2026届高三数学一轮复习-2年高考1年模拟-（三十）三角函数的周期性、奇偶性及对称性（含解析）

“2年高考1年模拟”课时精练（三十） 三角函数的周期性、奇偶性及对称性
1.函数y=sin的最小正周期是 (　　)
A.4π B.3π
C.2π D.π
2.已知函数f(x)=sin xcos(2x+φ)(φ∈[0，π])为偶函数，则φ= (　　)
A.0 B.
C. D.π
3.(2025·湖南联考)函数f(x)=sin(x+φ)cos(x+φ)的图象的一条对称轴方程是x=-，则φ的最小正值为 (　　)
A. B.
C. D.
4.已知函数f(x)=2sin的图象的相邻两个零点的距离为，且f=，则f(x)= (　　)
A.2sin B.2sin
C.2sin D.2sin
5.(2024·新课标Ⅱ卷)[多选]对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin，下列说法正确的有 (　　)
A.f(x)与g(x)有相同零点
B.f(x)与g(x)有相同最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
6.(2025·沈阳模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，φ>0)的最小正周期为π，当x=π时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是 (　　)
A.f(2)B.f(-2)C.f(0)D.f(2)7.记函数f(x)=cos+b的最小正周期为 T. 若A.1 B.
C. D.3
8.[多选]已知f(x)=sin为偶函数，g=sin，则下列结论正确的是 (　　)
A.φ=
B.若g的最小正周期为3π，则ω=
C.若g在区间上有且仅有3个最值点，则ω的取值范围为
D.若g=，则ω的最小值为2
9.已知函数f(x)=sin πx+cos πx，则f(x)的最小正周期是　　　　　.
10.已知函数f(x)=cos ωx-sin ωx(ω>0).若f=f，且f(x)在区间上恰有两个极值点，则f=　　　　.
11.若x=是函数f(x)=sin(x∈R)的一个零点，且0<ω<10，则函数f(x)的最小正周期为　　　　.
12.已知函数f(x)=asin ωx-cos ωx(a>0，ω>0)的最大值为2，则a=　　　　，若函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=，m∈N*，则当ω取最小整数时，函数f(x)在(0，10)之间取得最大值的次数为　　　　.
13.已知函数f(x)=4sin ωxsin-1(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω及f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)图象的对称中心.
14.已知函数f(x)=sin 2x-cos 2x，x∈R.
(1)若h(x)=f(x+t)的图象关于点对称且t∈(0，π)，求t的值；
(2)当x∈时，不等式|f(x)-m|<3恒成立，求实数m的取值范围.
15.已知函数f(x)=cos ωxcos+a(ω>0)的最小正周期为π，且f(x)的最大值为2.
(1)求ω和a的值；
(2)若函数g(x)=f(x)-m在区间内有且仅有两个零点x1，x2，求m的取值范围及f(x1+x2)的值.
（解析）精练（三十） 三角函数的周期性、奇偶性及对称性
1.函数y=sin的最小正周期是 (　　)
A.4π B.3π
C.2π D.π
解析:选A　函数y=sin的最小正周期是T==4π.故选A.
2.已知函数f(x)=sin xcos(2x+φ)(φ∈[0，π])为偶函数，则φ= (　　)
A.0 B.
C. D.π
解析:选C　∵f(x)的定义域为R，且为偶函数，∴f=f -cos(-π+φ)=cos(π+φ) cos φ=-cos φ cos φ=0.∵φ∈[0，π]，∴φ=.当φ=时，f(x)=-sin xsin 2x为偶函数满足题意.故选C.
3.(2025·湖南联考)函数f(x)=sin(x+φ)cos(x+φ)的图象的一条对称轴方程是x=-，则φ的最小正值为 (　　)
A. B.
C. D.
解析:选D　f(x)=sin(x+φ)cos(x+φ)=sin(2x+2φ)，因为f(x)图象的一条对称轴方程是x=-，所以2×+2φ=+kπ(k∈Z)，解得φ=+(k∈Z).故当k=0时，φ取得最小正值.
4.已知函数f(x)=2sin的图象的相邻两个零点的距离为，且f=，则f(x)= (　　)
A.2sin B.2sin
C.2sin D.2sin
解析:选C　因为f(x)的图象的相邻两个零点的距离为，且ω>0，所以T==×2=π，可得ω=2，所以f(x)=2sin.又因为f=2sin φ=，即sin φ=，且0<φ<，可得φ=，所以f(x)=2sin.
5.(2024·新课标Ⅱ卷)[多选]对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin，下列说法正确的有 (　　)
A.f(x)与g(x)有相同零点
B.f(x)与g(x)有相同最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
解析:选BC　令f(x)=sin 2x=0，解得x=，k∈Z，即为f(x) 的零点.
令g(x)=sin=0，解得x=+，k∈Z，即为g(x)的零点，显然f(x)，g(x)的零点不同，故A错误.
显然f(x)max=g(x)max=1，故B正确.
f(x)，g(x)的最小正周期均为=π，故C正确.
根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+ x=+(k∈Z)，g(x)的对称轴满足2x-=kπ+ x=+(k∈Z)，显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，故D错误.故选BC.
6.(2025·沈阳模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，φ>0)的最小正周期为π，当x=π时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是 (　　)
A.f(2)B.f(-2)C.f(0)D.f(2)解析:选A　由函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，φ>0)的最小正周期为π，得ω=2，而x=π=2 024π+，则函数f(x)在x=取得最小值，于是2·+φ=+2kπ，k∈N，即φ=+2kπ，k∈N，因此函数f(x)=Asin=Asin(A>0)，而f(-2)=Asin=Asin，f(2)=Asin，f(0)=Asin =Asin.又<<-4+2π<4+<，正弦函数y=sin x在上单调递减，即sin7.记函数f(x)=cos+b的最小正周期为 T. 若A.1 B.
C. D.3
解析:选B　由所以cos=0 ω+=+kπ，k∈Z，
故ω=+k.由ω∈可得k∈，由于k∈Z，故取k=3，则ω=.故f(x)=cos+2，则f=cos+2=-cos+2=-+2=.
8.[多选]已知f(x)=sin为偶函数，g=sin，则下列结论正确的是 (　　)
A.φ=
B.若g的最小正周期为3π，则ω=
C.若g在区间上有且仅有3个最值点，则ω的取值范围为
D.若g=，则ω的最小值为2
解析:选AB　∵f(x)=sin为偶函数，∴ +φ=+kπ，k∈Z.又<，∴φ=，A正确.
若g(x)的最小正周期为3π，由g=sin(ωx+φ)，得T==3π，∴ω=，B正确.
∵x∈，ωx+∈，若g在区间上有且仅有3个最值点，则 <ωπ+≤<ω≤，C错误.
∵g=sin，∴g=sin=，∴+=+2kπ，或+=+2kπ，∴ω=+8k或ω=2+8k，k∈Z.又∵ω>0，则ω的最小值为，D错误.
9.已知函数f(x)=sin πx+cos πx，则f(x)的最小正周期是　　　　　.
解析:因为函数f(x)=sin πx+cos πx=sin，所以f(x)的最小正周期为T==2.
答案:2
10.已知函数f(x)=cos ωx-sin ωx(ω>0).若f=f，且f(x)在区间上恰有两个极值点，则f=　　　　.
解析:因为f(x)=cos ωx-sin ωx=cos，且f(x)在区间上恰有两个极值点，且f=f，所以f(x)的最小正周期T=-=，即= ω=4，所以f=cos-sin=-1.
答案:-1
11.若x=是函数f(x)=sin(x∈R)的一个零点，且0<ω<10，则函数f(x)的最小正周期为　　　　.
解析:依题意知f=sin=0，即-=kπ，k∈Z，整理得ω=8k+2，k∈Z.又因为0<ω<10，所以0<8k+2<10，得-答案:π
12.已知函数f(x)=asin ωx-cos ωx(a>0，ω>0)的最大值为2，则a=　　　　，若函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=，m∈N*，则当ω取最小整数时，函数f(x)在(0，10)之间取得最大值的次数为　　　　.
解析:由已知，函数f(x)=asin ωx-cos ωx=sin(ωx-φ)，其中tan φ=，由于f(x)的最大值为2，所以=2，得a=(a=-舍去).tan φ=，取φ=，则f(x)=2sin，由ωx-=kπ+，得π=kπ+，即ω=m，k∈Z.由于m∈N*，则正数ω的最小整数值为2，从而f(x)=2sin.当2x-=+2kπ，k∈Z，即x=+kπ，k∈Z时，函数f(x)取得最大值，若k=0，则x=∈(0，10)；若k=1，则x=∈(0，10)；若k=2，则x=∈(0，10)；若k=3，则x=>10.从而有3次取得最大值.
答案:　3
13.已知函数f(x)=4sin ωxsin-1(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω及f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)图象的对称中心.
解:(1)f(x)=4sin ωx-1=2sin2ωx+2sin ωxcos ωx-1
=1-cos 2ωx+sin 2ωx-1
=sin 2ωx-cos 2ωx=2sin.
∵最小正周期为π，∴=π，
∴ω=1，∴f(x)=2sin.
令-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z，
解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)令2x-=kπ，k∈Z，解得x=+，k∈Z，
∴f(x)图象的对称中心为，k∈Z.
14.已知函数f(x)=sin 2x-cos 2x，x∈R.
(1)若h(x)=f(x+t)的图象关于点对称且t∈(0，π)，求t的值；
(2)当x∈时，不等式|f(x)-m|<3恒成立，求实数m的取值范围.
解:(1)因为f(x)=sin 2x-cos 2x
=2=2sin，
所以h(x)=2sin.
令2×+2t-=kπ(k∈Z)，
得t=+(k∈Z).
又t∈(0，π)，故t=或t=.
(2)当x∈时，2x-∈，
所以f(x)∈[1，2].
又|f(x)-m|<3，即f(x)-3所以2-3故实数m的取值范围是(-1，4).
15.已知函数f(x)=cos ωxcos+a(ω>0)的最小正周期为π，且f(x)的最大值为2.
(1)求ω和a的值；
(2)若函数g(x)=f(x)-m在区间内有且仅有两个零点x1，x2，求m的取值范围及f(x1+x2)的值.
解:(1)由f(x)=cos ωxcos+a=cos ωx+a=cos2ωx-sin ωxcos ωx+a=-sin 2ωx+a=-sin++a，得T==π，即ω=1，又f(x)max=++a=2，即a=.
(2)由(1)知f(x)=-sin+，则g(x)=f(x)-m=-sin+-m，令g(x)=0，即sin=3-2m，当x∈时，2x-∈，因为函数g(x)在区间内有且仅有两个零点x1，x2，结合正弦函数y=sin x的图象，可知-1<3-2m≤-，解得≤m<2，即m的取值范围为.
又2x1-+2x2-=-×2=-π，即x1+x2=-，则f(x1+x2)=f=-sin+=.
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