2026届高三数学一轮复习-2年高考1年模拟-（六十一）求值与证明问题（含解析）

“2年高考1年模拟”课时精练（六十一） 求值与证明问题
1.设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与C交于A，B两点，|AB|=16.
(1)求p的值；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.
2.已知双曲线C：x2-=1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点.
(1)求·的最小值；
(2)若直线l为圆O：x2+y2=2上动点Q(m，n)(mn≠0)处的切线，且与双曲线C交于不同的两点A，B，求证：△ABO为直角三角形.
3.已知椭圆C：+=1(a>b>0)经过点M，F为椭圆C的右焦点，O为坐标原点，△OFM的面积为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点P(4，0)作一条斜率不为0的直线与椭圆C相交于A，B两点(A在B，P之间)，直线BF与椭圆C的另一个交点为D，求证：点A，D关于x轴对称.
4.已知椭圆E：+=1(a>b>0)的左顶点为A，右顶点为B，满足|AB|=4，且椭圆E的离心率为.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知点T在椭圆E的内部，直线AT和直线BT分别与椭圆E交于另外的点C和点D，若△CDT的面积为，求t的值.
（解析）精练（六十一） 求值与证明问题
1.设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与C交于A，B两点，|AB|=16.
(1)求p的值；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.
解：(1)由题意知F，直线l的方程为y=x+，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组消去x得
y2-3py+=0，
则Δ=9p2-4×>0，y1+y2=3p.
因为|AB|=y1+y2+p=4p，
所以4p=16，解得p=4.
(2)由(1)知l：y=x+2，y1+y2=12，设线段AB的中点为D，则D(4，6)，线段AB的中垂线方程为y=-x+10.
设圆心为P(x0，y0)，易知点P(x0，y0)在直线y=-x+10上，
即
消去y0得+8x0-48=0，
解得或
当时，
圆心坐标为(4，6)，半径为|6+2|=8，
所以圆的方程为(x-4)2+(y-6)2=64；
当时，圆心坐标为(-12，22)，半径为|22+2|=24，
所以圆的方程为(x+12)2+(y-22)2=576，
所以所求圆的方程为(x-4)2+(y-6)2=64或(x+12)2+(y-22)2=576.
2.已知双曲线C：x2-=1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点.
(1)求·的最小值；
(2)若直线l为圆O：x2+y2=2上动点Q(m，n)(mn≠0)处的切线，且与双曲线C交于不同的两点A，B，求证：△ABO为直角三角形.
解：(1)根据题意，设P(x，y)(x≥1)，
易得A1(-1，0)，F2(，0)，
·=(-1-x，-y)·(-x，-y)=x2-(-1)x-+y2，
又x2-=1，故y2=2(x2-1)，于是·=3x2-(-1)x--2(x≥1)，
当x=1时，取到最小值2-2.
(2)证明：∵Q(m，n)(mn≠0)在x2+y2=2上，
∴圆O在点Q(m，n)处的切线方程为y-n=-(x-m)，化简得mx+ny=2.
由
得(3m2-4)x2-4mx+8-2m2=0，
∵切线与双曲线交于不同的两点A，B，
且0且Δ=16m2-4(3m2-4)(8-2m2)>0，
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则x1+x2=，x1x2= .
∵cos∠AOB=，且·=x1x2+y1y2=x1x2+[4-2m(x1+x2)+m2x1x2]=+=-=0，∴∠AOB=90°.
即△ABO为直角三角形.
3.已知椭圆C：+=1(a>b>0)经过点M，F为椭圆C的右焦点，O为坐标原点，△OFM的面积为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点P(4，0)作一条斜率不为0的直线与椭圆C相交于A，B两点(A在B，P之间)，直线BF与椭圆C的另一个交点为D，求证：点A，D关于x轴对称.
解：(1)因为△OFM的面积为，则有×c×=，解得c=1，
又因为M在椭圆C上，则
解得所以椭圆C的标准方程为+=1.
(2)证明：如图，作直线AF，根据椭圆的对称性，欲证A，D关于x轴对称，
只需证kFA=-kFD，即证kFA+kFB=0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x=my+4，
由
消去x得(3m2+4)y2+24my+36=0，
所以y1+y2=，y1y2=，
则kFA+kFB=+==，
因为y1x2+y2x1-(y1+y2)=2my1y2+3(y1+y2)=2m×+3×=0，
所以kFA+kFB=0，即A，D关于x轴对称.
4.已知椭圆E：+=1(a>b>0)的左顶点为A，右顶点为B，满足|AB|=4，且椭圆E的离心率为.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知点T在椭圆E的内部，直线AT和直线BT分别与椭圆E交于另外的点C和点D，若△CDT的面积为，求t的值.
解：(1)由题意，|AB|=2a=4，得a=2.
离心率e==，得b=1，
所以椭圆E的标准方程为+y2=1.
(2)设C(xC，yC)，D(xD，yD)，
点A(-2，0)，直线AT的方程为y=·(x+2)，即x=2(t+2)y-2.
与椭圆方程联立得，(t2+4t+5)y2-2(t+2)y=0，解得yC=.
点B(2，0)，直线BT的方程为x=2(t-2)y+2.
与椭圆方程联立得，(t2-4t+5)y2+2(t-2)y=0，解得yD=.
三角形面积比==·=·
=(2yC-1)(2yD-1).
又因为S△ABT=×4×=1，
所以S△CDT=(2yC-1)(2yD-1)
==，
由题意，=，
整理得t4-6t2+8=0，解得t2=2或t2=4.
又由点T在椭圆内部，故t2=2，即t=±.
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