2026届高三数学一轮复习-2年高考1年模拟-（七十一）随机事件、频率与概率（含解析）
文档属性
| 名称 | 2026届高三数学一轮复习-2年高考1年模拟-（七十一）随机事件、频率与概率（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 39.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-17 17:21:21 | ||
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文档简介
“2年高考1年模拟”课时精练（七十一） 随机事件、频率与概率
1.下列说法正确的是 ( )
A.任何事件的概率总是在(0，1)之间
B.频率是客观存在的，与试验次数无关
C.随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率
D.概率是随机的，在试验前不能确定
2.一个不透明的袋子中装有8个红球、2个白球，除颜色外，球的大小、质地完全相同，采用不放回的方式从中摸出3个球.下列事件为不可能事件的是 ( )
A.3个都是白球 B.3个都是红球
C.至少1个红球 D.至多2个白球
3.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，则“X≥5”对应的样本点是 ( )
A.(6，2) B.(5，1)
C.(1，6) D.(6，1)
4.(2025·重庆模拟)某池塘中饲养了A，B两种不同品种的观赏鱼，假设鱼群在池塘里是均匀分布的.在池塘的东、南、西三个采样点捕捞得到如下数据(单位：尾)，若在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A约有 ( )
采样点 品种A 品种B
东 20 9
南 7 3
西 17 8
A.6尾 B.10尾
C.13尾 D.17尾
5.抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件A=“点数为大于2小于5”，B=“点数为偶数”，则A∩B表示的事件为 ( )
A.“点数为4” B.“点数为3或4”
C.“点数为偶数” D.“点数为大于2小于5”
6.抛掷一枚骰子，“向上的面的点数是1或2”为事件A，“向上的面的点数是2或3”为事件B，则 ( )
A.A B
B.A=B
C.A∪B表示向上的面的点数是1或2或3
D.A∩B表示向上的面的点数是1或2或3
7.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”，则 ( )
A.事件1与事件3互斥
B.事件1与事件2互为对立事件
C.事件2与事件3互斥
D.事件3与事件4互为对立事件
8.用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4，重复抛掷这个四面体200次，记录每个面落在地上的次数(如下表).下列说法正确的是 ( )
四面体的面 1 2 3 4
频数 44 36 42 78
A.该四面体一定不是均匀的
B.再抛掷一次，估计标记2的面落地概率为0.72
C.再抛掷一次，标记4的面落地
D.再抛掷一次，估计标记3的面落地概率为0.2
9.若从两男两女四人中随机选出两人，设两个男生分别用A，B表示，两个女生分别用C，D表示，相应的样本空间为Ω={AB，AC，AD，BC，BD，CD}，则与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为 .
10.(2025·抚州模拟)一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复试验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球 个.
11.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球观察颜色.设事件A为“所取两个球至少有一个白球”，事件B为“所取两个球恰有一个红球”，则A∩B表示的事件为 .
12.商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1，2，4组的频数分别为6，7，9.若第5组表示的是尺码为40~42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40~42的皮鞋约为 双.
13.某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
14.某地要举办一年一度为期一个月(30天)的大型商业峰会，一商店每天要订购相同数量的一种食品，每个该食品的进价为0.6元，售价为1元，当天卖不完的食品按进价的半价退回，食品按每箱100个包装.根据往年的销售经验，每天对该食品的需求量和当天到会的人数有关，为了确定订购计划，统计了往年的到会人数与需求量和到会人数与天数的有关数据如下：
到会人数/人 (8 000， 9 000] (9 000， 10 000] (10 000， 11 000] (11 000， 12 000] (12 000， 13 000]
需求量/箱 400 450 500 550 600
到会人数/人 (8 000， 9 000] (9 000， 10 000] (10 000， 11 000] (11 000， 12 000] (12 000， 13 000]
天数 5 6 8 7 4
以到会人数位于各区间的频率估计到会人数位于各区间的概率.
(1)估计商业峰会期间，该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率；
(2)设商业峰会期间一天这种食品的销售利润为Y(单位：元)，当商业峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，写出Y的所有可能值，并估计Y不超过15 000元的概率.
（解析）精练（七十一） 随机事件、频率与概率
1.下列说法正确的是 ( )
A.任何事件的概率总是在(0，1)之间
B.频率是客观存在的，与试验次数无关
C.随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率
D.概率是随机的，在试验前不能确定
解析：选C 不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故A错误；频率是由试验的次数决定的，故B错误；概率是频率的稳定值，故C正确，D错误.
2.一个不透明的袋子中装有8个红球、2个白球，除颜色外，球的大小、质地完全相同，采用不放回的方式从中摸出3个球.下列事件为不可能事件的是 ( )
A.3个都是白球 B.3个都是红球
C.至少1个红球 D.至多2个白球
解析：选A 从8个红球、2个白球中采用不放回的方式从中摸出3个白球，不可能发生.故选A.
3.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，则“X≥5”对应的样本点是 ( )
A.(6，2) B.(5，1)
C.(1，6) D.(6，1)
解析：选D 连续抛掷两枚骰子，第一枚骰子和第二枚骰子点数之差是，则“X≥5”对应的样本点是(6，1).
4.(2025·重庆模拟)某池塘中饲养了A，B两种不同品种的观赏鱼，假设鱼群在池塘里是均匀分布的.在池塘的东、南、西三个采样点捕捞得到如下数据(单位：尾)，若在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A约有 ( )
采样点 品种A 品种B
东 20 9
南 7 3
西 17 8
A.6尾 B.10尾
C.13尾 D.17尾
解析：选C 因为鱼群在池塘里是均匀分布的，所以品种A所占比约为=，所以在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A约有×20≈13尾.
5.抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件A=“点数为大于2小于5”，B=“点数为偶数”，则A∩B表示的事件为 ( )
A.“点数为4” B.“点数为3或4”
C.“点数为偶数” D.“点数为大于2小于5”
解析：选A A=“点数为大于2小于5”={3，4}，B=“点数为偶数”={2，4，6}，则A∩B={4}，故A∩B表示的事件为“点数为4”.
6.抛掷一枚骰子，“向上的面的点数是1或2”为事件A，“向上的面的点数是2或3”为事件B，则 ( )
A.A B
B.A=B
C.A∪B表示向上的面的点数是1或2或3
D.A∩B表示向上的面的点数是1或2或3
解析：选C 由题意可知，A={1，2}，B={2，3}，所以A∩B={2}，A∪B={1，2，3}，则A∪B表示向上的面的点数是1或2或3，故A、B、D错误，C正确.
7.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”，则 ( )
A.事件1与事件3互斥
B.事件1与事件2互为对立事件
C.事件2与事件3互斥
D.事件3与事件4互为对立事件
解析：选B 由题可知，事件1可表示为A={1，3，5}，事件2可表示为B={2，4，6}，事件3可表示为C={4，5，6}，事件4可表示为D={1，2}，因为A∩C={5}，所以事件1与事件3不互斥，A错误；因为A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，所以事件1与事件2互为对立事件，B正确；因为B∩C={4，6}，所以事件2与事件3不互斥，C错误；因为C∩D为不可能事件，C∪D不为必然事件，所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误.
8.用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4，重复抛掷这个四面体200次，记录每个面落在地上的次数(如下表).下列说法正确的是 ( )
四面体的面 1 2 3 4
频数 44 36 42 78
A.该四面体一定不是均匀的
B.再抛掷一次，估计标记2的面落地概率为0.72
C.再抛掷一次，标记4的面落地
D.再抛掷一次，估计标记3的面落地概率为0.2
解析：选D 就算四面体是均匀的，理论上每个面落地的次数仍旧可能不一样，在均匀的条件下，随着试验次数的增多，每个面落地的次数将会变得越来越接近，换句话说，即使是均匀的四面体，仅仅在200次试验下，得到落地的面的统计结果也可能不一样，A错误；由于这200次试验2，3，4落在底面的频率分别为，即0.18，0.21，0.39，B中所估计的概率0.72和频率0.18差别过大，C认为标记4的面必定落地，是必然事件，概率为1，但频率只有0.39，因此不能认为必然发生，B、C错误；标记3的面落地概率估计是0.2，和试验频率0.21非常接近，D正确.
9.若从两男两女四人中随机选出两人，设两个男生分别用A，B表示，两个女生分别用C，D表示，相应的样本空间为Ω={AB，AC，AD，BC，BD，CD}，则与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为 .
答案：{AC，AD，BC，BD}
10.(2025·抚州模拟)一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复试验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球 个.
解析：因为通过大量重复的摸球试验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，所以摸到绿球的概率为0.4，设不透明的袋中有x个绿球，因为袋中有9个红球，3个白球，所以=0.4，解得x=8.
答案：8
11.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球观察颜色.设事件A为“所取两个球至少有一个白球”，事件B为“所取两个球恰有一个红球”，则A∩B表示的事件为 .
解析：因为从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，这一随机试验的样本空间Ω={(白，白)，(白，红)，(红，红)}，且A={(白，红)，(白，白)}，B={(白，红)}，所以A∩B={(白，红)}，故A∩B表示的事件为所取两个球恰有一个红球.
答案：所取两个球恰有一个红球
12.商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1，2，4组的频数分别为6，7，9.若第5组表示的是尺码为40~42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40~42的皮鞋约为 双.
解析：∵第1，2，4组的频数分别为6，7，9，∴第1，2，4组的频率分别为=0.15，=0.175，=0.225.∵第3组的频率为0.25，∴第5组的频率是1-0.25-0.15-0.175-0.225=0.2，∴售出的这300双皮鞋中尺码为40~42的皮鞋约为0.2×300=60(双).
答案：60
13.某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
解：(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.
由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为=0.55，
故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为=0.3，
故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
14.某地要举办一年一度为期一个月(30天)的大型商业峰会，一商店每天要订购相同数量的一种食品，每个该食品的进价为0.6元，售价为1元，当天卖不完的食品按进价的半价退回，食品按每箱100个包装.根据往年的销售经验，每天对该食品的需求量和当天到会的人数有关，为了确定订购计划，统计了往年的到会人数与需求量和到会人数与天数的有关数据如下：
到会人数/人 (8 000， 9 000] (9 000， 10 000] (10 000， 11 000] (11 000， 12 000] (12 000， 13 000]
需求量/箱 400 450 500 550 600
到会人数/人 (8 000， 9 000] (9 000， 10 000] (10 000， 11 000] (11 000， 12 000] (12 000， 13 000]
天数 5 6 8 7 4
以到会人数位于各区间的频率估计到会人数位于各区间的概率.
(1)估计商业峰会期间，该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率；
(2)设商业峰会期间一天这种食品的销售利润为Y(单位：元)，当商业峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，写出Y的所有可能值，并估计Y不超过15 000元的概率.
解：(1)由表中数据可知商业峰会期间30天内，该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的天数为5+6+8=19，
所以商业峰会期间该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率为.
(2)当峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，若到会人数位于区间(8 000，9 000]内，则Y=400×100×(1-0.6)+150×100×(0.3-0.6)=11 500元，若到会人数位于区间(9 000，10 000]内，则Y=450×100×(1-0.6)+100×100×(0.3-0.6)=15 000元，若到会人数位于区间(10 000，11 000]内，则Y=500×100×(1-0.6)+50×100×(0.3-0.6)=18 500元，若到会人数超过11 000，则Y=550×100×(1-0.6)=22 000元，即Y的所有可能值为11 500，15 000，18 500，22 000.
Y不超过15 000元，意味着到会人数不超过10 000，到会人数不超过10 000的频率为=，所以Y不超过15 000元的概率的估计值为.
6 / 6
1.下列说法正确的是 ( )
A.任何事件的概率总是在(0，1)之间
B.频率是客观存在的，与试验次数无关
C.随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率
D.概率是随机的，在试验前不能确定
2.一个不透明的袋子中装有8个红球、2个白球，除颜色外，球的大小、质地完全相同，采用不放回的方式从中摸出3个球.下列事件为不可能事件的是 ( )
A.3个都是白球 B.3个都是红球
C.至少1个红球 D.至多2个白球
3.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，则“X≥5”对应的样本点是 ( )
A.(6，2) B.(5，1)
C.(1，6) D.(6，1)
4.(2025·重庆模拟)某池塘中饲养了A，B两种不同品种的观赏鱼，假设鱼群在池塘里是均匀分布的.在池塘的东、南、西三个采样点捕捞得到如下数据(单位：尾)，若在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A约有 ( )
采样点 品种A 品种B
东 20 9
南 7 3
西 17 8
A.6尾 B.10尾
C.13尾 D.17尾
5.抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件A=“点数为大于2小于5”，B=“点数为偶数”，则A∩B表示的事件为 ( )
A.“点数为4” B.“点数为3或4”
C.“点数为偶数” D.“点数为大于2小于5”
6.抛掷一枚骰子，“向上的面的点数是1或2”为事件A，“向上的面的点数是2或3”为事件B，则 ( )
A.A B
B.A=B
C.A∪B表示向上的面的点数是1或2或3
D.A∩B表示向上的面的点数是1或2或3
7.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”，则 ( )
A.事件1与事件3互斥
B.事件1与事件2互为对立事件
C.事件2与事件3互斥
D.事件3与事件4互为对立事件
8.用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4，重复抛掷这个四面体200次，记录每个面落在地上的次数(如下表).下列说法正确的是 ( )
四面体的面 1 2 3 4
频数 44 36 42 78
A.该四面体一定不是均匀的
B.再抛掷一次，估计标记2的面落地概率为0.72
C.再抛掷一次，标记4的面落地
D.再抛掷一次，估计标记3的面落地概率为0.2
9.若从两男两女四人中随机选出两人，设两个男生分别用A，B表示，两个女生分别用C，D表示，相应的样本空间为Ω={AB，AC，AD，BC，BD，CD}，则与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为 .
10.(2025·抚州模拟)一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复试验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球 个.
11.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球观察颜色.设事件A为“所取两个球至少有一个白球”，事件B为“所取两个球恰有一个红球”，则A∩B表示的事件为 .
12.商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1，2，4组的频数分别为6，7，9.若第5组表示的是尺码为40~42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40~42的皮鞋约为 双.
13.某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
14.某地要举办一年一度为期一个月(30天)的大型商业峰会，一商店每天要订购相同数量的一种食品，每个该食品的进价为0.6元，售价为1元，当天卖不完的食品按进价的半价退回，食品按每箱100个包装.根据往年的销售经验，每天对该食品的需求量和当天到会的人数有关，为了确定订购计划，统计了往年的到会人数与需求量和到会人数与天数的有关数据如下：
到会人数/人 (8 000， 9 000] (9 000， 10 000] (10 000， 11 000] (11 000， 12 000] (12 000， 13 000]
需求量/箱 400 450 500 550 600
到会人数/人 (8 000， 9 000] (9 000， 10 000] (10 000， 11 000] (11 000， 12 000] (12 000， 13 000]
天数 5 6 8 7 4
以到会人数位于各区间的频率估计到会人数位于各区间的概率.
(1)估计商业峰会期间，该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率；
(2)设商业峰会期间一天这种食品的销售利润为Y(单位：元)，当商业峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，写出Y的所有可能值，并估计Y不超过15 000元的概率.
（解析）精练（七十一） 随机事件、频率与概率
1.下列说法正确的是 ( )
A.任何事件的概率总是在(0，1)之间
B.频率是客观存在的，与试验次数无关
C.随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率
D.概率是随机的，在试验前不能确定
解析：选C 不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故A错误；频率是由试验的次数决定的，故B错误；概率是频率的稳定值，故C正确，D错误.
2.一个不透明的袋子中装有8个红球、2个白球，除颜色外，球的大小、质地完全相同，采用不放回的方式从中摸出3个球.下列事件为不可能事件的是 ( )
A.3个都是白球 B.3个都是红球
C.至少1个红球 D.至多2个白球
解析：选A 从8个红球、2个白球中采用不放回的方式从中摸出3个白球，不可能发生.故选A.
3.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，则“X≥5”对应的样本点是 ( )
A.(6，2) B.(5，1)
C.(1，6) D.(6，1)
解析：选D 连续抛掷两枚骰子，第一枚骰子和第二枚骰子点数之差是，则“X≥5”对应的样本点是(6，1).
4.(2025·重庆模拟)某池塘中饲养了A，B两种不同品种的观赏鱼，假设鱼群在池塘里是均匀分布的.在池塘的东、南、西三个采样点捕捞得到如下数据(单位：尾)，若在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A约有 ( )
采样点 品种A 品种B
东 20 9
南 7 3
西 17 8
A.6尾 B.10尾
C.13尾 D.17尾
解析：选C 因为鱼群在池塘里是均匀分布的，所以品种A所占比约为=，所以在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A约有×20≈13尾.
5.抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件A=“点数为大于2小于5”，B=“点数为偶数”，则A∩B表示的事件为 ( )
A.“点数为4” B.“点数为3或4”
C.“点数为偶数” D.“点数为大于2小于5”
解析：选A A=“点数为大于2小于5”={3，4}，B=“点数为偶数”={2，4，6}，则A∩B={4}，故A∩B表示的事件为“点数为4”.
6.抛掷一枚骰子，“向上的面的点数是1或2”为事件A，“向上的面的点数是2或3”为事件B，则 ( )
A.A B
B.A=B
C.A∪B表示向上的面的点数是1或2或3
D.A∩B表示向上的面的点数是1或2或3
解析：选C 由题意可知，A={1，2}，B={2，3}，所以A∩B={2}，A∪B={1，2，3}，则A∪B表示向上的面的点数是1或2或3，故A、B、D错误，C正确.
7.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”，则 ( )
A.事件1与事件3互斥
B.事件1与事件2互为对立事件
C.事件2与事件3互斥
D.事件3与事件4互为对立事件
解析：选B 由题可知，事件1可表示为A={1，3，5}，事件2可表示为B={2，4，6}，事件3可表示为C={4，5，6}，事件4可表示为D={1，2}，因为A∩C={5}，所以事件1与事件3不互斥，A错误；因为A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，所以事件1与事件2互为对立事件，B正确；因为B∩C={4，6}，所以事件2与事件3不互斥，C错误；因为C∩D为不可能事件，C∪D不为必然事件，所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误.
8.用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4，重复抛掷这个四面体200次，记录每个面落在地上的次数(如下表).下列说法正确的是 ( )
四面体的面 1 2 3 4
频数 44 36 42 78
A.该四面体一定不是均匀的
B.再抛掷一次，估计标记2的面落地概率为0.72
C.再抛掷一次，标记4的面落地
D.再抛掷一次，估计标记3的面落地概率为0.2
解析：选D 就算四面体是均匀的，理论上每个面落地的次数仍旧可能不一样，在均匀的条件下，随着试验次数的增多，每个面落地的次数将会变得越来越接近，换句话说，即使是均匀的四面体，仅仅在200次试验下，得到落地的面的统计结果也可能不一样，A错误；由于这200次试验2，3，4落在底面的频率分别为，即0.18，0.21，0.39，B中所估计的概率0.72和频率0.18差别过大，C认为标记4的面必定落地，是必然事件，概率为1，但频率只有0.39，因此不能认为必然发生，B、C错误；标记3的面落地概率估计是0.2，和试验频率0.21非常接近，D正确.
9.若从两男两女四人中随机选出两人，设两个男生分别用A，B表示，两个女生分别用C，D表示，相应的样本空间为Ω={AB，AC，AD，BC，BD，CD}，则与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为 .
答案：{AC，AD，BC，BD}
10.(2025·抚州模拟)一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复试验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球 个.
解析：因为通过大量重复的摸球试验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，所以摸到绿球的概率为0.4，设不透明的袋中有x个绿球，因为袋中有9个红球，3个白球，所以=0.4，解得x=8.
答案：8
11.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球观察颜色.设事件A为“所取两个球至少有一个白球”，事件B为“所取两个球恰有一个红球”，则A∩B表示的事件为 .
解析：因为从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，这一随机试验的样本空间Ω={(白，白)，(白，红)，(红，红)}，且A={(白，红)，(白，白)}，B={(白，红)}，所以A∩B={(白，红)}，故A∩B表示的事件为所取两个球恰有一个红球.
答案：所取两个球恰有一个红球
12.商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1，2，4组的频数分别为6，7，9.若第5组表示的是尺码为40~42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40~42的皮鞋约为 双.
解析：∵第1，2，4组的频数分别为6，7，9，∴第1，2，4组的频率分别为=0.15，=0.175，=0.225.∵第3组的频率为0.25，∴第5组的频率是1-0.25-0.15-0.175-0.225=0.2，∴售出的这300双皮鞋中尺码为40~42的皮鞋约为0.2×300=60(双).
答案：60
13.某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
解：(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.
由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为=0.55，
故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为=0.3，
故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
14.某地要举办一年一度为期一个月(30天)的大型商业峰会，一商店每天要订购相同数量的一种食品，每个该食品的进价为0.6元，售价为1元，当天卖不完的食品按进价的半价退回，食品按每箱100个包装.根据往年的销售经验，每天对该食品的需求量和当天到会的人数有关，为了确定订购计划，统计了往年的到会人数与需求量和到会人数与天数的有关数据如下：
到会人数/人 (8 000， 9 000] (9 000， 10 000] (10 000， 11 000] (11 000， 12 000] (12 000， 13 000]
需求量/箱 400 450 500 550 600
到会人数/人 (8 000， 9 000] (9 000， 10 000] (10 000， 11 000] (11 000， 12 000] (12 000， 13 000]
天数 5 6 8 7 4
以到会人数位于各区间的频率估计到会人数位于各区间的概率.
(1)估计商业峰会期间，该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率；
(2)设商业峰会期间一天这种食品的销售利润为Y(单位：元)，当商业峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，写出Y的所有可能值，并估计Y不超过15 000元的概率.
解：(1)由表中数据可知商业峰会期间30天内，该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的天数为5+6+8=19，
所以商业峰会期间该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率为.
(2)当峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，若到会人数位于区间(8 000，9 000]内，则Y=400×100×(1-0.6)+150×100×(0.3-0.6)=11 500元，若到会人数位于区间(9 000，10 000]内，则Y=450×100×(1-0.6)+100×100×(0.3-0.6)=15 000元，若到会人数位于区间(10 000，11 000]内，则Y=500×100×(1-0.6)+50×100×(0.3-0.6)=18 500元，若到会人数超过11 000，则Y=550×100×(1-0.6)=22 000元，即Y的所有可能值为11 500，15 000，18 500，22 000.
Y不超过15 000元，意味着到会人数不超过10 000，到会人数不超过10 000的频率为=，所以Y不超过15 000元的概率的估计值为.
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