2026届高三数学一轮复习-2年高考1年模拟-（六十七）成对数据的统计分析（含解析）

“2年高考1年模拟”课时精练（六十七） 成对数据的统计分析
1.(2025·南昌模拟)如图对两组数据x，y和v，u分别进行回归分析，得到散点图如图，并求得经验回归方程分别是y=b1x+a1和u=b2v+a2，并对变量x，y进行线性相关检验，得到样本相关系数r1，对变量v，u进行线性相关检验，得到样本相关系数r2，则下列判断正确的是 (　　)
A.b1>0 B.b2<0
C.|r1|<|r2| D.r1+r2<0
2.(2025·马鞍山模拟)某植物的生长高度y(单位：厘米)和栽培时间x(单位：周)的统计数据如下，采用最小二乘估计得到的经验回归方程为=5x+，若x=3时，残差y-=1，则n= (　　)
x 1 2 3 4 5
y 9 16 n 24 30
A.21 B.20
C.19 D.18
3.以模型y=cekx(c>0)去拟合一组数据时，设z=ln y，将其变换后得到线性回归方程z=2x-1，则c= (　　)
A. B.e-2
C.e-1 D.e
4.(2025·重庆模拟)[多选]两个具有相关关系的变量x，y的一组数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，求得样本中心点为()，回归直线方程为=x+，决定系数为R2.若将数据调整为(x1，y1+1)，(x2，y2+1)，…，(xn，yn+1)，求得新的样本中心点为('，')，回归直线方程为'='x+'，决定系数为R'2，则以下说法正确的是 (　　)
附：==-，R2=1-.
A.=' B.='
C.<' D.R25.(2025·青岛模拟)现在很多人喜欢“自助游”，某调查机构为了了解赞成“自助游”是否与性别有关，在黄山旅游节期间，随机抽取了100人，得如下所示的列联表：
赞成“自助游” 不赞成“自助游” 合计
男性 30 15 45
女性 45 10 55
合计 75 25 100
附：
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参照公式，得到的正确结论是 (　　)
A.有99.5%以上的把握认为“赞成‘自助游’与性别无关”
B.有99.5%以上的把握认为“赞成‘自助游’与性别有关”
C.在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“赞成‘自助游’与性别无关”
D.在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“赞成‘自助游’与性别有关”
6.(2025·广州模拟)[多选]中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措.在中欧班列带动下，某外贸企业出口额逐年提升，以下为该企业近6个月的出口额情况统计，若已求得y关于x的经验回归方程为=28x+，则 (　　)
月份编号x 1 2 3 4 5 6
出口额y/万元 16 25 43 77 102 159
A.y与x成正相关
B.样本数据y的第40百分位数为34
C.当x=3时，残差的绝对值最小
D.用模型y=enx+m描述y与x的关系更合适
7.(2025·西安校联考)某数学兴趣小组对具有线性相关关系的两个变量x和y进行了统计分析，得到了下表：
x 4 6 8 10 12
y a 2 b c 6
并由表中数据求得y关于x的经验回归方程为=0.65x-1.8，若a，b，c成等差数列，则b=　　　　.
8.在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如下表(已知学生的数学和物理成绩具有线性相关关系)：
学生的编号i 1 2 3 4 5
数学成绩x 80 75 70 65 60
物理成绩y 70 66 68 64 62
现已知其经验回归方程为=0.36x+，则根据此经验回归方程估计数学得90分的同学的物理成绩为　　　　　分.(四舍五入取整数)
9.(2025·济南模拟)第五代移动通信技术(简称5G)是最新一代蜂窝移动通信技术，是实现人机物互联的网络基础设施.某市工信部门为了解本市5G手机用户对5G网络的满意情况，随机抽取了本市200名5G手机用户进行了调查，所得情况统计如下：
满意情况 年龄 合计
50岁以下 50岁或50岁以上
满意 95
不满意 25
合计 120 200
(1)完成上述2×2列联表，并估计本市5G手机用户对5G网络满意的概率；
(2)依据小概率值α=0.05的独立性检验，分析本市5G手机用户对5G网络满意与年龄在50岁以下是否有关.
满意情况 年龄 合计
50岁以下 50岁或50岁以上
满意 95 55 150
不满意 25 25 50
合计 120 80 200
10.为了解温度对物质A参与的某种化学反应的影响，研究小组在不同温度条件下做了四次实验，实验中测得的温度x(单位：℃)与A的转化率y% 的数据如下表所示：
x 45 55 65 75
y 23 38 65 74
(1)求y与x的样本相关系数(结果精确到0.01)；
(2)该研究小组随后又进行了一次该实验，其中A的起始量为50 g，反应结束时还剩余2.5 g，若已知y关于x的线性回归方程为=x-58，估计这次实验是在多少摄氏度的温度条件下进行的.
11.某校为了弘扬中国诗词文化，现要求全校学生参加诗词大赛，随机抽取了100名学生的测试成绩(单位：分)，将数据分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]并整理得到如图的频率分布直方图.
(1)估计该校学生的测试成绩的中位数及平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)若规定成绩不低于80分的记为“诗词达人”，已知被抽取的男生中的“诗词达人”人数占被抽取男生总数的一半，且本次调查得出“在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否为诗词达人与性别有关”的结论，则被调查的100名学生中男生至少有多少人
12.某企业生产一种热销产品，产品日产量为x(x≥1)吨，日销售额为y万元(每日生产的产品当日可销售完毕)，且产品价格随着产量变化而有所变化.经过一段时间的产销，随机收集了某5天的日产量xi(i=1，2，…，5)(单位：吨)和日销售额yi(i=1，2，…，5)(单位：万元)的统计数据，并对这5组数据做了初步处理，得到统计数据如下表：
xi yi ui (xi-)2 (yi-)2 (ui-)2 (xi-)·(yi-) (ui-)·(yi-)
15 73 4.8 10 161.2 1.6 39 15.9
其中，ui=ln xi(i=1，2，…，5)，分别为数据xi，yi，ui(i=1，2，…，5)的平均数.
(1)请从样本相关系数的角度，判断=x+与=ln x+哪一个模型更适合刻画日销售额y关于日产量x的关系
(2)根据(1)的结果解决下列问题：
①建立y关于x的经验回归方程(斜率的结果四舍五入保留整数)；
②如果日产量x(单位：吨)与日生产总成本c(x)(单位：万元)满足关系c(x)=x+3，根据①中建立的经验回归方程估计日产量x为何值时，日利润r(x)最大
（解析）精练（六十七） 成对数据的统计分析
1.(2025·南昌模拟)如图对两组数据x，y和v，u分别进行回归分析，得到散点图如图，并求得经验回归方程分别是y=b1x+a1和u=b2v+a2，并对变量x，y进行线性相关检验，得到样本相关系数r1，对变量v，u进行线性相关检验，得到样本相关系数r2，则下列判断正确的是 (　　)
A.b1>0 B.b2<0
C.|r1|<|r2| D.r1+r2<0
解析：选D　由散点图可知，x与y负相关，v与u正相关，则b1<0，b2>0，故A、B错误；且图形中点(x，y)比(v，u)更加集中在一条直线附近，则|r1|>|r2|，又r1<0，r2>0，得r1+r2<0，故C错误，D正确.
2.(2025·马鞍山模拟)某植物的生长高度y(单位：厘米)和栽培时间x(单位：周)的统计数据如下，采用最小二乘估计得到的经验回归方程为=5x+，若x=3时，残差y-=1，则n= (　　)
x 1 2 3 4 5
y 9 16 n 24 30
A.21 B.20
C.19 D.18
解析：选A　=×(1+2+3+4+5)=3，=×(9+16+n+24+30)=，又因为经验回归方程为=5x+，所以=15+，又残差y-等于1，所以n-15-=1，解得n=21.
3.以模型y=cekx(c>0)去拟合一组数据时，设z=ln y，将其变换后得到线性回归方程z=2x-1，则c= (　　)
A. B.e-2
C.e-1 D.e
解析：选C　因为y=cekx(c>0)，所以ln y=ln(cekx)=ln c+ln ekx=ln c+kx，令z=ln y，所以z=ln c+kx=2x-1，即c=e-1.故选C.
4.(2025·重庆模拟)[多选]两个具有相关关系的变量x，y的一组数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，求得样本中心点为()，回归直线方程为=x+，决定系数为R2.若将数据调整为(x1，y1+1)，(x2，y2+1)，…，(xn，yn+1)，求得新的样本中心点为('，')，回归直线方程为'='x+'，决定系数为R'2，则以下说法正确的是 (　　)
附：==-，R2=1-.
A.=' B.='
C.<' D.R2解析：选BC　'=×(y1+1+y2+1+y3+1+…+yn+1)=×(y1+y2+y3+…+yn)+1=+1，A错误；的计算中，xi数据不变，yi-=(yi+1)-'也不变，所以不变，B正确；'='-=+1-=+1>，C正确；由于R2=1-，yi变成了yi+1，'=+1，'='xi+'=xi++1=+1，从而yi-，yi-都不变，所以R2=R'2，D错误.故选BC.
5.(2025·青岛模拟)现在很多人喜欢“自助游”，某调查机构为了了解赞成“自助游”是否与性别有关，在黄山旅游节期间，随机抽取了100人，得如下所示的列联表：
赞成“自助游” 不赞成“自助游” 合计
男性 30 15 45
女性 45 10 55
合计 75 25 100
附：
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参照公式，得到的正确结论是 (　　)
A.有99.5%以上的把握认为“赞成‘自助游’与性别无关”
B.有99.5%以上的把握认为“赞成‘自助游’与性别有关”
C.在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“赞成‘自助游’与性别无关”
D.在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“赞成‘自助游’与性别有关”
解析：选D　由2×2列联表中的数据得χ2=≈3.030，∵2.706<3.030<3.841，∴在犯错误的概率不超过0.1的前提下，可以认为“赞成‘自助游’与性别有关”.
6.(2025·广州模拟)[多选]中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措.在中欧班列带动下，某外贸企业出口额逐年提升，以下为该企业近6个月的出口额情况统计，若已求得y关于x的经验回归方程为=28x+，则 (　　)
月份编号x 1 2 3 4 5 6
出口额y/万元 16 25 43 77 102 159
A.y与x成正相关
B.样本数据y的第40百分位数为34
C.当x=3时，残差的绝对值最小
D.用模型y=enx+m描述y与x的关系更合适
解析：选AD　由题中表格数据可知，当x的值增加时，y的相应值也呈现增加的趋势，又由经验回归方程y=28x+中，x项的系数28>0，也可以看出y与x成正相关，故A正确；样本数据y的6个取值从小到大依次是16，25，43，77，102，159，由6×40%=2.4，则第40百分位数为第3个数据43，故B错误；=×(1+2+3+4+5+6)==×(16+25+43+77+102+159)=，将()代入=28x+，得=-，即=28x-，令x=3，得=84-，所以相应残差的绝对值为=，令x=2，得=56-，所以相应残差的绝对值为=<，故C错误；如图作出散点图，
可以看到相较“样本点分布在某一条直线模型y=bx+a的周围”，“样本点分布在某一条指数函数y=enx+m曲线的周围”这样的描述更贴切，所以用模型y=enx+m描述y与x的关系更合适些，故D正确.
7.(2025·西安校联考)某数学兴趣小组对具有线性相关关系的两个变量x和y进行了统计分析，得到了下表：
x 4 6 8 10 12
y a 2 b c 6
并由表中数据求得y关于x的经验回归方程为=0.65x-1.8，若a，b，c成等差数列，则b=　　　　.
解析：由题意得=×(4+6+8+10+12)=8，代入经验回归方程=0.65x-1.8得=3.4，则×(a+b+c+2+6)=3.4，所以a+b+c=9，又2b=a+c，所以b=3.
答案：3
8.在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如下表(已知学生的数学和物理成绩具有线性相关关系)：
学生的编号i 1 2 3 4 5
数学成绩x 80 75 70 65 60
物理成绩y 70 66 68 64 62
现已知其经验回归方程为=0.36x+，则根据此经验回归方程估计数学得90分的同学的物理成绩为　　　　　分.(四舍五入取整数)
解析：=×(60+65+70+75+80)=70，=×(62+64+66+68+70)=66，所以66=0.36×70+，解得=40.8，即经验回归方程为=0.36x+40.8.当x=90时，=0.36×90+40.8=73.2≈73(分).
答案：73
9.(2025·济南模拟)第五代移动通信技术(简称5G)是最新一代蜂窝移动通信技术，是实现人机物互联的网络基础设施.某市工信部门为了解本市5G手机用户对5G网络的满意情况，随机抽取了本市200名5G手机用户进行了调查，所得情况统计如下：
满意情况 年龄 合计
50岁以下 50岁或50岁以上
满意 95
不满意 25
合计 120 200
(1)完成上述2×2列联表，并估计本市5G手机用户对5G网络满意的概率；
(2)依据小概率值α=0.05的独立性检验，分析本市5G手机用户对5G网络满意与年龄在50岁以下是否有关.
解：(1)2×2列联表如下：
满意情况 年龄 合计
50岁以下 50岁或50岁以上
满意 95 55 150
不满意 25 25 50
合计 120 80 200
所以本市5G手机用户对5G网络满意的概率约为=.
(2)零假设为H0：本市5G手机用户对5G网络满意与年龄在50岁以下无关.
根据列联表中的数据，计算可得χ2=≈2.778<3.841=x0.05.
根据小概率值α=0.05的χ2独立性检验原则，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为本市5G手机用户对5G网络满意与年龄在50岁以下无关.
10.为了解温度对物质A参与的某种化学反应的影响，研究小组在不同温度条件下做了四次实验，实验中测得的温度x(单位：℃)与A的转化率y% 的数据如下表所示：
x 45 55 65 75
y 23 38 65 74
(1)求y与x的样本相关系数(结果精确到0.01)；
(2)该研究小组随后又进行了一次该实验，其中A的起始量为50 g，反应结束时还剩余2.5 g，若已知y关于x的线性回归方程为=x-58，估计这次实验是在多少摄氏度的温度条件下进行的.
参考数据： xiyi=12 900，=14 900，=11 674，≈91.5.
参考公式：样本相关系数r=.
解：(1)==60，
==50，
所以r=
=
==≈≈0.98.
(2)根据线性回归方程的性质，=-58，即50=60-58，得=1.8.
由条件可知=×100=95，
令1.8x-58=95，得x=85，因此估计这次实验是在85 ℃的温度条件下进行的.
11.某校为了弘扬中国诗词文化，现要求全校学生参加诗词大赛，随机抽取了100名学生的测试成绩(单位：分)，将数据分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]并整理得到如图的频率分布直方图.
(1)估计该校学生的测试成绩的中位数及平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)若规定成绩不低于80分的记为“诗词达人”，已知被抽取的男生中的“诗词达人”人数占被抽取男生总数的一半，且本次调查得出“在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否为诗词达人与性别有关”的结论，则被调查的100名学生中男生至少有多少人
解：(1)由频率分布直方图得10(2a+3a+7a+6a+2a)=1，解得a=0.005.
设中位数和平均数分别为x0，，
因为前三个矩形的面积和为10(2a+3a+7a)=0.6，
前两个矩形的面积和为10(2a+3a)=0.25，故易知x0∈[70，80)，
所以0.25+(x0-70)×7a=0.5，解得x0=.
所以=10(55×2a+65×3a+75×7a+85×6a+95×2a)=76.5.
(2)由题意知，诗词达人总数为10(2a+6a)×100=40，
设样本中男生人数为m，则列联表如下：
诗词达人 非诗词达人 合计
男生 m
女生 40- 60- 100-m
合计 40 60 100
所以χ2==≥3.841，解得m≥47.97.
又易知m为偶数，所以m的最小值为48，
即被调查的100名学生中男生至少有48人.
12.某企业生产一种热销产品，产品日产量为x(x≥1)吨，日销售额为y万元(每日生产的产品当日可销售完毕)，且产品价格随着产量变化而有所变化.经过一段时间的产销，随机收集了某5天的日产量xi(i=1，2，…，5)(单位：吨)和日销售额yi(i=1，2，…，5)(单位：万元)的统计数据，并对这5组数据做了初步处理，得到统计数据如下表：
xi yi ui (xi-)2 (yi-)2 (ui-)2 (xi-)·(yi-) (ui-)·(yi-)
15 73 4.8 10 161.2 1.6 39 15.9
其中，ui=ln xi(i=1，2，…，5)，分别为数据xi，yi，ui(i=1，2，…，5)的平均数.
(1)请从样本相关系数的角度，判断=x+与=ln x+哪一个模型更适合刻画日销售额y关于日产量x的关系
(2)根据(1)的结果解决下列问题：
①建立y关于x的经验回归方程(斜率的结果四舍五入保留整数)；
②如果日产量x(单位：吨)与日生产总成本c(x)(单位：万元)满足关系c(x)=x+3，根据①中建立的经验回归方程估计日产量x为何值时，日利润r(x)最大
参考数据：≈40，≈16，≈25.
解：(1)设=x+模型的样本相关系数为r1，=ln x+模型的样本相关系数为r2，
所以r1==≈0.975，
r2==≈0.994，
由于0(2)①由(1)知y关于x的经验回归方程为=ln x+，由题可得===9.937 5≈10，=-=-10×=5，
所以=10 ln x+5.
②由题可得r(x)=10 ln x+5-x-3=10 ln x-x+2(x≥1)，
所以r'(x)=-=，令r'(x)==0，解得x=20.
当1≤x<20时，r'(x)>0，当x>20时，r'(x)<0，则r(x)的单调递增区间为(1，20)，单调递减区间为(20，+∞)，所以当x=20时，日利润r(x)最大.
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