2026届高三数学一轮复习-2年高考1年模拟-（七十二）古典概型及概率的基本性质（含解析）

“2年高考1年模拟”课时精练（七十二） 古典概型及概率的基本性质
1.[多选]下列试验是古典概型的是 (　　)
A.在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率
B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率
C.向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率
D.老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言，甲被选中的概率
2.[多选]若A，B为互斥事件，则下列结论不正确的是 (　　)
A.P(A)+P(B)<1
B.P(A)+P(B)>1
C.P(A)+P(B)=1
D.P(A+B)=P(A)+P(B)
3.如果事件A与B是互斥事件，且事件A∪B发生的概率是0.64，事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为 (　　)
A.0.64 B.0.36
C.0.16 D.0.84
4.已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件A有6个样本点，事件B有4个样本点，事件A+B有8个样本点，则P(AB)= (　　)
A. B.
C. D.
5.从甲、乙等6名志愿者中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 (　　)
A. B.
C. D.
6.(2025·石家庄模拟)在空间直角坐标系Oxyz中，平面Oxy、平面Oxz、平面Ozx把空间分成了八个部分.在空间直角坐标系Oxyz中，确定若干个点，点的横坐标、纵坐标、竖坐标均取自集合{-3，4，7}，这样的点共有m个，从这m个点中任选2个，则这2个点不在同一个部分的概率为 (　　)
A. B.
C. D.
7.为了调查某厂2 000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10，15)，[15，20)，[20，25)，[25，30)，[30，35]，频率分布直方图如图所示.工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是 (　　)
A. B.
C. D.
8.(2025·衡阳一模)某城市随机选取n个人参加活动，假设该城市人口年龄分布均匀，要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于50%，则至少需要选取 (　　)
A.3人 B.4人
C.5人 D.6人
9.高三年级某8位同学的体重分别为45，50，55，60，70，75，76，80(单位：kg)，现在从中任选3位同学去参加拔河，则选中的同学中最大的体重恰好为这组数据的第70百分位数的概率是　　　 .
所以选中的同学中最大的体重恰好为这组数据的第70百分位数的概率是P==.
10.(2025·潍坊模拟)已知四个函数：①y=-ex，②y=-ln x，③y=x，④y=.从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为　　　　　.
11.(2025·无锡模拟)已知一正五棱锥，其顶点与各侧棱中点合计11个点.从这11个点中任选4个点，这四个点不共面的概率为　　　　　.
12.(2025·遂宁模拟)箱子里有3双不同的手套，分别用A1，A2，B1，B2，C1，C2表示六只手套，从中随机拿出2只，记事件A={拿出的手套不能配对}，事件B={拿出的都是同一只手上的手套}.
(1)写出该试验的样本空间；
(2)说出事件A、事件B的关系及A，B发生的概率.
13.(2025·日照模拟)已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是.
(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
(2)设置游戏规则如下：从盒中有放回地取球两次，每次任取一球记下颜色.若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜，从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由.
14.某学校学生会积极组织学生学习《中共中央关于党的百年奋斗重大成就和历史经验的决议》，组织线上考试后，随机抽取了若干人线上考试的成绩(满分60分)，得到如图的频率分布直方图：
已知，成绩在[48，52)内的人数为10.
(1)求样本容量n；
(2)用样本估计总体的思想，估计该校学生的平均分数(每一组取组中点值近似代替本组考试成绩)；
(3)按照分层随机抽样从成绩在[36，40)，[56，60]两个组内共抽取8人组成交流互助小组，在这个小组中任选2人发言，求至少有1人的成绩在[56，60]内的概率.
（解析）精练（七十二） 古典概型及概率的基本性质
1.[多选]下列试验是古典概型的是 (　　)
A.在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率
B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率
C.向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率
D.老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言，甲被选中的概率
解析：选BD　A项，在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率，不符合等可能性；B项，从中任取一球的事件有限，且任取一球为白球或黑球的概率是等可能的；C项，向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率，不符合有限性；D项，老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人的事件有限，甲、乙、丙被选中的概率是等可能的.
2.[多选]若A，B为互斥事件，则下列结论不正确的是 (　　)
A.P(A)+P(B)<1
B.P(A)+P(B)>1
C.P(A)+P(B)=1
D.P(A+B)=P(A)+P(B)
解析：选ABC　A，B为对立事件时，P(A)+P(B)=1，A错误；互斥事件的概率之和不可能超过1，B错误；事件A，B互斥而不对立时，P(A)+P(B)<1，C错误；A，B为互斥事件时，P(A+B)=P(A)+P(B)，D正确.
3.如果事件A与B是互斥事件，且事件A∪B发生的概率是0.64，事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为 (　　)
A.0.64 B.0.36
C.0.16 D.0.84
解析：选C　设P(A)=x，则P(B)=3x，因为事件A与B是互斥事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=x+3x=0.64，解得x=0.16.故选C.
4.已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件A有6个样本点，事件B有4个样本点，事件A+B有8个样本点，则P(AB)= (　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　根据概率公式计算可得P(A)==，P(B)==，P==.由概率的加法公式可知P=P(A)+P(B)-P(AB)，代入计算可得P(AB)=.
5.从甲、乙等6名志愿者中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 (　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　从甲、乙等6名志愿者中随机选3名参加社区服务工作一共有=20种选法，其中甲、乙都入选的有=4种选法，所以甲、乙都入选的概率P==.
6.(2025·石家庄模拟)在空间直角坐标系Oxyz中，平面Oxy、平面Oxz、平面Ozx把空间分成了八个部分.在空间直角坐标系Oxyz中，确定若干个点，点的横坐标、纵坐标、竖坐标均取自集合{-3，4，7}，这样的点共有m个，从这m个点中任选2个，则这2个点不在同一个部分的概率为 (　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由题意得m=33=27，从这m个点中任选2个，共有种选法，在坐标系同一部分的点的横坐标、纵坐标、竖坐标的正负均相同，所以八个部分中的点的个数分别为23，22，22，22，2，2，2，1，从这27个点中任选2个，若这2个点在同一个部分，概率为P1===，所以这2个点不在同一个部分的概率为P=1-P1=1-=.
7.为了调查某厂2 000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10，15)，[15，20)，[20，25)，[25，30)，[30，35]，频率分布直方图如图所示.工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是 (　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　产品数量为[10，15)的人数有20×0.02×5=2，产品数量为[15，20)的人数有20×0.04×5=4，从这6人中随机地选取2位共有=15种不同情况，其中这2位工人不在同一组有=8种情况，故这2位工人不在同一组的概率P=.
8.(2025·衡阳一模)某城市随机选取n个人参加活动，假设该城市人口年龄分布均匀，要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于50%，则至少需要选取 (　　)
A.3人 B.4人
C.5人 D.6人
解析：选C　已知12个生肖，按先后顺序选择n个人，每次选中的人有12种等概率可能，由分步乘法计数原理共有12n种情况.若选取n个人中生肖均不相同，有(n≤12)种可能，故选取n个人中生肖均不相同的概率P(n)=，要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于50%，即P(n)<50%，由于=>1，即P(n)随n的增大而减小，P(4)===>50%，P(5)==×=<50%，故至少要选5个人.
9.高三年级某8位同学的体重分别为45，50，55，60，70，75，76，80(单位：kg)，现在从中任选3位同学去参加拔河，则选中的同学中最大的体重恰好为这组数据的第70百分位数的概率是　　　 .
解析：因为8×0.7=5.6，则这组数据的第70百分位数为第6位数75，
所以选中的同学中最大的体重恰好为这组数据的第70百分位数的概率是P==.
答案：
10.(2025·潍坊模拟)已知四个函数：①y=-ex，②y=-ln x，③y=x，④y=.从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为　　　　　.
解析：作出函数图象，由图可得③与①有一个公共点，②和④有一个公共点，②和③有一个公共点，其余不符合题意，所以事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为=.
答案：
11.(2025·无锡模拟)已知一正五棱锥，其顶点与各侧棱中点合计11个点.从这11个点中任选4个点，这四个点不共面的概率为　　　　　.
解析：从11个点中取4个点的取法为=330种，
只要求出共面的就可以了，共面的分四种情况：
①四个点都在正五棱锥的某一个面上，每个面5个点，有种，6个面共有6=30情况；
②四个点在两条侧棱上但不在侧面内的情况有=25种，
③四个点均在各侧棱的中点时有=5种情况，
④其中两点所在直线与另两点所在直线平行(如图中A'D'∥GO)，但这四个点不在六面体的某一个面上也不在两条侧棱所在的平面内有10种.
因此取4个不共面的点的不同取法共有330-30-25-5-10=260种，所以这四个点不共面的概率为=.
答案：
12.(2025·遂宁模拟)箱子里有3双不同的手套，分别用A1，A2，B1，B2，C1，C2表示六只手套，从中随机拿出2只，记事件A={拿出的手套不能配对}，事件B={拿出的都是同一只手上的手套}.
(1)写出该试验的样本空间；
(2)说出事件A、事件B的关系及A，B发生的概率.
解：(1)依题意，样本空间为Ω={A1A2，A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2}.
(2)事件A={A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}，
事件B={A1B1，A1C1，A2B2，A2C2，B1C1，B2C2}，
显然n(Ω)=15，n(A)=12，n(B)=6，
所以B A，事件A发生的概率P(A)==，事件B发生的概率P(B)==.
13.(2025·日照模拟)已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是.
(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
(2)设置游戏规则如下：从盒中有放回地取球两次，每次任取一球记下颜色.若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜，从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由.
解：(1)设盒中红球、黄球、蓝球的个数分别为x，y，z，从中任取一球，“得到红球或黄球”为事件A，“得到黄球或蓝球”为事件B，则P(A)=，P(B)=，
由已知得解得所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1.
(2)由(1)知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，
用r1，r2表示红球，用a表示黄球，用b表示蓝球，
m表示第一次取出的球，n表示第二次取出的球，(m，n)表示试验的样本点，则样本空间Ω={(r1，r1)，(r1，r2)，(r1，a)，(r1，b)，(r2，r1)，(r2，r2)，(r2，a)，(r2，b)，(a，r1)，(a，r2)，(a，a)，(a，b)，(b，r1)，(b，r2)，(b，a)，(b，b)}.
可得n(Ω)=16，
记“取到两个球颜色相同”为事件M，“取到两个球颜色不相同”为事件N，则n(M)=6，所以P(M)==，
所以P(N)=1-P(M)=1-=，
因为>，所以此游戏不公平.
14.某学校学生会积极组织学生学习《中共中央关于党的百年奋斗重大成就和历史经验的决议》，组织线上考试后，随机抽取了若干人线上考试的成绩(满分60分)，得到如图的频率分布直方图：
已知，成绩在[48，52)内的人数为10.
(1)求样本容量n；
(2)用样本估计总体的思想，估计该校学生的平均分数(每一组取组中点值近似代替本组考试成绩)；
(3)按照分层随机抽样从成绩在[36，40)，[56，60]两个组内共抽取8人组成交流互助小组，在这个小组中任选2人发言，求至少有1人的成绩在[56，60]内的概率.
解：(1)根据题意，得n·(52-48)×0.100=10，
解得n=25.
(2)该校学生的平均分数为4×(38×0.015+42×0.025+46×0.05+50×0.1+54×0.035+58×0.025)=49.04(分).
(3)根据题意，按照分层随机抽样从成绩在[36，40)，[56，60]两个组内共抽取8人，
因为两组人数之比为=，则从成绩在[36，40)中抽取3人，从成绩在[56，60]中抽取5人，在这个小组中任选2人发言，至少有1人的成绩在[56，60]内的概率为P=1-=1-=.
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