2026届高三数学一轮复习-2年高考1年模拟-（六十三）定点与定直线问题（含解析）

“2年高考1年模拟”课时精练（六十三） 定点与定直线问题
1.已知点F为抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点，点E(x0，2)在抛物线C上，且|EF|=4，直线l：y=x+1交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l'：y=x+m(m≠1)交抛物线C于M，N两点，直线AM与BN交于点T，求证：点T在定直线上.
2.已知椭圆C：+=1(a>b>0)有两个顶点在直线l：x+y-b=0上，C的中心到l的距离为.
(1)求C的方程；
(2)设l1，l2是经过C下顶点B的两条直线，l1与C相交于点M，l2与圆x2+y2=1相交于点N，若l1的斜率不等于0，l2斜率等于l1斜率的2倍，求证：直线MN经过定点.
3.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为(1，0)，其中一条渐近线的倾斜角为.
(1)求C的标准方程；
(2)过点T(2，0)作直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，在线段AB上取一点E满足|AE|·|TB|=|EB|·|AT|，求证：点E在一条定直线上.
4.已知圆E：(x+1)2+y2=8，F(1，0)为圆E内一个定点，P是圆E上任意一点，线段FP的垂直平分线l交EP于点Q.
(1)当点P在圆E上运动时，求点Q的轨迹C的方程；
(2)已知圆O：x2+y2=在C的内部，A，B是C上不同的两点，且直线AB与圆O相切.求证：以AB为直径的圆过定点.
（解析）精练（六十三） 定点与定直线问题
1.已知点F为抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点，点E(x0，2)在抛物线C上，且|EF|=4，直线l：y=x+1交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l'：y=x+m(m≠1)交抛物线C于M，N两点，直线AM与BN交于点T，求证：点T在定直线上.
解：(1)由x2=2py(p>0)可知，抛物线C的准线为y=-，
∴点E(x0，2)到准线的距离为2+，根据抛物线定义知|EF|=2+=4，p=4，
∴抛物线C的方程为x2=8y.
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)，T(x0，y0)，=λ(λ≠1).
∵AB∥MN，∴=λ，
由=8y1，=8y2，得-=8(y1-y2)，即x1+x2==4，
同理x3+x4=4，
由=λ得x3-x0=λ(x1-x0)　①，
由=λ得x4-x0=λ(x2-x0)　②，
①②两式相加得x3+x4-2x0=λ(x1+x2-2x0)，
即(x0-2)(λ-1)=0，
∵λ≠1，∴x0=2，∴点T在定直线x=2上.
2.已知椭圆C：+=1(a>b>0)有两个顶点在直线l：x+y-b=0上，C的中心到l的距离为.
(1)求C的方程；
(2)设l1，l2是经过C下顶点B的两条直线，l1与C相交于点M，l2与圆x2+y2=1相交于点N，若l1的斜率不等于0，l2斜率等于l1斜率的2倍，求证：直线MN经过定点.
解：(1)由题设知l经过点(a，0)，(0，b)，可得a=b，由=，可得b=1或b=-1(舍去)，从而a=，因此C的方程为+y2=1.
(2)证明：设l1，l2的斜率分别为k，2k(k≠0)，由(1)可知B(0，-1)，可得l1：y=kx-1，l2：y=2kx-1.
将y=kx-1代入+y2=1可得+(kx-1)2=1，解得xM=或xM=0(舍去)，
所以yM=kxM-1=-1=，所以M，
将y=2kx-1代入x2+y2=1可得x2+(2kx-1)2=1，解得xN=或xN=0(舍去)，
所以yN=2kxN-1=-1=，
所以N.
所以直线MN的斜率为=-，
因此直线MN方程为y-=-，
化简得y=-x+1，于是直线MN经过定点(0，1).
3.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为(1，0)，其中一条渐近线的倾斜角为.
(1)求C的标准方程；
(2)过点T(2，0)作直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，在线段AB上取一点E满足|AE|·|TB|=|EB|·|AT|，求证：点E在一条定直线上.
解：(1)根据题意，设双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)，
由题知a=1，=tan=，可得b=.
所以双曲线方程为x2-=1.
(2)证明：易知T(2，0)为双曲线的右焦点，如图所示.
由题知直线l斜率存在，
根据对称性，不妨设斜率为k(0≤k<)，故直线的方程为y=k(x-2)，
代入双曲线方程得(3-k2)x2+4k2x-(4k2+3)=0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系有x1+x2=，x1x2=-，且x1≤-1，1≤x2<2，
设E(x0，y0)，点E在线段AB上，所以x1由|AE|·|TB|=|EB|·|AT|可得，
(x0-x1)·(2-x2)=(x2-x0)·(2-x1)，
化简得4x0-(2+x0)(x1+x2)+2x1x2=0，
代入x1+x2和x1x2并化简可得x0=，
即存在点E满足条件，并且在定直线x=上.
4.已知圆E：(x+1)2+y2=8，F(1，0)为圆E内一个定点，P是圆E上任意一点，线段FP的垂直平分线l交EP于点Q.
(1)当点P在圆E上运动时，求点Q的轨迹C的方程；
(2)已知圆O：x2+y2=在C的内部，A，B是C上不同的两点，且直线AB与圆O相切.求证：以AB为直径的圆过定点.
解：(1)因为点Q是线段FP的垂直平分线上的一点，
所以|QF|=|QP|，
因为|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=2>|EF|=2，
所以点Q的轨迹C是以E，F为焦点的椭圆，其中a=，c=1，b2=a2-c2=1，
所以点Q的轨迹C的方程为+y2=1.
(2)证明：①当直线AB垂直于x轴时，不妨设A，B，
此时·=0，所以OA⊥OB，故以AB为直径的圆过点O.
②当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB方程为y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为直线AB与圆O相切，所以点O到直线AB的距离为d==，即3m2-2k2-2=0.
由得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0，
所以x1+x2=，x1x2=，
所以·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)·(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
=(1+k2)+km+m2
=
==0，
所以OA⊥OB，故以AB为直径的圆过点O.
综上所述，以AB为直径的圆过定点O.
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