2026届高三数学一轮复习-2年高考1年模拟-（三十七）平面向量的数量积（含解析）

“2年高考1年模拟”课时精练（三十七） 平面向量的数量积
1.(2024·全国甲卷)设向量a=(x+1，x)，b=(x，2)，则 (　　)
A.x=-3是a⊥b的必要条件
B.x=-3是a∥b的必要条件
C.x=0是a⊥b的充分条件
D.x=-1+是a∥b的充分条件
2.(2025·襄阳模拟)已知平面向量a=(0，1)，b=(-1，2)，则向量a在向量b上的投影向量是 (　　)
A. B.
C. D.
3.(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0，1)，b=(2，x)，若b⊥(b-4a)，则x= (　　)
A.-2 B.-1
C.1 D.2
4.已知平面向量m，n满足:|m|=|n|=2，且m在n上的投影向量为n，则向量m与向量n-m的夹角为 (　　)
A.30° B.60°
C.120° D.150°
5.在△ABC中，已知·=0，且·=，则△ABC为 (　　)
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.三边均不相等的三角形
6.(2025·太原一模)在△ABC中，BC=6，AB=4，∠CBA=，设D为AC的中点，E在BC上，且·=0，则·= (　　)
A.16 B.12
C.8 D.-4
7.设四边形ABCD为矩形，||=6，||=4，若点M，N满足==2，则·= (　　)
A.28 B.32
C.36 D.40
8.设△ABC是边长为1的等边三角形，M为△ABC所在平面内一点，且+2λ+=，则当·取最小值时，λ的值为 (　　)
A. B.-
C. D.-
9.在平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，E是CD的中点，=2，设=a，=b.若△ADE的面积为，则||的最小值为　　　　.
10.已知向量a=，b=，且⊥b，则cos=　　　　.
11.(2025·抚州模拟)定义:|a×b|=|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|=2，|b|=5，a·b=-8，则|a×b|等于　　　　.
12.(2025·连云港期中)已知单位向量e1，e2满足e1·e2=，若非零向量a=2xe1+ye2，其中x，y∈R，则的最大值为　　　　.
13.在△ABC中，BC的中点为D，设向量=a，=b.
(1)用a，b表示向量；
(2)若向量a，b满足|a|=3，|b|=2，=60°，求·的值.
14.(2025·福建期中)互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系.如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系就称为斜坐标系.如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量=xe1+ye2，则把有序数对(x，y)叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标.
(1)设=3e1+2e2，求||；
(2)若m=(2，4)，n=(-6，3)，m与n的夹角记为θ，求θ的余弦值.
15.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(-1，0)，||=1，且∠AOC=θ，其中O为坐标原点.
(1)若θ=π，设点D为线段OA上的动点，求|+|的最小值；
(2)若θ∈，向量m=，n=(1-cos θ，sin θ-2cos θ)，求m·n的最小值及对应的θ值.
（解析）精练（三十七） 平面向量的数量积
1.(2024·全国甲卷)设向量a=(x+1，x)，b=(x，2)，则 (　　)
A.x=-3是a⊥b的必要条件
B.x=-3是a∥b的必要条件
C.x=0是a⊥b的充分条件
D.x=-1+是a∥b的充分条件
解析:选C　a⊥b x2+x+2x=0 x=0或x=-3，所以x=-3是a⊥b的充分条件，x=0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正确.a∥b 2x+2=x2 x2-2x-2=0 x=1±，故B、D错误.
2.(2025·襄阳模拟)已知平面向量a=(0，1)，b=(-1，2)，则向量a在向量b上的投影向量是 (　　)
A. B.
C. D.
解析:选B　a在b上的投影向量为·=·=.故选B.
3.(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0，1)，b=(2，x)，若b⊥(b-4a)，则x= (　　)
A.-2 B.-1
C.1 D.2
解析:选D　因为b⊥(b-4a)，所以b·(b-4a)=0，所以b2-4a·b=0，即4+x2-4x=0，故x=2，故选D.
4.已知平面向量m，n满足:|m|=|n|=2，且m在n上的投影向量为n，则向量m与向量n-m的夹角为 (　　)
A.30° B.60°
C.120° D.150°
解析:选C　因为m在n上的投影向量为·=n，即=1，所以m·n=2.又m·(n-m)=m·n-|m|2=2-22=-2，|n-m|====2，所以cos ===-，且0°≤≤180°，则=120°.故选C.
5.在△ABC中，已知·=0，且·=，则△ABC为 (　　)
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.三边均不相等的三角形
解析:选A　分别表示方向上的单位向量，在∠A的角平分线上，∵·=0，∴||=||.又·=，∴cos<>=·=.则与的夹角为60°，即∠BAC=60°，可得△ABC是等边三角形.
6.(2025·太原一模)在△ABC中，BC=6，AB=4，∠CBA=，设D为AC的中点，E在BC上，且·=0，则·= (　　)
A.16 B.12
C.8 D.-4
解析:选A　以B为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(4，0)，B(0，0)，C(0，6)，D(2，3).设E(0，b)，则=(-4，b)，=(2，3)，=(0，6).由题意可知·=0，即-8+3b=0，所以b=.所以E，故=.所以·=16.
7.设四边形ABCD为矩形，||=6，||=4，若点M，N满足==2，则·= (　　)
A.28 B.32
C.36 D.40
解析:选A　由=，得=.由=2，得=.在矩形ABCD中，由AB⊥AD，得·=0.则·=·=·=·=·+++·=×36+×16=28.
8.设△ABC是边长为1的等边三角形，M为△ABC所在平面内一点，且+2λ+=，则当·取最小值时，λ的值为 (　　)
A. B.-
C. D.-
解析:选A　因为+2λ+=，所以2λ=--=-=2，即=λ.所以=λ，所以=.令=t，则=t，即=t，所以=+=t+.所以·=·=t2-t，所以当t=，即λ=时，·取得最小值.
9.在平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，E是CD的中点，=2，设=a，=b.若△ADE的面积为，则||的最小值为　　　　.
解析:如图所示，根据向量的运算法则，可得=+=+=+(+)=a+=a+b.设|a|=m，|b|=n，由△ADE的面积为，可得n·msin 60°=，即mn=4.又||2==(a2+b2+2a·b)=(m2+n2+2mncos 60°)=(m2+n2+mn)≥(2mn+mn)=，当且仅当m=n=2时，等号成立，所以||的最小值为.
答案:
10.已知向量a=，b=，且⊥b，则cos=　　　　.
解析:由题意知向量a=，b=，且⊥b，故2a+b=(-1，2t+1)，则(-1)×(-3)+(2t+1)×1=0，∴t=-2，故a·b=·=-5，则cos===-.
答案:-
11.(2025·抚州模拟)定义:|a×b|=|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|=2，|b|=5，a·b=-8，则|a×b|等于　　　　.
解析:设向量a与b的夹角为θ，则cos θ===-.因为θ∈[0，π]，cos θ<0，则θ∈，可得sin θ==，故|a×b|=|a||b|sin θ=2×5×=6.
答案:6
12.(2025·连云港期中)已知单位向量e1，e2满足e1·e2=，若非零向量a=2xe1+ye2，其中x，y∈R，则的最大值为　　　　.
解析:由a=2xe1+ye2两边平方得a2=4x2+y2+4xye1·e2=4x2+2xy+y2=3x2+(x+y)2，所以|a|=，所以=，当x=0时，=0；当x≠0时，=≤=，当y=-x时等号成立.所以的最大值为.
答案:
13.在△ABC中，BC的中点为D，设向量=a，=b.
(1)用a，b表示向量；
(2)若向量a，b满足|a|=3，|b|=2，=60°，求·的值.
解:(1)=(+)=a+b.
(2)·=a·=a2+a·b
=×32+×3×2×cos 60°=6.
14.(2025·福建期中)互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系.如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系就称为斜坐标系.如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量=xe1+ye2，则把有序数对(x，y)叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标.
(1)设=3e1+2e2，求||；
(2)若m=(2，4)，n=(-6，3)，m与n的夹角记为θ，求θ的余弦值.
解:(1)由题意可知，|e1|=|e2|=1，e1·e2=|e1||e2|cos 60°=，
所以||=|3e1+2e2|====.
(2)m=(2，4)，n=(-6，3)，
则由题意可知，m·n=2×(-6)+4×3+×2×3+×4×(-6)=-9，
|m|====2，
|n|====3，
则cos θ===-.
15.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(-1，0)，||=1，且∠AOC=θ，其中O为坐标原点.
(1)若θ=π，设点D为线段OA上的动点，求|+|的最小值；
(2)若θ∈，向量m=，n=(1-cos θ，sin θ-2cos θ)，求m·n的最小值及对应的θ值.
解:(1)设D(t，0)(0≤t≤1)，由题意知C，
所以+=，所以|+|2=-t+t2+=t2-t+1=+，
所以当t=时，|+|取最小值，最小值为.
(2)由题意得C(cos θ，sin θ)，m==(cos θ+1，sin θ)，则m·n=1-cos2θ+sin2θ-2sin θcos θ=1-cos 2θ-sin 2θ=1-sin.
因为θ∈，所以≤2θ+≤，
所以当2θ+=，即θ=时，sin取得最大值1.所以当θ=时，m·n取得最小值，最小值为1-.
1 / 6