2026届高三数学一轮复习-2年高考1年模拟-（七十五）二项分布、超几何分布与正态分布（含解析）

“2年高考1年模拟”课时精练（七十五） 二项分布、超几何分布与正态分布
1.设随机变量ξ~B(2，p)，η~B(3，p)，若P(ξ≥1)=，则P(η≥2)的值为 (　　)
A. B.
C. D.
2.(2025·无锡模拟)甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不相等的概率是 (　　)
A.0.607 6 B.0.751 6
C.0.392 4 D.0.248 4
3.在n重伯努利试验中，设每次成功的概率为p(0A. B.
C. D.
4.(2025·佛山模拟)某人上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，X~N(μ1，62)，Y~N(μ2，22).X和Y的正态密度曲线如图所示，则下列结果正确的是 (　　)
A.D(X)=6
B.μ1>μ2
C.P(X≤38)D.P(X≤34)5.(2025·广州模拟)若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(Z<μ+σ)≈0.841 3.为了解使用新技术后的某果园的亩收入(单位：万元)情况，从该果园抽取样本，得到使用新技术后亩收入的样本均值=3.2，样本方差s2=1.44.已知该果园使用新技术前的亩收入X(单位：万元)服从正态分布N(2.8，1.44)，假设使用新技术后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则 (　　)
A.P(X<4)>P(Y>2)
B.P(X<4)+P(Y>2)<1.68
C.P(X<4)2)
D.P(X<4)+P(Y>2)>1.68
6.设随机变量X~B(3，p)，D(X)=，且E(X)>1.若8名党员中有名男党员，从这8人中选4名代表，记选出的代表中男党员人数为Y，则P(Y=3)= (　　)
A. B.
C. D.
7.某学校有一个体育运动社团，该社团中会打篮球且不会踢足球的有3人，篮球、足球都会的有2人，从该社团中任取2人，设X为选出的人中篮球、足球都会的人数，若P(X>0)=，则该社团的人数为 (　　)
A.5 B.6
C.7 D.10
8.32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获胜.已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为，若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为 (　　)
A.24 B.25
C.26 D.27
9.已知随机变量X服从二项分布B(4，p)，且P(X=2)=，那么一次试验成功的概率p的值为　　　　.
10.(2024·天津二模)盒子里有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球，每次从中随机取一个球，取后不放回.在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是　　　　　；若连续取2次球，设随机变量X表示取到的黑球个数，则E(X)=　　　　　.
11.(2025·重庆模拟)中学某班利用班会课时间组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛.首先出战的是第一组、第二组、第三组，已知第一组、第二组通过初赛和复赛获胜的概率均为，第三组通过初赛和复赛的概率分别为p和-p，其中0(1)求p取何值时，第三组进入决赛的概率最大；
(2)在(1)的条件下，求进入决赛的队伍数X的分布列和数学期望.
12.(2025·济南模拟)某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格.
序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩 xi(分) 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80
记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，s2，经计算(xi-)2=1 690，=33 050.
(1)求；
(2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列；
(3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布N(μ，σ2)，用，s2的值分别作为μ，σ2的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的人数为Y，求Y的数学期望E(Y).
（解析）精练（七十五） 二项分布、超几何分布与正态分布
1.设随机变量ξ~B(2，p)，η~B(3，p)，若P(ξ≥1)=，则P(η≥2)的值为 (　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　由题知随机变量服从二项分布，且它们的概率相同，P(ξ=0)=(1-p)2=1-，解得p=，则P(η≥2)=p3+p2(1-p)=+=.
2.(2025·无锡模拟)甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不相等的概率是 (　　)
A.0.607 6 B.0.751 6
C.0.392 4 D.0.248 4
解析：选A　两人投中次数相等的概率P=0.42×0.32+×0.6×0.4××0.7×0.3+0.62×0.72=0.392 4，故两人投中次数不相等的概率为1-0.392 4=0.607 6.故选A.
3.在n重伯努利试验中，设每次成功的概率为p(0A. B.
C. D.
解析：选C　因为P(X=6)≥P(X=5)，所以p2(1-p)3·p≥p2(1-p)2·p，解得p≤，即p的最大值为.
4.(2025·佛山模拟)某人上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，X~N(μ1，62)，Y~N(μ2，22).X和Y的正态密度曲线如图所示，则下列结果正确的是 (　　)
A.D(X)=6
B.μ1>μ2
C.P(X≤38)D.P(X≤34)解析：选C　随机变量X服从正态分布，且X~N(μ1， 62)， 可得随机变量X的方差为σ2=62，即D(X)=36，所以A错误；根据给定的正态曲线图象，可得μ1=30， μ2=34，所以μ1<μ2，所以B错误；根据给定的正态曲线图象，可得X≤38时，随机变量X对应的曲线与x轴围成的面积小于Y≤38时随机变量Y对应的曲线与x轴围成的面积，所以P(X≤38)，P(Y≤34)=，即P(X≤34)>P(Y≤34)，所以D错误.故选C.
5.(2025·广州模拟)若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(Z<μ+σ)≈0.841 3.为了解使用新技术后的某果园的亩收入(单位：万元)情况，从该果园抽取样本，得到使用新技术后亩收入的样本均值=3.2，样本方差s2=1.44.已知该果园使用新技术前的亩收入X(单位：万元)服从正态分布N(2.8，1.44)，假设使用新技术后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则 (　　)
A.P(X<4)>P(Y>2)
B.P(X<4)+P(Y>2)<1.68
C.P(X<4)2)
D.P(X<4)+P(Y>2)>1.68
解析：选D　依题可知=3.2，s2=1.44，所以Y~N(3.2，1.22)，故P(Y>2)=P(Y>3.2-1.2)=P(Y<3.2+1.2)≈0.841 3.因为X~N(2.8，1.22)，所以P(X<4)=P(X<2.8+1.2)≈0.841 3，所以P(X<4)=P(Y>2)，P(X<4)+P(Y>2)≈1.682 6>1.68.
6.设随机变量X~B(3，p)，D(X)=，且E(X)>1.若8名党员中有名男党员，从这8人中选4名代表，记选出的代表中男党员人数为Y，则P(Y=3)= (　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　因为X~B(3，p)，D(X)=，则3p(1-p)=，解得p=或p=，又因为E(X)=3p>1，则p>，可得p=，则=5.所以P(Y=3)==.故选A.
7.某学校有一个体育运动社团，该社团中会打篮球且不会踢足球的有3人，篮球、足球都会的有2人，从该社团中任取2人，设X为选出的人中篮球、足球都会的人数，若P(X>0)=，则该社团的人数为 (　　)
A.5 B.6
C.7 D.10
解析：选C　设该社团共有n个人，∴P(X=0)==，∵P(X=0)=1-P(X>0)=，∴=，即(11n-18)(n-7)=0，又n∈N*，解得n=7.
8.32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获胜.已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为，若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为 (　　)
A.24 B.25
C.26 D.27
解析：选A　设选择与甲进行比赛且获胜的业余棋手人数为X，选择与乙进行比赛且获胜的业余棋手人数为Y；设选择与甲进行比赛的业余棋手人数为n，则选择与乙进行比赛的业余棋手人数为32-n.X所有可能的取值为0，1，2，…，n，则X~B，E(X)=；Y所有可能的取值为0，1，2，…，32-n，则Y~B，E(Y)=，所以获胜的业余棋手总人数的期望E(X+Y)=E(X)+E(Y)=+=≥10，解得n≥24.
9.已知随机变量X服从二项分布B(4，p)，且P(X=2)=，那么一次试验成功的概率p的值为　　　　.
解析：∵随机变量X服从二项分布B(4，p)，P(X=2)=，∴p2(1-p)2=，解得p=.
答案：
10.(2024·天津二模)盒子里有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球，每次从中随机取一个球，取后不放回.在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是　　　　　；若连续取2次球，设随机变量X表示取到的黑球个数，则E(X)=　　　　　.
解析：设“第一次取到黑球”为事件A，“第二次取到黑球”为事件B，则P(A)==，P(AB)=×=，所以P(B|A)===.由题意可得X的取值为0，1，2，P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==，
所以E(X)=0×+1×+2×=.
答案：　
11.(2025·重庆模拟)中学某班利用班会课时间组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛.首先出战的是第一组、第二组、第三组，已知第一组、第二组通过初赛和复赛获胜的概率均为，第三组通过初赛和复赛的概率分别为p和-p，其中0(1)求p取何值时，第三组进入决赛的概率最大；
(2)在(1)的条件下，求进入决赛的队伍数X的分布列和数学期望.
解：(1)由题知第三组通过初赛和复赛的概率p0=p=-p2+p=-+，
又因为所以≤p≤，所以当p=时，第三组进入决赛概率最大，最大值为.
(2)由(1)知第一组、第二组、第三组进入决赛的概率均为×=.
因为进入决赛的队伍数X~B，
所以P(X=0)=×=，
P(X=1)=××==，
P(X=2)=××==，P(X=3)=×=.
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)=0×+1×+2×+3×=.
12.(2025·济南模拟)某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格.
序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩 xi(分) 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80
记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，s2，经计算(xi-)2=1 690，=33 050.
(1)求；
(2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列；
(3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布N(μ，σ2)，用，s2的值分别作为μ，σ2的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的人数为Y，求Y的数学期望E(Y).
附：若ξ~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.997 3.
解：(1)=×(38+41+44+51+54+56+58+64+74+80)=56.
(2)因为体质测试不合格的学生有3名，
所以X的可能取值为0，1，2，3.
因为P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==，P(X=3)==.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(3)因为=56，s2=(xi-)2=×1 690=169，所以μ=56，σ=13.
因为P(30≤X≤82)=P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954 5，
所以学生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的概率约为0.954 5，
故Y~B(100，0.954 5)，所以E(Y)=100×0.954 5=95.45.
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