安徽省蚌埠市固镇县第二中学2024-2025学年高二下学期第二次段考数学试题（含解析）

安徽省蚌埠市固镇县第二中学2024-2025学年高二下学期第二次段考数学试题
一、单选题
1．书架上有3本不同的数学书，4本不同的物理书，图书管理员从中任取2本，则不同的取法种数为（ ）
A．7 B．12 C．21 D．42
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，为的导函数，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知离散型随机变量服从两点分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
6．的展开式中的常数项为（ ）
A．10 B．5 C． D．
7．两批同种规格的产品，第一批占，次品率为，第二批占，次品率为.将两批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是次品的概率为（ ）
A．0.036 B．0.044 C．0.966 D．0.956
8．某校提供了3个兴趣小组供学生选择，现有5名学生选择参加兴趣小组，若这5名学生每人选择一个兴趣小组且每个兴趣小组都有人选，则这5名学生不同的选择方法有（ ）
A．270种 B．180种 C．150种 D．90种
二、多选题
9．已知，则满足不等式的的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．设离散型随机变量的分布列为
2 3 4
0.3 0.4
若，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知某品牌的一种型号的LED灯的使用寿命X（单位：小时）服从正态分布，则下列说法正确的是（ ）
参考数据：若，则，．
A．该型号LED灯的平均使用寿命是60000小时
B．
C．
D．
三、填空题
12．若，则 .
13．某天文兴趣小组开展了月球知识宣传活动，活动结束后该天文兴趣小组的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，则4名女生相邻的站法种数为 ．（用数字作答）
14．已知函数在定义域内单调递增，则实数m的取值范围为 ．
四、解答题
15．某学生想在物理 化学 生物 政治 历史 地理 技术这七门课程中选三门作为选考科目.
（1）若任意选择三门课程，求不同的选法总数；
（2）若物理和历史不能同时选，求不同的选法总数.
16．已知函数．
（1）求函数的极大值；
（2）求函数在区间上的最小值．
17．在一个不透明的箱子里有8个大小相同的小球，其中5个黑球，3个红球.从中不放回地依次摸出3个小球.
（1）求前两次摸出的球均为黑球的概率；
（2）记表示摸出的小球中红球的数量，求的分布列及其数学期望.
18．某学校门口设置了限时停车场，制定收费标准如下：停车时间不超过15分钟免费，超过15分钟但不超过30分钟收费5元，超过30分钟但不超过45分钟收费15元，超过45分钟但不超过60分钟收费30元，超过60分钟必须离开停车场.甲 乙两位家长相互独立地来该停车场停车，且甲 乙的停车时间的概率如下表所示：
停车时间/分钟
甲
乙
（1）求甲所付停车费用小于乙所付停车费用的概率；
（2）设甲所付停车费用为，乙所付停车费用为，在的条件下，求的概率.
19．已知函数（为自然对数的底数，），函数的极值点为0．
(1)求的值；
(2)证明：对；
(3)已知数列的前项和，证明：．
参考答案
1．【答案】C
【详解】由题可知不同的取法的种数为.
故选C.
2．【答案】B
【详解】由条件概率公式可得，
.
故选B.
3．【答案】D
【详解】由，得．
故选D．
4．【答案】A
【详解】离散型随机变量服从两点分布，则，
又，所以.
故选A.
5．【答案】B
【详解】由题意可知函数的定义域为，，
令，得，解得，
所以函数的单调递增区间为.
故选B.
6．【答案】C
【详解】展开式的通项为，
令，解得，
所以的展开式中的常数项为．
故选C．
7．【答案】B
【详解】设事件为“取到的产品是次品”，为“取到的产品来自第批”，
则，，，，
由全概率公式，可得.
所以这件产品是次品的概率为.
故选B.
8．【答案】C
【详解】先将5名学生分成三组，每组人数有1，1，3或2，2，1两种情况，
则不同的分组方法有，再由这3组学生选取3个兴趣小组，不同的选法有种，
由分步乘法计数原理可知这5名学生不同的选择方法有种．
故选C．
9．【答案】AB
【详解】因为，
所以，
即，又，
所以或4.
故选AB.
10．【答案】AD
【详解】对于A、B项，由表格可得，所以.
则，
.故A正确，B错误；
对于C、D项，因为，，，
所以，，.故C错误，D正确.
故选AD.
11．【答案】ACD
【详解】因为使用寿命X（单位：小时）服从正态分布，
所以，可得该型号LED灯的平均使用寿命是60000小时，故A正确；
所以，故B错误；
由，可得，故C正确；
，故D正确．
故选ACD．
12．【答案】
【详解】在中，
令，得.
13．【答案】2880
【详解】先将4名女生排在一起，有种方法，再将4名女生作为一个整体和4名男生排列，有种方法，故4名女生相邻的站法种数为．
14．【答案】
【详解】，因为函数在定义域内单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，令，得，
当时，单调递减，
当时，单调递增，所以，所以，即实数m的取值范围为.
15．【答案】（1）；
（2）.
【详解】（1）在物理 化学 生物 政治 历史 地理 技术这七门课程中选三门作为选考科目，
若任意选择三门课程，则不同的选法总数有种；
（2）在物理 化学 生物 政治 历史 地理 技术这七门课程中选三门作为选考科目，
若物理和历史不能同时选，则不同的选法总数有种.
16．【答案】（1）极大值为24；
（2）．
【详解】（1）由，得，
令，得或．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以当时，取到极大值，
所以函数的极大值为24．
（2）由（1）可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
又，
所以在区间上的最小值为．
17．【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【详解】（1）由题意，前两次摸出的球均为黑球的概率；
（2）由题意，可取，
则，
，
，
，
所以的分布列为
.
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题意可得：，
所以，
甲所付停车费用小于乙所付停车费用有以下情况：
甲，乙或或，概率为：；
甲，乙或，概率为：；
甲，乙，概率为：；
所以甲所付停车费用小于乙所付停车费用的概率为：
（2）有以下情况：
甲，乙；概率为：；
或甲，乙；概率为：；
或甲，乙；概率为：；
所以,
所以
19．【答案】(1)
(2)证明见详解
(3)证明见详解
【详解】（1）由，得，
因为函数的极值点为0，所以，解得．
若，当时，单调递减；当时，单调递增．所以0是函数的极值点．
综上所述，．
（2）证明：令，则．
因为，在上单调递增，，
所以，使得．
当时，单调递减；
当时，单调递增．所以的极小值为，也是的最小值．
由，得，且，
所以，
当且仅当时等号成立，但，所以等号不成立，即．
所以，即．
（3）证明：当时，，
当时，，满足上式，
所以．
由（2）知对，即，
取，则，所以，即．
所以．