2024学年度第二学期高二级第三次阶段考试试题
数 学 2025.5
试卷共4页，卷面满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在的展开式中，的系数为（ ）
A． B．2 C． D．6
2．已知向量，，且，那么实数等于（ ）
A． B． C． D．
3．设函数的导函数为，若的图象如图所示，则的解集
为（ ）
A． B．
C． D．
4．设A，B为两个事件，已知，，，则（ ）
A．0.24 B．0.375 C．0.4 D．0.5
5．辩论社由4名男生和5名女生组成，现从中选出5人组成代表队参加某项辩论比赛.要求代表队中至少一名男生，并且女生人数要比男生多，那么组队的方法数为（ ）
A．80 B．81 C．120 D．125
6．已知数列满足：，，则（ ）
A． B．2 C．1 D．
7．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（ ）
A． B． C． D．
8．设函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知随机变量X的分布列如下表所示，其中，则（ ）
X －1 0 1
P a c
A. B. C． D．
10．函数在处取得极大值，则（ ）
A． B．只有两个不同的零点
C． D．在上的值域为
11．曲线C:，图象如下图所示，M为曲线C上任意一点，则（ ）
A．点在曲线C上
B．点M横坐标的范围是
C．若，则
D．设是曲线C上不同两点，若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知，则 .
13．已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，
是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为 ．
14．设，且，则数列的通项公式为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知各项均为正数的等比数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和.
16．如图，直三棱柱中，，，是的中点．
(1)证明：直线平面.
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
17．为提升工作效率，M公司对员工进行了培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训.
(1)若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率；
(2)为了激发员工的培训积极性，M公司在培训过后举办了一次知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩 Z 近似服从正态分布N(90，9)，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；(结果精确到个位)
(3)参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为X元，求X的分布列与数学期望E(X).
参考数据：若Z~N(μ，σ )，则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.9973.
18．已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）．
①若的面积为，求直线的方程；
②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上．
已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若过点恰有2条与的图象相切的直线，求的取值范围；
(3)若，问函数的图象上是否存在三个不同的点，使得它们的横坐标成等差数列，且直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．2024学年度第二学期高二级第三次阶段考试
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C A D B A B C D ACD AC ABD
12．5 13． 14．
1.含的项为，故的系数为.
2.∵，，且，∴，解得，.
3.根据图象由的单调性知当时，；当时，；
又因为时，；当时，，当时，，
所以可知的解集为．
4.由，，得，所以.
5.由题意分两种情况：男生人女生人，即；男生人女生人，即；
所以组队的方法数为.
6.则，所以，则，所以，
则，所以，，所以.
7.由题意可知，当时，的可能取值为，且，
故
8.函数的定义域为，函数是增函数，且，
当时，，不合题意，故，函数是增函数，
令，得，由题意，并结合，的图象，
则，即，则，
设，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，则，即的最小值为．
9.，.
又联立得
10.，，由条件可知，，得，
当时，，得或，
单调递减 极小值 单调递增 单调递减
由表格数据单调性可知，单调递减，且，所以函数在区间有1个零点，同理，函数在区间和也各有1个零点，所以函数有3个不同的零点，故A正确，B错误；
，，，，故C正确；
，结合表格数据可知，函数在区间上的值域为，故D错误.
11.对于A，将点代入可得，显然等式成立，
即点在曲线C上，所以A正确；
对于B，易知，即，解得，即B正确；
对于C，设，则，即存在点使得，因此C错误；
对于D，由，且，
当或时，，
当，此时，当，此时，当，此时；
若，即异号时，；
当时，不妨设，即，解得；
又，所以；此时，即此时
当时，不妨设，可得，
；
所以
综上可知，，即D正确.
12.因为，所以，则.
13.由于是边长为的等边三角形，则，
由题意可得，解得，因此，双曲线的方程为.
14.由已知，当时，，所以，
代入得，所以，当时，，，解得，所以是以为首项，为公差的等差数列，
则数列的通项公式为.
15.解：（1）因为是正数等比数列，且
所以，即………………（2分）
分解得，又因为，所以，………………（4分）
所以数列的通项公式为；………………（6分）
（2）因为是首项为1，公差为2的等差数列，
所以， ………………（8分）
所以， ………………（9分）
所以
………………（10分）
………………（12分）
. ………………（13分）
16.（1）以为原点，所在直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系，
设，
则，，，，，，………（2分）
则，，，
则，， ………………（6分）
则，，
又，平面，平面，则直线平面.…（8分）
（2）由（1）知平面的一个法向量为，………………（10分）
易知平面的一个法向量为，………………（12分）
设平面与平面的夹角为，
则， ………………（14分）
所以平面与平面夹角的余弦值为.………………（15分）
17.（1）分别记甲、乙、丙培训合格为事件A，B，C，
则甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率
………………（4分）
（2）由已知得μ的近似值为90，σ的近似值为3，
所以
而，
所以估计这些员工中成绩超过93分的人数为317.………………（8分）
（3）X的所有可能取值为0，800，1600，2400，………………（9分）
…………（13分）
所以X的分布列为
X 0 800 1 600 2 400
P
………………（15分）
18.（1）由题意可知，，所以．
又，
所以椭圆的方程为； ………………（3分）
（2）①设过点的直线方程为，点，
联立，得，
则，………………（6分）
则．
又因为点到直线的距离．
令，………………（8分）
解得，所以直线的方程为．………………（10分）
②由①知，
则直线，直线，………………（12分）
由，整理得．………………（14分）
由①知，得，
所以，即，解得，……………（16分）
所以点在直线上． ………………（17分）
19.（1）因为，，所以，.………………（1分）
因为，所以.
若，则即在上恒成立，在为增函数；…（2分）
若，由得；由得.
所以函数在上递减，在上递增.………………（4分）
综上：当时，在为增函数；
当时，在上递减，在上递增.………………（5分）
（2）设切点，切线斜率为，
所以切线方程为：.
因为切线过点，所以.
整理得：………………（7分）
设，则.
由，由.
所以在上递增，在上递减.………………（9分）
又过点恰有2条与的图象相切的直线，所以直线与的图象有两个不同交点.
因为，，，所以.
即所求的取值范围为.………………（11分）
（3）当时，，，.
设，则.
假设存在，（），使得直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率，
即，
因为，所以.………………（14分）
设（），
则（当且仅当时取“”）.
但，所以在恒成立.
所以在上单调递增，又.
所以在上恒成立.
即方程在上无解.
即满足条件的点不存在..………………（17分）
