2026届高三数学一轮复习-2年高考1年模拟-（三十八）复数（含解析）

“2年高考1年模拟”课时精练（三十八） 复 数
1.(2025·宁波模拟)已知复数z=a-i的实部与虚部相等，则|z-i|= (　　)
A. B.
C.2 D.
2.(2024·全国甲卷)若z=5+i，则i(+z)= (　　)
A.10i B.2i
C.10 D.2
3.(2025·大连一模)已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a= (　　)
A.-3 B.
C.3 D.-
4.(2023·全国乙卷)设z=，则= (　　)
A.1-2i B.1+2i
C.2-i D.2+i
5.已知复数z满足|z-i|=|z|，则|z|的最小值为 (　　)
A. B.
C. D.1
6.已知复数z=(i为虚数单位)的实部与虚部之和为4，则在复平面内对应的点位于 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7.已知复数z1，z2和z满足|z1|=|z2|=1，若|z1-z2|=|z1-1|=|z2-z|，则|z|的最大值为 (　　)
A.2 B.3
C. D.1
8.(2025·龙岩质检)已知(cos θ+isin θ)n=cos nθ+isin nθ(i为虚数单位，n∈N*，θ∈R).若复数z满足z·=2，则|z|= (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
9.(2025·锦州模拟)[多选]已知复数z1，z2，下列结论正确的有 (　　)
A.若|z1|=|z2|，则=
B.若z1-z2>0，则z1>z2
C.若复数z2满足z2=+5i，则z2在复平面对应的点是(-1，7)
D.若z1=-4+3i是关于x的方程x2+px+q=0(p，q∈R)的一个根，则p=8
10.[多选]已知复数z0满足i3z0=，则 (　　)
A.z0的实部为
B.z0的虚部为
C.满足|z|≤|z0|的复数z对应的点所在区域的面积为π
D.z0对应的向量与x轴正方向所在向量夹角的正切值为
11.复数(其中i为虚数单位)的虚部为　　　.
所以复数的虚部为1.
12.已知复数z满足z-=1-i(i为虚数单位)，则复数z的模为　　　　.
13.(2024·深圳二模)已知复数z满足z2+z+1=0，则z·=　　　　.
14.设复数z满足|z|=1，且ω=，则的最小值为　　　　.
（解析）精练（三十八） 复 数
1.(2025·宁波模拟)已知复数z=a-i的实部与虚部相等，则|z-i|= (　　)
A. B.
C.2 D.
解析:选B　易知z=a-i的实部为a，虚部为-1，由题意可知a=-1，则|z-i|=|-1-i-i|=|-1-2i|==.故选B.
2.(2024·全国甲卷)若z=5+i，则i(+z)= (　　)
A.10i B.2i
C.10 D.2
解析:选A　因为z=5+i，所以=5-i，所以i(+z)=10i，故选A.
3.(2025·大连一模)已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a= (　　)
A.-3 B.
C.3 D.-
解析:选A　因为===-i为实数，则-=0，即a+3=0，所以a=-3.故选A.
4.(2023·全国乙卷)设z=，则= (　　)
A.1-2i B.1+2i
C.2-i D.2+i
解析:选B　因为z====1-2i，所以=1+2i，故选B.
5.已知复数z满足|z-i|=|z|，则|z|的最小值为 (　　)
A. B.
C. D.1
解析:选B　设z=x+yi，由|z-i|=|z|得|x+i|=|x+yi|，∴x2+=x2+y2，整理可得y=.∴z=x+i.∴|z|=≥(当且仅当x=0时取等号).∴|z|的最小值为.故选B.
6.已知复数z=(i为虚数单位)的实部与虚部之和为4，则在复平面内对应的点位于 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:选C　z===2+2a+(4-a)i，所以实部和虚部之和等于(2+2a)+(4-a)=6+a=4，解得a=-2，从而z=-2+6i，=-2-6i.故在复平面内对应的点为，位于第三象限.
7.已知复数z1，z2和z满足|z1|=|z2|=1，若|z1-z2|=|z1-1|=|z2-z|，则|z|的最大值为 (　　)
A.2 B.3
C. D.1
解析:选B　根据题意，得|z|=|-z2|≤|z2-z|+|z2|=|z1-1|+1≤|z1|+1+1=3，当z1=-1，z2=1，z=3时，|z1-z2|=|z1-1|=|z2-z|=2，此时|z|=3，所以|z|max=3.故选B.
8.(2025·龙岩质检)已知(cos θ+isin θ)n=cos nθ+isin nθ(i为虚数单位，n∈N*，θ∈R).若复数z满足z·=2，则|z|= (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选B　由题意可得，=cos +isin=-+i，所以z·=2，则z==2=-1-i，所以|z|==2.故选B.
9.(2025·锦州模拟)[多选]已知复数z1，z2，下列结论正确的有 (　　)
A.若|z1|=|z2|，则=
B.若z1-z2>0，则z1>z2
C.若复数z2满足z2=+5i，则z2在复平面对应的点是(-1，7)
D.若z1=-4+3i是关于x的方程x2+px+q=0(p，q∈R)的一个根，则p=8
解析:选CD　若|z1|=|z2|，则=不一定成立，比如z1=1-i，z2=i，满足|z1|=|z2|=，但=-2i，=-2，不满足=，A错误；比如z1=2+i，z2=1+i，满足z1-z2=1>0，由复数定义可知，两个复数不能比大小，故z1，z2大小无法判断，B错误；z2=+5i=+5i=-1+2i+5i=-1+7i，所以z2在复平面对应的点是(-1，7)，C正确；若z1=-4+3i是关于x的方程x2+px+q=0(p，q∈R)的一个根，则-4-3i为方程另一个根，故-p=(-4-3i)+(-4+3i)=-8，即p=8，D正确.故选CD.
10.[多选]已知复数z0满足i3z0=，则 (　　)
A.z0的实部为
B.z0的虚部为
C.满足|z|≤|z0|的复数z对应的点所在区域的面积为π
D.z0对应的向量与x轴正方向所在向量夹角的正切值为
解析:选AC　因为i3z0=，所以-iz0=，所以z0===，z0的实部为，z0的虚部为-，所以A正确，B错误；因为|z0|=1，所以满足|z|≤|z0|的复数z对应的点所在区域的面积为π，所以C正确；z0对应的向量与x轴正方向所在向量夹角的正切值为=，所以D错误.故选AC.
11.复数(其中i为虚数单位)的虚部为　　　.
解析:===3+i，
所以复数的虚部为1.
答案:1
12.已知复数z满足z-=1-i(i为虚数单位)，则复数z的模为　　　　.
解析:由题意，得z=1-i+1+i=2，∴|z|=2.
答案:2
13.(2024·深圳二模)已知复数z满足z2+z+1=0，则z·=　　　　.
解析:因为z2+z+1=+=0，即=-=，
所以z=--i或z=-+i.
若z=--i，则=-+i，则z·==+=1；
若z=-+i，则=--i，则z·==+=1.综上所述，z·=1.
答案:1
14.设复数z满足|z|=1，且ω=，则的最小值为　　　　.
解析:设z=a+bi(a，b∈R)，由已知可得a2+b2=1，ω======i.设t=，则ω=ti，ω2=-=-t2，所以=≥4，当且仅当t2=，即=时，等号成立.
答案:4
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