积和为8．
【点评】本题考查完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想是解题关键．
18．（2025 扬州一模）某数学兴趣小组研究如下等式：38×32＝1216，53×57＝3021，71×79＝5609，84×86＝7224．观察发现以上等式均是“两位数乘以两位数，十位数字相同，个位数字之和是10，且积有一定的规律”．
（1）根据上述的运算规律，直接写出结果：58×52＝ 　3016　 ；752＝ 　5625　 ；
（2）设其中一个数的十位数字为a，个位数字为b（a＞0，b＞0）．
①请用含a，b的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明；
②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位数字调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：38×32调换为83×23）．若记新的两个两位数的乘积为m，①中的运算结果为n，若|m﹣n|一定能被一个两位数整除，试求这个两位数的最大值．
【考点】整式的加减．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）3016；5625；
（2）①详见解析；②99．
【分析】（1）根据上述的运算规律计算，即可求解；
（2）①根据题意可得这两个两位数分别为10a+b，10a+10﹣b，从而得到这个运算规律为（10a+b）（10a+10﹣b）＝100a（a+1）+b（10﹣b），然后分别计算等式的左右两边，即可；②由①得：n＝100a2+100a+10b﹣b2，可得新的两个两位数分别为10b+a，10（10﹣b）+a，进而得到m＝（10b+a）[10（10﹣b）+a]，然后计算出m﹣n，再进一步求解即可．
【解答】解：（1）根据题意得：58×52＝（5×6）×100+8×2＝3016，
752＝（7×8）×100+5×5＝5625；
故答案为：3016；5625；
（2）①∵其中一个数的十位数字为a，个位数字为b（a＞0，b＞0），
∴另一个数的十位数字为a，个位数字为10﹣b，
∴这两个两位数分别为10a+b，10a+10﹣b，
根据题意得：这个运算规律为（10a+b）（10a+10﹣b）＝100a（a+1）+b（10﹣b），
证明：左边＝100a2+10ab+100a+10b﹣10ab﹣b2
＝100a2+100a+10b﹣b2
右边＝100a2+100a+10b﹣b2，
∴左边＝右边；
②由①得：n＝100a2+100a+10b﹣b2，
由条件可知新的两个两位数分别为10b+a，10（10﹣b）+a，
∴m＝（10b+a）[10（10﹣b）+a]
＝（10b+a）（100﹣10b+a）
＝1000b+100a﹣100b2﹣10ab+10ab+a2
＝1000b﹣100b2+100a+a2，
∴m﹣n＝（1000b﹣100b2+100a+a2）﹣（100a2+100a+10b﹣b2）
＝﹣99a2﹣99b2+990b
＝﹣99（a2+b2+10b），
∴a2+b2+10b为整数，
∴m﹣n能被99整除，
∴这个两位数的最大值为99．
【点评】本题主要考查了整式的混合运算，因式分解的应用，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
19．（2025春 扬州二模）阅读：在计算（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
（1）【观察】①（x﹣1）（x+1）＝　x2﹣1　 ；
②（x﹣1）（x2+x+1）＝　x3﹣1　 ：
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝　x4﹣1　 ；………
（2）【猜想】由此可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）＝　xn+1﹣1　 ；
（3）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：52024+52023+52022+52021+…+5+1的值．
【考点】多项式乘多项式；规律型：数字的变化类．
【专题】运算能力．
【答案】（1）x2﹣1；x3﹣1；x4﹣1；
（2）xn+1﹣1；
（3）．
【分析】（1）利用平方差公式和多项式乘以多项式计算即可；
（2）利用（1）中变化规律进而得出答案；
（3）设x＝5，n＝2024，则（5﹣1）（52024+52023+52022+ +5+1）＝52025﹣1，即可求解．
【解答】解：（1）（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x（x2+x+1）﹣（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x（x3+x2+x+1）﹣（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，
故答案为：x2﹣1；x3﹣1；x4﹣1；
（2）由（1）得，（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+ +x+1）＝xn+1﹣1，
故答案为：xn+1﹣1；
（3）设x＝5，n＝2024，
根据（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+ +x+1）＝xn+1﹣1
则（5﹣1）（52024+52023+52022+ +5+1）＝52025﹣1，
∴．
【点评】此题主要考查了平方差公式、多项式乘以多项式以及数字变化规律，正确得出式子之间的变化规律是解题关键．
20．（2025春 包河区二模）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（如图①），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若在图①中大正方形的右下角再摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2；
（2）若a+b＝4、ab＝5，求S1+S2；
（3）图③也是由两个边长分别为a和b的正方形放置构成．用a、b的代数式表示图③中阴影部分的面积S3；并当S1+S2＝32时，求S3的值．
【考点】整式的混合运算；完全平方公式的几何背景．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）S1＝a2﹣b2，S2＝2b2﹣ab；
（2）1；
（3）16．
【分析】（1）由图中正方形和长方形的面积关系，可得答案；
（2）根据（1）中的结论，将a+b＝4，ab＝5，代入进行计算即可；
（3）表示出S3，再变形整体代入求值即可．
【解答】解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，S2＝a（a﹣b）+2b2﹣a2＝2b2﹣ab；
（2）∵a+b＝4，ab＝5，
∴S1+S2
＝a2﹣b2+2b2﹣ab
＝a2+b2﹣ab
＝（a+b）2﹣3ab
＝42﹣3×5
＝1；
（3），
∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝32，
∴S332＝16．
【点评】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，数形结合、恰当进行代数式变形是解答本题的关键．
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