2026届高三数学一轮复习-2年高考1年模拟-（三十六）平面向量基本定理及坐标表示（含解析）

“2年高考1年模拟”课时精练（三十六） 平面向量基本定理及坐标表示
1.[多选]已知{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列说法正确的是 (　　)
A.若实数m，n使me1+ne2=0，则m=n=0
B.平面内任意一个向量a都可以表示成a=me1+ne2，其中m，n为实数
C.对于m，n∈R，me1+ne2不一定在该平面内
D.对平面内的某一个向量a，存在两对以上实数m，n，使a=me1+ne2
2.(2025·桂林模拟)如图，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量{i，j}作为基底，若|a|=，θ=，则向量a的坐标为 (　　)
A. B.
C. D.
3.(2025·绵阳模拟)已知O为坐标原点，=-2，若P1(1，2)，P2(2，-1)，则与共线的单位向量为 (　　)
A.(3，-4)
B.(3，-4)或(-3，4)
C.或
D.
4.(2025·景德镇模拟)已知向量a=(2，3)，b=(2，sin α-3)，c=(2，cos α)，若(a+b)∥c，则tan α的值为 (　　)
A.2 B.-2
C. D.-
5.已知D，E分别为△ABC的边BC，AC的中点，且=a，=b，则= (　　)
A.a+b B.a-b
C.a+b D.b-a
6.在△ABC中，E在边BC上，且EC=3BE，D是边AB上任意一点，AE与CD交于点P，若=x+y，则3x+4y= (　　)
A. B.-
C.3 D.-3
7.在如图所示的正六边形ABCDEF中，若=x+y，则x+y= (　　)
A.2 B.5
C.3 D.4
8.[多选]在等边三角形ABC中，==2，AD与BE交于点F，则下列结论正确的是 (　　)
A.=(+) B.=+
C.= D.=+
9.在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，以C为圆心作与直线BD相切的圆，P为圆C上且落在四边形ABCD内部任意一点，=λ+μ，若λ+μ>1，则角A的取值范围为 (　　)
A. B.
C. D.
10.已知点A(1，3)，B(4，-1)，写出一个与向量共线的向量的坐标为　　　　　.
∴与向量共线的向量的坐标满足(3λ，-4λ)，λ∈R即可，取λ=-1，则向量坐标为(-3，4).
11.(2025·郴州期末)已知a=(1，1)，b=(2，1)，c=(3，x).若(3a-b)∥c，则x等于　　　　.
12.已知平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，=m=n(mn≠0).若∥，则=　　　　.
13.(2025·定西阶段练习)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，=2e1+e2，=-e1+λe2，=-2e1+e2，且A，E，C三点共线.
(1)求实数λ的值；
(2)若e1=(2，1)，e2=(2，-2)，求的坐标；
(3)已知D(3，5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标.
14.(2025·吉安期末)在平行四边形ABCD中，=2，2=，AE和BF交于点P.
(1)若=x+(1-x)，求x的值；
(2)求的值.
15.如图，在直角梯形ABCD中，||=2，∠CDA==2，∠B为直角，E为AB的中点，=λ(λ∈R，0≤λ≤1).
(1)当λ=时，用向量表示向量；
(2)求||的最小值，并指出相应的实数λ的值.
（解析）精练（三十六） 平面向量基本定理及坐标表示
1.[多选]已知{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列说法正确的是 (　　)
A.若实数m，n使me1+ne2=0，则m=n=0
B.平面内任意一个向量a都可以表示成a=me1+ne2，其中m，n为实数
C.对于m，n∈R，me1+ne2不一定在该平面内
D.对平面内的某一个向量a，存在两对以上实数m，n，使a=me1+ne2
解析:选AB　根据基底的定义知A、B正确；C项，对于m，n∈R，me1+ne2在该平面内，故C错误；D项，m，n是唯一的，故D错误.故选AB.
2.(2025·桂林模拟)如图，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量{i，j}作为基底，若|a|=，θ=，则向量a的坐标为 (　　)
A. B.
C. D.
解析:选A　由题意得，a=i+j=.故选A.
3.(2025·绵阳模拟)已知O为坐标原点，=-2，若P1(1，2)，P2(2，-1)，则与共线的单位向量为 (　　)
A.(3，-4)
B.(3，-4)或(-3，4)
C.或
D.
解析:选C　由=-2得+2=0，即+=0，=-=-=2-=2(2，-1)-(1，2)=(3，-4)，||==5，与同向的单位向量为=，反向的单位向量为.故选C.
4.(2025·景德镇模拟)已知向量a=(2，3)，b=(2，sin α-3)，c=(2，cos α)，若(a+b)∥c，则tan α的值为 (　　)
A.2 B.-2
C. D.-
解析:选A　因为a=(2，3)，b=(2，sin α-3)，所以a+b=(4，sin α)，又c=(2，cos α)且(a+b)∥c，
所以4cos α=2sin α，则tan α==2.
5.已知D，E分别为△ABC的边BC，AC的中点，且=a，=b，则= (　　)
A.a+b B.a-b
C.a+b D.b-a
解析:选C　因为=+=b+=+=a+，且==，所以=b+=b+(a+)=b+，整理得=a+b.
6.在△ABC中，E在边BC上，且EC=3BE，D是边AB上任意一点，AE与CD交于点P，若=x+y，则3x+4y= (　　)
A. B.-
C.3 D.-3
解析:选C　因为A，P，E三点共线，设=t(07.在如图所示的正六边形ABCDEF中，若=x+y，则x+y= (　　)
A.2 B.5
C.3 D.4
解析:选D　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AE所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.设正六边形ABCDEF的边长为1，则A(0，0)，B(1，0)，D(1，)，F=(1，0)，==(1，).由=x+y，则(1，)=x(1，0)+y，所以有解得则x+y=4.故选D.
8.[多选]在等边三角形ABC中，==2，AD与BE交于点F，则下列结论正确的是 (　　)
A.=(+) B.=+
C.= D.=+
解析:选AC　如图，∵=，∴D为BC的中点，
∴=(+)，A正确.∵=2，∴==(-)，∴=+=+(-)=+，B错误.设=λ=+=+，∵B，F，E三点共线，∴+=1，解得λ=，∴=，C正确.=+=+=+(-)=+-=+，D错误.
9.在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，以C为圆心作与直线BD相切的圆，P为圆C上且落在四边形ABCD内部任意一点，=λ+μ，若λ+μ>1，则角A的取值范围为 (　　)
A. B.
C. D.
解析:选B　由=λ+μ，当P在直线BD上时，λ+μ=1.当圆C与BD的切点在DB延长线上时，圆C落在四边形ABCD内部部分与直线DB没有公共点，此时λ+μ>1，当恰好切于点B时，则∠DBC=.又CD=AB=2，BC=AD=1，所以cos∠BCD==，则∠BCD=，所以∠DBC>，则0<∠BCD<，故A∈.
10.已知点A(1，3)，B(4，-1)，写出一个与向量共线的向量的坐标为　　　　　.
解析:∵A(1，3)，B(4，-1)，=(3，-4)，
∴与向量共线的向量的坐标满足(3λ，-4λ)，λ∈R即可，取λ=-1，则向量坐标为(-3，4).
答案:(-3，4)(答案不唯一)
11.(2025·郴州期末)已知a=(1，1)，b=(2，1)，c=(3，x).若(3a-b)∥c，则x等于　　　　.
解析:因为a=(1，1)，b=(2，1)，c=(3，x)，所以3a-b=(1，2).又因为(3a-b)∥c，所以6-x=0，解得x=6.
答案:6
12.已知平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，=m=n(mn≠0).若∥，则=　　　　.
解析:依题意设=λ，则=+=-m+n=λ(+)=λ，即-m+n=-λ+λ，所以故=2.
答案:2
13.(2025·定西阶段练习)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，=2e1+e2，=-e1+λe2，=-2e1+e2，且A，E，C三点共线.
(1)求实数λ的值；
(2)若e1=(2，1)，e2=(2，-2)，求的坐标；
(3)已知D(3，5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标.
解:(1)=+=(2e1+e2)+(-e1+λe2)=e1+(1+λ)e2.
因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得=k，即e1+(1+λ)e2=k(-2e1+e2)，得(1+2k)e1=(k-1-λ)e2.
因为e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，所以解得k=-，λ=-.
(2)=+=-3e1-e2=(-6，-3)+(-1，1)=(-7，-2).
(3)因为A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以=.
设A(x，y)，则=(3-x，5-y).
因为=(-7，-2)，所以解得
即点A的坐标为(10，7).
14.(2025·吉安期末)在平行四边形ABCD中，=2，2=，AE和BF交于点P.
(1)若=x+(1-x)，求x的值；
(2)求的值.
解:(1)依题意可得=x+(1-x)=+(1-x)，
又=+∥，
所以=，解得x=.
(2)由(1)可得=，则=，即=.
因为=+，即=+，所以(-)=(-)，即=3，所以=3，所以==5.
15.如图，在直角梯形ABCD中，||=2，∠CDA==2，∠B为直角，E为AB的中点，=λ(λ∈R，0≤λ≤1).
(1)当λ=时，用向量表示向量；
(2)求||的最小值，并指出相应的实数λ的值.
解:(1)当λ=时，=，∴=(+)=[(-)+(+)]==+.
(2)∵=(+)=[(-)+(+)]===+，
易知||=||=2，
∴||2=++(1-2λ)··=4λ2-7λ+=4+.
∵0≤λ≤1，∴当λ=时，||2有最小值，
即||有最小值.
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