苏科版数学教材九年级下册 第6章 图形的相似 单元测试（含答案）

苏科版九年级下 第6章 图形的相似 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．若两个相似三角形的周长比为1：3，则它们的面积比为（　　）
A．1：2 B．1：3 C．1：6 D．1：9
2．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：DB=3：2，则AE：AC等于（　　）
A．3：2 B．3：1 C．2：3 D．3：5
3．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若△ABC与△DEF的面积比为4：9，则OA：OD为（　　）
A．4：9 B．2：3 C．2：1 D．3：1
4．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶也蕴含着“美学”．如图，枫叶的叶柄BP和主叶脉AP的比值接近黄金比．估计的值应在（　　）
A．0到0.5之间 B．0.5到1之间 C．1到1.5之间 D．1.5到2之间
5．如果2m=3n（n≠0），那么下列比例式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，已知AB∥CD∥EF，若AC=6，CE=3，DF=2，则BD的长为（　　）
A．4 B．4.5 C．5.5 D．6
7．某数学兴趣小组为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS=45m,ST=90m,QR=60m,则河的宽度PQ是（　　）
A．70m B．80m C．90m D．100m
8．（2025 滑县校级三模）如图，已知 ABCD，E是AD的中点，连接BE，AC相交于点F，FG∥AD，若BC=6，则FG的长是（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
9．如图，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=m,且量得CD=b,则AB等于（　　）
A． B． C． D．mb
10．如图，在 ABCD中，E为AD上一点，延长DC至点F，连接AF、EF．若AF=10，AE=8，∠AFE=∠B，则BC的长为（　　）
A．10 B． C． D．
11．如图，小涵为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），把一面镜子放置在水平地面E处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2米处的D点（即DE=2）刚好从镜子中看到凉亭的顶端A．测得BD的长为12米，若小涵眼睛离地面距离CD为1.6米，则凉亭高AB（　　）米．
A．9.6 B．10 C．7.2 D．8
12．如图，在 ABCD中，∠ABC=45°，连结对角线AC，点O为AC中点，且AC=AB=2，点E是射线AB上一点，连结OE，作∠EOF=135°，交BC延长线于点F．令BE=x,CF=y,则y关于x的函数表达式是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
13．若a：b：c=1：2：3，则=______．
14．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比例．如图，点B为AC的黄金分割点，即AB2=BC AC．若AC=20cm,则BC的长为 ______cm.
15．如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点C是线段AD的黄金分割点（AC＞CD）则有，已知厘米，那么AC= ______厘米．
16．如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，，AD=CD=10，点E、F分别在边AD、BC上，连接EF，点G为EF的中点，连接AG，若AE=6，则点AG的最小长度为 ______．
17．如图，在正方形ABCD中，点E，点F分别在边BC，AB上（点E不与点B，C重合），且AF=BE．连接AC，DF交于点G，连接AE，BG交于点H．若DF=4GH，则= ______．
三．解答题（共5小题）
18．如图，在△ABC中，D是AB上一点，连接CD，已知AC2=AD AB．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若∠A=32°，∠BDC=75°，求∠DCB的度数．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），点D，F分别在边AB和AC上，且满足∠DEF=∠B．
（1）求证：△BDE∽△CEF；
（2）若BE=CE，且BD=3，CF=2，求的值．
20．如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，连接AD和BD，C是的中点，连接OC和AC，分别交BD于点E和F．
（1）证明：AD∥OC；
（2）若BO=5，BE=4，求DF的长．
21．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在边BC上，满足∠BAE=∠ACB．连接AE交BD于点F，过点F作FG∥BC交CD于点G．
（1）求证：AF=AD；
（2）求证：△DFG∽△FBA；
（3）若BE=2EF，求的值．
22．问题情境 借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，分别取AB、AC的中点D、E，作△ADE．如图2所示，将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD、CE．
【探究发现】旋转过程中，线段BD和CE存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．
【类比应用】如图3，当DE所在直线首次经过点B时，求CE的长．
【延伸思考】如图4，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，分别取AB、BC的中点D、E．作△BDE，将△BDE绕点B逆时针旋转，连接AD、CE．当BD首次与AC平行时，求△ECB的面积．
苏科版九年级下 第6章 图形的相似 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、D 2、D 3、B 4、B 5、A 6、A 7、C 8、C 9、D 10、B 11、D 12、B
二．填空题（共5小题）
13、5； 14、； 15、2； 16、9； 17、；
三．解答题（共5小题）
18、（1）证明：∵AC2=AD AB，
∴=，
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC．
（2）解：∵∠A=32°，∠BDC=75°，
∴∠ACD=∠BDC-∠A=75°-32°=43°，
∵△ACD∽△ABC，
∴∠ACD=∠B=43°，
∴∠DCB=180°-∠BDC-∠B=180°-75°-43°=62°，
∴∠DCB的度数是62°．
19、（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠DEC=∠B+∠BDE=∠DEF+∠CEF，∠DEF=∠B，
∴∠BDE=∠CEF，
∴△BDE∽△CEF；
（2）解：∵△BDE∽△CEF，
∴=，
∵BE=CE，BD=3，CF=2，
∴BE=CE=，
∴==．
20、（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠D=90°，
∵C是的中点，
∴OC垂直平分BD，
∴∠OEB=90°，
∴∠D=∠OEB，
∴AD∥OC．
（2）解：∵AO=BO=CO=5，DE=BE=4，
∴AB=2AO=10，DB=2DE=8，
∴AD===6，
∴OE=AD=3，
∴CE=CO-OE=5-3=2，
∵AD∥CE，
∴△AFD∽△CFE，
∴===3，
∴EF=DF，
∴DF+DF=4，
∴DF=3，
∴DF的长为3．
21、（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵FG∥BC，
∴∠FGA=∠ACB，
∵∠BAE=∠ACB，
∴∠BAE=∠ACB=∠FGA，
∵∠AFD=∠BAE+∠ABD，∠ADB=∠CBD+∠ACB，
∴∠AFD=∠ADB，
∴AF=AD；
（2）证明：∵FG∥BC，
∴∠CBD=∠DFG，
∴∠ABD=∠DFG，∠BAE=∠FGD，
∴△DFG∽△FBA；
（3）∵∠BFE=∠AFD=∠ADF，∠ABD=∠EBD，
∴△BEF∽△BAD，
∴，
又由（1）可得AD=AF，
∴．
由（2）知△DFG∽△FBA，
故=．
22、解：【探究发现】，理由如下：
∵点D和点E为分别为AB，AC中点，
∴，，
∴，
∴，
∵∠B=90°，AB=BC=4，
∴∠BAC=45°，
∴，
根据旋转的性质可得：∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴，即；
【类比应用】由图1可知，
∵点D和点E为分别为AB，AC中点，
∴DE∥BC，AB=2，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠ADE=∠ABC=90°，
∴当DE所在直线经过点B时，AD⊥BE，
根据勾股定理可得：，
由【探究发现】可得：，
∴，
解得：；
【延伸思考】过点E作EG⊥BC于点G，
根据题意可得：，
∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，
∴，
∴，
∵AC∥BD，
∴∠BAC=∠ABD，
根据旋转的性质可得：∠ABD=∠EBC，
∴∠CAB=∠EBC，
∴，
∴，
∴．