2026届高三数学一轮复习-2年高考1年模拟-（七十）二项式定理（含解析）

“2年高考1年模拟”课时精练（七十） 二项式定理
1.二项式展开式的常数项为 (　　)
A.-160 B.60
C.120 D.240
2.若(3x-5)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a7(x-1)7，则ai= (　　)
A.257 B.129
C.-65 D.-33
3.若的展开式中共有n个有理项，则n的值为 (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
4.若a>1，则的展开式中x4的系数的取值范围为 (　　)
A.(192，+∞) B.(-∞，192)
C.(-192，+∞) D.(-∞，-192)
5.(2025·镇江模拟)32 024的个位数是 (　　)
A.1 B.3
C.6 D.9
6.设a>0，已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，且展开式中所有项的系数和为256，则中x2的系数为 (　　)
A.0 B.2
C.4 D.8
7.一组数据按照从小到大的顺序排列为1，2，3，4，5，8，记这组数据的上四分位数(第75百分位数)为n，则(2+x2)展开式中的常数项为 (　　)
A.12 B.-8
C.8 D.10
8.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m(m>0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a=b(modm).若a=·2+·22+…+·218，a=b(mod10)，则b的值可以是 (　　)
A.2 018 B.2 020
C.2 022 D.2 024
9.[多选]在(1-2x3)(-a)5的展开式中，各项系数的和为1，则 (　　)
A.a=3
B.展开式中的常数项为-32
C.展开式中x4的系数为160
D.展开式中无理项的系数之和为-242
10.[多选]已知f(x)=(2x-3)n(n∈N*)展开式的二项式系数和为512，f(x)=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+an(x-1)n，则下列说法正确的是 (　　)
A.a1+a2+…+an=1
B.a1+2a2+3a3+…+nan=18
C.f(6)被8整除的余数为1
D.|a0|+|a1|+…+|an|=39
11.若(n∈N*)的展开式中含有x2项，则n的值可以是　　　　(写出满足条件的一个n值即可).
12.若二项式展开式中的第5项是常数项，则自然数n的值为　　　　.
13.已知在(ax+1)n的展开式中，第3项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，且x3的系数为80，则a=　　　　.
14.已知n∈Z，且3≤n≤6，若的展开式中存在常数项，则展开式中x-4的系数为　　　　.
（解析）精练（七十） 二项式定理
1.二项式展开式的常数项为 (　　)
A.-160 B.60
C.120 D.240
解析：选B　展开式的通项为Tk+1=(2x)6-k=·26-k·(-1)k·，令6-k=0得k=4，所以展开式的常数项为×22×(-1)4=60.
2.若(3x-5)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a7(x-1)7，则ai= (　　)
A.257 B.129
C.-65 D.-33
解析：选B　令x=2，则(3×2-5)7=a0+a1+a2+…+a7=1，令x=1，则(3×1-5)7=a0=-27，所以ai=1-(-27)=129.
3.若的展开式中共有n个有理项，则n的值为 (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
解析：选C　因为展开式的通项为Tr+1=·=·，r=0，1，…，6，当且仅当r=0，3，6时，为整数，所以T1，T4，T7为有理项.
4.若a>1，则的展开式中x4的系数的取值范围为 (　　)
A.(192，+∞) B.(-∞，192)
C.(-192，+∞) D.(-∞，-192)
解析：选D　的展开式中x4的系数为×25×(-a)=-192a，因为a>1，所以-192a<-192.
5.(2025·镇江模拟)32 024的个位数是 (　　)
A.1 B.3
C.6 D.9
解析：选A　因为32 024=91 012=(10-1)1 012=×101 012-×101 011+…+×102-×101+×100，而×101 012-×101 011+…+×102-×101是10的倍数，所以32 024的个位数是×100=1.
6.设a>0，已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，且展开式中所有项的系数和为256，则中x2的系数为 (　　)
A.0 B.2
C.4 D.8
解析：选C　因为的展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以展开式一共有9项，即n=8，令x=1，得展开式中所有项的系数和为(1+a)8=256，所以a=1，中x2项的取法为1个x2和1个2，所以x2的系数为×2=4.
7.一组数据按照从小到大的顺序排列为1，2，3，4，5，8，记这组数据的上四分位数(第75百分位数)为n，则(2+x2)展开式中的常数项为 (　　)
A.12 B.-8
C.8 D.10
解析：选A　因为6×75%=4.5，故取数据从小到大第5个数，所以n=5.则(2+x2)=2+x2，又中常数项为1，的项为×13×=，故展开式中的常数项为2×1+x2×=12.
8.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m(m>0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a=b(modm).若a=·2+·22+…+·218，a=b(mod10)，则b的值可以是 (　　)
A.2 018 B.2 020
C.2 022 D.2 024
解析：选A　因为a=(1+2)18-=318-1=99-1=(10-1)9-1=·109-·108+…+·101--1=10(·108-·107+…+)-2，所以a被10除得的余数为8，而2 018被10除得的余数是8.
9.[多选]在(1-2x3)(-a)5的展开式中，各项系数的和为1，则 (　　)
A.a=3
B.展开式中的常数项为-32
C.展开式中x4的系数为160
D.展开式中无理项的系数之和为-242
解析：选BC　根据题意，令x=1，得(1-2x3)(-a)5的展开式中各项系数和为-(1-a)5=1，则a=2，A错误；则(1-2x3)(-a)5=(1-2x3)·(-2)5，又(-2)5的展开式的通项为Tk+1=(-2)k，k=0，1，…，5，所以展开式中的常数项为1×(-2)5=-32，B正确；含x4的项为-2x3·(-2)3x=160x4，其系数为160，C正确；展开式中无理项的系数之和为(1-2)[(-2)0+(-2)2+(-2)4]=-(1+40+80)=-121，D错误.
10.[多选]已知f(x)=(2x-3)n(n∈N*)展开式的二项式系数和为512，f(x)=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+an(x-1)n，则下列说法正确的是 (　　)
A.a1+a2+…+an=1
B.a1+2a2+3a3+…+nan=18
C.f(6)被8整除的余数为1
D.|a0|+|a1|+…+|an|=39
解析：选BCD　由已知有2n=++…+=512，故n=9，f(x)=(2x-3)9.所以(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9.对于A，取x=1得-1=a0，取x=2得1=a0+a1+…+a9，所以a1+a2+…+a9=1-(-1)=2，A错误；对于B，对(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9求导得18(2x-3)8=a1+2a2(x-1)+3a3(x-1)2+…+9a9(x-1)8，取x=2得18=a1+2a2+3a3+…+9a9，B正确；对于C，f(6)=99=(8+1)9=·89+·88+…+·81+·80，最后一项即为余数1，C正确；对于D，由ak=·2k·(-1)9-k(k=0，1，…，9)，得|a0|+|a1|+…+|a9|=-a0+a1-a2+…+a9.在(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9中取x=0得-39=a0-a1+a2-…-a9，所以|a0|+|a1|+…+|a9|=-a0+a1-a2+…+a9=-(-39)=39，D正确.
11.若(n∈N*)的展开式中含有x2项，则n的值可以是　　　　(写出满足条件的一个n值即可).
解析：的展开式的第r+1项为Tr+1··=(-1)r··.当=2时，n=3r+4.故可取r=1，此时n=7.
答案：7(答案不唯一)
12.若二项式展开式中的第5项是常数项，则自然数n的值为　　　　.
解析：二项式展开式的通项为Tr+1=
=(0≤r≤n，r∈N)，其第5项为T5=，因为二项式展开式中的第5项是常数项，所以=0，解得n=12.
答案：12
13.已知在(ax+1)n的展开式中，第3项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，且x3的系数为80，则a=　　　　.
解析：二项式(ax+1)n的展开式的通项为Tk+1=(ax)n-k1k=an-kxn-k，k=0，1，2，…，n，所以第3项的二项式系数为，第4项的二项式系数为，因为第3项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，所以=，解得n=5，所以在(ax+1)5的展开式中x3的系数为a3=80，解得a=2.
答案：2
14.已知n∈Z，且3≤n≤6，若的展开式中存在常数项，则展开式中x-4的系数为　　　　.
解析：展开式的通项为Tr+1=(-1)rxn-r·x-3r=(-1)rxn-4r，3≤n≤6.因为存在常数项，所以n=4r，故只有当r=1，n=4时满足题意，即求展开式中含x-4的项的系数，令 4-4r=-4，即r=2，所以展开式中含x-4的项为(-1)2x-4=6x-4，所以展开式中x-4的系数为6.
答案：6
4 / 4