【中考押题预测】2025年中考数学核心考点考前冲刺 相交线与平行线（含解析）
文档属性
| 名称 | 【中考押题预测】2025年中考数学核心考点考前冲刺 相交线与平行线（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-15 18:09:33 | ||
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文档简介
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中考核心考点 相交线与平行线
一．选择题（共10小题）
1．（2025 阎良区二模）如图，直线a∥b，直线AB分别交直线a、b于点A、B，点C、D分别在直线a、b上，连接CD交AB于点E，∠1＝100°，∠2＝40°，则∠3＝（ ）
A．140° B．130° C．120° D．150°
2．（2025 乌鲁木齐）如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上．若∠1＝54°，则∠2的度数为（ ）
A．36° B．40° C．46° D．50°
3．（2025春 大足区二模）如图，直线CD∥AB，点D在射线AE上．若∠A＝35°，则∠CDA的度数是（ ）
A．35° B．55° C．145° D．125°
4．（2025春 平山县二模）∠1与∠2的两边分别平行，且∠1比∠2的4倍少30°，则∠1的度数为（ ）
A．10° B．42° C．138°或42° D．10°或138°
5．（2025春 新市区二模）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOE＝118°，则∠AOC＝（ ）
A．56° B．62° C．75° D．120°
6．（2025春 中山市二模）如图所示，直线a∥b，直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q，PM⊥l于点P，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）
A．50° B．40° C．30° D．45°
7．（2025春 九龙坡区二模）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝3∠NEB，∠FGH＝3∠HGC．下列四个结论：
①AB∥CD；
②∠FEN+∠FGH＝3∠H；
③∠H+∠F＝∠FGD；
④4∠H﹣∠F＝180°．
其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2025 盐田区二模）如图，小茗同学在物理实验操作课中观察光的折射现象，发现水平放置的水杯底部有一束光线从水中射向空气时要发生折射．当入射光线和水杯的底面成75°，折射光线与水杯口平面成65°时，∠1的度数是（ ）
A．155° B．160° C．165° D．170°
9．（2025春 越秀区二模）下列图形中，能利用∠1＝∠2判断AB∥CD的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025 高新区）如图，一束平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点A，点B为焦点（折射光线的反向延长线与主光轴线的交点）．若∠1＝155°，∠2＝35°，则∠3的度数为（ ）
A．10° B．15° C．25° D．35°
二．填空题（共5小题）
11．（2025春 即墨区二模）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，水中两条光线是平行的，若∠2﹣∠1＝60°，则∠3与∠4的度数和是 °．
12．（2025春 天河区二模）如图，已知AB∥CD，BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，若2∠E﹣∠F＝33°，则∠CDE＝ °．
13．（2025春 天河区二模）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF，∠1＝39°，则∠2的度数为 ．
14．（2024秋 泗洪县三模）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，A′B′与BC交于点G，若∠A′GC＝60°，则∠BFE的度数为 ．
15．（2024秋 鄄城县三模）小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠LED护眼灯，其示意图如图所示，EF与桌面MN垂直．当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，若∠DEF＝126°，∠BCD＝104°，则∠CDE的度数为 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春 西安二模）【问题提出】
如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，FG平分∠EFD交AB于点G．
（1）如图1，若∠EGF＝26°，则∠AEF的度数是 °．
【问题探究】
（2）作EM平分∠GEF，交FG于点M．
①如图2，过点G作GN∥EM，交直线EF于点N，求证：∠AGN＝∠N；
②如图3，点P是ME延长线上的一点，连接FP，若2∠CFP＝3∠PFG，∠DFG＝30°，探究∠PEA与∠PFE之间的数量关系，并说明理由．
17．（2025春 宁河区二模）已知AB∥CD，E是CD反向延长线上的一点．
（1）如图①，若∠ABC＝70°，CM平分∠BCD，CN⊥CM，则∠BCD的大小为 （度），∠BCM的大小为 （度），∠BCN的大小为 （度）．
（2）如图②，若∠ABC＝40°，CN是∠BCE的平分线，CN⊥CM，求∠BCM的大小．
18．（2025春 大足区月考）如图，已知∠BDC＝∠FEC，∠DBE+∠AFE＝180°．
（1）求证：AF∥BE；
（2）若BE平分∠FEC，FA⊥MC于点A，且∠BDC＝64°，求∠C的度数．
19．（2025春 新市区二模）填空，补全推理过程：
如图所示，∠1＝∠2，∠A＝∠D，求证：∠B＝∠C．
证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠3（ ），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴AF∥DE（ ），
∴∠D＝∠4（两直线平行，同位角相等）．
∵∠A＝∠D（已知），
∴∠A＝ （等量代换），
∴ （ ），
∴∠B＝∠C（ ）．
20．（2025春 龙湖区二模）综合与探究
【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点O发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，即BA∥CD．
【探索发现】
（1）如图1，∠ABO，∠OCD，∠BOC之间的数量关系为 ．
【深入探究】
（2）如图2，直线AB∥CD，E，G分别为直线AB，CD上的点，F是平面内的任意一点，连接EF，GF．P，Q都是直线CD上的点，且∠PFQ＝∠EFG＝90°，直线MN∥FG，交FQ于点K，试猜想∠FKN与∠PFE之间的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若∠NKQ＝∠AEF，试探究∠CPF与∠EFK之间的数量关系．
中考核心考点 相交线与平行线
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 阎良区二模）如图，直线a∥b，直线AB分别交直线a、b于点A、B，点C、D分别在直线a、b上，连接CD交AB于点E，∠1＝100°，∠2＝40°，则∠3＝（ ）
A．140° B．130° C．120° D．150°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质得到∠EBD＝∠1＝100°，根据对顶角的定义得到∠BED＝∠2＝40°，根据三角形外角的性质得到∠3＝∠EBD+∠BED＝140°，即可得到答案．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠EBD＝∠1＝100°，
由条件可知∠3＝∠EBD+∠BED＝140°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角的定义，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
2．（2025 乌鲁木齐）如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上．若∠1＝54°，则∠2的度数为（ ）
A．36° B．40° C．46° D．50°
【考点】平行线的性质；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质得出∠3＝∠1＝54°，再根据余角的定义求解即可．
【解答】解：把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如图，
∵直尺的两边平行，∠1＝54°，
∴∠3＝∠1＝54°，
∴∠2＝90°﹣∠3＝36°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，余角和补角，解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质．
3．（2025春 大足区二模）如图，直线CD∥AB，点D在射线AE上．若∠A＝35°，则∠CDA的度数是（ ）
A．35° B．55° C．145° D．125°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质即可解决问题．
【解答】解：∵CD∥AB，∠A＝35°，
∴∠CDA＝∠A＝35°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
4．（2025春 平山县二模）∠1与∠2的两边分别平行，且∠1比∠2的4倍少30°，则∠1的度数为（ ）
A．10° B．42° C．138°或42° D．10°或138°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】根据两边分别平行的两个角相等或互补用∠1表示∠2，然后列方程求解．
【解答】解：∵∠1与∠2的两边分别平行，
∴∠1＝∠2或∠2＝180°﹣∠1，
又∵∠1比∠2的4倍少30°，
∴∠1＝4∠2﹣30°＝4∠1﹣30°或∠1＝4∠2﹣30°＝4（180°﹣∠1）﹣30°，
解得：∠1＝10°或∠1＝138°．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，难点在于熟记两边分别平行的两个角相等或互补．
5．（2025春 新市区二模）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOE＝118°，则∠AOC＝（ ）
A．56° B．62° C．75° D．120°
【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】先根据补角的定义得出∠AOE＝180°﹣∠BOE＝62°，根据角平分线的定义得出∠AOD＝2∠AOE＝124°，再根据补角的定义求出∠BOD＝180°﹣∠AOD＝56°，再根据对顶角相等即可得出答案．
【解答】解：由条件可知∠AOE＝180°﹣∠BOE＝62°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD＝124°，
∴∠BOD＝56°，
∴∠AOC＝∠BOD＝56°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了求一个角的补角，角平分线的计算，对顶角相等，熟练掌握以上知识点是关键．
6．（2025春 中山市二模）如图所示，直线a∥b，直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q，PM⊥l于点P，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）
A．50° B．40° C．30° D．45°
【考点】平行线的性质；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】由a∥b可得∠3＝∠1＝50°，由垂直可得∠4＝90°，进而利用平角的定义即可求解．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝50°（两直线平行，同位角相等），
∵PM⊥l，
∴∠4＝90°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣50°＝40°，即∠2的度数为40°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，垂直，关键是平行线性质的熟练掌握．
7．（2025春 九龙坡区二模）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝3∠NEB，∠FGH＝3∠HGC．下列四个结论：
①AB∥CD；
②∠FEN+∠FGH＝3∠H；
③∠H+∠F＝∠FGD；
④4∠H﹣∠F＝180°．
其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】过点F作FP∥AB，HQ∥AB，分别表示出∠EHG、∠EFM，即可分析出答案．
【解答】解：∵点G在直线CD上，∠FMA＝∠FGC，
∴AB∥CD，
∴结论①正确；
AB∥CD，如图，过点F作FP∥AB，过点H作HQ∥AB，
∴FP∥AB∥HQ∥CD，
设∠NEB＝x，∠HGC＝y，则∠FEN＝3x，∠FGH＝3y，
∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠AEH+∠HGC＝∠NEB+∠HGC＝x+y，
∴∠FEN+∠FGH＝3∠EHG，
∴结论②正确；
∴∠EFM＝∠GFP﹣∠EFP＝∠FGC﹣∠EFP
＝（∠CGH+∠HGF）﹣（180°﹣∠FEN﹣∠NEB）
＝y+3y﹣（180﹣3x﹣x）
＝4x+4y﹣180°，
∠EHG+∠EFG＝x+y+4x+4y﹣180°＝5x+5y﹣180°，
∵∠FGD＝180﹣4y，
∴∠EHG+∠EFG≠∠FGD，
∴结论③错误；
∵4∠EHG﹣∠EFM＝4（x+y）﹣（4x+4y﹣180°）＝180°，
∴结论④正确．
综上所述，正确的结论为①②④，有3个，
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质．
8．（2025 盐田区二模）如图，小茗同学在物理实验操作课中观察光的折射现象，发现水平放置的水杯底部有一束光线从水中射向空气时要发生折射．当入射光线和水杯的底面成75°，折射光线与水杯口平面成65°时，∠1的度数是（ ）
A．155° B．160° C．165° D．170°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质，分别求出∠2和∠3的度数即可解决问题．
【解答】解：如图所示，
∵水面与底面平行，
∴∠2+∠4＝180°．
又∵∠4＝75°，
∴∠2＝180°﹣75°＝105°．
∵水面与水杯口的平面平行，
∴∠3＝65°，
∴∠1＝∠2+∠3＝105°+65°＝170°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
9．（2025春 越秀区二模）下列图形中，能利用∠1＝∠2判断AB∥CD的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】根据平行线的判定定理一一判定以及可得出答案．
【解答】解：A选项图形中，由∠1＝∠2无法判断AB∥CD，
故该选项不符合题意；
B选项图形中，∵∠1＝∠2，
∴BD∥AC，但无法判断AB∥CD，
故该选项不符合题意；
C选项图形中，由∠1＝∠2无法判断AB∥CD，
故该选项不符合题意；
D选项图形中，∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定定理．
10．（2025 高新区）如图，一束平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点A，点B为焦点（折射光线的反向延长线与主光轴线的交点）．若∠1＝155°，∠2＝35°，则∠3的度数为（ ）
A．10° B．15° C．25° D．35°
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．
【答案】A
【分析】先利用平行线的性质可得∠1＝∠4＝155°，从而利用平角定义可得∠ABO＝25°，然后利用三角形的外角性质可得∠BAO＝10°，再利用对顶角相等即可解答．
【解答】解：如图：
∵CD∥BE，
∴∠1＝∠4＝155°，
∴∠ABO＝180°﹣∠4＝25°，
∵∠2是△ABO的一个外角，
∴∠BAO＝∠2﹣∠ABO＝35°﹣25°＝10°，
∴∠3＝∠BAO＝10°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025春 即墨区二模）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，水中两条光线是平行的，若∠2﹣∠1＝60°，则∠3与∠4的度数和是 120 °．
【考点】平行线的性质；平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】120．
【分析】根据平行线的性质，得∠1＝∠3，∠2+∠4＝180°，结合∠2﹣∠1＝60°，计算即可．
【解答】解：由条件可得∠1＝∠3，∠2+∠4＝180°，∠2＝60°+∠3，
∴60°+∠3+∠4＝180°
∴∠3+∠4＝120°，
故答案为：120．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
12．（2025春 天河区二模）如图，已知AB∥CD，BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，若2∠E﹣∠F＝33°，则∠CDE＝ 22 °．
【考点】平行线的性质；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】22
【分析】过点E作EG∥CD，过点F作FH∥CD，由平行公理的推论可得AB∥EG∥FH∥CD，由两直线平行内错角相等可得∠BEG＝∠ABE，∠DEG＝∠CDE，∠BFH＝∠ABF，∠DFH＝∠CDF，进而可得∠BED＝∠ABE+∠CDE，∠BFD＝∠ABF+∠CDF，由角平分线的定义可得∠ABF＝2∠ABE，，由2∠BED﹣∠BFD＝33°可得2（∠ABE+∠CDE）﹣（∠ABF+∠CDF）＝33°，进而可得，由此即可求出∠CDE的度数．
【解答】解：如图，过点E作EG∥CD，过点F作FH∥CD，
又∵AB∥CD，
∴AB∥EG∥FH∥CD，
∴∠BEG＝∠ABE，∠DEG＝∠CDE，∠BFH＝∠ABF，∠DFH＝∠CDF（两直线平行，内错角相等），
∴∠BED＝∠BEG+∠DEG＝∠ABE+∠CDE，
∠BFD＝∠BFH+∠DFH＝∠ABF+∠CDF，
∵BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，
∴∠ABF＝2∠ABE＝2∠EBF，∠EDF，
又2∠BED﹣∠BFD＝33°，
∴2（∠ABE+∠CDE）﹣（∠ABF+∠CDF）＝33°，
∴2∠ABE+2∠CDE﹣∠ABF﹣∠CDF＝33°，
∴，
解得∠CDE＝22°，即∠CDE的度数为22°，
故答案为：22．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，添加适当辅助线利用平行线的性质求角度是解题的关键．
13．（2025春 天河区二模）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF，∠1＝39°，则∠2的度数为 102° ．
【考点】平行线的性质；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】102°
【分析】根据AB∥CD可得∠AEG＝∠1＝39°，由EG平分∠AEF可得∠AEF＝2∠AEG＝78°，最后根据平角的定义求解．两直线平行内错角相等
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝39°，
∴∠1＝∠AEG＝39°（两直线平行，内错角相等），
又∵EG平分∠AEF，
∴∠AEF＝2∠AEG＝2×39°＝78°，
∴∠2＝180°﹣∠AEF＝180°﹣78°＝102°，即∠2的度数为102°，
故答案为：102°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的性质和角平分线的定义．
14．（2024秋 泗洪县三模）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，A′B′与BC交于点G，若∠A′GC＝60°，则∠BFE的度数为 105° ．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，即可得到∠BFE＝∠EFB'，∠B'＝∠B＝90°，再根据∠CFB'＝30°，可得∠BFE＝∠EFB'＝105°．
【解答】解：∵把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，
∴∠BFE＝∠EFB'，∠B'＝∠B＝90°，
∵∠A'GC＝60°＝∠FGB'，
∴∠CFB'＝30°，
∴∠BFE＝∠EFB'（180°+30°）＝105°，
故答案为：105°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及折叠的性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
15．（2024秋 鄄城县三模）小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠LED护眼灯，其示意图如图所示，EF与桌面MN垂直．当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，若∠DEF＝126°，∠BCD＝104°，则∠CDE的度数为 112° ．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】依据由题，过点D作DG∥AB，过点E作EH∥AB，根据平行线的性质求解即可；
【解答】解：∵EF⊥MN，
∴∠MFE＝90°，
如图，过点D作DG∥AB，过点E作EH∥AB，
∵AB∥MN，
∴AB∥DG∥EH∥MN，
∴∠ACD+∠CDG＝180°，∠GDE＝∠DEF，∠HEF＝∠MFE＝90°，∠DEH＝GDE，
∵∠DEF＝126°，∠BCD＝104°，
∴∠GDE＝∠DEH＝∠DEF﹣90°＝36°，∠CDG＝180°﹣104°＝76°，
∴∠CDE＝∠CDG+∠GDE＝112°，
故答案为：112°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春 西安二模）【问题提出】
如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，FG平分∠EFD交AB于点G．
（1）如图1，若∠EGF＝26°，则∠AEF的度数是 52 °．
【问题探究】
（2）作EM平分∠GEF，交FG于点M．
①如图2，过点G作GN∥EM，交直线EF于点N，求证：∠AGN＝∠N；
②如图3，点P是ME延长线上的一点，连接FP，若2∠CFP＝3∠PFG，∠DFG＝30°，探究∠PEA与∠PFE之间的数量关系，并说明理由．
【考点】平行线的性质；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）52；（2）见解析（3）7∠PEA﹣5∠PFE＝270°．
【分析】（1）利用平行线性质得到∠EGF＝∠DFG＝26°，利用角平分线性质得到∠EFG＝∠DFG＝26°，再利用平行线性质即可得到∠AEF＝∠EFD＝∠EFG+∠DFG，即可解题；
（2）①利用角平分线性质得到∠FEM＝∠GEM，根据平行线的性质可得∠N＝∠FEM，∠AGN＝∠GEM，即可得证．
②利用角平分线性质得到，，进而可得∠FEM+∠EFG＝90°，根据2∠CFP＝3∠PFG，设∠CFP＝3α，∠PFG＝2α，设∠PFE＝x，∠AEP＝y，根据平行线的性质可得∠CFE＝∠GEF，得出3α+x＝2y，根据∠FEM+∠EFG＝90°得出y+2α﹣x＝90°，两式消去α，即可求解．
【解答】（1）解：∵AB∥CD，∠EGF＝26°，
∴∠EGF＝∠DFG＝26°，
由角平分线定义可知∠EFG＝∠DFG＝26°，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFD＝∠EFG+∠DFG＝26°+26°＝52°，
故答案为：52°．
（2）①证明：∵EM平分∠GEF，
∴∠FEM＝∠GEM，
∵GN∥EM，
∴∠N＝∠FEM，∠AGN＝∠GEM，
∴∠AGN＝∠N，
②由角平分线定义可知，，
∵AB∥CD，
∴∠FEG+∠EFD＝180°，
∴，
∵2∠CFP＝3∠PFG，
设∠CFP＝3α，∠PFG＝2α，设∠PFE＝x，∠AEP＝y，
∴∠GEF＝2∠FEM＝2∠AEP＝2y，
∵AB∥CD，
∴∠CFE＝∠GEF，
即3α+x＝2y，
∴，
又∵y+2α﹣x＝90°，
代入得，，
∴7y﹣5x＝270°，
即7∠PEA﹣5∠PFE＝270°．
【点评】本题考查了平行线性质和判定，角平分线性质，结合图形进行分析是解题的关键．
17．（2025春 宁河区二模）已知AB∥CD，E是CD反向延长线上的一点．
（1）如图①，若∠ABC＝70°，CM平分∠BCD，CN⊥CM，则∠BCD的大小为 70 （度），∠BCM的大小为 35 （度），∠BCN的大小为 55 （度）．
（2）如图②，若∠ABC＝40°，CN是∠BCE的平分线，CN⊥CM，求∠BCM的大小．
【考点】平行线的性质；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）70，35，55；
（2）∠BCM＝20°．
【分析】（1）由平行线的性质得到∠BCD＝∠ABC＝70°，继而得到，由CN⊥CM得到∠MCN＝90°，求出∠BCN＝∠MCN﹣∠BCM＝90°﹣35°＝55°；
（2）由平行线的性质得到∠BCE＝180°﹣∠ABC＝140°，得到，求出∠BCM＝∠NCM﹣∠BCN＝90°﹣70°＝20°．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，∠ABC＝70°，
∴∠BCD＝∠ABC＝70°，
由角平分线可知，
∵CN⊥CM，
∴∠MCN＝90°，
∴∠BCN＝∠MCN﹣∠BCM＝90°﹣35°＝55°，
故答案为：70，35，55；
（2）∵AB∥CD，∠ABC＝40°，
∴∠BCE＝140°，
由角平分线可知，
∵CN⊥CM，
∴∠NCM＝90°，
∴∠BCM＝∠NCM﹣∠BCN＝90°﹣70°＝20°．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分形的定义，垂直的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
18．（2025春 大足区月考）如图，已知∠BDC＝∠FEC，∠DBE+∠AFE＝180°．
（1）求证：AF∥BE；
（2）若BE平分∠FEC，FA⊥MC于点A，且∠BDC＝64°，求∠C的度数．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）58°．
【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行可判定BD∥EF，得到∠DBE＝∠BEF，等量代换得出∠BEF+∠AFE＝180°，即可根据同旁内角互补，两直线平行得解；
（2）由FA⊥MC于A，AF∥BE得出∠C+∠BEC＝90°，再根据角平分线的定义及外角性质即可得解．
【解答】（1）证明：∵∠BDC＝∠FEC，
∴BD∥EF，
∴∠DBE＝∠BEF，
∵∠DBE+∠AFE＝180°，
∴∠BEF+∠AFE＝180°，
∴AF∥BE；
（2）解：∵FA⊥MC于A，
∴∠FAB＝90°，
由（1）知AF∥BE，
∴∠EBC＝∠FAB＝90°，
∴∠C+∠BEC＝90°，
∵BE平分∠FEC，∠DBE＝∠BEF，
∴∠DBE＝∠BEF＝∠BEC，
∵∠DBE+∠BED＝∠BDC＝64°，
∴∠BEC＝32°，
∴∠C＝90°﹣32°＝58°．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的基础．
19．（2025春 新市区二模）填空，补全推理过程：
如图所示，∠1＝∠2，∠A＝∠D，求证：∠B＝∠C．
证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠3（ 对顶角相等 ），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴AF∥DE（ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠D＝∠4（两直线平行，同位角相等）．
∵∠A＝∠D（已知），
∴∠A＝ ∠4 （等量代换），
∴ AB∥CD （ 内错角相等，两直线平行 ），
∴∠B＝∠C（ 两直线平行，内错角相等 ）．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据对顶角相等得到∠1＝∠3，则可得∠2＝∠3，证明AF∥ED，可得∠4＝∠D＝∠A，再利用内错角相等，两直线平行，可得AB∥CD，即可解答．
【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠3（对顶角相等），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴AF∥DE（同位角相等，两直线平行），
∴∠D＝∠4（两直线平行，同位角相等）．
∵∠A＝∠D（已知），
∴∠A＝∠4（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；∠4；AB∥CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理是解题的关键．
20．（2025春 龙湖区二模）综合与探究
【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点O发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，即BA∥CD．
【探索发现】
（1）如图1，∠ABO，∠OCD，∠BOC之间的数量关系为 ∠ABO+∠OCD＝∠BOC ．
【深入探究】
（2）如图2，直线AB∥CD，E，G分别为直线AB，CD上的点，F是平面内的任意一点，连接EF，GF．P，Q都是直线CD上的点，且∠PFQ＝∠EFG＝90°，直线MN∥FG，交FQ于点K，试猜想∠FKN与∠PFE之间的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若∠NKQ＝∠AEF，试探究∠CPF与∠EFK之间的数量关系．
【考点】平行线的性质；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）∠ABO+∠OCD＝∠BOC；（2）∠FKN＝∠PFE；理由见解析；（3）∠CPF＝2∠EFK．
【分析】（1）过O作OH∥AB，利用平行公理得到OH∥CD，利用平行线的性质得到∠ABO＝∠BOH，∠OCD＝∠COH，两式相加可得结论；
（2）设∠FKM＝∠NKQ＝α，利用邻补角定义可得∠FKN＝180°﹣α；利用平行线的性质可推导出∠PFE＝∠PFQ+∠EFK＝180°﹣α，进而可得结论；
（3）过点F作RS∥AB，设∠AEF＝∠NKQ＝α，利用平行线的性质即可求证．
【解答】解：（1）如图所示，过O作OH∥AB，
∵BA∥CD，
∴OH∥CD，
∴∠ABO＝∠BOH，∠OCD＝∠COH，
∴∠ABO+∠OCD＝∠BOH+∠COH＝∠BOC，
即∠ABO+∠OCD＝∠BOC；
故答案为：∠ABO+∠OCD＝∠BOC；
（2）∠FKN与∠PFE之间的数量关系为∠FKN＝∠PFE，理由如下：
设∠FKM＝∠NKQ＝α，
∴∠FKN＝180°﹣∠NKQ＝180°﹣α，
∵MN∥FG，
∴∠FKM＝∠GFQ＝α，
由条件可知∠EFK＝∠EFG﹣∠GFQ＝90°﹣α，
∴∠PFE＝∠PFQ+∠EFK＝180°﹣α，
∴∠FKN＝∠PFE；
（3）设∠AEF＝∠NKQ＝α，
过点F作RS∥AB，
∵AB∥CD，
∴RS∥CD，
∴∠EFS＝∠AEF＝α，∠CPF＝∠SFP，
由（2）知，∠PFE＝180°﹣α，∠EFK＝90°﹣α，
∴∠SFP＝180°﹣2α，
∴∠CPF＝∠SFP＝180°﹣2α，
∴∠CPF＝2∠EFK．
【点评】本题主要考查了利用平行线的性质探求角的度数及关系，根据图准确作出辅助线是解题关键．
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中考核心考点 相交线与平行线
一．选择题（共10小题）
1．（2025 阎良区二模）如图，直线a∥b，直线AB分别交直线a、b于点A、B，点C、D分别在直线a、b上，连接CD交AB于点E，∠1＝100°，∠2＝40°，则∠3＝（ ）
A．140° B．130° C．120° D．150°
2．（2025 乌鲁木齐）如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上．若∠1＝54°，则∠2的度数为（ ）
A．36° B．40° C．46° D．50°
3．（2025春 大足区二模）如图，直线CD∥AB，点D在射线AE上．若∠A＝35°，则∠CDA的度数是（ ）
A．35° B．55° C．145° D．125°
4．（2025春 平山县二模）∠1与∠2的两边分别平行，且∠1比∠2的4倍少30°，则∠1的度数为（ ）
A．10° B．42° C．138°或42° D．10°或138°
5．（2025春 新市区二模）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOE＝118°，则∠AOC＝（ ）
A．56° B．62° C．75° D．120°
6．（2025春 中山市二模）如图所示，直线a∥b，直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q，PM⊥l于点P，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）
A．50° B．40° C．30° D．45°
7．（2025春 九龙坡区二模）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝3∠NEB，∠FGH＝3∠HGC．下列四个结论：
①AB∥CD；
②∠FEN+∠FGH＝3∠H；
③∠H+∠F＝∠FGD；
④4∠H﹣∠F＝180°．
其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2025 盐田区二模）如图，小茗同学在物理实验操作课中观察光的折射现象，发现水平放置的水杯底部有一束光线从水中射向空气时要发生折射．当入射光线和水杯的底面成75°，折射光线与水杯口平面成65°时，∠1的度数是（ ）
A．155° B．160° C．165° D．170°
9．（2025春 越秀区二模）下列图形中，能利用∠1＝∠2判断AB∥CD的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025 高新区）如图，一束平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点A，点B为焦点（折射光线的反向延长线与主光轴线的交点）．若∠1＝155°，∠2＝35°，则∠3的度数为（ ）
A．10° B．15° C．25° D．35°
二．填空题（共5小题）
11．（2025春 即墨区二模）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，水中两条光线是平行的，若∠2﹣∠1＝60°，则∠3与∠4的度数和是 °．
12．（2025春 天河区二模）如图，已知AB∥CD，BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，若2∠E﹣∠F＝33°，则∠CDE＝ °．
13．（2025春 天河区二模）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF，∠1＝39°，则∠2的度数为 ．
14．（2024秋 泗洪县三模）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，A′B′与BC交于点G，若∠A′GC＝60°，则∠BFE的度数为 ．
15．（2024秋 鄄城县三模）小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠LED护眼灯，其示意图如图所示，EF与桌面MN垂直．当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，若∠DEF＝126°，∠BCD＝104°，则∠CDE的度数为 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春 西安二模）【问题提出】
如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，FG平分∠EFD交AB于点G．
（1）如图1，若∠EGF＝26°，则∠AEF的度数是 °．
【问题探究】
（2）作EM平分∠GEF，交FG于点M．
①如图2，过点G作GN∥EM，交直线EF于点N，求证：∠AGN＝∠N；
②如图3，点P是ME延长线上的一点，连接FP，若2∠CFP＝3∠PFG，∠DFG＝30°，探究∠PEA与∠PFE之间的数量关系，并说明理由．
17．（2025春 宁河区二模）已知AB∥CD，E是CD反向延长线上的一点．
（1）如图①，若∠ABC＝70°，CM平分∠BCD，CN⊥CM，则∠BCD的大小为 （度），∠BCM的大小为 （度），∠BCN的大小为 （度）．
（2）如图②，若∠ABC＝40°，CN是∠BCE的平分线，CN⊥CM，求∠BCM的大小．
18．（2025春 大足区月考）如图，已知∠BDC＝∠FEC，∠DBE+∠AFE＝180°．
（1）求证：AF∥BE；
（2）若BE平分∠FEC，FA⊥MC于点A，且∠BDC＝64°，求∠C的度数．
19．（2025春 新市区二模）填空，补全推理过程：
如图所示，∠1＝∠2，∠A＝∠D，求证：∠B＝∠C．
证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠3（ ），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴AF∥DE（ ），
∴∠D＝∠4（两直线平行，同位角相等）．
∵∠A＝∠D（已知），
∴∠A＝ （等量代换），
∴ （ ），
∴∠B＝∠C（ ）．
20．（2025春 龙湖区二模）综合与探究
【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点O发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，即BA∥CD．
【探索发现】
（1）如图1，∠ABO，∠OCD，∠BOC之间的数量关系为 ．
【深入探究】
（2）如图2，直线AB∥CD，E，G分别为直线AB，CD上的点，F是平面内的任意一点，连接EF，GF．P，Q都是直线CD上的点，且∠PFQ＝∠EFG＝90°，直线MN∥FG，交FQ于点K，试猜想∠FKN与∠PFE之间的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若∠NKQ＝∠AEF，试探究∠CPF与∠EFK之间的数量关系．
中考核心考点 相交线与平行线
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 阎良区二模）如图，直线a∥b，直线AB分别交直线a、b于点A、B，点C、D分别在直线a、b上，连接CD交AB于点E，∠1＝100°，∠2＝40°，则∠3＝（ ）
A．140° B．130° C．120° D．150°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质得到∠EBD＝∠1＝100°，根据对顶角的定义得到∠BED＝∠2＝40°，根据三角形外角的性质得到∠3＝∠EBD+∠BED＝140°，即可得到答案．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠EBD＝∠1＝100°，
由条件可知∠3＝∠EBD+∠BED＝140°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角的定义，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
2．（2025 乌鲁木齐）如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上．若∠1＝54°，则∠2的度数为（ ）
A．36° B．40° C．46° D．50°
【考点】平行线的性质；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质得出∠3＝∠1＝54°，再根据余角的定义求解即可．
【解答】解：把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如图，
∵直尺的两边平行，∠1＝54°，
∴∠3＝∠1＝54°，
∴∠2＝90°﹣∠3＝36°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，余角和补角，解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质．
3．（2025春 大足区二模）如图，直线CD∥AB，点D在射线AE上．若∠A＝35°，则∠CDA的度数是（ ）
A．35° B．55° C．145° D．125°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质即可解决问题．
【解答】解：∵CD∥AB，∠A＝35°，
∴∠CDA＝∠A＝35°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
4．（2025春 平山县二模）∠1与∠2的两边分别平行，且∠1比∠2的4倍少30°，则∠1的度数为（ ）
A．10° B．42° C．138°或42° D．10°或138°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】根据两边分别平行的两个角相等或互补用∠1表示∠2，然后列方程求解．
【解答】解：∵∠1与∠2的两边分别平行，
∴∠1＝∠2或∠2＝180°﹣∠1，
又∵∠1比∠2的4倍少30°，
∴∠1＝4∠2﹣30°＝4∠1﹣30°或∠1＝4∠2﹣30°＝4（180°﹣∠1）﹣30°，
解得：∠1＝10°或∠1＝138°．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，难点在于熟记两边分别平行的两个角相等或互补．
5．（2025春 新市区二模）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOE＝118°，则∠AOC＝（ ）
A．56° B．62° C．75° D．120°
【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】先根据补角的定义得出∠AOE＝180°﹣∠BOE＝62°，根据角平分线的定义得出∠AOD＝2∠AOE＝124°，再根据补角的定义求出∠BOD＝180°﹣∠AOD＝56°，再根据对顶角相等即可得出答案．
【解答】解：由条件可知∠AOE＝180°﹣∠BOE＝62°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD＝124°，
∴∠BOD＝56°，
∴∠AOC＝∠BOD＝56°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了求一个角的补角，角平分线的计算，对顶角相等，熟练掌握以上知识点是关键．
6．（2025春 中山市二模）如图所示，直线a∥b，直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q，PM⊥l于点P，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）
A．50° B．40° C．30° D．45°
【考点】平行线的性质；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】由a∥b可得∠3＝∠1＝50°，由垂直可得∠4＝90°，进而利用平角的定义即可求解．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝50°（两直线平行，同位角相等），
∵PM⊥l，
∴∠4＝90°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣50°＝40°，即∠2的度数为40°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，垂直，关键是平行线性质的熟练掌握．
7．（2025春 九龙坡区二模）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝3∠NEB，∠FGH＝3∠HGC．下列四个结论：
①AB∥CD；
②∠FEN+∠FGH＝3∠H；
③∠H+∠F＝∠FGD；
④4∠H﹣∠F＝180°．
其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】过点F作FP∥AB，HQ∥AB，分别表示出∠EHG、∠EFM，即可分析出答案．
【解答】解：∵点G在直线CD上，∠FMA＝∠FGC，
∴AB∥CD，
∴结论①正确；
AB∥CD，如图，过点F作FP∥AB，过点H作HQ∥AB，
∴FP∥AB∥HQ∥CD，
设∠NEB＝x，∠HGC＝y，则∠FEN＝3x，∠FGH＝3y，
∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠AEH+∠HGC＝∠NEB+∠HGC＝x+y，
∴∠FEN+∠FGH＝3∠EHG，
∴结论②正确；
∴∠EFM＝∠GFP﹣∠EFP＝∠FGC﹣∠EFP
＝（∠CGH+∠HGF）﹣（180°﹣∠FEN﹣∠NEB）
＝y+3y﹣（180﹣3x﹣x）
＝4x+4y﹣180°，
∠EHG+∠EFG＝x+y+4x+4y﹣180°＝5x+5y﹣180°，
∵∠FGD＝180﹣4y，
∴∠EHG+∠EFG≠∠FGD，
∴结论③错误；
∵4∠EHG﹣∠EFM＝4（x+y）﹣（4x+4y﹣180°）＝180°，
∴结论④正确．
综上所述，正确的结论为①②④，有3个，
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质．
8．（2025 盐田区二模）如图，小茗同学在物理实验操作课中观察光的折射现象，发现水平放置的水杯底部有一束光线从水中射向空气时要发生折射．当入射光线和水杯的底面成75°，折射光线与水杯口平面成65°时，∠1的度数是（ ）
A．155° B．160° C．165° D．170°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质，分别求出∠2和∠3的度数即可解决问题．
【解答】解：如图所示，
∵水面与底面平行，
∴∠2+∠4＝180°．
又∵∠4＝75°，
∴∠2＝180°﹣75°＝105°．
∵水面与水杯口的平面平行，
∴∠3＝65°，
∴∠1＝∠2+∠3＝105°+65°＝170°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
9．（2025春 越秀区二模）下列图形中，能利用∠1＝∠2判断AB∥CD的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】根据平行线的判定定理一一判定以及可得出答案．
【解答】解：A选项图形中，由∠1＝∠2无法判断AB∥CD，
故该选项不符合题意；
B选项图形中，∵∠1＝∠2，
∴BD∥AC，但无法判断AB∥CD，
故该选项不符合题意；
C选项图形中，由∠1＝∠2无法判断AB∥CD，
故该选项不符合题意；
D选项图形中，∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定定理．
10．（2025 高新区）如图，一束平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点A，点B为焦点（折射光线的反向延长线与主光轴线的交点）．若∠1＝155°，∠2＝35°，则∠3的度数为（ ）
A．10° B．15° C．25° D．35°
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．
【答案】A
【分析】先利用平行线的性质可得∠1＝∠4＝155°，从而利用平角定义可得∠ABO＝25°，然后利用三角形的外角性质可得∠BAO＝10°，再利用对顶角相等即可解答．
【解答】解：如图：
∵CD∥BE，
∴∠1＝∠4＝155°，
∴∠ABO＝180°﹣∠4＝25°，
∵∠2是△ABO的一个外角，
∴∠BAO＝∠2﹣∠ABO＝35°﹣25°＝10°，
∴∠3＝∠BAO＝10°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025春 即墨区二模）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，水中两条光线是平行的，若∠2﹣∠1＝60°，则∠3与∠4的度数和是 120 °．
【考点】平行线的性质；平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】120．
【分析】根据平行线的性质，得∠1＝∠3，∠2+∠4＝180°，结合∠2﹣∠1＝60°，计算即可．
【解答】解：由条件可得∠1＝∠3，∠2+∠4＝180°，∠2＝60°+∠3，
∴60°+∠3+∠4＝180°
∴∠3+∠4＝120°，
故答案为：120．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
12．（2025春 天河区二模）如图，已知AB∥CD，BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，若2∠E﹣∠F＝33°，则∠CDE＝ 22 °．
【考点】平行线的性质；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】22
【分析】过点E作EG∥CD，过点F作FH∥CD，由平行公理的推论可得AB∥EG∥FH∥CD，由两直线平行内错角相等可得∠BEG＝∠ABE，∠DEG＝∠CDE，∠BFH＝∠ABF，∠DFH＝∠CDF，进而可得∠BED＝∠ABE+∠CDE，∠BFD＝∠ABF+∠CDF，由角平分线的定义可得∠ABF＝2∠ABE，，由2∠BED﹣∠BFD＝33°可得2（∠ABE+∠CDE）﹣（∠ABF+∠CDF）＝33°，进而可得，由此即可求出∠CDE的度数．
【解答】解：如图，过点E作EG∥CD，过点F作FH∥CD，
又∵AB∥CD，
∴AB∥EG∥FH∥CD，
∴∠BEG＝∠ABE，∠DEG＝∠CDE，∠BFH＝∠ABF，∠DFH＝∠CDF（两直线平行，内错角相等），
∴∠BED＝∠BEG+∠DEG＝∠ABE+∠CDE，
∠BFD＝∠BFH+∠DFH＝∠ABF+∠CDF，
∵BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，
∴∠ABF＝2∠ABE＝2∠EBF，∠EDF，
又2∠BED﹣∠BFD＝33°，
∴2（∠ABE+∠CDE）﹣（∠ABF+∠CDF）＝33°，
∴2∠ABE+2∠CDE﹣∠ABF﹣∠CDF＝33°，
∴，
解得∠CDE＝22°，即∠CDE的度数为22°，
故答案为：22．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，添加适当辅助线利用平行线的性质求角度是解题的关键．
13．（2025春 天河区二模）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF，∠1＝39°，则∠2的度数为 102° ．
【考点】平行线的性质；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】102°
【分析】根据AB∥CD可得∠AEG＝∠1＝39°，由EG平分∠AEF可得∠AEF＝2∠AEG＝78°，最后根据平角的定义求解．两直线平行内错角相等
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝39°，
∴∠1＝∠AEG＝39°（两直线平行，内错角相等），
又∵EG平分∠AEF，
∴∠AEF＝2∠AEG＝2×39°＝78°，
∴∠2＝180°﹣∠AEF＝180°﹣78°＝102°，即∠2的度数为102°，
故答案为：102°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的性质和角平分线的定义．
14．（2024秋 泗洪县三模）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，A′B′与BC交于点G，若∠A′GC＝60°，则∠BFE的度数为 105° ．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，即可得到∠BFE＝∠EFB'，∠B'＝∠B＝90°，再根据∠CFB'＝30°，可得∠BFE＝∠EFB'＝105°．
【解答】解：∵把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，
∴∠BFE＝∠EFB'，∠B'＝∠B＝90°，
∵∠A'GC＝60°＝∠FGB'，
∴∠CFB'＝30°，
∴∠BFE＝∠EFB'（180°+30°）＝105°，
故答案为：105°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及折叠的性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
15．（2024秋 鄄城县三模）小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠LED护眼灯，其示意图如图所示，EF与桌面MN垂直．当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，若∠DEF＝126°，∠BCD＝104°，则∠CDE的度数为 112° ．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】依据由题，过点D作DG∥AB，过点E作EH∥AB，根据平行线的性质求解即可；
【解答】解：∵EF⊥MN，
∴∠MFE＝90°，
如图，过点D作DG∥AB，过点E作EH∥AB，
∵AB∥MN，
∴AB∥DG∥EH∥MN，
∴∠ACD+∠CDG＝180°，∠GDE＝∠DEF，∠HEF＝∠MFE＝90°，∠DEH＝GDE，
∵∠DEF＝126°，∠BCD＝104°，
∴∠GDE＝∠DEH＝∠DEF﹣90°＝36°，∠CDG＝180°﹣104°＝76°，
∴∠CDE＝∠CDG+∠GDE＝112°，
故答案为：112°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春 西安二模）【问题提出】
如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，FG平分∠EFD交AB于点G．
（1）如图1，若∠EGF＝26°，则∠AEF的度数是 52 °．
【问题探究】
（2）作EM平分∠GEF，交FG于点M．
①如图2，过点G作GN∥EM，交直线EF于点N，求证：∠AGN＝∠N；
②如图3，点P是ME延长线上的一点，连接FP，若2∠CFP＝3∠PFG，∠DFG＝30°，探究∠PEA与∠PFE之间的数量关系，并说明理由．
【考点】平行线的性质；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）52；（2）见解析（3）7∠PEA﹣5∠PFE＝270°．
【分析】（1）利用平行线性质得到∠EGF＝∠DFG＝26°，利用角平分线性质得到∠EFG＝∠DFG＝26°，再利用平行线性质即可得到∠AEF＝∠EFD＝∠EFG+∠DFG，即可解题；
（2）①利用角平分线性质得到∠FEM＝∠GEM，根据平行线的性质可得∠N＝∠FEM，∠AGN＝∠GEM，即可得证．
②利用角平分线性质得到，，进而可得∠FEM+∠EFG＝90°，根据2∠CFP＝3∠PFG，设∠CFP＝3α，∠PFG＝2α，设∠PFE＝x，∠AEP＝y，根据平行线的性质可得∠CFE＝∠GEF，得出3α+x＝2y，根据∠FEM+∠EFG＝90°得出y+2α﹣x＝90°，两式消去α，即可求解．
【解答】（1）解：∵AB∥CD，∠EGF＝26°，
∴∠EGF＝∠DFG＝26°，
由角平分线定义可知∠EFG＝∠DFG＝26°，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFD＝∠EFG+∠DFG＝26°+26°＝52°，
故答案为：52°．
（2）①证明：∵EM平分∠GEF，
∴∠FEM＝∠GEM，
∵GN∥EM，
∴∠N＝∠FEM，∠AGN＝∠GEM，
∴∠AGN＝∠N，
②由角平分线定义可知，，
∵AB∥CD，
∴∠FEG+∠EFD＝180°，
∴，
∵2∠CFP＝3∠PFG，
设∠CFP＝3α，∠PFG＝2α，设∠PFE＝x，∠AEP＝y，
∴∠GEF＝2∠FEM＝2∠AEP＝2y，
∵AB∥CD，
∴∠CFE＝∠GEF，
即3α+x＝2y，
∴，
又∵y+2α﹣x＝90°，
代入得，，
∴7y﹣5x＝270°，
即7∠PEA﹣5∠PFE＝270°．
【点评】本题考查了平行线性质和判定，角平分线性质，结合图形进行分析是解题的关键．
17．（2025春 宁河区二模）已知AB∥CD，E是CD反向延长线上的一点．
（1）如图①，若∠ABC＝70°，CM平分∠BCD，CN⊥CM，则∠BCD的大小为 70 （度），∠BCM的大小为 35 （度），∠BCN的大小为 55 （度）．
（2）如图②，若∠ABC＝40°，CN是∠BCE的平分线，CN⊥CM，求∠BCM的大小．
【考点】平行线的性质；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）70，35，55；
（2）∠BCM＝20°．
【分析】（1）由平行线的性质得到∠BCD＝∠ABC＝70°，继而得到，由CN⊥CM得到∠MCN＝90°，求出∠BCN＝∠MCN﹣∠BCM＝90°﹣35°＝55°；
（2）由平行线的性质得到∠BCE＝180°﹣∠ABC＝140°，得到，求出∠BCM＝∠NCM﹣∠BCN＝90°﹣70°＝20°．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，∠ABC＝70°，
∴∠BCD＝∠ABC＝70°，
由角平分线可知，
∵CN⊥CM，
∴∠MCN＝90°，
∴∠BCN＝∠MCN﹣∠BCM＝90°﹣35°＝55°，
故答案为：70，35，55；
（2）∵AB∥CD，∠ABC＝40°，
∴∠BCE＝140°，
由角平分线可知，
∵CN⊥CM，
∴∠NCM＝90°，
∴∠BCM＝∠NCM﹣∠BCN＝90°﹣70°＝20°．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分形的定义，垂直的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
18．（2025春 大足区月考）如图，已知∠BDC＝∠FEC，∠DBE+∠AFE＝180°．
（1）求证：AF∥BE；
（2）若BE平分∠FEC，FA⊥MC于点A，且∠BDC＝64°，求∠C的度数．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）58°．
【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行可判定BD∥EF，得到∠DBE＝∠BEF，等量代换得出∠BEF+∠AFE＝180°，即可根据同旁内角互补，两直线平行得解；
（2）由FA⊥MC于A，AF∥BE得出∠C+∠BEC＝90°，再根据角平分线的定义及外角性质即可得解．
【解答】（1）证明：∵∠BDC＝∠FEC，
∴BD∥EF，
∴∠DBE＝∠BEF，
∵∠DBE+∠AFE＝180°，
∴∠BEF+∠AFE＝180°，
∴AF∥BE；
（2）解：∵FA⊥MC于A，
∴∠FAB＝90°，
由（1）知AF∥BE，
∴∠EBC＝∠FAB＝90°，
∴∠C+∠BEC＝90°，
∵BE平分∠FEC，∠DBE＝∠BEF，
∴∠DBE＝∠BEF＝∠BEC，
∵∠DBE+∠BED＝∠BDC＝64°，
∴∠BEC＝32°，
∴∠C＝90°﹣32°＝58°．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的基础．
19．（2025春 新市区二模）填空，补全推理过程：
如图所示，∠1＝∠2，∠A＝∠D，求证：∠B＝∠C．
证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠3（ 对顶角相等 ），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴AF∥DE（ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠D＝∠4（两直线平行，同位角相等）．
∵∠A＝∠D（已知），
∴∠A＝ ∠4 （等量代换），
∴ AB∥CD （ 内错角相等，两直线平行 ），
∴∠B＝∠C（ 两直线平行，内错角相等 ）．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据对顶角相等得到∠1＝∠3，则可得∠2＝∠3，证明AF∥ED，可得∠4＝∠D＝∠A，再利用内错角相等，两直线平行，可得AB∥CD，即可解答．
【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠3（对顶角相等），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴AF∥DE（同位角相等，两直线平行），
∴∠D＝∠4（两直线平行，同位角相等）．
∵∠A＝∠D（已知），
∴∠A＝∠4（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；∠4；AB∥CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理是解题的关键．
20．（2025春 龙湖区二模）综合与探究
【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点O发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，即BA∥CD．
【探索发现】
（1）如图1，∠ABO，∠OCD，∠BOC之间的数量关系为 ∠ABO+∠OCD＝∠BOC ．
【深入探究】
（2）如图2，直线AB∥CD，E，G分别为直线AB，CD上的点，F是平面内的任意一点，连接EF，GF．P，Q都是直线CD上的点，且∠PFQ＝∠EFG＝90°，直线MN∥FG，交FQ于点K，试猜想∠FKN与∠PFE之间的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若∠NKQ＝∠AEF，试探究∠CPF与∠EFK之间的数量关系．
【考点】平行线的性质；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）∠ABO+∠OCD＝∠BOC；（2）∠FKN＝∠PFE；理由见解析；（3）∠CPF＝2∠EFK．
【分析】（1）过O作OH∥AB，利用平行公理得到OH∥CD，利用平行线的性质得到∠ABO＝∠BOH，∠OCD＝∠COH，两式相加可得结论；
（2）设∠FKM＝∠NKQ＝α，利用邻补角定义可得∠FKN＝180°﹣α；利用平行线的性质可推导出∠PFE＝∠PFQ+∠EFK＝180°﹣α，进而可得结论；
（3）过点F作RS∥AB，设∠AEF＝∠NKQ＝α，利用平行线的性质即可求证．
【解答】解：（1）如图所示，过O作OH∥AB，
∵BA∥CD，
∴OH∥CD，
∴∠ABO＝∠BOH，∠OCD＝∠COH，
∴∠ABO+∠OCD＝∠BOH+∠COH＝∠BOC，
即∠ABO+∠OCD＝∠BOC；
故答案为：∠ABO+∠OCD＝∠BOC；
（2）∠FKN与∠PFE之间的数量关系为∠FKN＝∠PFE，理由如下：
设∠FKM＝∠NKQ＝α，
∴∠FKN＝180°﹣∠NKQ＝180°﹣α，
∵MN∥FG，
∴∠FKM＝∠GFQ＝α，
由条件可知∠EFK＝∠EFG﹣∠GFQ＝90°﹣α，
∴∠PFE＝∠PFQ+∠EFK＝180°﹣α，
∴∠FKN＝∠PFE；
（3）设∠AEF＝∠NKQ＝α，
过点F作RS∥AB，
∵AB∥CD，
∴RS∥CD，
∴∠EFS＝∠AEF＝α，∠CPF＝∠SFP，
由（2）知，∠PFE＝180°﹣α，∠EFK＝90°﹣α，
∴∠SFP＝180°﹣2α，
∴∠CPF＝∠SFP＝180°﹣2α，
∴∠CPF＝2∠EFK．
【点评】本题主要考查了利用平行线的性质探求角的度数及关系，根据图准确作出辅助线是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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