2026届高三数学一轮复习-2年高考1年模拟-（七）函数的概念及其表示（含解析）

“2年高考1年模拟”课时精练（七） 函数的概念及其表示
1.函数y=+log2(2-x)的定义域是 (　　)
A.(-∞，2) B.[1，2)
C.[1，2] D.[1，+∞)
2.若对任意的x，y∈R，函数f(x)满足=f(x)+f(y)，则f(4)= (　　)
A.6 B.4
C.2 D.0
3.下列函数中，与函数y=x+2是同一个函数的是 (　　)
A.y=()2 B.y=+2
C.y=+2 D.y=+2
4.函数f(x)=的值域是 (　　)
A.(-∞，1) 　　　　　　　B.(1，+∞)
C.(-∞，-2)∪(-2，+∞) 　　　 　　　　D.(-∞，1)∪(1，+∞)
5.若函数f(2x-1)的定义域为[-3，1]，则y=的定义域为 (　　)
A.{1} B.
C. D.
6.已知函数f(x)=且f(m)=-12，则f(6-m)= (　　)
A.-1 B.-3
C.-5 D.-7
7.已知函数f(x)=则不等式f(2-x)>f(x)的解集为 (　　)
A.(-∞，-1) B.(-∞，1)
C.(-1，+∞) D.(1，+∞)
8.已知f(x)=满足f(a)A.(-∞，-2)∪(0，2) B.(-∞，-2)∪(2，+∞)
C.(-2，0)∪(0，2) D.(-2，0)∪(2，+∞)
9.已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，若f(1)=1，则f(25)= (　　)
A.25 B.125
C.625 D.15 625
10.设函数f(x)=则f(f(-2))=　　 　.
11.函数f(x)=的定义域为R，请写出满足题意的一个实数a的值　　　　.
12.写出满足f(x-y)=f(x)+f(y)-2xy的函数的解析式：　　　　.
13.若函数f(x)=的值域为R，则实数a的取值范围是　　　　.
综上所述，实数a的取值范围是(1，2).
14.已知函数f(x)的解析式为f(x)=
(1)求f，f，f(-1)的值；
(2)画出这个函数的图象；
(3)求f(x)的最大值.
15.分别求满足下列条件的f(x)的解析式：
(1)已知f(x+1)=x2-3x+2，求f(x)；
(2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))=4x+8，求f(x)；
(3)已知f=-1，求f(x).
（解析）精练（七） 函数的概念及其表示
1.函数y=+log2(2-x)的定义域是 (　　)
A.(-∞，2) B.[1，2)
C.[1，2] D.[1，+∞)
解析：选A　由题意得2-x>0，解得x<2.
2.若对任意的x，y∈R，函数f(x)满足=f(x)+f(y)，则f(4)= (　　)
A.6 B.4
C.2 D.0
解析：选D　令y=0，则由=f(x)+f(y)，得f(x)=-2f(0)，所以f(x)为常数函数，令x=y=0，可得f(0)=0，故f(4)=0.
3.下列函数中，与函数y=x+2是同一个函数的是 (　　)
A.y=()2 B.y=+2
C.y=+2 D.y=+2
解析：选B　y=x+2的定义域为R.y=()2的定义域为[-2，+∞)，与y=x+2的定义域不同，不是同一函数；y=+2=x+2的定义域为R，与y=x+2的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；y=+2的定义域为{x|x≠0}，与y=x+2的定义域不同，不是同一函数；y=+2=|x|+2=与y=x+2的对应关系不同，不是同一函数.故选B.
4.函数f(x)=的值域是 (　　)
A.(-∞，1) 　　　　　　　B.(1，+∞)
C.(-∞，-2)∪(-2，+∞) 　　　 　　　　D.(-∞，1)∪(1，+∞)
解析：选D　f(x)===1-.∵≠0，∴1-≠1.从而可知函数f(x)=的值域为(-∞，1)∪(1，+∞).
5.若函数f(2x-1)的定义域为[-3，1]，则y=的定义域为 (　　)
A.{1} B.
C. D.
解析：选D　由题意可知-3≤x≤1，所以-7≤2x-1≤1，要使函数y=有意义，则解得16.已知函数f(x)=且f(m)=-12，则f(6-m)= (　　)
A.-1 B.-3
C.-5 D.-7
解析：选D　由题意知，当m≤1时，f(m)=2m+1-8=-12，得2m+1=-4，又2m+1>0，所以方程无解；当m>1时，f(m)=4lo(m+1)=-12，得lo(m+1)=-3，即m+1=8，解得m=7，所以f(6-m)=f(-1)=2-1+1-8=-7.
7.已知函数f(x)=则不等式f(2-x)>f(x)的解集为 (　　)
A.(-∞，-1) B.(-∞，1)
C.(-1，+∞) D.(1，+∞)
解析：选B　当x≥0时，y=21+x单调递增，当x<0时，y=-21-x单调递增，且在分界点处-21-0<21+0，所以函数f(x)在定义域上单调递增，所以f(2-x)>f(x) 2-x>x，得x<1，所以不等式的解集为(-∞，1).
8.已知f(x)=满足f(a)A.(-∞，-2)∪(0，2) B.(-∞，-2)∪(2，+∞)
C.(-2，0)∪(0，2) D.(-2，0)∪(2，+∞)
解析：选D　当a<0时，f(a)=a2+2a，f(-a)=-a2-2a，所以f(a)0时，f(a)=-a2+2a，f(-a)=a2-2a，所以f(a)0，解得a>2.所以a的取值范围是(-2，0)∪(2，+∞).
9.已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，若f(1)=1，则f(25)= (　　)
A.25 B.125
C.625 D.15 625
解析：选C　法一　由题意取x=n(n∈N)，y=1，可得f(n+1)=f(n)+f(1)+2n=f(n-1)+2f(1)+2(n-1)+2n=f(n-2)+3f(1)+2(n-2)+2(n-1)+2n=(n+1)f(1)+2(1+2+…+n)=(n+1)f(1)+n(n+1)，即f(n)=nf(1)+n(n-1)=n+n(n-1)=n2，则f(25)=625.
法二　令g(x)=f(x)-x2，则g(x+y)=f(x+y)-(x+y)2=f(x)+f(y)+2xy-(x+y)2=f(x)+f(y)-x2-y2=g(x)+g(y)，所以g(n)=g(n-1)+g(1)=…=ng(1)=n[f(1)-12]=0，即g(n)=f(n)-n2=0，所以f(n)=n2，则f(25)=625.
法三　由f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy可构造满足条件的函数f(x)=x2，可以快速得到f(25)=625.
10.设函数f(x)=则f(f(-2))=　　 　.
解析：∵f(-2)=3×22=12，∴f(f(-2))=f(12)=12-5=7.
答案：7
11.函数f(x)=的定义域为R，请写出满足题意的一个实数a的值　　　　.
解析：因为f(x)=的定义域为R，所以x2-a≥0在R上恒成立，即a≤x2，由于x2≥0在R上恒成立，故实数a的取值范围为.
答案：-1(答案不唯一)
12.写出满足f(x-y)=f(x)+f(y)-2xy的函数的解析式：　　　　.
解析：在f(x-y)=f(x)+f(y)-2xy中，令x=y=0，得f(0)=0；令y=x，得f(x-x)=f(x)+f(x)-2x2=0，故f(x)+f(x)=2x2，得f(x)=x2.
答案：f(x)=x2
13.若函数f(x)=的值域为R，则实数a的取值范围是　　　　.
解析：若a≤0，当x6-3a≥6，当x>a时，f(x)=4-x2≤4，故f(x)的值域不是R；若a>0，当x6-3a，当x>a时，f(x)=4-x2<4-a2，由f(x)的值域为R，得解得1综上所述，实数a的取值范围是(1，2).
答案：(1，2)
14.已知函数f(x)的解析式为f(x)=
(1)求f，f，f(-1)的值；
(2)画出这个函数的图象；
(3)求f(x)的最大值.
解：(1)∵>1，∴f=-2×+8=5.
∵0<<1，∴f=+5=.
∵-1<0，∴f(-1)=-3+5=2.
(2)函数f(x)的图象如图.
在函数f(x)=3x+5的图象上截取x≤0的部分；
在函数f(x)=x+5的图象上截取0在函数f(x)=-2x+8的图象上截取x>1的部分.
图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象.
(3)由函数图象可知，当x=1时，f(x)取最大值6.
15.分别求满足下列条件的f(x)的解析式：
(1)已知f(x+1)=x2-3x+2，求f(x)；
(2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))=4x+8，求f(x)；
(3)已知f=-1，求f(x).
解：(1)法一：配凑法　∵f(x+1)=x2-3x+2=(x+1)2-5x+1=(x+1)2-5(x+1)+6，
∴f(x)=x2-5x+6.
法二：换元法　令t=x+1，则x=t-1，∴f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6，
即f(x)=x2-5x+6.
(2)由函数f(x)是一次函数，
可设f(x)=ax+b(a≠0)，
则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b.
又f(f(x))=4x+8，∴a2x+ab+b=4x+8，
则解得或
∴f(x)=2x+或f(x)=-2x-8.
(3)f=-1=-2，令t=+1，t≠1，∴f(t)=t2-2t(t≠1)，即函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2x(x≠1).
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