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微专题Ⅱ 动力学连接体问题和临界问题
1、动力学中的连接体模型，学会使用整体法与隔离法分析。
2、掌握动力学的临界分析。
一、动力学的连接体问题
1．连接体：两个或两个以上相互作用的物体组成的具有相同加速度的整体叫连接体．如几个物体叠放在一起，或并排挤放在一起，或用绳子、细杆等连在一起，在求解连接体问题时常用的方法为整体法与隔离法．
2．整体法：把整个连接体系统看做一个研究对象，分析整体所受的外力，运用牛顿第二定律列方程求解．其优点在于它不涉及系统内各物体之间的相互作用力．
3．隔离法：把系统中某一物体(或一部分)隔离出来作为一个单独的研究对象，进行受力分析，列方程求解．其优点在于将系统内物体间相互作用的内力转化为研究对象所受的外力，容易看清单个物体(或一部分)的受力情况或单个过程的运动情形．
4．整体法与隔离法的选用
求解各部分加速度都相同的连接体问题时，要优先考虑整体法；如果还需要求物体之间的作用力，再用隔离法．求解连接体问题时，随着研究对象的转移，往往两种方法交替运用．一般的思路是先用其中一种方法求加速度，再用另一种方法求物体间的作用力或系统所受合力．无论运用整体法还是隔离法，解题的关键还是在于对研究对象进行正确的受力分析．
二、动力学的临界问题
1．临界问题：某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态．
2．关键词语：在动力学问题中出现的“最大”“最小”“刚好”“恰能”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件．
3．临界问题的常见类型及临界条件：
(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触(或脱离)的临界条件是弹力为零．
(2)相对静止或相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大静摩擦力．
(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断与不断的临界条件是实际张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是绳上的张力为零．
(4)加速度最大与速度最大的临界条件：当所受合力最大时，具有最大加速度；当所受合力最小时，具有最小加速度．当出现加速度为零时，物体处于临界状态，对应的速度达到最大值或最小值．
4．解答临界问题的三种方法
(1)极限法：把问题推向极端，分析在极端情况下可能出现的状态，从而找出临界条件．
(2)假设法：有些物理过程没有出现明显的临界线索，一般用假设法，即假设出现某种临界状态，分析物体的受力情况与题设是否相同，然后再根据实际情况处理．
(3)数学法：将物理方程转化为数学表达式，如二次函数、不等式、三角函数等，然后根据数学中求极值的方法，求出临界条件．
如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，有两个物块P和Q，质量分别为m1和m2用与斜面平行的轻质弹簧相连接，在沿斜面向上的恒力F作用下，两物块一起向上做匀加速直线运动，则下列说法正确的是（ ）
A．两物块一起运动的加速度大小为
B．弹簧的弹力大小为
C．若只增大θ，两物块一起向上匀加速运动时，它们的间距变大
D．若只减小m2，两物块一起向上匀加速运动时，它们的间距变小
（多选）如图所示，将一截面为直角三角形的斜面体固定在水平地面上，斜面倾角分别为30°和60°，右侧斜面光滑，左侧斜面粗糙。物体a、b用跨过定滑轮的轻绳连接置于斜面上，两者均静止。受到微扰后，a沿左侧斜面匀速上滑，滑轮光滑且质量不计，已知a与斜面的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（ ）
A．a、b的质量之比为
B．a、b的质量之比为
C．a、b滑动过程中斜面体对地面的压力大小等于斜面体和a、b的总重力
D．增大a的质量，a可能沿斜面下滑
如图所示，一圆柱形横梁水平固定（阴影为其截面），可视为质点的小球A、B用足够长的轻绳连接后悬挂在梁上。已知A、B的质量分别为2m、m，重力加速度为g。横梁粗糙，且轻绳与横梁间摩擦力满足f＝k（TA+TB），其中TA、TB分别为左右悬绳中的张力，向下拉动A球后松手，A、B球恰做匀速运动。现将A球质量增大为5m，再从静止释放两球，A球下降时的加速度大小为（ ）
A．a B．a C．a D．a
如图所示，在光滑水平面上有质量相同的甲、乙两个物体靠在一起，在水平力F1、F2的作用下运动，已知F1＞F2。下列说法正确的是（ ）
A．甲对乙的作用力大小为F1
B．乙对甲的作用力大小为
C．如果撤去F1，乙的加速度一定变大
D．如果撤去F1，甲对乙的作用力一定减小
如图所示，两物块P、Q用跨过光滑轻质定滑轮的轻绳相连，开始时P静止在水平桌面上，将一个水平向右的推力F作用在P上后，轻绳的张力变为原来的一半。已知P、Q两物块的质量分别为mP＝1.0kg、mQ＝0.2kg，P与桌面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10m/s2。则推力F的大小为（ ）
A．4.0N B．3.0N C．9.0N D．11.0N
（多选）趣味运动会上运动员手持网球拍托球沿水平面匀加速跑，设球拍和球的质量分别为M、m，球拍平面和水平面之间夹角为θ，球拍与球保持相对静止，它们之间的摩擦力及空气阻力不计，则（ ）
A．运动员的加速度为gtanθ
B．球拍对球的作用力为mg
C．运动员对球拍的作用力为（M+m）gcosθ
D．若运动员的加速度大于gtanθ，球一定沿球拍向上运动
（多选）如图1所示，甲、乙两个相同物块通过轻弹簧连接，静置于倾角为θ且足够长的光滑固定斜面上，物块乙紧靠垂直斜面的固定挡板P。现对物块甲施加一沿斜面向上的拉力F，使物块甲从静止开始做加速度大小为a的匀加速直线运动，从物块甲开始运动到物块乙刚要离开挡板P的过程中，拉力F与物块甲的位移大小x的关系如图2所示。重力加速度为g，θ、a、F1、F2、x0均为已知量，弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，则该过程中（ ）
A．物块甲运动的时间为
B．物块甲的最大速度为
C．弹簧的劲度系数为
D．物块甲的质量为
（多选）如图所示，一质量M＝3kg、倾角为α＝45°的斜面体放在光滑水平地面上，斜面体上有一质量为m＝1kg的光滑楔形物体．用一水平向左的恒力F作用在斜面体上，系统恰好保持相对静止地向左运动．重力加速度g＝10m/s2，下列判断正确的是（ ）
A．系统做匀速直线运动
B．F＝40N
C．斜面体对楔形物体的作用力FN＝5N
D．增大力F，楔形物体将相对斜面体沿斜面向上运动
（多选）如图所示，足够长的木板置于光滑水平面上，倾角θ＝53°的斜劈放在木板上，一平行于斜面的细绳一端系在斜劈顶，另一端拴接一可视为质点的小球，已知木板、斜劈、小球质量均为1kg，斜劈与木板之间的动摩擦因数为μ，取g＝10m/s2，sin53°＝0.8，系统处于静止状态。现在对木板施加一水平向右的拉力F，下列说法正确的是（ ）
A．若μ＝0.2，当F＝4N时，斜劈相对木板向右运动
B．若μ＝0.5，不论F多大，小球对斜劈的压力都不会等于0
C．若μ＝0.8，当F＝22.5N时，小球对斜劈的压力为0
D．若μ＝0.8，当F＝24N时，细绳与水平方向的夹角α满足：tanα＝1.25
（多选）如图所示，足够长的木板置于光滑水平面上，倾角θ＝53°的斜劈放在木板上，一平行于斜面的细绳一端系在斜劈顶，另一端拴接一可视为质点的小球，已知木板、斜劈、小球质量均为1kg，斜劈与木板之间的动摩擦因数为μ，重力加速度g＝10m/s2，系统处于静止状态。现在对木板施加一水平向右的拉力F，下列说法正确的是（ ）
A．若μ＝0.2，当F＝4N时，木板相对斜劈向右运动
B．若μ＝0.5，不论F多大，小球均能和斜劈保持相对静止
C．若μ＝0.8，当F＝22.5N时，小球对斜劈的压力为0
D．若μ＝0.8，当F＝24N时，细绳与水平方向的夹角α满足：tanα＝0.8
（多选）如图所示，质量为3.5kg的一只长方体形空铁箱在水平拉力F作用下沿水平面向右匀加速运动，铁箱与水平面间的动摩擦因数μ1为0.5。这时铁箱内一个质量为0.5kg的木块恰好能静止在后壁上，木块与铁箱内壁间的动摩擦因数μ2为0.4。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2。以下说法正确的是（ ）
A．水平拉力F的大小120N
B．木块对铁箱压力的大小12.5N
C．水平面对铁箱的支持力大小为35N
D．铁箱的加速度为35m/s2
如图，高为1.2m、质量为2.5kg的一只长方体形空铁箱在水平拉力F＝60N作用下沿光滑水平面向右匀加速运动，这时铁箱内顶部一个质量为0.5kg的木块（可视为质点）恰好能静止在后壁上。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2。求：
（1）两物体一起匀加速运动的加速度；
（2）木块与铁箱内壁间的动摩擦因数μ；
（3）当铁箱滑上动摩擦因数μ2＝0.4的粗糙水平面上时，做加速度为17.6m/s2匀加速直线运动，求从铁箱滑上粗糙面开始计时，经过多长时间木块掉落到铁箱底部。（不考虑铁箱的长度，结果可以用根式表示）
如图所示，倾角为α的斜面体（斜面光滑且足够长）固定在水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长度为时将物块由静止开始释放（物块做简谐运动），重力加速度为g。
（1）选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标系，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动；
（2）选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标系，求物块处于正向最大位移时回复力的大小。
如图所示，一质量为m＝0.2kg的物块静置于矩形的木箱内，物块和箱底之间的动摩擦因数为μ＝0.3，一劲度系数为20N/m的轻质弹簧的两端分别与物块右端、木箱右壁连接初始时，木箱处于静止状态，弹簧长度为L＝5cm并与木箱底面平行，弹簧的形变量未知。现在给木箱一加速度a，使物块恰好能相对木箱底面移动起来。若弹簧形变量始终在弹性限度范围内，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g＝10m/s2，求：
（1）若a＝1m/s2且方向竖直向下，则弹簧的原长为多少；
（2）若加速度是水平方向，且初始时弹簧的伸长量为2cm，则加速度a有多大？
如图所示，质量为M的小车放在光滑水平面上，小车上用细线悬吊一质量为m的小球（M＞m），用水平向左的外力拉小车，使小球和车一起向左匀加速运动，细线与竖直方向成α角，如图甲。求：
（1）水平向左的外力F的大小。
（2）若用同样大小的力水平向右拉小球，使小球和车一起向右匀加速运动，此时细线与竖直方向夹角β的正切值为多少？
如图所示，轻质动滑轮下方悬挂重物A、轻质定滑轮下方悬挂重物B，悬挂滑轮的轻质细线竖直。A、B从距地为h的同一高度由静止释放，物体落地后不反弹，重物不会与滑轮碰撞。已知重力加速度为g，不计摩擦阻力和空气阻力。
（1）若释放后A、B静止，求A、B的质量之比；
（2）若mA＝4mB，求：
①释放瞬间B的加速度大小aB；
②释放后B上升的最大高度hm。
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微专题Ⅱ 动力学连接体问题和临界问题
1、动力学中的连接体模型，学会使用整体法与隔离法分析。
2、掌握动力学的临界分析。
一、动力学的连接体问题
1．连接体：两个或两个以上相互作用的物体组成的具有相同加速度的整体叫连接体．如几个物体叠放在一起，或并排挤放在一起，或用绳子、细杆等连在一起，在求解连接体问题时常用的方法为整体法与隔离法．
2．整体法：把整个连接体系统看做一个研究对象，分析整体所受的外力，运用牛顿第二定律列方程求解．其优点在于它不涉及系统内各物体之间的相互作用力．
3．隔离法：把系统中某一物体(或一部分)隔离出来作为一个单独的研究对象，进行受力分析，列方程求解．其优点在于将系统内物体间相互作用的内力转化为研究对象所受的外力，容易看清单个物体(或一部分)的受力情况或单个过程的运动情形．
4．整体法与隔离法的选用
求解各部分加速度都相同的连接体问题时，要优先考虑整体法；如果还需要求物体之间的作用力，再用隔离法．求解连接体问题时，随着研究对象的转移，往往两种方法交替运用．一般的思路是先用其中一种方法求加速度，再用另一种方法求物体间的作用力或系统所受合力．无论运用整体法还是隔离法，解题的关键还是在于对研究对象进行正确的受力分析．
二、动力学的临界问题
1．临界问题：某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态．
2．关键词语：在动力学问题中出现的“最大”“最小”“刚好”“恰能”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件．
3．临界问题的常见类型及临界条件：
(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触(或脱离)的临界条件是弹力为零．
(2)相对静止或相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大静摩擦力．
(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断与不断的临界条件是实际张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是绳上的张力为零．
(4)加速度最大与速度最大的临界条件：当所受合力最大时，具有最大加速度；当所受合力最小时，具有最小加速度．当出现加速度为零时，物体处于临界状态，对应的速度达到最大值或最小值．
4．解答临界问题的三种方法
(1)极限法：把问题推向极端，分析在极端情况下可能出现的状态，从而找出临界条件．
(2)假设法：有些物理过程没有出现明显的临界线索，一般用假设法，即假设出现某种临界状态，分析物体的受力情况与题设是否相同，然后再根据实际情况处理．
(3)数学法：将物理方程转化为数学表达式，如二次函数、不等式、三角函数等，然后根据数学中求极值的方法，求出临界条件．
如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，有两个物块P和Q，质量分别为m1和m2用与斜面平行的轻质弹簧相连接，在沿斜面向上的恒力F作用下，两物块一起向上做匀加速直线运动，则下列说法正确的是（ ）
A．两物块一起运动的加速度大小为
B．弹簧的弹力大小为
C．若只增大θ，两物块一起向上匀加速运动时，它们的间距变大
D．若只减小m2，两物块一起向上匀加速运动时，它们的间距变小
【解答】解：A、对P和Q受力分析，根据两物块一起向上做匀加速直线运动，可得：F﹣（m1+m2）gsinθ＝（m1+m2）a，
解得两物块一起运动的加速度大小为：，故A错误；
B、对Q受力分析，根据其加速度大小，可知弹簧弹力大小满足：F弹﹣m2gsinθ＝m2a，解得：，故B错误；
CD、由弹簧弹力大小表达式，可知角度对弹力无影响，弹簧的形变量不变；
Q的质量m2越小，弹力越小，弹簧的形变量越小，弹簧间距变小，故C错误，D正确。
故选：D。
（多选）如图所示，将一截面为直角三角形的斜面体固定在水平地面上，斜面倾角分别为30°和60°，右侧斜面光滑，左侧斜面粗糙。物体a、b用跨过定滑轮的轻绳连接置于斜面上，两者均静止。受到微扰后，a沿左侧斜面匀速上滑，滑轮光滑且质量不计，已知a与斜面的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（ ）
A．a、b的质量之比为
B．a、b的质量之比为
C．a、b滑动过程中斜面体对地面的压力大小等于斜面体和a、b的总重力
D．增大a的质量，a可能沿斜面下滑
【解答】解：AB、受到微扰后，a沿左侧斜面匀速上滑，则有T＝magsin30°+μmagcos30°
T＝mbgsin60°
解得
故A错误，B正确；
C、由于系统处于平衡状态，对整体分析可知，a、b滑动过程中斜面体对地面的压力大小等于斜面体和a、b的总重力，故C正确；
D、由于magsin30°＝0.5mag＜μmagcos30°＝0.75mag，所以增大a的质量，a也不会沿斜面下滑，故D错误；
故选：BC。
如图所示，一圆柱形横梁水平固定（阴影为其截面），可视为质点的小球A、B用足够长的轻绳连接后悬挂在梁上。已知A、B的质量分别为2m、m，重力加速度为g。横梁粗糙，且轻绳与横梁间摩擦力满足f＝k（TA+TB），其中TA、TB分别为左右悬绳中的张力，向下拉动A球后松手，A、B球恰做匀速运动。现将A球质量增大为5m，再从静止释放两球，A球下降时的加速度大小为（ ）
A．a B．a C．a D．a
【解答】解：当A、B做匀速运动时，A的质量mA＝2m，B的质量mB＝m。
对A：TA＝mAg＝2mg
对B：TB＝mBg＝mg
因为匀速运动，合力为零，摩擦力f满足TA＝TB+f，又f＝k（TA+TB），将TA＝2mg，TB＝mg代入TA＝TB+f和f＝k（TA+TB），可得 mg＝3kmg，解得
当A质量变为mA'＝5m，释放后A下降、B上升，设加速度大小为a。
对A：根据牛顿第二定律m'Ag﹣T'A＝m'Aa，即5mg﹣TA'＝5ma
对B：根据牛顿第二定律TB'﹣mg＝ma
此时摩擦力f'＝k（TA'+TB'），且TA'＝TB'+f'，将代入f'＝k（TA'+TB'）可得，再代入TA'＝TB'+f'，可得，整理得3TA'＝3TB'+TA'+TB'，2TA'＝4TB'，即TA'＝2TB'。
解得5mg﹣2TB'＝5ma，即TB'＝mg+ma，最终可得，故B正确，ACD错误；
故选：B。
如图所示，在光滑水平面上有质量相同的甲、乙两个物体靠在一起，在水平力F1、F2的作用下运动，已知F1＞F2。下列说法正确的是（ ）
A．甲对乙的作用力大小为F1
B．乙对甲的作用力大小为
C．如果撤去F1，乙的加速度一定变大
D．如果撤去F1，甲对乙的作用力一定减小
【解答】解：甲、乙质量相同。设为m，由题意可知：F1＞F2
AB、由牛顿第二定律得：
对甲、乙整体：F1﹣F2＝2ma
对乙：F甲乙﹣F2＝ma
对甲：F1﹣F乙甲＝ma
解得：a，F甲乙，F乙甲，故AB错误；
C、如果撤去F1，对甲、乙整体，由牛顿第二定律得：F2＝2ma'，解得：a'，由于不知道F1、F2的具体大小关系，无法判断a、a'大小关系，故C错误；
D、如果撤去F1，由牛顿第二定律得：
对甲、乙整体：F2＝2ma'
对乙：F2﹣F甲乙'＝ma'
解得：F甲乙'F甲乙，故D正确。
故选：D。
如图所示，两物块P、Q用跨过光滑轻质定滑轮的轻绳相连，开始时P静止在水平桌面上，将一个水平向右的推力F作用在P上后，轻绳的张力变为原来的一半。已知P、Q两物块的质量分别为mP＝1.0kg、mQ＝0.2kg，P与桌面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10m/s2。则推力F的大小为（ ）
A．4.0N B．3.0N C．9.0N D．11.0N
【解答】解：P静止在桌面上时，Q也静止，Q受到重力与绳子的拉力所以绳子的拉力：F1＝mQg＝0.2×10N＝2N
P与桌面间的滑动摩擦力：f＝μmPg＝0.5×1.0×10N＝5N
将一个水平向右的推力F作用在P上后，轻绳的张力：T2F1N＝1N
此时Q加速下降，可得：mQg﹣T2＝mQa，解得：a＝5m/s2
此时P物体将以相同的加速度向右做匀加速直线运动，对P由牛顿第二定律可得：F+T2﹣f＝mPa
代入数据解得：F＝9.0N，故C正确，ABD错误。
故选：C。
（多选）趣味运动会上运动员手持网球拍托球沿水平面匀加速跑，设球拍和球的质量分别为M、m，球拍平面和水平面之间夹角为θ，球拍与球保持相对静止，它们之间的摩擦力及空气阻力不计，则（ ）
A．运动员的加速度为gtanθ
B．球拍对球的作用力为mg
C．运动员对球拍的作用力为（M+m）gcosθ
D．若运动员的加速度大于gtanθ，球一定沿球拍向上运动
【解答】解：AB、对网球，受到重力mg和球拍的支持力N，作出受力图如图
根据牛顿第二定律得
Nsinθ＝ma
Ncosθ＝mg
解得
a＝gtanθ
故A正确，B错误；
C、以球拍和球整体为研究对象，如图
根据牛顿第二定律得，运动员对球拍的作用力为
故C错误；
D、若运动员的加速度a大于gtanθ，假设球相对球拍静止，则其加速度也为a，如图所示
将a分解，则
ax＝acosθ
因为a＞gtanθ，所以
ax＞gtanθcosθ＝gsinθ
即大于重力沿球拍平面方向的分力，所以必须有一个沿球拍向下的外力才能使球相对球拍静止，而实际上这个力不存在，故球一定沿球拍向上运动，故D正确。
故选：AD。
（多选）如图1所示，甲、乙两个相同物块通过轻弹簧连接，静置于倾角为θ且足够长的光滑固定斜面上，物块乙紧靠垂直斜面的固定挡板P。现对物块甲施加一沿斜面向上的拉力F，使物块甲从静止开始做加速度大小为a的匀加速直线运动，从物块甲开始运动到物块乙刚要离开挡板P的过程中，拉力F与物块甲的位移大小x的关系如图2所示。重力加速度为g，θ、a、F1、F2、x0均为已知量，弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，则该过程中（ ）
A．物块甲运动的时间为
B．物块甲的最大速度为
C．弹簧的劲度系数为
D．物块甲的质量为
【解答】解：A、因为物块甲做匀加速直线运动，根据可得
物块甲的运动时间为，故A正确；
B、因为物块甲做匀加速运动，所以当刚要离开挡板P时的速度的最大，根据速度—位移公式可得物块甲的最大速度为
，故B错误；
D、设物块的质量为m，刚开始时，对甲根据牛顿第二定律有
物块乙刚要离开挡板P时，弹簧上的弹力大小为
FT＝mgsinθ
对甲根据牛顿第二定律有
联立解得m，故D错误；
C、设弹簧的劲度系数为k，刚开始时弹簧处于压缩状态，形变量为
物块乙刚要离开挡板时，弹簧处于拉伸状态，形变量为
整个过程有
x0＝x1+x2
联立解得k，故C正确。
故选：AC。
（多选）如图所示，一质量M＝3kg、倾角为α＝45°的斜面体放在光滑水平地面上，斜面体上有一质量为m＝1kg的光滑楔形物体．用一水平向左的恒力F作用在斜面体上，系统恰好保持相对静止地向左运动．重力加速度g＝10m/s2，下列判断正确的是（ ）
A．系统做匀速直线运动
B．F＝40N
C．斜面体对楔形物体的作用力FN＝5N
D．增大力F，楔形物体将相对斜面体沿斜面向上运动
【解答】解：A、系统在水平方向只受推力F作用，所以系统向左做匀加速直线运动，故A错误；
B、对m受力分析，受到重力以及斜面的支持力作用，合力向左，根据牛顿第二定律得：
FNcos45°＝mg，
mgtan45°＝ma，
解得：FN＝10N，a＝10m/s2
对整体，根据牛顿第二定律得：F＝（M+m）a＝（3+1）×10＝40N，故B正确，C错误；
D、增大力F，则M在水平方向的加速度增大，斜面体对楔形物体的支持力也增大，则支持力在竖直方向的分量大于重力，有向上的加速度，即楔形物体将相对斜面体沿斜面向上运动，故D正确。
故选：BD。
（多选）如图所示，足够长的木板置于光滑水平面上，倾角θ＝53°的斜劈放在木板上，一平行于斜面的细绳一端系在斜劈顶，另一端拴接一可视为质点的小球，已知木板、斜劈、小球质量均为1kg，斜劈与木板之间的动摩擦因数为μ，取g＝10m/s2，sin53°＝0.8，系统处于静止状态。现在对木板施加一水平向右的拉力F，下列说法正确的是（ ）
A．若μ＝0.2，当F＝4N时，斜劈相对木板向右运动
B．若μ＝0.5，不论F多大，小球对斜劈的压力都不会等于0
C．若μ＝0.8，当F＝22.5N时，小球对斜劈的压力为0
D．若μ＝0.8，当F＝24N时，细绳与水平方向的夹角α满足：tanα＝1.25
【解答】解：A、若μ＝0.2，当F＝4N时，假设板、斜劈、球三者相对静止，则对板、斜劈、球构成的系统有，F＝3ma，代入数据解得：am/s2对斜劈和球构成的系统，若斜劈与板之间的摩擦力达到最大静摩擦力，有μ（m+m）g＝（m+m）a球
代入数据解得：a球＝2m/s2＞a，因此此时木板相对于斜劈静止，故A错误；B、若μ＝0.5，假设斜劈与球保持相对静止，则对斜劈与球构成的系统，最大加速度为μ（m+m）g＝（m+m）a球
代入数据得a＝5m/s2当球刚好要离开斜劈时，受到重力和绳子拉力作用，有ma球
代入数据解得：a球＝7.5m/s2＞a因此不论F多大，小球均能和斜劈保持相对静止，故B正确；C、若μ＝0.8，假设板、球和斜劈相对静止，则球和斜劈构成的系统能够获得的最大加速的为μ（m+m）g＝（m+m）a球，代入数据得：a球＝8m/s2此时对板、球和斜劈构成的系统，有F临界＝（m+m+m）a＝（1+1+1）×8N＝24N
当F＝22.5N时，板、球和斜劈相对静止，有，又由B选项可知此时球刚好要离开斜劈，故C正确；
D.若μ＝0.8，则由C选项可知此时恰好达到三者保持相对静止的临界状态，因此加速度大小为8m/s2，则对小球而言ma临界，代入数据解得：tanα＝1.25，故D正确。
故选：BCD。
（多选）如图所示，足够长的木板置于光滑水平面上，倾角θ＝53°的斜劈放在木板上，一平行于斜面的细绳一端系在斜劈顶，另一端拴接一可视为质点的小球，已知木板、斜劈、小球质量均为1kg，斜劈与木板之间的动摩擦因数为μ，重力加速度g＝10m/s2，系统处于静止状态。现在对木板施加一水平向右的拉力F，下列说法正确的是（ ）
A．若μ＝0.2，当F＝4N时，木板相对斜劈向右运动
B．若μ＝0.5，不论F多大，小球均能和斜劈保持相对静止
C．若μ＝0.8，当F＝22.5N时，小球对斜劈的压力为0
D．若μ＝0.8，当F＝24N时，细绳与水平方向的夹角α满足：tanα＝0.8
【解答】解：A．若μ＝0.2，当F＝4N时，假设板、斜劈、球三者相对静止，则对板、斜劈、球构成的系统，有
F＝3ma
代入数据解得
am/s2
对斜劈和球构成的系统，若斜劈与板之间的摩擦力达到最大静摩擦力，有
μ（m+m）g＝（m+m）a板
代入数据解得
a板＝2m/s2＞a
可知此时木板相对于斜劈静止，故A错误；
B．若μ＝0.5，假设斜劈与球保持相对静止，则对斜劈与球构成的系统，最大加速度为
a5m/s2
当球刚好要离开斜劈时，受到重力和绳子拉力作用，有
ma球
代入数据解得
a球＝7.5m/s2＞a
可知此情况下不论F多大，小球均能和斜劈保持相对静止，故B正确；
C．若μ＝0.8，假设板、球和斜劈相对静止，则球和斜劈构成的系统能够获得的最大加速的为
a临界8m/s2
此时对板、球和斜劈构成的系统，有
F临界＝（m+m+m）a＝24N
当F＝22.5N时，板、球和斜劈相对静止，有
am/s2＝7.5m/s2
又由B选项可知此时球刚好要离开斜劈，故C正确；
D．若μ＝0.8，则由C选项可知此时恰好达到三者保持相对静止的临界状态，因此加速度大小为8m/s2，则对小球而言
ma临界
解得
tanα1.25
故D错误。
故选：BC。
（多选）如图所示，质量为3.5kg的一只长方体形空铁箱在水平拉力F作用下沿水平面向右匀加速运动，铁箱与水平面间的动摩擦因数μ1为0.5。这时铁箱内一个质量为0.5kg的木块恰好能静止在后壁上，木块与铁箱内壁间的动摩擦因数μ2为0.4。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2。以下说法正确的是（ ）
A．水平拉力F的大小120N
B．木块对铁箱压力的大小12.5N
C．水平面对铁箱的支持力大小为35N
D．铁箱的加速度为35m/s2
【解答】解：BD．木块恰好能静止在后壁上，对木块进行受力分析，由牛顿第二定律得：
N1＝ma
mg＝f1
f1＝μ2N1
根据牛顿第三定律，木块对铁箱压力的大小
N2＝N1
联立解得：N2＝12.5N，a＝25m/s2
即木块对铁箱压力的大小12.5N，铁箱的加速度为25m/s2，故B正确，D错误；
AC．对木块与铁箱整体分析有
F﹣μ1（M+m）g＝（M+m）a
N3＝（M+m）g
联立解得：F＝120N，N3＝40N
故A正确，C错误。
故选：AB。
如图，高为1.2m、质量为2.5kg的一只长方体形空铁箱在水平拉力F＝60N作用下沿光滑水平面向右匀加速运动，这时铁箱内顶部一个质量为0.5kg的木块（可视为质点）恰好能静止在后壁上。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2。求：
（1）两物体一起匀加速运动的加速度；
（2）木块与铁箱内壁间的动摩擦因数μ；
（3）当铁箱滑上动摩擦因数μ2＝0.4的粗糙水平面上时，做加速度为17.6m/s2匀加速直线运动，求从铁箱滑上粗糙面开始计时，经过多长时间木块掉落到铁箱底部。（不考虑铁箱的长度，结果可以用根式表示）
【解答】解：（1）设长方体形空铁箱质量为M，木块质量为m，对整体进行受力分析如图所示，由牛顿第二定律可知
F＝（m+M）a
代入数据解得两物体一起匀加速运动的加速度大小为
a＝20m/s2
方向水平向右。
（2）对木块进行受力分析可得，竖直方向
mg＝Ff＝μFN
水平方向
FN＝ma
代入数据联立可解得木块与铁箱内壁间的动摩擦因数
μ＝0.5
（3）当车加速度减小后，对木块进行受力分析可得，水平方向
F′N＝ma′
竖直方向
mg﹣μF′N＝may
联立可解得
代入数据解得
木块掉落到铁箱底部的过程
代入数据解得
。
答：（1）两物体一起匀加速运动的加速度为20m/s2，方向水平向右；
（2）木块与铁箱内壁间的动摩擦因数μ为0.5；
（3）经过s木块掉落到铁箱底部。
如图所示，倾角为α的斜面体（斜面光滑且足够长）固定在水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长度为时将物块由静止开始释放（物块做简谐运动），重力加速度为g。
（1）选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标系，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动；
（2）选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标系，求物块处于正向最大位移时回复力的大小。
【解答】解：（1）物块平衡时，对物块受力分析，根据平衡条件，则有mgsinα＝k Δx
解得
物块到达平衡位置下方x位置时，弹力为
故合力为
故物块做简谐运动。
（2）故物块处于正向最大位移处时弹簧的形变量为
则物块处于正向最大位移处时的回复力大小
答：（1）证明过程见解析
（2）物块处于正向最大位移时回复力的大小等于。
如图所示，一质量为m＝0.2kg的物块静置于矩形的木箱内，物块和箱底之间的动摩擦因数为μ＝0.3，一劲度系数为20N/m的轻质弹簧的两端分别与物块右端、木箱右壁连接初始时，木箱处于静止状态，弹簧长度为L＝5cm并与木箱底面平行，弹簧的形变量未知。现在给木箱一加速度a，使物块恰好能相对木箱底面移动起来。若弹簧形变量始终在弹性限度范围内，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g＝10m/s2，求：
（1）若a＝1m/s2且方向竖直向下，则弹簧的原长为多少；
（2）若加速度是水平方向，且初始时弹簧的伸长量为2cm，则加速度a有多大？
【解答】解：（1）对物块，竖直方向上：mg﹣N1＝ma1
水平方向上：μ1N1＝kΔx1
联立解得：Δx1＝2.7cm
所以弹簧原长为7.7cm或2.3cm
（2）对物块，竖直方向上：mg＝N2
水平方向上，若摩擦力向右
kΔx1+μ1N2＝ma2
联立解得：，方向水平向右
若摩擦力向左
μN2﹣kΔx1＝ma2
联立解得：，方向水平向左
答：（1）若a＝1m/s2且方向竖直向下，则弹簧的原长为7.7cm或2.3cm；
（2）若加速度是水平方向，且初始时弹簧的伸长量为2cm，则加速度的大小为5m/s2或1m/s2。
如图所示，质量为M的小车放在光滑水平面上，小车上用细线悬吊一质量为m的小球（M＞m），用水平向左的外力拉小车，使小球和车一起向左匀加速运动，细线与竖直方向成α角，如图甲。求：
（1）水平向左的外力F的大小。
（2）若用同样大小的力水平向右拉小球，使小球和车一起向右匀加速运动，此时细线与竖直方向夹角β的正切值为多少？
【解答】（1）用水平向左的外力拉小车，使小球和车一起向左匀加速运动，以小车和小球为整体，根据牛顿第二定律可得
F＝（M+m）a1
对甲图小球分析，如图所示：
则有F1sinα＝ma1，F1cosα＝mg
联立解得：a1＝gtanα，F＝（M+m）gtanα；
（2）用同样大小的力水平向右拉小球，使小球和车一起向右匀加速运动，根据牛顿第二定律可得：
F＝（M+m）a2
对乙图小球分析，如图所示：
则有：F﹣F2sinβ＝ma2，F2cosβ＝mg
联立解得：。
答：（1）水平向左的外力F的大小为（M+m）gtanα；
（2）细线与竖直方向夹角β的正切值为。
如图所示，轻质动滑轮下方悬挂重物A、轻质定滑轮下方悬挂重物B，悬挂滑轮的轻质细线竖直。A、B从距地为h的同一高度由静止释放，物体落地后不反弹，重物不会与滑轮碰撞。已知重力加速度为g，不计摩擦阻力和空气阻力。
（1）若释放后A、B静止，求A、B的质量之比；
（2）若mA＝4mB，求：
①释放瞬间B的加速度大小aB；
②释放后B上升的最大高度hm。
【解答】（1）若释放后A、B静止，由平衡条件
2mBg＝mAg
可得
（2）①释放瞬间A的加速度为aA，则B的加速度为aB，则对A
mAg﹣2T＝mAaA
对B
T﹣mBg＝mBaB
其中
联立解得释放瞬间B的加速度大小为
aB＝0.5g
②若mA＝4mB，设AB的质量分别为4m和m，则对A
4mg﹣2T′＝4ma′
对B
T′﹣mg＝m×2a′
解得
则当A落地时的速度
此时B的速度
以后B做上抛运动，则还能上升的高度
则释放后B的最大高度为
hm＝2h+h＝3h
答：（1）若释放后A、B静止，A、B的质量之比为2：1；
（2）若mA＝4mB，
①释放瞬间B的加速度大小0.5g；
②释放后B上升的最大高度3h。
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