2026届高三数学一轮复习-2年高考1年模拟-（三十二）正弦定理与余弦定理（含解析）

“2年高考1年模拟”课时精练（三十二） 正弦定理与余弦定理
1.在△ABC中，A=60°，BC=4，AC=4，则角C的大小为 (　　)
A.75° B.45°
C.135° D.45°或135°
2.(2025·郑州模拟)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且b=2a，2a2+b2=c2，则sin B= (　　)
A. B.
C. D.
3.(2025·福州质检)已知△ABC的外接圆半径为1，A=，则ACcos C+ABcos B= (　　)
A. B.1
C. D.
4.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.设△ABC的面积为S，且(a2-c2)sin A=2S，则= (　　)
A.1 B.2
C. D.-2
5.(2024·南京二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若bsin=csin B，则角C的大小为 (　　)
A. B.
C. D.
6.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B+sin C)2=sin2A+(2-)sin Bsin C，sin A-2sin B=0，则sin C等于 (　　)
A. B.
C. D.
7.[多选]已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题正确的是 (　　)
A.若==，则△ABC一定是等边三角形
B.若acos A=bcos B，则△ABC一定是等腰三角形
C.A>B是sin A>sin B成立的充要条件
D.若a2+b2-c2>0，则△ABC一定是锐角三角形
8.(2025·合肥模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为，D为AB的中点，且CD=，a2+b2=7，则b= (　　)
A. B.
C. D.
9.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，以AC为直径的圆的面积为2π，若S△ABC=2，则△ABC的形状为 (　　)
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.非等腰三角形 D.等边三角形
10.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B=60°，a2+c2=3ac，则b=　　　　.
11.(2025·平顶山、许昌质检)在△ABC中，2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C，其中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，则角A的大小为　　　　.
12.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若c2=(a-b)2+6，C=，则△ABC的面积是　　　　.
13.(2025·哈尔滨期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(2b-c)cos A=acos C.
(1)求角A；
(2)若c-b=2，a=，求△ABC的面积.
14.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知bsin=asin B.
(1)求角A的大小；
(2)若b，a，c成等比数列，判断△ABC的形状.
15.(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A+B=3C，2sin(A-C)=sin B.
(1)求sin A；
(2)设AB=5，求AB边上的高.
（解析）精练（三十二） 正弦定理与余弦定理
1.在△ABC中，A=60°，BC=4，AC=4，则角C的大小为 (　　)
A.75° B.45°
C.135° D.45°或135°
解析:选A　由正弦定理可知= sin B==，因为BC>AC，所以A>B B=45°，故C=180°-A-B=75°.
2.(2025·郑州模拟)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且b=2a，2a2+b2=c2，则sin B= (　　)
A. B.
C. D.
解析:选C　由b=2a，2a2+b2=c2，得2a2+b2=6a2=c2，所以cos B===.又B∈(0，π)，所以sin B==.
3.(2025·福州质检)已知△ABC的外接圆半径为1，A=，则ACcos C+ABcos B= (　　)
A. B.1
C. D.
解析:选D　由正弦定理可得===2，所以AB=2sin C，AC=2sin B，则AC·cos C+AB·cos B=2sin Bcos C+2sin Ccos B=2sin(B+C)=2sin A=.
4.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.设△ABC的面积为S，且(a2-c2)sin A=2S，则= (　　)
A.1 B.2
C. D.-2
解析:选B　∵(a2-c2)sin A=2S，又S=bcsin A，可得bc=a2-c2.又ccos A=c×===，∴==2.
5.(2024·南京二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若bsin=csin B，则角C的大小为 (　　)
A. B.
C. D.
解析:选B　由题意知bsin=csin B，
即bsin=csin B，即sin Bcos=sin Csin B=2sin cos sin B，B∈(0，π)，则sin B≠0，∈，则cos≠0，故sin=，故=，C=.故选B.
6.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B+sin C)2=sin2A+(2-)sin Bsin C，sin A-2sin B=0，则sin C等于 (　　)
A. B.
C. D.
解析:选C　在△ABC中，由(sin B+sin C)2=sin2A+(2-)sin Bsin C及正弦定理得(b+c)2=a2+(2-)bc，即b2+c2-a2=-bc.由余弦定理得cos A==-，而0°7.[多选]已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题正确的是 (　　)
A.若==，则△ABC一定是等边三角形
B.若acos A=bcos B，则△ABC一定是等腰三角形
C.A>B是sin A>sin B成立的充要条件
D.若a2+b2-c2>0，则△ABC一定是锐角三角形
解析:选AC　由正弦定理可得==，故tan A=tan B=tan C，而A，B，C为三角形内角，故A=B=C，故三角形为等边三角形，故A正确.由正弦定理可得sin Acos A=sin Bcos B，故sin 2A=sin 2B，故2A=2B+2kπ，k∈Z或2A=π-2B+2kπ，k∈Z，而A，B，A+B∈(0，π)，故2A=2B或2A=π-2B，即A=B或A+B=，故三角形为等腰三角形或直角三角形，故B错误.在△ABC中，A>B等价于a>b，而后者等价于2Rsin A>2Rsin B，即sin A>sin B，其中R为三角形外接圆半径，故A>B是sin A>sin B成立的充要条件，故C正确.由a2+b2-c2>0可得cos C=>0，故C为锐角，但不能保证△ABC为锐角三角形，故D错误.
8.(2025·合肥模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为，D为AB的中点，且CD=，a2+b2=7，则b= (　　)
A. B.
C. D.
解析:选C　在△BDC和△ADC中，由余弦定理可得a2=c2+2-2×c××cos∠BDC，b2=c2+2-2×c××cos(π-∠BDC).联立可得，a2+b2=c2+4=7，则c=.由S△BDC=×××sin∠BDC=，得sin∠BDC=1.∵0<∠BDC<π，∴∠BDC=，∴b==.
9.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，以AC为直径的圆的面积为2π，若S△ABC=2，则△ABC的形状为 (　　)
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.非等腰三角形 D.等边三角形
解析:选D　因为以AC为直径的圆的面积为2π，可知b=AC=2，又因为a，b，c成等差数列，则2b=a+c=4，由余弦定理可得cos B==，即cos B=，整理得ac=，且S△ABC=acsin B=··sin B=2，整理得sin B=1+cos B，联立方程解得或又B∈(0，π)，可得即B=，可得解得a=c=2.所以△ABC的形状为等边三角形.
10.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B=60°，a2+c2=3ac，则b=　　　　.
解析:由题意得S△ABC=acsin B=ac=，则ac=4，所以a2+c2=3ac=3×4=12，所以由余弦定理b2=a2+c2-2accos B=12-2×4×=8，得b=2.
答案:2
11.(2025·平顶山、许昌质检)在△ABC中，2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C，其中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，则角A的大小为　　　　.
解析:由题意，因为2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C，由正弦定理化简得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c，整理得a2=b2+c2+bc.又由余弦定理，可得cos A==-.
又因为A∈(0，π)，所以A=.
答案:
12.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若c2=(a-b)2+6，C=，则△ABC的面积是　　　　.
解析:∵c2=(a-b)2+6=a2-2ab+b2+6，
即a2+b2-c2=2ab-6，由余弦定理得cos C===，解得ab=6，则S△ABC=absin C=×6×=.
答案:
13.(2025·哈尔滨期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(2b-c)cos A=acos C.
(1)求角A；
(2)若c-b=2，a=，求△ABC的面积.
解:(1)因为(2b-c)cos A=acos C，
由正弦定理，可得2sin Bcos A-sin Ccos A=sin Acos C，即2sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B.
因为B∈(0，π)，可得sin B>0，所以cos A=，
又因为A∈(0，π)，所以A=.
(2)因为c-b=2，a=，且A=，
由余弦定理知a2=b2+c2-2bccos A，即7=b2+c2-bc=(b-c)2+bc=4+bc，解得bc=3，所以△ABC的面积为S=bcsin A=×3×sin=.
14.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知bsin=asin B.
(1)求角A的大小；
(2)若b，a，c成等比数列，判断△ABC的形状.
解:(1)∵bsin=asin B，由诱导公式得bcos A=asin B，
由正弦定理得sin Bcos A=sin Asin B.
∵sin B≠0，∴cos A=sin A，即tan A=.
∵A∈(0，π)，∴A=.
(2)∵b，a，c成等比数列，∴a2=bc.由余弦定理得cos A===，
即b2+c2-bc=bc，∴(b-c)2=0，∴b=c.
又由(1)知A=，∴△ABC为等边三角形.
15.(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A+B=3C，2sin(A-C)=sin B.
(1)求sin A；
(2)设AB=5，求AB边上的高.
解:(1)因为A+B=3C，所以3C=π-C，所以C=.
因为2sin(A-C)=sin B，
所以2sin(A-C)=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)，所以2sin Acos C-2cos Asin C=sin Acos C+cos Asin C，所以sin Acos C=3cos Asin C，所以sin A=3cos A.由sin2A+cos2A=1，得sin A=.
(2)由(1)知sin A=，tan A=3>0，所以A为锐角，所以cos A=，所以sin B=sin=(cos A+sin A)=×=，
由正弦定理=，
得AC===2，
故AB边上的高为AC×sin A=2×=6.
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