2024-2025学年八年级数学浙教版下册期中检测卷（含解析）

2024-2025学年八年级数学下册期中检测卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。)
1．一元二次方程 配方后可变形为(　　)
A． B． C． D．
2．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是( )
A． B．
C． D．
3．一组7个数据分别为，，，，，，．若去掉一个数据，平均数不变，则下列说法正确的是( )
A．中位数与众数都不变 B．众数与方差都不变
C．中位数与极差都不变 D．众数与极差都不变
4．把根号外的因式移入根号内得( )
A． B． C． D．
5．若，则代数式的值是( )
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
6．如图，是五边形的外角，且，则的度数是( )
A． B． C． D．
7．一元二次方程的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
8．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一” ．那么我们用反证法证明：“若，则”，首先应该假设( )
A． B． C． D．
9．新定义：《，，》为一元二次方程(其中为实数)的“共同体数”，如：的“共同体数”为《1，2，》，以下“共同体数”中能让一元二次方程有两个不相等的实数根的是( )
A．《3，2，1》 B．《3，4，5》 C．《，，》 D．
10．如图，线段，点是线段上的动点，分别以为边在作等边、等边，连接，点是的中点，当点从点A运动到点时，点经过的路径的长是( )

A．3 B．2.8 C．2.5 D．2
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11．已知一组数据：8， 4， 5， 4， a， 7的平均数为5， 则这组数据的中位数是 ．
12．关于x的方程有实数根，则a的取值范围 ．
13．已知，化简： ．
14．若关于的一元二次方程有实数根和，且，有下列结论：①，②，③方程的解为．其中正确结论是 ．
15．如图，在直角坐标系中，点的坐标，把线段沿轴正方向移动4个单位，得到四边形．若点在轴上，当时，点的坐标为 ．
16．若关于x的一元二次方程有实数根，，且，有下列结论：
①；
②若，则；
③关于x的方程的根为，；
④关于x的方程的根为2，3．
其中正确结论的有 ．
三、解答题(本大题共8小题,共66分)
17．计算：
(1)； (2)．
18．解方程：
(1)； (2)．
19．如图，在平行四边形中，E，F是直线上的两点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，且，求的长．
20．新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心，为了提高意识，共克时艰，共渡难关，綦江区某校开展了“全民行动共同抗疫”的自我防护知识网上答题竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩(百分制)进行整理、描述和分析(成绩得分用表示，共分成四组：，，，，下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：94，90，94
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 92 92
中位数 90
众数 100
方差 52
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述图表中，，的值．
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由(一条理由即可)．
(3)该校七、八年级共720人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？
21．年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红。
(1)据统计某莲莲玩偶在某电商平台月份的销售量是万件，月份的销售量是万件，问月平均增长率是多少？
(2)市场调查发现，某实体店莲莲玩偶的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售莲莲玩偶每天获利元，则售价应降低多少元？
22．阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．
如：将分母有理化，解：原式．
运用以上方法解决问题：
已知：，．
(1)化简m，n；
(2)求的值．
23．已知关于的方程与都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根，且，则称它们互为“同根轮换方程”． 如与互为“同根轮换方程”．
(1)方程与互为“同根轮换方程”吗？
(2)若关于的方程与互为“同根轮换方程”，求的值；
(3)已知方程①：和方程②：，、分别是方程①和方程②的实数根，且．试问方程①和方程②是否能互为“同根轮换方程”？如果能，用含的代数式分别表示和；如果不能，请说明理由．
24．如图，已知在四边形中，，，连接、，与交于点．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过点作于，为的中点，连接，若，，，求的值；
(3)在(2)的条件下，在上移动，当为等腰三角形时，求的长．
参考答案
一、选择题
1．C
【分析】
本题考查了配方法，移项、将二次项系数化为1、配方即可求解．
【详解】解：，
移项：，
配方：，
即：，
故选：C．
2．A
【分析】本题考查中心对称图形，熟知中心对称图形的定义是解题的关键．
中心对称图形是指图形绕着某个点旋转180°能与原来的图形重合，据此即可求解．
【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
3．D
【分析】
本题主要考查了平均数、众数、中位数、方差、极差的概念，熟练掌握相关概念是解题的关键．
先根据去掉一个数据，平均数不变，可知去掉的数据，然后根据平均数、众数、中位数、方差、极差的概念即可阶段．
【详解】
解：一组7个数据分别为、、、、、、的平均数为3，则去掉的数据为3；新的这组数据为、、、、、；
原数据的中位数为3，众数为2，极差为3，方差为；
新数据的中位数为，众数为2，极差为3，方差为；
综上，两组数据的众数和极差都不变．
故选：D．
4．D
【分析】
本题考查了二次根式的性质．由二次根式的性质，得，然后再按照二次根式的性质运算即可．
【详解】
解：由二次根式的性质，得，，
.
故选：D．
5．D
【分析】
本题考查了完全平方公式，二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题关键．将代数式化为完全平方式，再代入计算即可．
【详解】解：，
，
故选：D．
6．A
【分析】本题考查了多边形的外角和定理，邻补角的性质，由多边形的外角和定理可得，进而根据邻补角性质即可求出的度数，掌握多边形的外角和等于是解题的关键．
【详解】解：由多边形的外角和定理可得，，
∵，
∴，
∴，
故选：．
7．A
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系．求出根的判别式，判断其的符号即可．
【详解】解：∵，
∴有两个不相等的实数根，
故选：A．
8．D
【分析】
本题考查了反证法的应用，根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，解此题关键要懂得反证法的步骤.反证法的步骤是：假设结论不成立、从假设出发推出矛盾、假设不成立，则结论成立．
【详解】解：反证法证明：“若，则”， 首先应该假设，
故选：．
9．C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根据一元二次方程根的判别式进行计算，即可求解．
【详解】解：A.当“共同体数”为《3，2，1》时，一元二次方程为
∵，
∴没有实数根，故该选项不符合题意；
B.当“共同体数”为《3，4，5》时，一元二次方程为
∵，
∴没有实数根，故该选项不符合题意；
C.当“共同体数”为《，，》时，一元二次方程为
∵，
∴有两个不相等实数根，故该选项符合题意；
D.当“共同体数”为时，一元二次方程为
∵，
∴没有实数根，故该选项不符合题意；
故选：C．
10．A
【分析】分别延长交于点H，易证四边形为平行四边形，得出G为中点，则G的运行轨迹为三角形的中位线．最后运用中位线的性质求出的长度即可解答．
【详解】解：如图：分别延长交于点H，则是等边三角形，
∴,
∵等边、等边，
∴
∵，
∴
∴四边形为平行四边形，
∴与互相平分．M为的中点，
∴M也正好为PH中点，即在P的运动过程中，M始终为PH的中点，
∴M的运行轨迹为三角形的中位线．
∴．
故选：A．

二、填空题
11．
【分析】
本题主要考查了根据平均数求一组数据的未知数据，求中位数，先根据平均数的计算公式求出a的值，再由中位数的定义求解即可．
【详解】解；∵一组数据：8， 4， 5， 4， a， 7的平均数为5，
∴，
∴，
∴把这组数据从小到大排列为2，4，4，5，7，8，
∴这组数据的中位数为，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次方程，当时，原方程为，此时原方程有实数根；当时，原方程为一元二次方程，则，据此求解即可．
【详解】解：当时，原方程为，解得，原方程有实数根，符合题意；
当时，原方程为一元二次方程，则，
∴，
∴且；
综上所述，，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质，熟练掌握二次根式和绝对值的性质是解题的关键．
根据的取值范围得出，，根据二次根式的性质和绝对值的性质化简即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴
，
故答案为：．
14．②③
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，根与系数的关系，以及根的判别式的运用．一元二次方程的两根为和，只有在时根才为，由此可对①进行判断；将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项②进行判断；将选项③中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，令，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项③进行判断．
【详解】解：①∵一元二次方程实数根分别为和，
∴，只有在时才能成立，故结论①错误；
②一元二次方程化为一般形式得：，
∵方程有两个不相等的实数根和，
∴，
解得，故结论②正确；
③∵一元二次方程实数根分别为和，
∴，
∴二次函数
，
令，即=0，解得：或3，
∴抛物线与x轴的交点为(2，0)或(3，0)，故结论③正确，
综上所述，正确的结论有2个：②③，
故答案为：②③．
15．或
【分析】本题主要考查了图形的平移以及性质，平行四边形的判定和性质，绝对值的意义．过点C作轴于E，由平移的性质得四边形为平行四边形，，，设点D的坐标为，则，，先求得，根据题意得，解方程求得a即可．
【详解】解：过点C作轴于E，如图所示：
由平移的性质得：，，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵点，
∴，
设点D的坐标为，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵
∴，
∴或，
由，解得：，则点D的坐标为，
由，解得：，则点D的坐标为，
∴点D的坐标为或者．
故答案为：或．
16．②④
【分析】
本题考查的是一元二次方程的解的含义，根的判别式的应用，根与系数的关系，一元二次方程的解法，理解题意是解本题的关键，把方程化为一般形式结合判别式可判定①，把方程的解代入原方程可判定②，结合整体思想可判定③，利用根与系数的关系把变形，再解方程可判定④，从而可得答案．
【详解】解：①化为一般形式为，
∵原方程有实数根、，且，
∴
解得：，故①错误，
∵关于的一元二次方程有实数根、，
当，则，
∴方程为，
解得：，，故②正确；
∵关于x的一元二次方程有实数根，，且，
而可化为：，
∴，，
∴或，故③错误；
∵化为一般形式为，
∵原方程有实数根、，且，
∴，，
∵
，
∴，
解得：或，故④正确，
故答案为：②④
三、解答题
17．(1)解：原式；
(2)原式．
18．(1)解：，
，
或，
解得：，；
(2)，
，
，
，
或，
解得：，．
19．(1)证明：如图，连接交于点，
四边形是平行四边形，
，
，
，即，
四边形是平行四边形．
(2)解：四边形是平行四边形，，
，
，，
，
设，则，，
，
，
在中，，即，
解得或(不符合题意，舍去)，
则的长为．
20．(1)解：，，
根据占比和总人数可知：A组有2人，B组有1人，C组有3人，D组有4人，
将他们的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是94，
因此中位数是94，即，
七年级竞赛成绩出现次数最多的是99，共出现3次，因此众数是99，即，
故，，．
(2)八年级成绩较好，
∵七、八年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，
∴八年级的成绩较好．
(3)七年级的学生有6人，八年级的学生有7人，
人
21．(1)设月平均增长率是，
根据题意得：，
解得：，(不符合题意，舍去)，
月平均增长率是；
(2)设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，
依据题意得：，
即，
解得：，，
要尽量减少库存，
，
售价应降低元．
22．(1)解：；
；
(2)原式
．
23．(1)解：在方程中，，
∴方程无实数根，
∴方程与不互为“同根轮换方程”；
(2)解：∵方程与互为“同根轮换方程”，
∴
设t是公共根，则有，，
解得，．
∵，
∴．
∴．
∴(0值舍去)．
(3)解：当公共解为时，
∴，，，
∴，
∴，
∴，即，
解得或(舍去)，
∴，
∴当，()时，方程和互为“同根轮换方程”；
设公共解为时，，，，
同理可得，
∴当，()时，方程和互为“同根轮换方程”；
设公共解为，
由题意可得：，，，
同理可得，，，，
∴当，()时，方程和互为“同根轮换方程”．
24．(1)证明：，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
；
(2)解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，点是的中点，
，
，
；
(3)解：如图，连接，
，
若时，则，
若时，
，，
，
，
若时，
，
，
，
综上所述，的长为或或．