2026届高三数学一轮复习-2年高考1年模拟-（六十九）排列与组合（含解析）

“2年高考1年模拟”课时精练（六十九） 排列与组合
1.(2023·新课标Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有 (　　)
A.·种 B.·种
C.·种 D.·种
2.(2025·重庆模拟)用数字1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，其中奇数与奇数互不相邻、偶数与偶数互不相邻的个数为 (　　)
A.6 B.8
C.12 D.24
3.(2024·九省考前适应性测试)甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有 (　　)
A.20种 B.16种
C.12种 D.8种
4.为了了解双减政策的执行情况，某地教育主管部门安排甲、乙、丙、丁四个人到A，B，C三所学校进行调研，每个学校至少安排一人.若甲不去A学校，则不同的安排方法有 (　　)
A.12种 B.18种
C.24种 D.36种
5.(2025·大同模拟)五一小长假期间，某旅游公司为助力大同旅游事业的发展，计划将2名金牌导游和5名银牌导游分别派往云冈石窟、古城华严寺、北岳恒山三个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有银牌导游前往，则不同的分配方法种数有 (　　)
A.360 B.640
C.1 350 D.1 440
6.设α，β是两个平行平面，若α内有3个不共线的点，β内有4个点(任意3点不共线)，则从这些点中任取4个点最多可以构成四面体的个数为 (　　)
A.34 B.18
C.12 D.7
7.学校运动会上，有A，B，C三位运动员分别参加3 000 米，1 500米和跳高比赛，为了安全起见，班委为这三位运动员分别成立了后勤服务小组，甲和另外四个同学参加后勤服务工作(每个同学只能参加一个后勤服务小组).若甲在A的后勤服务小组，则这五位同学的分配方案有 (　　)
A.44种 B.50种
C.42种 D.38种
8.(2025·深圳模拟)已知6件不同的产品中有2件次品，现对它们一一测试，直至找到所有2件次品为止，若至多测试4次就能找到这2件次品，则不同的测试方法种数为 (　　)
A.114 B.90
C.106 D.128
9.(2025·镇江模拟)[多选]定义“圆排列”：从n个不同元素中选m个元素围成一个圆形，称为圆排列，所有圆排列的方法数计为.圆排列是排列的一种，区别于通常的“直线排列”，既无“头”也无“尾”，所以=.现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，则 (　　)
A.共有种排法
B.若两名女生相邻，则有2种排法
C.若两名女生不相邻，共有4种排法
D.若男生甲位置固定，则有5种排法
10.定义：“各位数字之和为7的四位数叫好运数”，比如1 006，2 203，则所有好运数的个数为 (　　)
A.82 B.83
C.84 D.85
11.(2025·张家口模拟)为促进学生个性化全面发展，树人中学开设了丰富多彩的课余选课活动.已知高一年级共100人开始选课，要求没有人选到的课是一模一样的.通过选课模拟测试，发现每人选课3门，不合要求，每人选课4门，符合要求.则年级总共开设　　　　　门课.
12.(2025·重庆一中校考阶段练习)8个完全相同的球放入编号1，2，3的三个空盒中，要求放入后3个盒子不空且数量均不同，则有　　　　种放法.(用数字作答)
13.(2025·青岛模拟)某班级周三上午共有4节课，只能安排语文、数学、英语、体育和物理，若数学必须安排，且连续上两节，但不能安排在第二、三节，除数学外的其他学科最多只能安排一节，体育不能安排在第一节，则不同的排课方式共　　　　种.(用数字作答)
14.(2025·上海模拟)某医药研究所将在7天时间内检测3种不同抗生素类药品、3种不同抗过敏类药品、1种降压类药品.若每天只能检测1种药品，且降压类药不在第1天或第7天检测，3种不同抗生素类药品中恰有2种在相邻两天被检测，则不同的检验时间安排方案的种数为　　　.
（解析）精练（六十九） 排列与组合
1.(2023·新课标Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有 (　　)
A.·种 B.·种
C.·种 D.·种
解析：选D　由题意，初中部和高中部学生人数之比为=，所以抽取的60名学生中初中部应有60×=40(人)，高中部应有60×=20(人)，所以不同的抽样结果共有·种，故选D.
2.(2025·重庆模拟)用数字1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，其中奇数与奇数互不相邻、偶数与偶数互不相邻的个数为 (　　)
A.6 B.8
C.12 D.24
解析：选B　先排2，4，形成三个空位，然后将1，3排入前两个空位或者后两个空位，所以符合题意的四位数的个数为(+)=8.
3.(2024·九省考前适应性测试)甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有 (　　)
A.20种 B.16种
C.12种 D.8种
解析：选B　甲一定在乙、丙中间，否则甲就要在两端，则不同排法种数为=16.
4.为了了解双减政策的执行情况，某地教育主管部门安排甲、乙、丙、丁四个人到A，B，C三所学校进行调研，每个学校至少安排一人.若甲不去A学校，则不同的安排方法有 (　　)
A.12种 B.18种
C.24种 D.36种
解析：选C　当去A学校2人时，则先从乙、丙、丁3人中选2人去A学校，然后剩下2人到B，C两校各去1人，则不同的安排方法有=6种；当去A学校1人时，则先从乙、丙、丁3人中选1人去A学校，然后从剩下3人分成两组到B，C两校，则不同的安排方法有=18种，由分类加法计数原理可得，共6+18=24种不同的方法.
5.(2025·大同模拟)五一小长假期间，某旅游公司为助力大同旅游事业的发展，计划将2名金牌导游和5名银牌导游分别派往云冈石窟、古城华严寺、北岳恒山三个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有银牌导游前往，则不同的分配方法种数有 (　　)
A.360 B.640
C.1 350 D.1 440
解析：选C　将2名金牌导游分配到3个景区，有3×3=9种分配方法，若每个风景区都要有银牌导游，则将银牌导游分成三组，各组人数分别为1，1，3或1，2，2.当银牌导游分成三组的人数为1，1，3时，此时共有××9=540种分配方法；当银牌导游分成三组的人数为1，2，2时，此时共有××9=810种分配方法.所以不同分配方法有540+810=1 350种.
6.设α，β是两个平行平面，若α内有3个不共线的点，β内有4个点(任意3点不共线)，则从这些点中任取4个点最多可以构成四面体的个数为 (　　)
A.34 B.18
C.12 D.7
解析：选A　完成的一件事是“任取4个点构成四面体”，所以分成三类：第一类，从α上取1个点，β上取3个不同的点，可以构成四面体的个数为=3×4=12；第二类，从α上取2个不同的点，β上取2个不同的点，可以构成四面体的个数为=3×6=18；第三类，从α上取3个不同的点，β上取1个点，可以构成四面体的个数为=1×4=4，所以从这些点中任取4个点最多可以构成四面体的个数为12+18+4=34.
7.学校运动会上，有A，B，C三位运动员分别参加3 000 米，1 500米和跳高比赛，为了安全起见，班委为这三位运动员分别成立了后勤服务小组，甲和另外四个同学参加后勤服务工作(每个同学只能参加一个后勤服务小组).若甲在A的后勤服务小组，则这五位同学的分配方案有 (　　)
A.44种 B.50种
C.42种 D.38种
解析：选B　若A的小组只有一人，则5人的分配方案有+种；若A的小组只有两人，则5人的分配方案有种；若A的小组恰有三人，则5人的分配方案有种，所以共有50种.
8.(2025·深圳模拟)已知6件不同的产品中有2件次品，现对它们一一测试，直至找到所有2件次品为止，若至多测试4次就能找到这2件次品，则不同的测试方法种数为 (　　)
A.114 B.90
C.106 D.128
解析：选A　检测2次可测出2件次品，不同的测试方法有种；检测3次可测出2件次品，不同的测试方法有种；检测4次测出2件次品，不同的测试方法有种；检测4次测出4件正品，不同的测试方法共有种.由分类加法计数原理，得满足条件的不同的测试方法的种数为+++=114.
9.(2025·镇江模拟)[多选]定义“圆排列”：从n个不同元素中选m个元素围成一个圆形，称为圆排列，所有圆排列的方法数计为.圆排列是排列的一种，区别于通常的“直线排列”，既无“头”也无“尾”，所以=.现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，则 (　　)
A.共有种排法
B.若两名女生相邻，则有2种排法
C.若两名女生不相邻，共有4种排法
D.若男生甲位置固定，则有5种排法
解析：选AB　对于A，现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈，共有=种排法，A正确；对于B，若两名女生相邻，则有=2种排法，B正确；对于C，若两名女生不相邻，共有=12种排法，C错误；对于D，若男生甲位置固定，先将剩下5人围成一圈，再安排甲即可，有种排法，D错误.故选AB.
10.定义：“各位数字之和为7的四位数叫好运数”，比如1 006，2 203，则所有好运数的个数为 (　　)
A.82 B.83
C.84 D.85
解析：选C　因为各位数字之和为7的四位数叫好运数，所以按首位数字分别计算：当首位数字为7，则剩余三位数分别为0，0，0，共有1个好运数；当首位数字为6，则剩余三位数分别为1，0，0，共有3个好运数；当首位数字为5，则剩余三位数分别为1，1，0或2，0，0，共有3+3=6个好运数；当首位数字为4，则剩余三位数分别为3，0，0或2，1，0或1，1，1，共有3++1=10个好运数；当首位数字为3，则剩余三位数分别为4，0，0或3，1，0或2，2，0或2，1，1，共有3++3+3=15个好运数；当首位数字为2，则剩余三位数分别为5，0，0或4，1，0或3，2，0或3，1，1或2，2，1，共有3+++3+3=21个好运数；当首位数字为1，则剩余三位数分别为6，0，0或5，1，0或4，2，0或4，1，1或3，3，0或3，2，1或2，2，2，共有3+++3+3++1=28个好运数.所以共有1+3+6+10+15+21+28=84个好运数，故选C.
11.(2025·张家口模拟)为促进学生个性化全面发展，树人中学开设了丰富多彩的课余选课活动.已知高一年级共100人开始选课，要求没有人选到的课是一模一样的.通过选课模拟测试，发现每人选课3门，不合要求，每人选课4门，符合要求.则年级总共开设　　　　　门课.
解析：设开设了n门课，则≥100且<100，由于=84<100，=120>100，=126>100，=70<100，故9≤n≤9，故n=9.
答案：9
12.(2025·重庆一中校考阶段练习)8个完全相同的球放入编号1，2，3的三个空盒中，要求放入后3个盒子不空且数量均不同，则有　　　　种放法.(用数字作答)
解析：共两类分组方法：将8个完全相同的小球分为1，2，5三堆或1，3，4三堆.每类都将三堆不同个数的球放入编号1，2，3的三个空盒中，有种放法，故共有2=12种放法.
答案：12
13.(2025·青岛模拟)某班级周三上午共有4节课，只能安排语文、数学、英语、体育和物理，若数学必须安排，且连续上两节，但不能安排在第二、三节，除数学外的其他学科最多只能安排一节，体育不能安排在第一节，则不同的排课方式共　　　　种.(用数字作答)
解析：当数学排在第一、二节时，则从语文、英语、体育和物理中任选2科，排在第三、四节，则有=12种排法；当数学排在第三、四节时，先从语文、英语和物理中任选1科，排在第一节，再从剩下的3科中任选1科，排在第二节，则有=9种排法，由分类加法计数原理可得共有12+9=21种排法.
答案：21
14.(2025·上海模拟)某医药研究所将在7天时间内检测3种不同抗生素类药品、3种不同抗过敏类药品、1种降压类药品.若每天只能检测1种药品，且降压类药不在第1天或第7天检测，3种不同抗生素类药品中恰有2种在相邻两天被检测，则不同的检验时间安排方案的种数为　　　.
解析：根据题意，先计算3种不同抗生素类药品中恰有2种相邻两天被检测的种数，可分三步分析：先将3种不同抗过敏类药品和1种降压类药品进行全排列，有=24种情况，其排好后有5个空位可选，再从3种不同抗生素类药品任选2种，安排在相邻的2天检测，有=6种，最后和另外1种抗生素类药品，安排在5个空位中，有=20种排法，此时，共有24×6×20=2 880种不同的排法，其中1种降压类药品安排在第1天或第7天的检测，有2=864.综上可得，共有2 880-864=2 016种不同的排法.
答案：2 016
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