【中考押题预测】2025年中考数学核心考点考前冲刺 图形认识初步（含解析）

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中考核心考点 图形认识初步
一．选择题（共10小题）
1．（2025 长春一模）如图是某个立体图形的表面展开图，这个立体图形是（　　）
A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．长方体
2．（2025 台山市一模）若∠1＝50°，∠2与∠1互为余角，则∠2的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．130°
3．（2025春 莱阳市二模）将10.31°化为度、分、秒的形式为（　　）
A．10°3′1″ B．10°18′6″ C．10°18′36″ D．10°30′1″
4．（2024秋 蒙阴县三模）将一副三角尺按如图所示位置摆放，其中∠α和∠β相等的序号是（　　）
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
5．（2024秋 工业园区三模）苏州博物馆本馆是由世界著名建筑大师贝聿铭亲自设计的博物馆．图①中的屋顶设计是在传统飞檐翘角基础上演变而来，呈现出强烈的几何感和抽象性．图②中∠B＝∠E＝116°，∠C＝∠D＝90°，则在下列判断中，正确的是（　　）
A．∠BAE＝138° B．∠BAE＝128°
C．∠BAE＝118° D．∠BAE的度数无法确定
6．（2025春 周村区二模）已知线段AB＝10cm，点C是直线AB上一点，AC＝4cm，点D是线段BC的中点，则AD的长为（　　）
A．3cm或7cm B．7cm C．3cm D．3cm或8cm
7．（2025春 海淀区月考）如图，l是一条水平线，有一条细线，其中一端系着小球，另一端固定在A点，小球由点B出发向点C摆动，B，C的位置均不高出直线l，在小球从左向右摆动的过程中，系小球的线在水平线l下方部分的线段长度（　　）
A．逐渐变短 B．逐渐变长
C．先变短，后变长 D．先变长，后变短
8．（2025春 海阳市二模）下列语句中正确的是（　　）
A．延长直线AB
B．延长线段AB到点C，使线段BC与线段AB相等
C．延长射线OA
D．反向延长射线OA到点B，使射线OB与射线OA相等
9．（2025春 广州二模）如图，在一次活动中，位于A处的1班准备前往相距5km的B处与位于B处的2班会合．关于1班相对于2班的位置，下列描述正确的是（　　）
A．1班在2班的南偏西50°，5km处
B．1班在2班的南偏西40°，5km处
C．1班在2班的北偏东50°，5km处
D．1班在2班的北偏东40°，5km处
10．（2024秋 庐江县三模）如果∠α和∠β互补，且∠α＜∠β，则下列表示∠α的余角的式子中
①90°﹣∠α；
②∠β﹣90°
③（∠α+∠β）
④（∠β﹣∠α）
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共5小题）
11．（2025春 思明区三模）数轴上点A，B，C表示的实数分别为a，b，c．
定义：max{AB，BC，AC}表示点A，B，C中任意两点距离的最大值．
例如：当a＝0，b＝﹣3，c＝1时，AB＝3，BC＝4，AC＝1，max{AB，BC，AC}＝4．
已知：a8，那么c的值是　 　 ．
12．（2025春 九龙坡区二模）已知长方形纸片ABCD，E、F分别是AD、AB上的一点，点I在边BC上，连接EF，FI，将∠A沿EF所在的直线对折，点A落在点H处，∠B沿FI所在的直线对折，点B落在点G处．如图1，当HF与GF重合时，则∠EFI＝　 　 °；如图2，当重叠角∠HFG＝28°时，则∠EFI＝　 　 °．
13．（2025春 平阴县二模）如图，将一个长方形按图中的方法折叠一角，折痕是EF，若∠AFE＝40°，则∠DFA'＝ 　 　 °．
14．（2025春 天宁区三模）如图，长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF，EG，将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM，将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN，∠FEG＝50°，则∠MEN＝ 　 　 °．
15．（2025 渝中区）如图，∠AOB＝68°，OC平分∠AOD且∠COD＝15°，则∠BOC的度数为 　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春 烟台二模）三角板是我们日常学习数学必备的文具．如图，三角板的直角顶点O放置在直线AB上，三角板绕O点在平面内旋转（三角板的各边均在直线AB的上方），OM，ON分别平分∠AOC和∠BOD．
（1）在三角板旋转过程中，当∠AOC＝40°时，求∠BOD和∠MON的度数；
（2）随着三角板的旋转，∠AOC的大小会随着变化，请判断∠MON的大小是否变化？请说明理由．
17．（2025春 宜兴市二模）如果两个角之差的绝对值等于48°，则称这两个角互为等差角，即若|∠α﹣∠β|＝48°，则称∠α和∠β互为等差角．（本题中所有角都是指大于0°，且小于180°的角）
（1）若∠1和∠2互为等差角．当∠1＝30°，则∠2＝ 　 　 ；当∠1＝90°，则∠2＝ 　 　 ；
（2）如图1，将一长方形纸片沿着EP对折（点P在线段BC上，点E在线段AB上）使点B落在点B'．若∠EPB'与∠B'PC互为等差角，求∠BPE的度数；
（3）再将纸片沿着FP对折（点F在线段CD或AD上）使点C落在点C′．如图2，若点E，C′，P在同一直线上，且∠B'PC'与∠EPF互为等差角，求∠EPF的度数（对折时，线段PB'落在∠EPF内部）．
18．（2024秋 扬州三模）如图，已知B，C在线段AD上．
（1）如图1，图中共有 　 　 条线段；
（2）若AB＝CD．
①比较线段的长短：AC 　 　 BD；（填“＞”“＝”或“＜”）
②如图2，若AD＝14，BC＝10，M是AB的中点，N是CD的中点，求线段MN的长度．
19．（2025春 淄博二模）（1）【特例感知】如图1，已知线段MN＝45cm，AB＝3cm，点C和点D分别是AM，BN的中点，若AM＝18cm，则CD＝　 　 cm．
（2）【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON：
①若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，求∠COD的度数；
②请你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系？请说明理由．
（3）【类比探究】如图3，∠AOB在∠MON内部转动，若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，∠MOC＝k∠AOC，∠NOD＝k∠BOD，求∠COD的度数．（用含有k的式子表示计算结果）．
20．（2025春 永春县二模）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多．
素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形．
素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图．
素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到m张小长方形和n张小正方形，做成x个横式叠盖纸盒和y个竖式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完．
【任务1】若m＝158，求n，x，y的值；
【任务2】求x+y的最大值．
中考核心考点 图形认识初步
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 长春一模）如图是某个立体图形的表面展开图，这个立体图形是（　　）
A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．长方体
【考点】几何体的展开图．
【专题】展开与折叠；几何直观．
【答案】B
【分析】根据圆锥的展开图求解．
【解答】解：这个立体图形是圆锥，
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的展开图，掌握常见几何体的展开图是解题的关键．
2．（2025 台山市一模）若∠1＝50°，∠2与∠1互为余角，则∠2的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．130°
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】根据余角的定义列式计算即可．
【解答】解：根据余角的定义列式计算可得∠2＝90°﹣∠1＝40°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了余角的定义，掌握互余的两个角的和为90°是解题的关键．
3．（2025春 莱阳市二模）将10.31°化为度、分、秒的形式为（　　）
A．10°3′1″ B．10°18′6″ C．10°18′36″ D．10°30′1″
【考点】度分秒的换算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】根据进率为60，将“度”化为“分”，再将“分”化成“秒”，可得答案．
【解答】解：10.31°＝10°（0.31×60）′＝10°18.6′＝10°18′（0.6×60）″＝10°18′36″，
∴将10.31°化为度、分、秒的形式为10°18′36″，
故选：C．
【点评】本题主要考查了度分秒之间的转换，解答本题的关键要明确：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．
4．（2024秋 蒙阴县三模）将一副三角尺按如图所示位置摆放，其中∠α和∠β相等的序号是（　　）
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】D
【分析】观察图形，根据三角尺中角的度数、同角的余角相等、补角的性质，判断选择即可．
【解答】解：①图形中，根据同角的余角相等可得∠α＝∠β；
②图形中，∠α＝45°，∠β＜45°，故∠α＞∠β；
③图形中，∠α和∠β互补，∠α是锐角，∠β是钝角，故∠α＜∠β；
④图形中，∠α＝∠β＝45°，
综上所述，∠α和∠β相等的序号是①和④；
故选：D．
【点评】本题考查了余角和补角，掌握余角和补角的概念、正确进行角的大小比较是解题的关键．
5．（2024秋 工业园区三模）苏州博物馆本馆是由世界著名建筑大师贝聿铭亲自设计的博物馆．图①中的屋顶设计是在传统飞檐翘角基础上演变而来，呈现出强烈的几何感和抽象性．图②中∠B＝∠E＝116°，∠C＝∠D＝90°，则在下列判断中，正确的是（　　）
A．∠BAE＝138° B．∠BAE＝128°
C．∠BAE＝118° D．∠BAE的度数无法确定
【考点】角的计算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】B
【分析】通过作辅助线，得到BC∥ED∥AF，利用两直线平行，同旁内角互补，得到结果．
【解答】解：过A作AF∥BC，
∵∠C＝∠D＝90°，
∴BC∥ED，
∵AF∥BC，
∴BC∥ED∥AF，
∴∠B+∠BAF＝180°，∠E+∠EAF＝180°，
∴∠B+∠E+∠BAE＝360°，
∵∠B＝∠E＝116°，
∴∠BAE＝360°﹣∠B+∠E＝360°﹣116°﹣116°＝128°，
即∠BAE＝128°，
故选：B．
【点评】本题考查了角度的计算，涉及到平行线的性质的应用，作辅助线是解题的关键．
6．（2025春 周村区二模）已知线段AB＝10cm，点C是直线AB上一点，AC＝4cm，点D是线段BC的中点，则AD的长为（　　）
A．3cm或7cm B．7cm C．3cm D．3cm或8cm
【考点】两点间的距离；线段的和差．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】根据题意，可分两种情况画出图形，①点C在线段AB上时；②点C在线段BA的延长线上时．根据线段的和差计算，线段中点定义解答即可．
【解答】解：分两种情况：
①如图所示，点C在线段AB上时，
∵AB＝10cm，AC＝4cm，
∴BC＝AB﹣AC＝10﹣4＝6（cm），
∵点D是线段BC的中点，
∴（cm），
∴AD＝AC+CD＝4+3＝7（cm）；
②如图所示，点C在线段BA的延长线上时，
∵AB＝10cm，AC＝4cm，
∴BC＝AB+AC＝10+4＝14（cm），
∵点D是线段BC的中点，
∴（cm），
∴AD＝CD﹣AC＝7﹣4＝3（cm），
综上所述，AD的长为3cm或7cm．
故选：A．
【点评】本题考查了两点间的距离，线段的和差，掌握两点间的距离，线段的和差计算是解题的关键．
7．（2025春 海淀区月考）如图，l是一条水平线，有一条细线，其中一端系着小球，另一端固定在A点，小球由点B出发向点C摆动，B，C的位置均不高出直线l，在小球从左向右摆动的过程中，系小球的线在水平线l下方部分的线段长度（　　）
A．逐渐变短 B．逐渐变长
C．先变短，后变长 D．先变长，后变短
【考点】线段的和差；垂线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】根据线段的和差和垂线段最短即可判断．
【解答】解：如图，AD⊥l，
由图可知，小球从B到C从左向右摆动的过程中，小球到点A的距离不变，点A到直线的距离越来越小，
∴系小球的线在水平线下方部分的线段长度越来越大；
小球从D到C从左向右摆动的过程中，小球到点A的距离不变，点A到直线的距离越来越大，
∴系小球的线在水平线下方部分的线段长度越来越小；
综上所述，小球从B到C从左向右摆动，在这一变化过程中，系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是先变长，后变短，
故选：D．
【点评】本题考查了线段的和差，垂线段最短，掌握垂线段最短是解题的关键．
8．（2025春 海阳市二模）下列语句中正确的是（　　）
A．延长直线AB
B．延长线段AB到点C，使线段BC与线段AB相等
C．延长射线OA
D．反向延长射线OA到点B，使射线OB与射线OA相等
【考点】直线、射线、线段．
【专题】几何直观．
【答案】B
【分析】根据直线、射线、线段的定义及基本作图的方法得出结论即可．
【解答】解：A．因为直线不能延长，
所以A选项错误，不符合题意；
B．延长线段AB到点C，使线段BC与线段AB相等正确，
符合题意；
C．因为射线不能延长，
所以C选项错误，不符合题意；
D．射线不能测量长度，说法错误，
故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查直线、射线、线段的定义及基本作图的方法，熟练掌握射线的定义及基本作图的方法是解题的关键．
9．（2025春 广州二模）如图，在一次活动中，位于A处的1班准备前往相距5km的B处与位于B处的2班会合．关于1班相对于2班的位置，下列描述正确的是（　　）
A．1班在2班的南偏西50°，5km处
B．1班在2班的南偏西40°，5km处
C．1班在2班的北偏东50°，5km处
D．1班在2班的北偏东40°，5km处
【考点】方向角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】C
【分析】根据AC∥BD，∠BAC＝50°得∠DBA＝∠BAC＝50°，再根据方向角的定义得1班在2班的北偏东50°，5km处，由此即可得出答案．
【解答】解：如图所示：
∵AC∥BD，∠BAC＝50°，
∴∠DBA＝∠BAC＝50°，
∴1班在2班的北偏东50°，5km处．
故选：C．
【点评】此题主要考查了方向角的定义，准确识图，熟练掌握方向角的定义是解决问题的关键．
10．（2024秋 庐江县三模）如果∠α和∠β互补，且∠α＜∠β，则下列表示∠α的余角的式子中
①90°﹣∠α；
②∠β﹣90°
③（∠α+∠β）
④（∠β﹣∠α）
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】余角和补角．
【专题】整式；符号意识；运算能力．
【答案】C
【分析】由∠α和∠β互补，可得∠α+∠β＝180°，即：α＝180°﹣∠β，，再用不同的形式表示∠α的余角．
【解答】解：∵∠α和∠β互补，
∴∠α+∠β＝180°，
∴∠α＝180°﹣∠β，
于是有：
∠α的余角为：90°﹣∠α，故①正确，
∠α的余角为：90°﹣∠α＝90°﹣（180°﹣∠β）＝∠β﹣90°，故②正确，
∠α的余角为：90°﹣∠α∠α∠β﹣∠α∠β∠α，故④正确，
而（∠α+∠β）＝90°，而∠α不一定是直角，因此③不正确，
因此正确的有①②④，
故选：C．
【点评】考查互为余角、互为补角的意义，利用等式的性质进行变形和整体代入是常用的方法．
二．填空题（共5小题）
11．（2025春 思明区三模）数轴上点A，B，C表示的实数分别为a，b，c．
定义：max{AB，BC，AC}表示点A，B，C中任意两点距离的最大值．
例如：当a＝0，b＝﹣3，c＝1时，AB＝3，BC＝4，AC＝1，max{AB，BC，AC}＝4．
已知：a8，那么c的值是　﹣5或8　 ．
【考点】两点间的距离；实数与数轴．
【专题】运算能力．
【答案】﹣5或8．
【分析】根据两点间的距离公式计算即可．
【解答】】解：∵a，b＝3，
∴AB＝3，
∵max{AB，BC，AC}＝8，
∴BC＝8或AC＝8，
∴|c﹣3|＝8或|c|＝8，
∴c＝11（不合题意，舍去）或c＝﹣5或c＝8或c8（不合题意，舍去），
故答案为：﹣5或8．
【点评】此题考查了数轴上两点之间的距离，正确理解题意列出算式是解题的关键．
12．（2025春 九龙坡区二模）已知长方形纸片ABCD，E、F分别是AD、AB上的一点，点I在边BC上，连接EF，FI，将∠A沿EF所在的直线对折，点A落在点H处，∠B沿FI所在的直线对折，点B落在点G处．如图1，当HF与GF重合时，则∠EFI＝　90　 °；如图2，当重叠角∠HFG＝28°时，则∠EFI＝　76　 °．
【考点】角的计算．
【专题】推理能力．
【答案】90，76．
【分析】根据折叠的性质可得∠HFE＝∠AFE，∠IFG＝∠IFB，再根据∠HFE+∠AFE+∠IFG+∠IFB＝180°，即可得到∠EFI＝∠HFE+∠IFH＝90°；令∠EFG＝x，∠HFI＝y，结合图形，推导出x与y的和即可求得答案．
【解答】解：由折叠的性质得∠HFE＝∠AFE，∠HFE＝∠AFE，∠IFG＝∠IFB，
∵∠HFE+∠AFE+∠IFG+∠IFB＝180°，
∴∠EFI＝∠HFE+∠IFH＝90°，
令∠EFG＝x，∠HFI＝y，
∵∠HFG＝28°，
∴∠EFA＝28°+x，∠BFI＝28°+y，
∴∠AFE+∠EFI+∠BFI＝180°，
即（28°+x）+（x+28°+y）+（28°+y）＝180°，
∴x+y＝48°，
∴∠EFI＝x+y+28°＝48°+28°＝76°；
故答案为：90，76．
【点评】本题考查了折叠的性质，角的计算，熟练掌握相关知识进行求解是解题的关键．
13．（2025春 平阴县二模）如图，将一个长方形按图中的方法折叠一角，折痕是EF，若∠AFE＝40°，则∠DFA'＝ 　100　 °．
【考点】角的计算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】100．
【分析】根据折叠的性质得：∠A′FE＝∠AFE＝40°，再根据∠DFA′＝180°﹣∠A′FE﹣∠AFE即可求解．
【解答】解：由条件可知∠A′FE＝∠AFE＝40°，
∴∠DFA′＝180°﹣∠A′FE﹣∠AFE＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
故答案为：100．
【点评】本题考查了折叠的性质以及三角形的内角和定理，掌握以上知识点是解答本题的关键．
14．（2025春 天宁区三模）如图，长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF，EG，将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM，将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN，∠FEG＝50°，则∠MEN＝ 　115或65　 °．
【考点】角的计算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】115或65．
【分析】分点G在点F的右侧和点G在点F的左侧，两种情况进行讨论求解即可．
【解答】解：当点G在点F的右侧，
∵△EAN沿AN折叠，
∴EN平分∠AEF，EM平分∠BEG，
∴∠NEF∠AEF，∠MEG∠BEG，
∴∠NEF+∠MEG∠AEF∠BEG（∠AEF+∠BEG）（∠AEB﹣∠FEG），
∵∠AEB＝180°，∠FEG＝50°，
∴∠NEF+∠MEG（180°﹣50°）＝65°，
∴∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG＝65°+50°＝115°；
当点G在点F的左侧，
∵折叠，
∴EN平分∠AEF，EM平分∠BEG，
∴∠NEF∠AEF，∠MEG∠BEG，
∴∠NEF+∠MEG∠AEF∠BEG（∠AEF+∠BEG）（∠AEB+∠FEG），
∵∠AEB＝180°，∠FEG＝50°，
∴∠NEF+∠MEG（180°+50°）＝115°，
∴∠MEN＝∠NEF+∠FEG﹣∠MEG＝115°﹣50°＝65°；
综上，∠MEN的度数为115°或65°，
故答案为：115或65．
【点评】本题考查折叠问题．掌握折痕为角平分线，是解题的关键．
15．（2025 渝中区）如图，∠AOB＝68°，OC平分∠AOD且∠COD＝15°，则∠BOC的度数为 　53　 ．
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】53°．
【分析】先利用角平分线的定义得到∠AOD＝2∠COD＝30°，然后计算∠BOD，即可求得∠BOC＝∠BOD+∠COD．
【解答】解：∵OC平分∠AOD且∠COD＝15°，
∴∠AOD＝2∠COD＝30°，
又∵∠AOB＝68°，
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝38°，
∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝38°+15°＝53°．
故答案为：53°
【点评】本题考查了角的计算，结合图形进行角度的和差计算是解决问题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春 烟台二模）三角板是我们日常学习数学必备的文具．如图，三角板的直角顶点O放置在直线AB上，三角板绕O点在平面内旋转（三角板的各边均在直线AB的上方），OM，ON分别平分∠AOC和∠BOD．
（1）在三角板旋转过程中，当∠AOC＝40°时，求∠BOD和∠MON的度数；
（2）随着三角板的旋转，∠AOC的大小会随着变化，请判断∠MON的大小是否变化？请说明理由．
【考点】余角和补角；角平分线的定义．
【专题】推理能力．
【答案】（1）50°；135°；
（2）不会，见解析．
【分析】（1）平角的定义求出∠BOD，角平分线的定义结合平角的定义求出∠MON的度数即可；
（2）根据角平分线的定义结合平角的定义求出∠MON的度数即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝40°，∠COD＝90°，
∴∠BOD＝180°﹣∠COD﹣∠AOC＝50°．
又∵OM，ON分别平分∠AOC和∠BOD，
∴，，
∴∠MON＝180°﹣∠AOM﹣∠BON＝135°．
（2）不会，理由如下：
∵∠AOC＝a，∠COD＝90°，
∴∠BOD＝180°﹣∠COD﹣∠AOC＝180°﹣90°﹣α＝90°﹣α．
又∵OM，ON分别平分∠AOC和∠BOD，
∴，．
∴．
【点评】本题考查与角平分线有关的计算，掌握三角板中角度的计算是解题的关键．
17．（2025春 宜兴市二模）如果两个角之差的绝对值等于48°，则称这两个角互为等差角，即若|∠α﹣∠β|＝48°，则称∠α和∠β互为等差角．（本题中所有角都是指大于0°，且小于180°的角）
（1）若∠1和∠2互为等差角．当∠1＝30°，则∠2＝ 　78°　 ；当∠1＝90°，则∠2＝ 　42°或138°　 ；
（2）如图1，将一长方形纸片沿着EP对折（点P在线段BC上，点E在线段AB上）使点B落在点B'．若∠EPB'与∠B'PC互为等差角，求∠BPE的度数；
（3）再将纸片沿着FP对折（点F在线段CD或AD上）使点C落在点C′．如图2，若点E，C′，P在同一直线上，且∠B'PC'与∠EPF互为等差角，求∠EPF的度数（对折时，线段PB'落在∠EPF内部）．
【考点】角的计算；绝对值．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）78°，42°或138°；
（2）44°或76°；
（3）∠EPF＝76°．
【分析】（1）按照“等差角”的定义写出式子，解方程即可；
（2）由∠EPB′+∠EPB′+∠EPB′+48°＝180°即可求；
（3）由∠BPE+∠EPB′+∠B′PF+∠FPC＝180°，即可求．
【解答】解：（1）∵∠1和∠2互为等差角，∠1＝30°，
∴|∠1﹣∠2|＝48°，
∴30°﹣∠2＝48°或30°﹣∠2＝﹣48°，
解得：∠2＝﹣18°（舍去）或78°，
由条件可知|∠1﹣∠2|＝48°，
∴90°﹣∠2＝48°或90°﹣∠2＝﹣48°，
解得：∠2＝42°或138°，
故答案为：78°，42°或138°；
（2）∵∠EPB′与∠B′PC互为等差角，
当∠EPB′＜∠B′PC时，∠B′PC﹣∠EPB′＝48°，
∴∠B′PC＝∠EPB′+48°，
由翻折性质可知∠EPB＝∠EPB′，
∵∠EPB+∠EPB′+∠B′PC＝180°，
∴∠EPB′+∠EPB′+∠EPB′+48°＝180°，
得∠EPB′＝44°，
当∠EPB′＞∠B′PC时，∠EPB′﹣∠B′PC＝48°，
∴∠B′PC＝∠EPB′﹣48°，
∴∠EPB′+∠EPB′+∠EPB′﹣48°＝180°，
得∠EPB′＝76°，
综上所述，∠EPB的值为44°或76°；
（3）由条件可知∠B′PC′＜∠EPF，∠EPF﹣∠B′PC′＝48°＝∠B′PF，
∵∠BPE＝∠B′PE＝∠EPF﹣48°，∠FPC＝∠EPF，
∴∠BPE+∠EPB′+∠B′PF+∠FPC＝180°，
∴∠EPF﹣48°+∠EPF+∠EPF＝180°，
∴∠EPF＝76°．
【点评】本题考查了通过翻折计算角的度数，关键在于翻折后两个角相等．
18．（2024秋 扬州三模）如图，已知B，C在线段AD上．
（1）如图1，图中共有 　6　 条线段；
（2）若AB＝CD．
①比较线段的长短：AC 　＝　 BD；（填“＞”“＝”或“＜”）
②如图2，若AD＝14，BC＝10，M是AB的中点，N是CD的中点，求线段MN的长度．
【考点】比较线段的长短；直线、射线、线段；两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）6；（2）①＝；②MN＝12．
【分析】（1）根据线段的定义进行作答即可；
（2）①根据相等的线段加公共线段，仍相等；
②先求出AB+CD的长度，再根据中点求出BM+CN的长度，进而得出答案．
【解答】解：（1）线段有AB、AC、AD、BC、BD、CD，
则图1中共有6条线段．
故答案为：6．
（2）①∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
∴AC＝BD．
故答案为：＝．
（2）∵AD＝14，BC＝10，
∴AB+CD＝AD﹣BC＝14﹣10＝4，
∵M是AB的中点，N是CD的中点，
∴MB，CNCD，
∴MN＝BM+BC+CNABCD+BC（AB+CD）+BC10＝12．
【点评】本题主要考查比较线段的长短，直线、射线、线段，两点间的距离，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
19．（2025春 淄博二模）（1）【特例感知】如图1，已知线段MN＝45cm，AB＝3cm，点C和点D分别是AM，BN的中点，若AM＝18cm，则CD＝　24　 cm．
（2）【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON：
①若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，求∠COD的度数；
②请你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系？请说明理由．
（3）【类比探究】如图3，∠AOB在∠MON内部转动，若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，∠MOC＝k∠AOC，∠NOD＝k∠BOD，求∠COD的度数．（用含有k的式子表示计算结果）．
【考点】两点间的距离；列代数式．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）24；（2）①90°；②；（3）∠COD．
【分析】（1）欲求CD，需求AC+AB+BD．已知AB，需求AC+BD．点C和点D分别是AM，BN的中点，得ACAM，BDBN，那么，进而解决此题．
（2）①欲求∠COD，需求∠AOC+∠AOB+∠BOD．已知∠AOB，需求∠AOC+∠BOD．由OC和OD分别平分∠AOM和∠BON，得，，进而解决此题．②与①同理可证．
（3）由∠MOC＝k∠AOC，∠NOD＝k∠BOD可得，∠AOM＝（1+k）∠AOC，∠BON＝（1+k）∠BOD，所以，根据∠COD＝∠AOC+∠AOB+∠BOD可得结论．
【解答】解：（1）∵MN＝45 cm，AM＝18 cm
∴BN＝MN﹣AB﹣AM＝45﹣3﹣18＝24cm，
∵点C和点D分别是AM，BN的中点，
∴，，
∴AC+BD＝21cm．
∴CD＝AC+AB+BD＝3+21＝24cm．
故答案为：24．
（2）①∵OC和OD分别平分∠AOM和∠BON，
∴，．
∴．
∴∠AOM+∠BON＝∠MON﹣∠AOB＝150°﹣30°＝120°．
∴∠AOC+∠BOD＝60°．
∴∠COD＝60°+30°＝90°．
②．
理由如下：
∵OC和OD分别平分和∠BON，
∴．
∴∠COD＝∠AOC+∠AOB+∠BOD．
（3）由条件可知∠AOM+∠BON＝120°，
∵∠MOC＝k∠AOC，
∴∠AOM＝（1+k）∠AOC，∠BON＝（1+k）∠BOD，
∴，
∴∠COD＝∠AOC+∠AOB+∠BOD．
【点评】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键．
20．（2025春 永春县二模）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多．
素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形．
素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图．
素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到m张小长方形和n张小正方形，做成x个横式叠盖纸盒和y个竖式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完．
【任务1】若m＝158，求n，x，y的值；
【任务2】求x+y的最大值．
【考点】几何体的展开图；列代数式；代数式求值．
【专题】运算能力．
【答案】[任务1]n＝80，x＝22，y＝12；
[任务2]35．
【分析】任务1：33张标准卡纸通过剪裁得到158张小长方形，而一张可以剪裁6个小长方形，先算出总的小长方形，减去158，即为剩余的小长方形，一个小长方形可剪裁两个小正方形，再乘以2即可求解n，根据1个竖式叠盖纸盒可以需要4个小长方形和3个正方形，1个横式叠盖纸盒5个小长方形和2个小正方形，即可建立二元一次方程组求解；
任务2：由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形，则6x+5.5y＝33×6，求其整数解，判断x+y的最大值即可．
【解答】解：任务1：由题意得，n＝（33×6﹣158）×2＝80，
根据题意得：，
解得：，
∴n的值为80，x的值为22，y的值为12；
任务2：由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形，
∴6x+5.5y＝33×6，
∴整数解为：或，
∵11+24＝35，22+12＝34，
∴35＞34，
∴x+y的最大值为35．
【点评】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
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