2026届高三数学一轮复习-2年高考1年模拟-（七十三）事件的相互独立性、条件概率、全概率公式（含解析）
文档属性
| 名称 | 2026届高三数学一轮复习-2年高考1年模拟-（七十三）事件的相互独立性、条件概率、全概率公式（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 45.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-17 17:21:51 | ||
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文档简介
“2年高考1年模拟”课时精练（七十三） 事件的相互独立性、条件概率、全概率公式
1.(2025·廊坊模拟)若P(AB)=，P()=，P(B)=，则事件A与B的关系是 ( )
A.互斥 B.对立
C.相互独立 D.既互斥又相互独立
2.甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤5个项目中分别各自随机选择其中一项，记事件A：甲和乙选择的活动各不同，事件B：甲和乙恰有一人选择①，则P(B|A)等于 ( )
A. B.
C. D.
3.某盏吊灯上并联着4个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.8，那么在这段时间内该吊灯上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是 ( )
A.0.819 2 B.0.972 8
C.0.974 4 D.0.998 4
4.(2025·镇江模拟)[多选]对于随机事件A，B，若P(A)=，P(B)=，P(B|A)=，则 ( )
A.P(AB)= B.P(A|B)=
C.P(A∪B)= D.P(B)=
5.(2025·哈尔滨模拟)第9届亚冬会即将在冰城哈尔滨召开，为了办好这一届盛会，组委会决定进行赛会志愿者招募.现有4名志愿者，通过培训后，拟安排在冰壶、短道速滑、高山滑雪三个项目进行志愿者服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，在甲被安排到冰壶项目的条件下，乙被安排到短道速滑项目的概率为 ( )
A. B.
C. D.
6.(2025·广州模拟)有m(m≥3)个盲盒，其中有n(1≤nA.p1B.p1=p2
C.p1>p2
D.无法确定p1与p2的大小关系
7.(2025·南京模拟)如图，甲、乙做游戏，两人通过划拳(剪刀、石头、布)比赛决胜谁首先到达第3格，并规定从0格出发，每次划拳赢的一方往右前进一格，输的一方原地不动，平局时两人都往右前进一格.如果一方连续赢两次，那么他将额外获得右前进一格的奖励，除非已经到达第3格，当有任何一方到达第3格时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为 ( )
0 1 2 3
A. B.
C. D.
8.(2022·全国乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p，则 ( )
A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
9.已知P(B)=，P(B|A)=，P(B|)=，则P(A)= .
10.(2025·南京模拟)甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，若目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为 .
11.(2025·武威模拟)某校高三(1)班和(2)班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人.现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三(1)班的概率是 .
12.(2025·桂林模拟)已知有A，B两个盒子，其中A盒中有3个黑球和3个白球，B盒中有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从A盒，乙从B盒各随机抽取一个球，若两球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入A盒中，若两球不同色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入B盒中.按上述方法重复操作两次后，A盒中有8个球的概率是 .
13.(2025·武汉模拟)某中学篮球队根据以往比赛统计：甲球员能够胜任前锋、中锋、后卫三个位置，且出场概率分别为0.1，0.5，0.4.在甲球员出任前锋、中锋、后卫的条件下，篮球队输球的概率依次为0.2，0.2，0.7.
(1)当甲球员参加比赛时，求该篮球队某场比赛输球的概率；
(2)当甲球员参加比赛时，在该篮球队输了某场比赛的条件下，求甲球员在这一场出任中锋的概率；
(3)如果你是教练员，应用概率统计的有关知识该如何使用甲球员
14.某场知识答题活动的参赛规则如下：在规定时间内每位参赛选手对两道不同的题作答，每题只有一次作答机会，每道题是否答对相互独立，每位选手作答的题均不相同.已知甲答对第一道题的概率为p，答对第二道题的概率为1-p；乙答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为.甲、乙每次作答正确与否相互独立.
(1)设p=.
①求甲答对一道题的概率；
②求甲、乙一共答对三道题的概率.
(2)求甲、乙一共答对三道题的概率的最小值.
（解析）精练（七十三） 事件的相互独立性、条件概率、全概率公式
1.(2025·廊坊模拟)若P(AB)=，P()=，P(B)=，则事件A与B的关系是 ( )
A.互斥 B.对立
C.相互独立 D.既互斥又相互独立
解析：选C ∵P(A)=1-P()=1-=，
∴P(AB)=P(A)P(B)=≠0，∴事件A与B相互独立，事件A与B不互斥，故不对立.故选C.
2.甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤5个项目中分别各自随机选择其中一项，记事件A：甲和乙选择的活动各不同，事件B：甲和乙恰有一人选择①，则P(B|A)等于 ( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题意知，n(A)==20，n(AB)==8，所以P(B|A)===.
3.某盏吊灯上并联着4个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.8，那么在这段时间内该吊灯上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是 ( )
A.0.819 2 B.0.972 8
C.0.974 4 D.0.998 4
解析：选B 4个都不能正常照明的概率为(1-0.8)4=0.001 6，只有1个能正常照明的概率为4×0.8×(1-0.8)3=0.025 6，所以至少有两个能正常照明的概率是1-0.001 6-0.025 6=0.972 8.
4.(2025·镇江模拟)[多选]对于随机事件A，B，若P(A)=，P(B)=，P(B|A)=，则 ( )
A.P(AB)= B.P(A|B)=
C.P(A∪B)= D.P(B)=
解析：选BCD 因为P(B|A)= P(AB)=P(A)P(B|A)=×=，故A错误；
由P(A|B)===，故B正确；
因为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-=，故C正确；P(B)=P(A)·P(B|A)+P()·P(B|) =×+·P(B|)，
所以P(B|)=.所以P(B)=P()·P(B|)=×=，故D正确.
5.(2025·哈尔滨模拟)第9届亚冬会即将在冰城哈尔滨召开，为了办好这一届盛会，组委会决定进行赛会志愿者招募.现有4名志愿者，通过培训后，拟安排在冰壶、短道速滑、高山滑雪三个项目进行志愿者服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，在甲被安排到冰壶项目的条件下，乙被安排到短道速滑项目的概率为 ( )
A. B.
C. D.
解析：选D 记“甲被安排到冰壶项目”为事件A，“乙被安排到短道速滑项目”为事件B，甲被安排到冰壶项目分为两类，甲一人被安排到冰壶项目的方法数为，两人被安排到冰壶项目的方法数为，所以P(A)===.甲被安排到冰壶项目且乙被安排到短道速滑项目的方法数为1+=5，所以P(AB)=，所以P(B|A)===.
6.(2025·广州模拟)有m(m≥3)个盲盒，其中有n(1≤nA.p1B.p1=p2
C.p1>p2
D.无法确定p1与p2的大小关系
解析：选C 设事件A为“最终中奖”，事件B为“一开始选中的有奖”，则P(B)=，在组织方打开无奖的盲盒后，若一开始选中的有奖，则剩余m-2个盲盒中有n-1个奖品，更换后P(A|B)=，若一开始选中的无奖，则剩余m-2个盲盒中有n个奖品，则更换后P(A|)=，故p1=P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|)P()=.由于风吹掉为随机事件，故所有m-1个盲盒中有n个奖品，且所有盲盒中有奖品的概率相等，p2=，因此==1+>1，故p1>p2.
7.(2025·南京模拟)如图，甲、乙做游戏，两人通过划拳(剪刀、石头、布)比赛决胜谁首先到达第3格，并规定从0格出发，每次划拳赢的一方往右前进一格，输的一方原地不动，平局时两人都往右前进一格.如果一方连续赢两次，那么他将额外获得右前进一格的奖励，除非已经到达第3格，当有任何一方到达第3格时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为 ( )
0 1 2 3
A. B.
C. D.
解析：选D 设事件“第i(i∈N*)次划拳甲赢”为Ai，事件“第i(i∈N*)次划拳平局”为Bi，事件“第i(i∈N*)次划拳甲输”为Ci，则P(Ai)=P(Bi)=P(Ci)=，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为P=2P(A1)P(B2)P(A3)+2P(B1)P(A2)P(A3)+P(B1)P(B2)P(B3)+2P(A1)P(B2)P(B3)+2P(B1)P(A2)P(B3)+2P(B1)P(B2)P(A3)+2P(C1)P(A2)P(A3)=2×××+2×××+××+2×××+2×××+2×××+2×××=.
8.(2022·全国乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p，则 ( )
A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
解析：选D 设棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率为P甲，在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率为P乙，在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率为P丙，由题意可知，P甲=2p1[p2(1-p3)+p3(1-p2)]=2p1p2+2p1p3-4p1p2p3，
P乙=2p2[p1(1-p3)+p3(1-p1)]=2p1p2+2p2p3-4p1p2p3，P丙=2p3[p1(1-p2)+p2(1-p1)]=2p1p3+2p2p3-4p1p2p3.所以P丙-P甲=2p2(p3-p1)>0，P丙-P乙=2p1(p3-p2)>0，所以P丙最大，故选D.
9.已知P(B)=，P(B|A)=，P(B|)=，则P(A)= .
解析：由P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)，得=P(A)×+(1-P(A))×，解得P(A)=.
答案：
10.(2025·南京模拟)甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，若目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为 .
解析：记事件A为“乙命中目标”，事件B为“目标至少被命中1次”，则P(B)=1-(1-0.6)×(1-0.5)=0.8，P(AB)=0.5×(1-0.6)+0.6×0.5=0.5，P(A|B)===0.625.
答案：0.625
11.(2025·武威模拟)某校高三(1)班和(2)班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人.现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三(1)班的概率是 .
解析：法一 因为抽到的参加数学兴趣社团的学生可能来自于高三(1)班和(2)班，设A=“抽到的学生来自高三(1)班”，B=“抽到的学生来自高三(2)班”，C=“抽到的是参加数学兴趣社团的学生”，则P(A)=，P(B)=，P(C|A)==，P(C|B)==，由全概率公式得P(C)=P(A)·P(C|A)+P(B)P(C|B)=×+×=，所以P(A|C)====.
法二 由题得参加数学兴趣社团的学生共有10+8=18人，由古典概型的概率公式，则他来自高三(1)班的概率为=.
答案：
12.(2025·桂林模拟)已知有A，B两个盒子，其中A盒中有3个黑球和3个白球，B盒中有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从A盒，乙从B盒各随机抽取一个球，若两球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入A盒中，若两球不同色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入B盒中.按上述方法重复操作两次后，A盒中有8个球的概率是 .
解析：若两次取球后，A盒中有8个球，则两次取球均为甲获胜，
第一次取球甲、乙都取到黑球，其概率为×=，
第一次取球后A盒中有4个黑球和3个白球，B盒中有2个黑球和2个白球，
第二次取到同色球的概率为×+×=，
此时A盒中有8个球的概率为×=；
若第一次取球甲、乙都取到白球，其概率为×=，
第一次取球后A盒中有3个黑球和4个白球，B盒中有3个黑球和1个白球，
第二次取到同色球的概率为×+×=，
此时A盒中有8个球的概率为×=.
所以A盒中有8个球的概率为+=.
答案：
13.(2025·武汉模拟)某中学篮球队根据以往比赛统计：甲球员能够胜任前锋、中锋、后卫三个位置，且出场概率分别为0.1，0.5，0.4.在甲球员出任前锋、中锋、后卫的条件下，篮球队输球的概率依次为0.2，0.2，0.7.
(1)当甲球员参加比赛时，求该篮球队某场比赛输球的概率；
(2)当甲球员参加比赛时，在该篮球队输了某场比赛的条件下，求甲球员在这一场出任中锋的概率；
(3)如果你是教练员，应用概率统计的有关知识该如何使用甲球员
解：(1)设A1表示“甲球员出任前锋”，A2表示“甲球员出任中锋”，A3表示“甲球员出任后卫”，则Ω=A1∪A2∪A3，设B表示“球队输掉某场比赛”，
则P(A1)=0.1，P(A2)=0.5，P(A3)=0.4，
P(B|A1)=P(B|A2)=0.2，P(B|A3)=0.7，
所以P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)
=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)
=0.1×0.2+0.5×0.2+0.4×0.7=0.4.
所以当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛输球的概率是0.4.
(2)由(1)知，球队输了某场比赛的条件下，甲球员在这一场出任中锋的概率
P(A2|B)====0.25.
(3)由(1)知，已知球队输了某场比赛的条件下，
甲球员在这场出任前锋的概率P(A1|B)===0.05；
甲球员在这场出任后卫的概率P(A3|B)===0.7；
由(2)知，甲球员在这一场出任中锋的概率P(A2|B)=0.25.
所以有P(A1|B)所以应该多让甲球员出任前锋来增加赢球概率.
14.某场知识答题活动的参赛规则如下：在规定时间内每位参赛选手对两道不同的题作答，每题只有一次作答机会，每道题是否答对相互独立，每位选手作答的题均不相同.已知甲答对第一道题的概率为p，答对第二道题的概率为1-p；乙答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为.甲、乙每次作答正确与否相互独立.
(1)设p=.
①求甲答对一道题的概率；
②求甲、乙一共答对三道题的概率.
(2)求甲、乙一共答对三道题的概率的最小值.
解：(1)①设“甲答对一道题”为事件A1，则P(A1)=×+×=，
则甲答对一道题的概率为.
②设“甲答对两道题”为事件A2，“乙答对一道题”为事件B1，“乙答对两道题”为事件B2，“甲、乙一共答对三道题”为事件C，则P(A2)=×=，
P(B1)=×+×=，P(B2)=×=，P(C)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=×+×=，故甲、乙一共答对三道题的概率为.
(2)由题知P(A1)=p2+(1-p)2=2p2-2p+1，P(A2)=p(1-p)=p-p2，
设“甲、乙一共答对三道题”为事件D，则P(D)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=(2p2-2p+1)×+(p-p2)×=p2-p+=+，
当p=时，甲、乙一共答对三道题的概率最小，且最小值为.
7 / 7
1.(2025·廊坊模拟)若P(AB)=，P()=，P(B)=，则事件A与B的关系是 ( )
A.互斥 B.对立
C.相互独立 D.既互斥又相互独立
2.甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤5个项目中分别各自随机选择其中一项，记事件A：甲和乙选择的活动各不同，事件B：甲和乙恰有一人选择①，则P(B|A)等于 ( )
A. B.
C. D.
3.某盏吊灯上并联着4个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.8，那么在这段时间内该吊灯上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是 ( )
A.0.819 2 B.0.972 8
C.0.974 4 D.0.998 4
4.(2025·镇江模拟)[多选]对于随机事件A，B，若P(A)=，P(B)=，P(B|A)=，则 ( )
A.P(AB)= B.P(A|B)=
C.P(A∪B)= D.P(B)=
5.(2025·哈尔滨模拟)第9届亚冬会即将在冰城哈尔滨召开，为了办好这一届盛会，组委会决定进行赛会志愿者招募.现有4名志愿者，通过培训后，拟安排在冰壶、短道速滑、高山滑雪三个项目进行志愿者服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，在甲被安排到冰壶项目的条件下，乙被安排到短道速滑项目的概率为 ( )
A. B.
C. D.
6.(2025·广州模拟)有m(m≥3)个盲盒，其中有n(1≤n
C.p1>p2
D.无法确定p1与p2的大小关系
7.(2025·南京模拟)如图，甲、乙做游戏，两人通过划拳(剪刀、石头、布)比赛决胜谁首先到达第3格，并规定从0格出发，每次划拳赢的一方往右前进一格，输的一方原地不动，平局时两人都往右前进一格.如果一方连续赢两次，那么他将额外获得右前进一格的奖励，除非已经到达第3格，当有任何一方到达第3格时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为 ( )
0 1 2 3
A. B.
C. D.
8.(2022·全国乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p，则 ( )
A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
9.已知P(B)=，P(B|A)=，P(B|)=，则P(A)= .
10.(2025·南京模拟)甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，若目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为 .
11.(2025·武威模拟)某校高三(1)班和(2)班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人.现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三(1)班的概率是 .
12.(2025·桂林模拟)已知有A，B两个盒子，其中A盒中有3个黑球和3个白球，B盒中有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从A盒，乙从B盒各随机抽取一个球，若两球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入A盒中，若两球不同色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入B盒中.按上述方法重复操作两次后，A盒中有8个球的概率是 .
13.(2025·武汉模拟)某中学篮球队根据以往比赛统计：甲球员能够胜任前锋、中锋、后卫三个位置，且出场概率分别为0.1，0.5，0.4.在甲球员出任前锋、中锋、后卫的条件下，篮球队输球的概率依次为0.2，0.2，0.7.
(1)当甲球员参加比赛时，求该篮球队某场比赛输球的概率；
(2)当甲球员参加比赛时，在该篮球队输了某场比赛的条件下，求甲球员在这一场出任中锋的概率；
(3)如果你是教练员，应用概率统计的有关知识该如何使用甲球员
14.某场知识答题活动的参赛规则如下：在规定时间内每位参赛选手对两道不同的题作答，每题只有一次作答机会，每道题是否答对相互独立，每位选手作答的题均不相同.已知甲答对第一道题的概率为p，答对第二道题的概率为1-p；乙答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为.甲、乙每次作答正确与否相互独立.
(1)设p=.
①求甲答对一道题的概率；
②求甲、乙一共答对三道题的概率.
(2)求甲、乙一共答对三道题的概率的最小值.
（解析）精练（七十三） 事件的相互独立性、条件概率、全概率公式
1.(2025·廊坊模拟)若P(AB)=，P()=，P(B)=，则事件A与B的关系是 ( )
A.互斥 B.对立
C.相互独立 D.既互斥又相互独立
解析：选C ∵P(A)=1-P()=1-=，
∴P(AB)=P(A)P(B)=≠0，∴事件A与B相互独立，事件A与B不互斥，故不对立.故选C.
2.甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤5个项目中分别各自随机选择其中一项，记事件A：甲和乙选择的活动各不同，事件B：甲和乙恰有一人选择①，则P(B|A)等于 ( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题意知，n(A)==20，n(AB)==8，所以P(B|A)===.
3.某盏吊灯上并联着4个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.8，那么在这段时间内该吊灯上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是 ( )
A.0.819 2 B.0.972 8
C.0.974 4 D.0.998 4
解析：选B 4个都不能正常照明的概率为(1-0.8)4=0.001 6，只有1个能正常照明的概率为4×0.8×(1-0.8)3=0.025 6，所以至少有两个能正常照明的概率是1-0.001 6-0.025 6=0.972 8.
4.(2025·镇江模拟)[多选]对于随机事件A，B，若P(A)=，P(B)=，P(B|A)=，则 ( )
A.P(AB)= B.P(A|B)=
C.P(A∪B)= D.P(B)=
解析：选BCD 因为P(B|A)= P(AB)=P(A)P(B|A)=×=，故A错误；
由P(A|B)===，故B正确；
因为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-=，故C正确；P(B)=P(A)·P(B|A)+P()·P(B|) =×+·P(B|)，
所以P(B|)=.所以P(B)=P()·P(B|)=×=，故D正确.
5.(2025·哈尔滨模拟)第9届亚冬会即将在冰城哈尔滨召开，为了办好这一届盛会，组委会决定进行赛会志愿者招募.现有4名志愿者，通过培训后，拟安排在冰壶、短道速滑、高山滑雪三个项目进行志愿者服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，在甲被安排到冰壶项目的条件下，乙被安排到短道速滑项目的概率为 ( )
A. B.
C. D.
解析：选D 记“甲被安排到冰壶项目”为事件A，“乙被安排到短道速滑项目”为事件B，甲被安排到冰壶项目分为两类，甲一人被安排到冰壶项目的方法数为，两人被安排到冰壶项目的方法数为，所以P(A)===.甲被安排到冰壶项目且乙被安排到短道速滑项目的方法数为1+=5，所以P(AB)=，所以P(B|A)===.
6.(2025·广州模拟)有m(m≥3)个盲盒，其中有n(1≤n
C.p1>p2
D.无法确定p1与p2的大小关系
解析：选C 设事件A为“最终中奖”，事件B为“一开始选中的有奖”，则P(B)=，在组织方打开无奖的盲盒后，若一开始选中的有奖，则剩余m-2个盲盒中有n-1个奖品，更换后P(A|B)=，若一开始选中的无奖，则剩余m-2个盲盒中有n个奖品，则更换后P(A|)=，故p1=P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|)P()=.由于风吹掉为随机事件，故所有m-1个盲盒中有n个奖品，且所有盲盒中有奖品的概率相等，p2=，因此==1+>1，故p1>p2.
7.(2025·南京模拟)如图，甲、乙做游戏，两人通过划拳(剪刀、石头、布)比赛决胜谁首先到达第3格，并规定从0格出发，每次划拳赢的一方往右前进一格，输的一方原地不动，平局时两人都往右前进一格.如果一方连续赢两次，那么他将额外获得右前进一格的奖励，除非已经到达第3格，当有任何一方到达第3格时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为 ( )
0 1 2 3
A. B.
C. D.
解析：选D 设事件“第i(i∈N*)次划拳甲赢”为Ai，事件“第i(i∈N*)次划拳平局”为Bi，事件“第i(i∈N*)次划拳甲输”为Ci，则P(Ai)=P(Bi)=P(Ci)=，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为P=2P(A1)P(B2)P(A3)+2P(B1)P(A2)P(A3)+P(B1)P(B2)P(B3)+2P(A1)P(B2)P(B3)+2P(B1)P(A2)P(B3)+2P(B1)P(B2)P(A3)+2P(C1)P(A2)P(A3)=2×××+2×××+××+2×××+2×××+2×××+2×××=.
8.(2022·全国乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p，则 ( )
A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
解析：选D 设棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率为P甲，在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率为P乙，在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率为P丙，由题意可知，P甲=2p1[p2(1-p3)+p3(1-p2)]=2p1p2+2p1p3-4p1p2p3，
P乙=2p2[p1(1-p3)+p3(1-p1)]=2p1p2+2p2p3-4p1p2p3，P丙=2p3[p1(1-p2)+p2(1-p1)]=2p1p3+2p2p3-4p1p2p3.所以P丙-P甲=2p2(p3-p1)>0，P丙-P乙=2p1(p3-p2)>0，所以P丙最大，故选D.
9.已知P(B)=，P(B|A)=，P(B|)=，则P(A)= .
解析：由P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)，得=P(A)×+(1-P(A))×，解得P(A)=.
答案：
10.(2025·南京模拟)甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，若目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为 .
解析：记事件A为“乙命中目标”，事件B为“目标至少被命中1次”，则P(B)=1-(1-0.6)×(1-0.5)=0.8，P(AB)=0.5×(1-0.6)+0.6×0.5=0.5，P(A|B)===0.625.
答案：0.625
11.(2025·武威模拟)某校高三(1)班和(2)班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人.现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三(1)班的概率是 .
解析：法一 因为抽到的参加数学兴趣社团的学生可能来自于高三(1)班和(2)班，设A=“抽到的学生来自高三(1)班”，B=“抽到的学生来自高三(2)班”，C=“抽到的是参加数学兴趣社团的学生”，则P(A)=，P(B)=，P(C|A)==，P(C|B)==，由全概率公式得P(C)=P(A)·P(C|A)+P(B)P(C|B)=×+×=，所以P(A|C)====.
法二 由题得参加数学兴趣社团的学生共有10+8=18人，由古典概型的概率公式，则他来自高三(1)班的概率为=.
答案：
12.(2025·桂林模拟)已知有A，B两个盒子，其中A盒中有3个黑球和3个白球，B盒中有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从A盒，乙从B盒各随机抽取一个球，若两球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入A盒中，若两球不同色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入B盒中.按上述方法重复操作两次后，A盒中有8个球的概率是 .
解析：若两次取球后，A盒中有8个球，则两次取球均为甲获胜，
第一次取球甲、乙都取到黑球，其概率为×=，
第一次取球后A盒中有4个黑球和3个白球，B盒中有2个黑球和2个白球，
第二次取到同色球的概率为×+×=，
此时A盒中有8个球的概率为×=；
若第一次取球甲、乙都取到白球，其概率为×=，
第一次取球后A盒中有3个黑球和4个白球，B盒中有3个黑球和1个白球，
第二次取到同色球的概率为×+×=，
此时A盒中有8个球的概率为×=.
所以A盒中有8个球的概率为+=.
答案：
13.(2025·武汉模拟)某中学篮球队根据以往比赛统计：甲球员能够胜任前锋、中锋、后卫三个位置，且出场概率分别为0.1，0.5，0.4.在甲球员出任前锋、中锋、后卫的条件下，篮球队输球的概率依次为0.2，0.2，0.7.
(1)当甲球员参加比赛时，求该篮球队某场比赛输球的概率；
(2)当甲球员参加比赛时，在该篮球队输了某场比赛的条件下，求甲球员在这一场出任中锋的概率；
(3)如果你是教练员，应用概率统计的有关知识该如何使用甲球员
解：(1)设A1表示“甲球员出任前锋”，A2表示“甲球员出任中锋”，A3表示“甲球员出任后卫”，则Ω=A1∪A2∪A3，设B表示“球队输掉某场比赛”，
则P(A1)=0.1，P(A2)=0.5，P(A3)=0.4，
P(B|A1)=P(B|A2)=0.2，P(B|A3)=0.7，
所以P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)
=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)
=0.1×0.2+0.5×0.2+0.4×0.7=0.4.
所以当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛输球的概率是0.4.
(2)由(1)知，球队输了某场比赛的条件下，甲球员在这一场出任中锋的概率
P(A2|B)====0.25.
(3)由(1)知，已知球队输了某场比赛的条件下，
甲球员在这场出任前锋的概率P(A1|B)===0.05；
甲球员在这场出任后卫的概率P(A3|B)===0.7；
由(2)知，甲球员在这一场出任中锋的概率P(A2|B)=0.25.
所以有P(A1|B)
14.某场知识答题活动的参赛规则如下：在规定时间内每位参赛选手对两道不同的题作答，每题只有一次作答机会，每道题是否答对相互独立，每位选手作答的题均不相同.已知甲答对第一道题的概率为p，答对第二道题的概率为1-p；乙答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为.甲、乙每次作答正确与否相互独立.
(1)设p=.
①求甲答对一道题的概率；
②求甲、乙一共答对三道题的概率.
(2)求甲、乙一共答对三道题的概率的最小值.
解：(1)①设“甲答对一道题”为事件A1，则P(A1)=×+×=，
则甲答对一道题的概率为.
②设“甲答对两道题”为事件A2，“乙答对一道题”为事件B1，“乙答对两道题”为事件B2，“甲、乙一共答对三道题”为事件C，则P(A2)=×=，
P(B1)=×+×=，P(B2)=×=，P(C)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=×+×=，故甲、乙一共答对三道题的概率为.
(2)由题知P(A1)=p2+(1-p)2=2p2-2p+1，P(A2)=p(1-p)=p-p2，
设“甲、乙一共答对三道题”为事件D，则P(D)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=(2p2-2p+1)×+(p-p2)×=p2-p+=+，
当p=时，甲、乙一共答对三道题的概率最小，且最小值为.
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