2026届高三数学一轮复习-2年高考1年模拟-（六十六）用样本估计总体（含解析）

“2年高考1年模拟”课时精练（六十六） 用样本估计总体
1.为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 (　　)
A.x1，x2，…，xn的平均数
B.x1，x2，…，xn的标准差
C.x1，x2，…，xn的最大值
D.x1，x2，…，xn的中位数
2.(2025·牡丹江模拟)[多选]若2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的平均数为3，方差为4，则x1，x2，…，xn的 (　　)
A.平均数为1 B.方差为1
C.平均数为 D.方差为2
3.(2025·资阳模拟)某产品的标准质量是50克/袋，抽取8袋该产品，称出各袋的质量(单位：克)如下：48，49，50，50，50，50，51，52.这8袋产品中，质量在以平均数为中心，1倍标准差范围内的有 (　　)
A.4袋 B.6袋
C.7袋 D.8袋
4.(2025·十堰模拟)为了解某地高三学生的期末数学考试成绩，研究人员随机抽取了100名学生对其进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，则这100名学生期末数学成绩的中位数约为 (　　)
A.92.5 B.95
C.97.5 D.100
5.(2025·合肥模拟)[多选]为了解中学生参与课外阅读的情况，某校一兴趣小组持续跟踪调查了该校某班全体同学10周课外阅读的时长，经过整理得到男生、女生这10周课外阅读的平均时长(单位：h)的数据如下表：
女生 7.0 7.3 7.5 7.8 8.4 8.6 8.9 9.0 9.2 9.3
男生 6.1 6.5 6.9 7.5 7.7 8.0 8.1 8.2 8.6 9.4
以下判断正确的是 (　　)
A.该班男生每周课外阅读的平均时长的平均值为7.85
B.该班女生每周课外阅读的平均时长的80%分位数是9.0
C.该班女生每周课外阅读的平均时长波动性比男生小
D.由该班估计该校男生每周课外阅读的平均时长不低于8 h的概率为0.5
6.(2025·周口模拟)如图，图(1)和图(2)均为“单峰”频率分布直方图，图(1)的中位数和平均数分别为a，b，图(2)的中位数和平均数分别为c，d，则 (　　)
A.a>b B.cC.a+db+c
7.(2025·沧州模拟)[多选]某市高三年级第二次统考结束后，李老师为了了解本班学生的本次数学考试情况，将全班50名学生的数学成绩绘制成频率分布直方图.已知该班级学生的数学成绩全部介于65分到145分之间(满分150分)，将数学成绩按如下方式分成八组：第一组[65，75)，第二组[75，85)，…，第八组[135，145].按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分如图，则下列结论正确的是 (　　)
A.第七组的频率为0.008
B.该班级数学成绩的中位数的估计值为101分
C.该班级数学成绩的平均分的估计值大于95分
D.该班级数学成绩的标准差的估计值大于6
8.[多选]某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制(满分100分)，统计满意度绘制成如下频率分布直方图，图中b=3a.则下列结论正确的是 (　　)
A.a=0.01
B.满意度计分的众数为80分
C.满意度计分的75%分位数是85分
D.满意度计分的平均分是76.5分
9.(2025·秦皇岛模拟)五名学生每人投篮15次，统计他们每人投中的次数，得到五个数据，若这五个数据的中位数是6，唯一的众数是7，则他们投中次数的总和最大是　　　　.
10.(2025·云南师大附中模拟)某班级为了了解本班学生的身高情况，根据男、女学生的比例，采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生5名和女生3名，测量他们的身高所得的数据(单位：cm)如下表所示，根据表中数据，可计算出该校高中学生身高的总样本平均数=　　　　；总样本方差s2=　　　　.
性别 人数 平均数 方差
男生 5 172 18
女生 3 164 30
11.(2025·汉中模拟)粮食安全是国家安全的重要基础.从某实验农场种植的甲、乙两种玉米苗中各随机抽取5株，分别测量它们的株高如下(单位：cm)：
甲：29，31，30，32，28；
乙：27，44，40，31，43.
请根据平均数和方差的相关知识，解答下列问题.
(1)哪种玉米苗长得高
(2)哪种玉米苗长得齐
12.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用比例分配的分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)根据频率分布直方图估计分数的样本数据的70%分位数；
(2)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中女生的人数.
13.某电子产品制造企业为了提升生产质量，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1 000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表(单位：件).
质量 指标值 [25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65，75) [75，85) [85，95)
产品 60 100 160 300 200 100 80
(1)估计这组样本的质量指标值的平均数和方差s2(同一组中的数据用该组区间中点值作代表)；
(2)设[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示不小于x的最小整数，s精确到个位，an=5·，bn=5·，n∈N*，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在[a1，b1]内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有95%落在[a2，b2]内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的
（解析）精练（六十六） 用样本估计总体
1.为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 (　　)
A.x1，x2，…，xn的平均数
B.x1，x2，…，xn的标准差
C.x1，x2，…，xn的最大值
D.x1，x2，…，xn的中位数
解析：选B　评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差.
2.(2025·牡丹江模拟)[多选]若2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的平均数为3，方差为4，则x1，x2，…，xn的 (　　)
A.平均数为1 B.方差为1
C.平均数为 D.方差为2
解析：选AB　若x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的平均数为2+1，方差为4s2，令2+1=3，4s2=4，解得=1，s2=1.故选AB.
3.(2025·资阳模拟)某产品的标准质量是50克/袋，抽取8袋该产品，称出各袋的质量(单位：克)如下：48，49，50，50，50，50，51，52.这8袋产品中，质量在以平均数为中心，1倍标准差范围内的有 (　　)
A.4袋 B.6袋
C.7袋 D.8袋
解析：选B　这8袋产品的平均质量=×(48+49+50+50+50+50+51+52)=50，方差s2=×[(48-50)2+(49-50)2+4×(50-50)2+(51-50)2+(52-50)2]=1.25，标准差s=.质量在以平均数为中心，1倍标准差范围内，即在(50-，50+)内的产品有6袋.
4.(2025·十堰模拟)为了解某地高三学生的期末数学考试成绩，研究人员随机抽取了100名学生对其进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，则这100名学生期末数学成绩的中位数约为 (　　)
A.92.5 B.95
C.97.5 D.100
解析：选B　因为(0.006+0.014)×20=0.4<0.5，(0.006+0.014+0.02)×20=0.8>0.5，所以这100名学生期末数学成绩的中位数m∈[90，110)，则(m-90)×0.02+0.4=0.5，得m=95.故选B.
5.(2025·合肥模拟)[多选]为了解中学生参与课外阅读的情况，某校一兴趣小组持续跟踪调查了该校某班全体同学10周课外阅读的时长，经过整理得到男生、女生这10周课外阅读的平均时长(单位：h)的数据如下表：
女生 7.0 7.3 7.5 7.8 8.4 8.6 8.9 9.0 9.2 9.3
男生 6.1 6.5 6.9 7.5 7.7 8.0 8.1 8.2 8.6 9.4
以下判断正确的是 (　　)
A.该班男生每周课外阅读的平均时长的平均值为7.85
B.该班女生每周课外阅读的平均时长的80%分位数是9.0
C.该班女生每周课外阅读的平均时长波动性比男生小
D.由该班估计该校男生每周课外阅读的平均时长不低于8 h的概率为0.5
解析：选CD　由题表可知，该班男生每周课外阅读的平均时长的平均值为×(6.1+6.5+6.9+7.5+7.7+8.0+8.1+8.2+8.6+9.4)=7.7，故A错误；因为10×80%=8，则该班女生每周课外阅读的平均时长的80%分位数是=9.1，故B错误；由题表可知，该班女生每周课外阅读的平均时长的极差为9.3-7.0=2.3，该班男生每周课外阅读的平均时长的极差为9.4-6.1=3.3，所以该班女生每周课外阅读的平均时长波动性比男生小，故C正确；由题表可知，估计该校男生每周课外阅读的平均时长不低于8 h的概率为=0.5，故D正确.故选CD.
6.(2025·周口模拟)如图，图(1)和图(2)均为“单峰”频率分布直方图，图(1)的中位数和平均数分别为a，b，图(2)的中位数和平均数分别为c，d，则 (　　)
A.a>b B.cC.a+db+c
解析：选C　对于A，图(1)中，众数靠近0这一侧，因此平均数会受到较大值的影响而表现为平均数在中位数的右侧，因此ad，故B错误；对于C、D，因为ad，由不等式的性质有a+d7.(2025·沧州模拟)[多选]某市高三年级第二次统考结束后，李老师为了了解本班学生的本次数学考试情况，将全班50名学生的数学成绩绘制成频率分布直方图.已知该班级学生的数学成绩全部介于65分到145分之间(满分150分)，将数学成绩按如下方式分成八组：第一组[65，75)，第二组[75，85)，…，第八组[135，145].按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分如图，则下列结论正确的是 (　　)
A.第七组的频率为0.008
B.该班级数学成绩的中位数的估计值为101分
C.该班级数学成绩的平均分的估计值大于95分
D.该班级数学成绩的标准差的估计值大于6
解析：选BCD　利用频率之和为1，可得第七组的频率为1-(0.004+0.012+0.016+0.030+0.020+0.006+0.004)×10=0.08，A错误；成绩在第一组到第八组的人数分别为2，6，8，15，10，3，4，2，所以中位数在第四组[95，105)内，设中位数为x，因为(0.004+0.012+0.016)×10=0.32<0.5，所以0.32+0.030×(x-95)=0.5，解得x=101，所以该班级数学成绩的中位数的估计值为101分，B正确；该班级数学成绩的平均分的估计值为70×0.04+80×0.12+90×0.16+100×0.3+110×0.2+120×0.06+130×0.08+140×0.04=102(分)，C正确；×[2×(70-102)2+6×(80-102)2+…]>×2×(70-102)2=40.96>36，所以标准差的估计值大于6，D正确.故选BCD.
8.[多选]某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制(满分100分)，统计满意度绘制成如下频率分布直方图，图中b=3a.则下列结论正确的是 (　　)
A.a=0.01
B.满意度计分的众数为80分
C.满意度计分的75%分位数是85分
D.满意度计分的平均分是76.5分
解析：选ACD　由频率分布直方图可知(a+0.015+0.035+b+a)×10=1，即b+2a=0.05，又b=3a，所以a=0.01，A正确；满意度计分的众数为75分，B错误；前三组的频率之和为0.1+0.15+0.35=0.6<0.75，前四组的频率之和为0.6+0.3=0.9>0.75，则75%分位数m∈[80，90)，故m=80+×10=85，满意度计分的75%分位数为85分，C正确；满意度计分的平均分为=55×0.1+65×0.15+75×0.35+85×0.3+95×0.1=76.5分，D正确.
9.(2025·秦皇岛模拟)五名学生每人投篮15次，统计他们每人投中的次数，得到五个数据，若这五个数据的中位数是6，唯一的众数是7，则他们投中次数的总和最大是　　　　.
解析：假设五个数据按照由小到大排列为a，b，c，d，e，因为这五个数据的中位数是6，唯一的众数是7，所以c=6，d=e=7，所以最大的三个数的和为6+7+7=20.因为两个较小的数一定是小于6的非负整数，且不相等，最大为4和5，所以这五个数的和一定大于20且小于等于29，故答案为29.
答案：29
10.(2025·云南师大附中模拟)某班级为了了解本班学生的身高情况，根据男、女学生的比例，采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生5名和女生3名，测量他们的身高所得的数据(单位：cm)如下表所示，根据表中数据，可计算出该校高中学生身高的总样本平均数=　　　　；总样本方差s2=　　　　.
性别 人数 平均数 方差
男生 5 172 18
女生 3 164 30
解析：由题意知==169.
设男生的身高为x1，x2，x3，x4，x5，身高的平均数为，方差为，
设女生的身高为y1，y2，y3，身高的平均数为，方差为，
由=[++++]，
得++++=5(+)，同理++=3(+)，
则s2=[++…++++]
=(++…+++++8-10-6 )
=[5+5+3+3(-)2]
=[5×18+5×(172-169)2+3×30+3×(164-169)2]=37.5.
答案：169　37.5
11.(2025·汉中模拟)粮食安全是国家安全的重要基础.从某实验农场种植的甲、乙两种玉米苗中各随机抽取5株，分别测量它们的株高如下(单位：cm)：
甲：29，31，30，32，28；
乙：27，44，40，31，43.
请根据平均数和方差的相关知识，解答下列问题.
(1)哪种玉米苗长得高
(2)哪种玉米苗长得齐
解：(1)甲的平均值=×(29+31+30+32+28)=30(cm)，
乙的平均值=×(27+44+40+31+43)=37(cm)，
因为<，故乙种玉米苗长得高.
(2)甲的方差=×[(29-30)2+(31-30)2+(30-30)2+(32-30)2+(28-30)2]=2，
乙的方差=×[(27-37)2+(44-37)2+(40-37)2+(31-37)2+(43-37)2]=46，
因为<，故甲种玉米苗长得齐.
12.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用比例分配的分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)根据频率分布直方图估计分数的样本数据的70%分位数；
(2)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中女生的人数.
解：(1)由频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6，
则样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.
又由频率分布直方图，得样本中分数小于80的频率为0.8，所以样本数据的70%分位数必定位于[70，80)之间.计算为70+10×=77.5，
所以其分数的样本数据的70%分位数估计值为77.5.
(2)由题知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60，
则样本中分数不小于70的男生人数为60×=30，所以样本中的男生人数为30×2=60，女生人数为100-60=40，所以总体中女生人数为400×=160.
13.某电子产品制造企业为了提升生产质量，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1 000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表(单位：件).
质量 指标值 [25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65，75) [75，85) [85，95)
产品 60 100 160 300 200 100 80
(1)估计这组样本的质量指标值的平均数和方差s2(同一组中的数据用该组区间中点值作代表)；
(2)设[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示不小于x的最小整数，s精确到个位，an=5·，bn=5·，n∈N*，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在[a1，b1]内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有95%落在[a2，b2]内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的
解：(1)由题可知，
=30×0.06+40×0.1+50×0.16+60×0.3+70×0.2+80×0.1+90×0.08=61.
s2=(30-61)2×0.06+(40-61)2×0.1+(50-61)2×0.16+(60-61)2×0.3+(70-61)2×0.2+(80-61)2×0.1+(90-61)2×0.08=241.
(2)由s2=241知，s≈16，
则a1=5×=45，b1=5×=75，
该抽样数据落在[45，75]内的频率约为
0.16+0.3+0.2=66%>65%；
又a2=5×=30，
b2=5×=90，
该抽样数据落在[30，90]内的频率约为1-0.03-0.04=0.93=93%<95%，
所以可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功.
1 / 3