第一节 集合
【课程标准】 1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系，能用列举法或描述法表示集合；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，了解全集与空集的含义；3.理解并会求并集、交集、补集，能用Venn图表示集合的关系与运算.
教|材|回|顾
1．集合与元素
元素的特性 ________、________、________
元素与集 合的关系 若a属于集合A，记作________； 若b不属于集合A，记作________
集合的表示法 ________、________、________
2.常见的数集
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
3.集合间的基本关系
文字语言 记法
子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 ________或________
真子集 如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A ________或________
相等 集合A的任何一个元素都是集合B的元素，集合B的任何一个元素也都是集合A的元素 __________________ A＝B
空集是任何集合的________，任何非空集合的________
4.集合的基本运算
语言表示 图形表示 符号语言
并集 所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
交集 所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
补集 若全集为U，则集合A的补集为 UA UA＝{x|x∈U，且x A}
5.集合的运算性质
交集 A∩B＝______，A∩A＝A，A∩ ＝______，A B A∩B＝______
并集 A∪B＝________，A∪B A，A∪B B，A∪A＝______，A∪ ＝______，A B A∪B＝______
补集 U( UA)＝______， U ＝______， UU＝ ，A∩( UA)＝ ，A∪( UA)＝______
微|点|延|伸
1．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．
2．A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB．
3．德·摩根定律： U(A∩B)＝( UA)∪( UB)， U(A∪B)＝( UA)∩( UB)．
4．对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．
小|题|快|练
1．(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5
A．{－1,0} B．{2,3}
C．{－3，－1,0} D．{－1,0,2}
2．(人A必一P35复习参考题1 T8改编)若集合M＝{(x，y)|y＝1}，集合N＝{(x，y)|x＝0}，则M∩N＝( )
A．{0,1} B．{(0,1)}
C．{(1,0)} D．{(0,1)，(1,0)}
3．(人A必一P9习题1.2 T1改编)下列结论正确的是( )
A．{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{x|x＝t2＋1，t∈R}
B．{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R}
C． ＝{0}
D．集合{a，b}的真子集为{a}，{b}
4．已知全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤9}，若集合B＝{1,3,5,7}，则A∩( UB)＝________.
5．(人B必一P9练习B T4改编)若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.
类型一 集合的含义及表示自练自悟
1.(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1,2,3,4,5,9}，B＝{x|∈A}，则 A(A∩B)＝( )
A．{1,4,9} B．{3,4,9}
C．{1,2,3} D．{2,3,5}
2．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
3．集合A＝{x|2x2－3x－2<0}，若a∈A，a＋1 A，则a的取值范围是( )
A． B． C．[1,2) D．(1,2)
4．若{a2,0，－1}＝{a，b,0}，则ab的值是( )
A．0 B．1
C．－1 D．±1
与集合中元素有关问题的求解步骤
1．确定集合的元素是什么，集合是数集还是点集．
2．看这些元素满足什么限制条件．
3．根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性.
类型二 集合间的基本关系
【例1】 (1)已知集合A＝{x|x>5}，B＝{x|1－log2x<0}，则( )
A．A B B．B A
C．A∩B＝ D．A∪B＝R
(2)(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则 U(M∪N)＝( )
A．{x|x＝3k，k∈Z}
B．{x|x＝3k－1，k∈Z}
C．{x|x＝3k－2，k∈Z}
D．
判断两集合关系的常用方法
1．化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两个集合的关系．
2．数形结合法：利用数轴或Venn图直观判断．
易错提醒 当B为A的子集时，易漏掉B＝ 的情况而致误．
【训练】 (1)已知集合M＝{x|y＝，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是( )
A．M?N B．N?M
C．M RN D．N RM
(2)已知集合A＝{x|x<－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B A，则实数a的取值范围是( )
A． B．∪(0,1)
C． D．(－∞，－1)∪[0，＋∞)
类型三 集合的基本运算
考向 ：集合的基本运算
【例2】 (1)(2024·北京高考)已知集合M＝{x|－3A．{x|－1≤x<1} B．{x|x>－3}
C．{x|－3(2)已知M，N均为R的子集，且 RM N，则M∪( RN)＝( )
A． B．M
C．N D．R
对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
考向 ：利用集合运算求参数
【例3】 已知集合A＝{x，若A∩N*＝ ，则实数a的取值范围是( )
A．{1} B．(－∞，1)
C．[1,2] D．(－∞，2]
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
1．与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．
2．若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
【题组对点练】
题号 1 2 3 4
考向 新定义问题
1.已知集合U＝R，集合A＝{x|x2＋2x－3<0}，B＝{x|0≤x≤2}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．(－3,0) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(2,3)
2．(多选题)(2025·山东枣庄模拟)已知全集为U，集合A，B，C均为U的子集．若A∩B＝ ，A∩C≠ ，B∩C≠ ，则下列说法一定正确的是( )
A．A U(B∩C) B．C U(A∪B)
C．A∪B∪C＝U D．A∩B∩C＝
3．(2024·九省联考)已知集合A＝{－2,0,2,4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为________．
4．(加强练)(多选题)设A，B是R的两个子集，对任意x∈R，定义：m＝n＝若对任意x∈R，m＋n＝1，则A，B间的关系为( )
A．B＝ RA B．B＝ R(A∩B)
C．A＝ RB D．A＝ R(A∩B)
第一节 集合
必备知识·梳理
教材回顾
1．确定性 互异性 无序性 a∈A b A 列举法 描述法 图示法
3．A B B A A?B B?A A B且B A 子集 真子集
5．B∩A A B∪A A A B A U U
小题快练
1．A 解析 因为A＝{x|－52．B 解析 集合M表示纵坐标为1的点集，集合N表示横坐标为0的点集，所以M∩N＝{(0,1)}，故选B.
3．A 解析 对于A，B，{y|y＝x2＋1，x∈R}＝[1，＋∞)，{x|x＝t2＋1，t∈R}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R}表示函数y＝x2＋1图象上的点的集合，所以A正确，B错误；对于C， ?{0}，所以C错误；对于D，集合{a，b}的真子集为 ，{a}，{b}，所以D错误．故选A.
4．{0,2,4,6,8,9} 解析 由题意知集合A中至少包含0,2,4,6,8,9这几个元素，而 UB＝{0,2,4,6,8,9}，所以A∩( UB)＝{0,2,4,6,8,9}．
5．0或1 解析 当a－3＝－3时，可得a＝0，此时集合A＝{－3，－1，－4}，符合题意；当2a－1＝－3时，可得a＝－1，此时a2－4＝－3，不满足集合中元素的互异性，舍去；当a2－4＝－3时，可得a＝1或a＝－1(舍去)，当a＝1时，集合A＝{－2,1，－3}，符合题意．综上可得，实数a＝0或1.
关键能力·落实
1．D 解析 B＝{1,4,9,16,25,81}，A∩B＝{1,4,9}，则 A(A∩B)＝{2,3,5}．故选D.
2．C 解析 因为A∩B＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，所以A∩B中元素的个数为4，故选C.
3．C 解析 A＝{x|2x2－3x－2<0}＝－4．C 解析 因为{a2,0，－1}＝{a，b,0}，所以①或②由①得或其中与元素互异性矛盾，舍去，符合题意；由②得符合题意，两种情况代入得ab＝－1.故选C.
【例1】 (1)A 解析 因为集合A＝{x|x>5}，B＝{x|1－log2x<0}＝{x|x>2}，所以A B.故选A.
(2)A 解析 因为整数集，k∈＋1，k∈＋2，k∈Z}，U＝Z，所以 U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选A.
【训练】 (1)B 解析 因为M＝{x|y＝，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以N?M.故选B.
(2)A 解析 因为B A，所以①若B＝ ，即ax＋1≤0无解，此时a＝0，满足题意．②若B≠ ，即ax＋1≤0有解，当a>0时，可得x≤－，要使B A，则需要解得0【例2】 (1)C 解析 由集合的并运算，得M∪N＝{x|－3(2)B 解析 解法一：如图所示，易知答案为B.
解法二(特值法)：不妨设 RM＝(1,2)，N＝(0,3)，则M∪( RN)＝M.故选B.
【例3】 D 解析 由题意，得A＝{x|(x－1)(x－a)<0}，当a>1时，A＝{x|1【题组对点练】
1．A 解析 由题图可知阴影部分表示的集合为A∩ UB.解不等式x2＋2x－3<0，得－32．AD 解析
由题意得A UB，又 U(B∩C)＝( UB)∪( UC)，所以A U(B∩C)，故A正确；符合题意的集合A，B，C及全集U的关系可用如图所示的Venn图表示，由图可知C不是 U(A∪B)的子集，故B错误；集合A∪B∪C与全集U不一定相等，故C错误；由A∩B＝ ，可得A∩B∩C＝ ∩C＝ ，故D正确．综上．选AD.
3．5 解析 由A∩B＝A可知B≠ ，所以m≥0.由|x－3|≤m可得－m≤x－3≤m，即3－m≤x≤3＋m，故B＝[3－m，3＋m]，因为A∩B＝A，所以A B，所以解得m≥5，所以m的最小值为5.
4．AC 解析 因为m＝n＝且对任意x∈R，m＋n＝1，所以m，n的值一个为0时，另一个为1，即x∈A时，x B或x∈B时，x A，所以A，B间的关系为B＝ RA或A＝ RB，故选AC.(共36张PPT)
第一节
第一章 集合、常用逻辑用语与不等式
集合
课
程
标
准
必备知识/梳理
赢在微点 数学 大一轮
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
确定性
互异性
无序性
a∈A
b A
列举法
描述法
图示法
子集
真子集
B∩A
A
B∪A
A
A
B
A
U
U
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
解析
解析
关键能力/落实
赢在微点 数学 大一轮
第二部分
——考向探究
类型一
集合的含义及表示 自练自悟
解析
解析
解析
解析
类型二
集合间的基本关系
解析
解析
解析
解析
类型三
集合的基本运算
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
R
赢在欲点
A
B
A
A∩B
B
CoA
A
R
CRM
W
U
A
B
U
C
A
B微练(一) 集合
基础过关
一、单项选择题
1．(2024·天津高考)集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝( )
A．{1,2,3,4} B．{2,3,4}
C．{2,4} D．{1}
2．已知全集U＝{x|－1A．0∈A B．1 A
C．2∈A D．3 A
3．已知集合U＝{－1,0,1,2}，A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2}，则{－1} ( )
A． UA B． UB
C．( UA)∩B D． U(A∪B)
4．设集合A＝{x|4x－2A．(6,10) B．[6,10)
C．[6,10] D．(6,10]
5．若集合A＝{x|3x2－8x－3≤0}，B＝{x|x>1}，定义集合A－B＝{x|x∈A且x B}，则A－B＝( )
A． B．
C． D．(1,3]
6．(2025·江苏连云港联考)已知A B，A C，B＝{0,2,4}，C＝{0,2,6}，则满足上述条件的非空集合A的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
7．设M＝{x|x＝4k－3，k∈Z}，N＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，则( )
A．M N B．N M
C．M＝N D．M∩N＝
8．(2025·山西晋城调研)已知集合A＝{x，B＝{1，m}，若A∩B的子集有4个，则实数m的取值范围是( )
A．[1,3) B．[1,3]
C．(1,3) D．(1,3]
二、多项选择题
9．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|1<2x<4}，则( )
A．A∪B＝R B．A∩B＝
C． UA B D．B UA
10．已知集合A＝{y|y＝x2＋2}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋2}，下列关系正确的是( )
A．(1,3)∈B B．(0,0) B
C．0∈A D．A＝B
11．已知全集U的两个非空真子集A，B满足( UA)∪B＝B，则下列关系一定正确的是( )
A．A∩B＝ B．A∩B＝B
C．A∪B＝U D．( UB)∪A＝A
三、填空题
12．设集合A＝{x|x≤3}，B＝{x|x2－6x＋5≤0}，则A∩B＝________.
13．设集合M＝{x，N＝{x，则 NM＝________.
14．已知集合A＝{x|y＝lg(a－x)}，B＝{x|1＜x＜2}，且( RB)∪A＝R，则实数a的取值范围是________．
素养提升
15．(2024·广东深圳二调)对于任意集合M，N，下列关系正确的是( )
A．M∪ M∪NN＝M∪N
B． M∪N(M∩N)＝( M∪NM)∪( M∪NN)
C．M∩ M∪NN＝M∩N
D． M∪N(M∩N)＝( M∪NM)∩( M∪NN)
16．某校有学生1 200人，现有两项课外实践活动供学生选择，要求每个学生至少选择一项参加．调查统计得知，选择其中一项活动的人数占总人数的60%～65%，选择另一项活动的人数占总人数的50%～55%，则下列说法正确的是( )
A．同时选择两项活动的人数可能为100
B．同时选择两项活动的人数可能为180
C．同时选择两项活动的人数可能为260
D．同时选择两项活动的人数可能为320
微练(一) 集合
1．B 解析 因为A＝{1,2,3,4}，B＝{2,3,4,5}，所以A∩B＝{2,3,4}，故选B.
2．B 解析 由U＝{x|－13．B 解析 对于A， UA＝{2}，故A错误；对于B， UB＝{－1}，所以{－1} UB，故B正确；对于C，( UA)∩B＝{2}，故C错误；对于D， U(A∪B)＝ ，故D错误．故选B.
4．D 解析 由题意，得得65．C 解析 由3x2－8x－3≤0得－≤x≤3，则A＝，又A－B＝{x|x∈A且x B}，则A－B＝.故选C.
6．C 解析 由B＝{0,2,4}，C＝{0,2,6}，得B∩C＝{0,2}，因为A B，A C，所以A (B∩C)，即A {0,2}，而集合{0,2}的非空子集有{0}，{2}，{0,2}，故满足条件的集合A的个数为3.故选C.
7．A 解析 因为M＝{x|x＝4k－3，k∈Z}＝{x|x＝2(2k－1)－1，k∈Z}，N＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，所以M N.故选A.
8．C 解析 集合A＝{x＝[1,3)，因为A∩B的子集有4个，所以A∩B有2个元素，所以A∩B＝{1，m}，所以m∈(1,3)．故选C.
9．BD 解析 集合A＝{x|x2－3x－4>0}＝{x|x>4或x<－1}，集合B＝{x|1<2x<4}＝{x|04或010．AB 解析 因为集合A＝{y|y≥2}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋2}是由抛物线y＝x2＋2上的点组成的集合，所以AB正确，CD错误．故选AB.
11．CD 解析 令U＝{1,2,3,4}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，满足( UA)∪B＝B，但A∩B≠ ，A∩B≠B，故A、B均不正确；由( UA)∪B＝B，知 UA B，所以U＝[A∪( UA)] (A∪B)，所以A∪B＝U，由 UA B，知 UB A，所以( UB)∪A＝A，故C、D均正确．
12．[1,3] 解析 由x2－6x＋5＝(x－1)(x－5)≤0，解得1≤x≤5，即B＝[1,5]，又A＝{x|x≤3}，所以A∩B＝[1,3]．
13．{x 解析 由题意可知，x＝＋＝(2n＋1)×，n∈Z，则集合M表示的是的奇数倍；由x＝，n∈Z可知，集合N表示的是的整数倍，所以 NM＝{x.
14．[2，＋∞) 解析 由已知可得A＝(－∞，a)， RB＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，因为( RB)∪A＝R，所以a≥2.
15．B 解析 对于A，如图所示， M∪NN为区域①，所以M∪ M∪NN＝M，故A错误；对于C， M∪NN为区域①，M∩ M∪NN为区域①，不等于区域②，故C错误；对于D， M∪N(M∩N)为区域①和③，而 M∪NM为区域③， M∪NN为区域①，所以( M∪NM)∩( M∪NN)为空集，所以D错误．排除A，C，D，故选B.
16．B 解析 设选择其中一项活动的人数为card(A)，选择另一项活动的人数为card(B)，则同时选择两项活动的人数为card(A∩B)．根据题意，则1 320≤card(A)＋card(B)≤1 440，又card(A)＋card(B)－card(A∩B)＝1 200，所以120≤card(A∩B)≤240.故选B.(共19张PPT)
微练(一)
集合
基础过关
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